Aplicaciones de Las Ecuaciones Diferenciales A La Ingenieria de Petroleo
Aplicaciones de Las Ecuaciones Diferenciales A La Ingenieria de Petroleo
Aplicaciones de Las Ecuaciones Diferenciales A La Ingenieria de Petroleo
Matemtica IV
PROFESOR
Chunga.
TEMA
CICLO
ALUMNA
2015 II
PIURA- PERU
2015
INTRODUCCION
La importancia del Clculo Integral en el mundo actual es enorme, ya que la
ciencia y la tecnologa moderna sencillamente seran imposibles sin l. Las leyes
de la naturaleza se expresan mediante ecuaciones que involucran funciones y sus
derivadas e integrales, y el anlisis de estas ecuaciones se realiza mediante las
herramientas del clculo. Por esa razn los cursos de esta materia aparecen en
los planes de estudio de todas las carreras cientficas y tcnicas. El Clculo
constituye una de las grandes conquistas intelectuales de la humanidad. Una vez
construido, la historia de la matemtica ya no fue igual: la geometra, el lgebra y
la aritmtica, la trigonometra, se colocaron en una nueva perspectiva terica.
Detrs de cualquier invento, descubrimiento o nueva teora, existe,
indudablemente, la evolucin de ideas que hacen posible su nacimiento. Es muy
interesante prestar atencin a la cantidad de conocimientos que se acumula,
desarrolla y evoluciona a travs de los aos para dar lugar, en algn momento en
particular y a travs de alguna persona en especial, al nacimiento de una nueva
idea, de una nueva teora, que seguramente se va a convertir en un
descubrimiento importante para el estado actual de la ciencia y, por lo tanto
merece el reconocimiento. El Clculo cristaliza conceptos y mtodos que la
humanidad estuvo tratando de dominar por ms de veinte siglos. Sus aplicaciones
son difciles de cuantificar porque toda la matemtica moderna, de una u otra
forma, ha recibido su influencia; y las diferentes partes del desarrollo matemtico
interactan constantemente con las ciencias naturales y la tecnologa moderna.
MARCO TEORICO
El presente trabajo trata sobre las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en
el campo de la ingeniera y ms especfico en la ingeniera de petroleo, para
conocer a fondo sus aplicaciones es necesario saber primero algunos conceptos
bsicos de las Ecuaciones Diferenciales y las reas de trabajo de la ingeniera de
petroleo. Qu es una Ecuacin Diferencial? Una ecuacin diferencial es una
ecuacin en la que intervienen derivadas de una o ms funciones desconocidas.
Dependiendo del nmero de variables independientes respecto de las que se
deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en: Ecuaciones diferenciales
ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable
independiente. Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen
derivadas respecto a dos o ms variables. Qu es una ecuacin diferencial
ordinaria de primer orden? Una ecuacin diferencial ordinaria de primer orden es
una ecuacin diferencial ordinaria donde intervienen derivadas de primer orden
respecto a una variable independiente. Estas ecuaciones, junto con su condicin
inicial, se pueden encontrar expresadas en forma explcita: dy dx f ( x, y ). Las
ecuaciones diferenciales se pueden aplicar en diferentes ramas y aplicaciones
cotidianas y no tan cotidianas o ms bien un poco ms cientficas. El vaciado de
tanques y recipientes as como la transferencia de productos entre ellos son
operaciones frecuentes en las plantas de procesos de almacenaje de petrleo y
combustibles. Estas operaciones pueden efectuarse por medio de bombas o bien
por conveccin natural aprovechando las diferencias de niveles entre tanques.
Mediante la aplicacin de ecuaciones diferenciales se pueden resolver muchos
problemas que todo estudiante universitario o investigador pueda enfrentar
durante su vida acadmica y/o profesional en las investigaciones, desarrollo de
aplicaciones, teoras, experimentos, etc. Teniendo este gran espectro de
aplicaciones de las ecuaciones diferenciales y siendo el acelerado desarrollo
tecnolgico y el que se vislumbra en un futuro prximo motor de nuevas
exploraciones de la matemtica aplicada, se hace necesario que el estudiante de
ingeniera tenga un acertado conocimiento del tema que le permita interactuar
con mayor facilidad en las decisiones empresariales del futuro. Es por ello que el
estudiante universitario debe conocer, desarrollar y aplicar las ecuaciones
diferenciales para poder resolver los problemas que se le presentan siendo
importante conocer formas de aplicar en su vida cotidiana en el desarrollo de
problemas directamente relacionados con la carrera de ingeniera de petroleo.
OBJETIVOS
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Un tanque est lleno con 10 galones de agua salada en la cual
estn disueltas 5lb de sal. Si el agua salada est conteniendo 3lb
de sal por galn que entra al tanque a 2 galones por minuto y la
mezcla bien agitada sale a la misma tasa. Encontrar la cantidad de
sal en el tanque en cualquier tiempo. Cunta sal est presente
despus de 10min? Cunta sal est presente despus de un
tiempo largo?
Formulacin matemtica:
Sea A el nmero de libras de sal en el tanque despus de t minutos.
Luego
dA
dt
dada por:
dA
dt = tasa de cantidad ganada tasa de cantidad perdida.
2 gal
min
3 lb
gal de sal
, conteniendo
3 lb
gal de sal
6 lb
min
Lo cual es la tasa a la cual se gana sal. Puesto que siempre hay 10 gal en el
tanque y debido a que hay A libras de sal en cualquier tiempo t, la concentracin
de sal al tiempo t es A libras por 10gal.
La cantidad de sal que sale por minuto es, por tanto,
A lb
10 gal
2 gal
min
2 A lb
10 min
A lb
= 5 min
dA
dt
A
5
30 A
dt
ln ( 30 A ) =
t
5
+c
t
5
ln 25 .
ln
30 A
25
t
=- 5
A = 30 25
t
5
e2
= 26.6 lb.
Despus de un tiempo largo, esto es, cuando t=>, vemos que A=>30 lb. Esto
dA
tambin podra ser visto desde la ecuacin diferencial haciendo
dt = 0, puesto
que tambin A es una constante cuando se alcanza el equilibrio.
Solucin:
Sea X (t) la cantidad de sal que hay en el tanque en el instante t; entonces la
velocidad de entrada de sal al tanque en el instante t es:
kg
e ( t ) =6 1
min
Tambin en el instante t, la cantidad de lquido en el tanque es de:
v ( t )=1000+ ( 65 ) t<
La concentracin es de:
xt
kg
1.000+ t
La velocidad de salida de la sal es de:
x(t) kg
s ( t ) =5
min 1.000+t
Luego nuestra ecuacin diferencial es:
dx
5x
=6
dt
1000+t
, x(0)=0
c
(t ) =
5
(1000+t )
c
5
(1000+t )
1000
(1000+t)5
10006
=1
1000+t
(1000+t)6
1000+ t
10006
63
=
6
( 1000+t ) 64
Entonces:
6
1
1000
6
=
( 1000+t ) =64 10006 1000+ t =2000
6
64 (1000+t )
Por tanto: t = 1000 min.