UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

UNIVERSIDAD DEL PERÚ – DECANA DE ÁMERICA

FACULTAD DE INGENIERÍA GEOLÓGICA, MINERÍA, METALÚRGICA Y
GEOGRÁFICA
E.P. INGENIERÍA METALÚRGICA

CÁLCULO I
2023 - I

FUNCIONES trascendentes
LIC. ROLAND H. PEÑA FLORES
 INTRODUCCIÓN
La mayoría de las operaciones algebraicas que encontraremos involucran las
operaciones más usuales: suma, resta, multiplicación, división, exponentes y
raíces.
Sin embargo también nos encontraremos a menudo con algunas funciones
especiales que denominaremos funciones trascendentes y que son el seno, el
coseno, la tangente, es decir, las funciones trigonométricas; y el logaritmo y la
exponencial.
En esta sección presentaremos cada una de ellas.
Es conveniente haber estudiado ya el capítulo de los logaritmos y exponenciales
para entender este capítulo
 1. FUNCIONES TRASCENDENTES
1.1 Definición: Toda las funciones que NO son algebraicas se conocen con el
nombre de funciones trascendentes o trascendentales.
Las Funciones Trascendentes son aquellas funciones que NO están formadas por
expresiones algebraicas. Es decir, NO están formadas por variables y números que están
relacionados por operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división,
potenciación* y radicación*) como pueden ser los polinomios.
Ejemplos:
1) Función logaritmo: 𝑓 𝑥 = log 𝑎 (𝑥) ; 𝑎 > 0 ; 𝑎 ≠ 1
2) Función exponencial: 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 ; 𝑎 > 0 ; 𝑎 ≠ 1
3) Función trigonométrica:
𝑓 𝑥 = sen 𝑥 , 𝑓 𝑥 = cos 𝑥 , 𝑓 𝑥 = tan(𝑥)
𝑓 𝑥 = cot 𝑥 , 𝑓 𝑥 = sec 𝑥 , 𝑓 𝑥 = csc(𝑥)
1.2 Función exponencial

La función exponencial con base 𝑎 se define para todos los números

reales 𝑥 por :
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥
donde 𝑎 > 0 ; 𝑎 ≠ 1 es la base.

Ejemplos:
1
1) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 ⟹ su base es 2. 1) 𝑓 𝑥 = 2−1 ⟹ 𝑓 𝑥 = .
2
2) 𝑓 𝑥 = 3𝑥 ⟹ su base es 3. 2) 𝑓 𝑥 = 31 ⟹ 𝑓 𝑥 = 3.
3) 𝑓 𝑥 = 10𝑥 ⟹ su base es 10. 3) 𝑓 𝑥 = 102 ⟹ 𝑓 𝑥 = 100.
1 𝑥 1
4) 𝑓 𝑥 = ⟹ su base es . 1 −1
2 2 4) 𝑓 𝑥 = ⟹ 𝑓 𝑥 = 2.
2
Gráfica de la función exponencial

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 ; 𝑎 > 1
2
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 ; 0 < 𝑎 < 1

Función creciente. Función decreciente.

Dominio:  Rango: 0; ∞ Dominio:  Rango: 0; ∞
Asíntota: Eje X Asíntota: Eje X
Gráfica de la función exponencial
Ejemplo: 𝑓 𝑥 = 2𝑥
x f (x)
La gráfica es continua,
–2 ¼ creciente y cóncava
hacia arriba. Pasa por
–1 ½ el punto (0; 1).
0 1
1 2
2 4
3 8
Dom f = R
• x → −∞ =⇒ 2𝑥 → 0 La curva se acerca al eje x pero no lo toca ni lo
• x → +∞ =⇒ 2𝑥 → +∞ corta. El eje x es una asíntota horizontal.
Gráfica de la función exponencial
La gráfica es continua,
𝑥 decreciente y cóncava
1
Ejemplo: 𝑓 𝑥 = hacia arriba. Pasa por
2
el punto (0; 1).
También el eje x es
x f (x) asíntota horizontal.
–3 8
–2 4
–1 2
0 1
1 ½
2
¼
 Ejemplo # 01
𝑥
𝑥+𝑦 =2
Resolver el siguiente sistema ൝
𝑥 + 𝑦 3𝑥 = 216
Solución:
1.3 Función logaritmo

La función logaritmo con base 𝑎 de 𝑥 es igual al numero que hay que

elevar 𝑎 para obtener 𝑥, notación:

𝑓 𝑥 = log 𝑎 (𝑥)
donde:
𝑎 > 0 ; 𝑎 ≠ 1 es la base.

Es decir:

𝑦 = log 𝑎 (𝑥) ⇔ 𝑎𝑦 = 𝑥
Notación logarítmica Notación exponencial
Gráfica de la función logaritmo

𝑓 𝑥 = log 𝑎 (𝑥) , 𝑎 > 1 𝑓 𝑥 = log 𝑎 (𝑥) , 0 < 𝑎 < 1

𝑎
𝑦=1
𝑎
𝑦=1 𝑎
2
𝑎

𝑎
𝑎
𝑎 𝑩𝒂𝒔𝒆 𝒂 𝑩𝒂𝒔𝒆 𝒂 𝑎
2

𝑎 𝑎

Función creciente Función decreciente

Dominio: 0; ∞ Rango:  Dominio: 0; ∞ Rango: 
Asíntota: Eje Y Asíntota: Eje Y
Gráfica de la función logaritmo
La gráfica es creciente,
Ejemplo: 𝑓 𝑥 = log 2 (𝑥) cóncava hacia abajo y
pasa por (1; 0)
y = log 2 x  2 y = x

x = 2y f (x)

¼ –2

½ –1

1 0
2 1
4 2
8 3 Se observa que ahora la
asíntota vertical es el eje y
Propiedades de los logaritmos:
1.- Los números negativos no poseen logaritmos.
2.- El logaritmo de la base del sistema es la unidad loga a =1
3.- El logaritmo de 1 es igual a cero.
4.- Los números menores a 1 tienen logaritmos negativos
5.- Los números mayores a 1 tienen logaritmos positivos
6.- loga AB = loga A + loga B 7.- loga A/B = loga A - loga B
𝑙𝑜𝑔𝑏𝐴
8.- loga An = n loga A 9.- 𝑙𝑜𝑔𝑎𝐴 =
𝑙𝑜𝑔𝑏𝑎
1 𝐴𝑚 𝑚
9.- 𝑙𝑜𝑔𝑎𝐴𝑛 = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝐴 10.- 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑛 = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝐴
𝑛 𝑛
𝐴
𝑙𝑜𝑔𝑎 log 𝐴 𝐴
𝑙𝑜𝑔𝑎 log 𝐴
𝐴 𝐴
11.- 𝑙𝑜𝑔𝑎/𝑏 = 𝑏 = 12.- 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 = 𝑏 =
1−𝑙𝑜𝑔𝑎 log 𝑎 −log 𝑏 1+𝑙𝑜𝑔𝑎 log 𝑎+log 𝑏
Los dos Sistemas logarítmicos más usados son:
a.- Logaritmos naturales o neperianos, cuya base es “e” y se denota comúnmente ln x
ln x = loge x
El logaritmo natural es el inverso de la función exponencial natural ex en consecuencia
x = e ln x ∧ eu = x donde u = lnx
b.- logaritmos vulgares o Brigg, cuya base es 10, en consecuencia
x = 10logx ∧ 10u = x donde u = log x
 Ejemplo # 02
Hallar el valor de
1 81 (10−3 ) 125 1 5
𝐸 = 𝑙𝑜𝑔3 + 3𝑙𝑜𝑔10 + 2𝑙𝑜𝑔5 − 𝑙𝑜𝑔82 + 5𝑙𝑜𝑔84 16
2 2
Solución:

Ejemplo # 03
Si log 𝑎𝑏 2 = 1 𝑦 log 𝑎3 . 𝑏 = −1, determine 𝐸 = 𝑎. 𝑏
Solución:
 Ejemplo # 04
Halle el dominio de definición de las funciones que se indican:
3−2𝑥
3+𝑥 1−𝑥
a) 𝑦 = log(3−𝑥) b) 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔1
2

𝑥 2 −𝑥−2−2
c) 𝑓 𝑥 = log( 𝑥 − 4 − 6 − 𝑥) d) 𝑓 𝑥 = log( )
2− 𝑥+4
1.4 Función exponencial y logarítmica

7 y
f ( x) = 2 x y=x
6
Las gráficas son simétricas
respecto a la recta 𝑦 = 𝑥 . Cada
5
punto 𝑎; 𝑏 de la curva
4 (2; 4)
exponencial tiene su simétrico
3 de la forma 𝑏; 𝑎 en la curva
2
logarítmica.
(4; 2)
1
g ( x) = log 2 x x
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-1

-2
1.5. Algunas aplicaciones
❖ El enfriamiento de un cuerpo
La ley del enfriamiento de los cuerpos de Newton establece que el enfriamiento de un
cuerpo es proporcional, en cada instante, a la diferencia con la temperatura ambiente.
La ley dice que si T₀ es la temperatura inicial con que introducimos un cuerpo en un
ambiente con una temperatura de 𝑇𝑎 grados, al cabo de un tiempo t la temperatura del
cuerpo es T(t) = 𝑻𝒂 + (T₀ − 𝑻𝒂 ) 𝒆−𝜶𝒕 donde α es una constante, llamada la constante de
enfriamiento, y que es particular de cada cuerpo.
Ejemplo:
En nuestra cocina hace 20 ºC y sacamos de la cazuela un termómetro que está a 60 ºC.
Pasados 15 minutos, el termómetro desciende hasta los 25 ºC. Hallar la constante de
enfriamiento del termómetro.
Solución: 25 = 20 + (60 − 20) 𝒆−𝜶.𝟎.𝟐𝟓 15
=⇒ 𝒆−𝜶.𝟎.𝟐𝟓 = 0.125 𝑡 = 15 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 ≈
60
ℎ ≈ 0.25ℎ
−0.25 α = ln 0.125 =⇒ α ≈ 8, 318
❖ Una aplicación interesante de esta ley consiste en determinar el instante de
fallecimiento de una persona, después de algunas horas de muerta. Esta información
es de crucial importancia en criminología y en estudios forenses.
El escenario de un crimen puede variar de manera muy importante según que un crimen
haya ocurrido a una hora u otra. La idea se basa en que los mamíferos, cuando estamos
vivos, tenemos una temperatura muy estable e igual a T₀ = 37 ºC. Al morir, la
temperatura corporal comienza a descender hasta alcanzar la temperatura ambiente 𝑻𝒂 .
Ejercicio 1:
Un policía tomó nota de que la temperatura ambiente era de 20 ºC y la del cadáver de
29,5 ºC. Dos horas más tarde, se volvió a tomar la temperatura del cadáver, que había
descendido hasta los 23,4 ºC. Averigua, con los datos anteriores, a) la constante de
enfriamiento del fallecido, b) y la hora de su fallecimiento.
Solución:
❖ Crecimiento de poblaciones
El economista británico Thomas Malthus propuso en 1798 que la velocidad de
crecimiento de una población de individuos es proporcional a la población ya existente. Si
P₀ es la población inicial (es decir, la existente cuando comenzamos a contar), existe una
constante de crecimiento k en cada población, de manera que el número de individuos al
cabo de un tiempo t, viene expresado por una ley del tipo
P(t) = P₀ 𝑒 𝑘𝑡
Ejemplo:
Una población de insectos crece de acuerdo a la función y = 1 + 2 𝑒 𝑥 donde x es el
tiempo en meses e y es el número de insectos en miles.
a) ¿Cuántos insectos hay inicialmente?
b) ¿Cuántos insectos hay al cabo del primer mes?
Solución:
a) Inicialmente, cuando x = 0, había y(0) = 1 + 2 e⁰ = 3 mil insectos
b) Al cabo del primer mes, y(1) = 1 + 2 e¹ ≈ 6436 insectos
Ejercicio 2:
La cantidad de bacterias en un cultivo fue de 400 después de 2 horas y de 25.600
después de 6 horas. (Se supone crecimiento exponencial.) Se pide:
a) ¿Cual era el tamaño de la población inicial?
b) Encontrar una expresión para la población después de t horas.
Solución:

Ejercicio 3:
El coste de una barra de chocolate “Xokolat” en 1982 era 5 céntimos. La función
exponencial que describe el crecimiento del coste de la barra de chocolate es:
C(t) = 0.05 e 0.097 t
a) ¿Cuál es ahora el coste de la barra de “Xokolat”?
b) ¿Cuál será el coste en el año 2100?
Solución:
❖ Desintegración radioactiva
Algunos átomos son inestables y se desintegran espontáneamente emitiendo
radiaciones. Se ha observado que el tiempo en que determinada substancia se reduce
a la mitad, llamado vida media, es una constante característica de ella e independiente
de la cantidad que haya.
La ley de Rutherford sobre la desintegración radiactiva dice que el número de átomos
de un elemento radiactivo transformados en un tiempo determinado es proporcional
al número de átomos de ese elemento que estén presentes en la substancia, en
particular, la fórmula que describe la desintegración es de la forma: N(t) = N₀ 𝒆−𝒌𝒕
donde N₀ es la población inicial, y k es la constante de desintegración radiactiva.
La vida media de los elementos radiactivos puede utilizarse a veces para determinar la
fecha de sucesos del pasado de la Tierra. Las edades de las rocas de más de 2000
millones de años pueden establecerse mediante la desintegración radiactiva del uranio
(de 4500 millones de años de vida media).
En un organismo vivo, cada gramo de carbono contiene 10⁻⁶ gramos de C¹⁴. Tras su
muerte, el organismo deja de absorber carbono y la proporción de C¹⁴ decrece a
medida que se va desintegrando. Su vida media es de unos 5730 años, de modo que es
posible estimar la edad de restos orgánicos: los arqueólogos han fechado así conchas,
semillas, objetos de madera, o la fecha en que se realizaron pinturas rupestres.

Ejemplo:
Hallar k en la fórmula de desintegración del C¹⁴.
Solución:
Un gramo N₀ = 1 se reduce a la mitad N = 0.5 en un periodo de 5730 años, luego con la
expresión
N(t) = N₀ 𝑒 −𝑘𝑡 ⇒ 0.5 = 1 𝑒 −𝑘(5730) ⇒ k = − ln 0.5 / 5730 ≈ 1, 21 × 10⁻⁴
Ejercicio 4:
El carbón de un árbol muerto en la erupción volcánica que dio origen al Lago Cráter, en
Oregón, contenía el 44, 5% del C 14 que se halla en la materia viva. ¿Qué antigüedad
aproximada tiene el lago?
Solución:

Ejercicio 5:
En el año 2000 se encuentra, en el centro de Illinois, un hueso fosilizado con el 17%
de su contenido original de C¹⁴. ¿En qué año murió el animal? Contéstese en el caso
de que las proporciones fuesen 16% y 18% respectivamente para ver las
consecuencias de un pequeño error en la medida del carbono.
Solución:
 1.6 Funciones trigonométricas
Función Seno:
1 f (x) = sen(x)
32
22
12

    2 3 5  7 5 4 3 5 7 11 2
6 4 3 2 3 4 6 6 4 3 2 3 4 3
-1 2
- 22
- 32
-1
Dom( f ) = 
π π π π 2π 3π 5π 7π 5π 4π 3π 5π 7π 11π
Ran( f ) = [– 1; 1] x π
4 3 2
0 6 4 3 2 2 3
3 4 6 6 4 3
Periodo = 2 1 2 3 3 2 1 1 2 3 3 2-1
sen(x) 0 2 1 0 - - - -1 - - 0
Amplitud = 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
 Función Coseno:
f (x) = cos(x)
1
32
22
12

    2 3 5  7 5 4 3 5 7 11 2
6 4 3 2 3 4 6 6 4 3 2 3 4 3
-1 2
- 22
- 32
-1

Dom( f ) =  π π π π 2π 3π 5π 7π 5π 4π 3π 5π 7π 11π
x π
4 3 2
0 6 4 3 2 2 3
3 4 6 6 4 3
Ran( f ) = [– 1; 1] 3 2 1 1 3 2 1 1 2 3
cos(x) 1 0 - -
2
- - 1 - 3- - 0
2 2 2 2 2 2 2 2 2 1
Periodo = 2 2 2 2

Amplitud = 1
Función Tangente: f (x) = tan(x)
x f(x) = tan(x)
3
0 0
1
/4 1
3 /2 No existe
3
3/4 –1
0     2 3 5  7 5 4 3 5 7 11 2  0
6 4 3 2 3 4 6 6 4 3 2 3 4 3
3
- 5/4 1
3

-1 3/2 No existe
7/4 –1
- 3
2 0
π 
Dom ( f ) =  -  + nπ / n  Ζ 
2  Ran f =  Periodo = 
1.6 Funciones trigonométricas
• Las otras funciones trigonométricas son las inversas multiplicativas de las
anteriores, y tenemos :
Función Cotangente: Función Secante: Función Cosecante:
1.7 Funciones trigonométricas inversas

Función Arco seno:

𝑓 𝑥 = arcsen 𝑥

La función arco seno es la inversa

de la función seno restringida en el
𝜋 𝜋
intervalo − ,
2 2
1.7 Funciones trigonométricas inversas

Función Arco coseno:

𝑓 𝑥 = arccos(𝑥)

La función arco coseno es la inversa

de la función coseno restringida en el
intervalo 0; 𝜋
 1.7 Funciones trigonométricas inversas

Función Arco tangente:

𝑓 𝑥 = arctan(𝑥)

La función arco tangente es la

inversa de la función tangente
𝜋 𝜋
restringida en el intervalo − ,
2 2
 Ejemplo # 05
Si 𝑎, 𝑏 es el rango de la función real f definida por:
𝜋 𝜋
𝑓 𝑥 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + + 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − ) + 1; 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋
3 3
2
Calcule 𝑎 + 𝑏 .2

Solución:

Ejemplo # 06
Determine el dominio de la función real f definida por:
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 − 1
Solución:
 Ejemplo # 07
Bosqueje las graficas de las funciones
x
a) f x = sen 4x , x ∈ 0, π b) g x = cos( ) , x ∈ 0, 4π
2
Solución:

Ejemplo # 08
Bosqueje las graficas de las funciones
1
a) f x = 3sen x b) g x = cos(x)
2
Solución:
 Trazado de Gráficas Especiales
Consiste en trazar la gráfica de algunas
funciones más complicadas, teniendo como
punto de partida, las funciones elementales.
 TRAZADO DE GRÁFICAS ESPECIALES:
Tomando como base la gráfica de una función y = f ( x ) veremos en esta parte
cómo trazar las gráficas de funciones de los siguientes tipos:
1) g ( x ) = f ( x ) + K 2) g ( x ) = f ( x - h) 3) g ( x ) = f ( x - h) + K
4) g ( x ) = - f ( x ) 5) g ( x ) = f ( - x ) 6) g ( x ) = - f ( - x )
7) g ( x ) = a . f ( x ) 8) g ( x ) = f ( a x ) 9) g ( x ) = I f ( x ) |,
todas en base a la gráfica de y = f ( x ) :

1) ❑ La gráfica de g ( x ) = f ( x ) + K se consigue
desplazando la gráfica de y = f(x )
VERTICALMENTE en K unidades HACIA
ARRIBA , si K > 0 .
❑ La gráfica de g ( x ) = f ( x ) - K se consigue
desplazando la gráfica de y = f(x )
VERTICALMENTE en K unidades HACIA
ABAJO , S¡ K > 0 .
2) ❑ La gráfica de g ( x ) = f ( x - h) se consigue ❑ La gráfica de g ( x ) = f( x + h ) se consigue
desplazando la gráfica de y = f( x ) desplazando la gráfica de y = f( x )
HORIZONTALMENTE en h unidades HACIA HORIZONTALMENTE en h unidades HACIA
LA DERECHA, si h > 0. LA IZQUIERDA, con h > 0 .

pues si f ( x ) = x² , entonces f ( x — 4) = ( x — 4)² = g ( x )

f ( x + 3 ) = ( x + 3 )² = k ( x ) ,
y en el caso de k ( x ) = ( x + 3)² = [ x — ( — 3 ) ]² => h = — 3
3) La gráfica de g ( x ) = f ( x - h) + K
se obtiene como combinación
de (1) y (2) en cualquier orden.

4) La gráfica de g(x) = - f (x) se

obtiene por REFLEXIÓN de la
gráfica de y = f(x) CON RESPECTO
AL EJE X , considerando al EJE X
como DOBLE ESPEJO:
( Todo lo que está arriba del Eje X se refleja
hacia abajo, y viceversa )
5) La gráfica de g ( x ) = f ( - x ) se
obtiene por REFLEXION de la gráfica
de la función y = f(x) en el EJE Y,
considerando a este eje como
ESPEJO DOBLE.

(Todo lo que está a la derecha del EJE Y se

refleja hacia la izquierda y viceversa).

6) La gráfica de g ( x ) = - f ( - x ) se
obtiene como combinación de (4) y (5).
EJEMPLO: Como aplicación graficaremos la
función y = - ( x - 2 )² + 1.
SOLUCIÓN:
Definamos f ( x ) = ( x + 2 )² - 1, entonces
f ( - x ) = [ ( - x ) + 2 ]² - 1 = ( x — 2 )² — 1
y = - f ( - x) = - ( x - 2 )² + 1
7) La gráfica de g ( x ) = a . f ( x ), a > 0 , se obtiene:
i) Estirando la gráfica de y = f (x) VERTICALMENTE en un factor a,
si a > 1 , con base en el Eje X .
ii) Si 0 < a < 1 , encogiendo la gráfica de y = f (x) VERTICALMENTE
en un factor a.
Ya vimos estos casos en f(x) = 3Senx , h ( x ) = — C o s x

8) La gráfica de g ( x ) = f ( a x ), a > 0 , se obtiene:

i) Encogiendo HORIZONTALMENTE la gráfica de y = f(x ) en un factor a
, si a > 1, con base en el Eje Y .
ii) Estirando HORIZONTALMENTE la gráfica de y = f ( x ) en un factor a
, si 0 < a < 1.
Ya vimos estos casos en f(x ) = Sen(4x) y h (x) = Cos(1/2 x) .
Para a < 0 , en los casos (7) y (8) se usan las reglas de:
y = f ( - x ) y y = - f ( - x) .
 Ejemplo # 09
Grafique la función:
𝜋
𝑓 𝑥 = 2 𝑠𝑒𝑛 − 𝑥 , 𝑥 ∈ 0, 2𝜋
4
Solución:
𝜋 𝜋
Como 𝑓 𝑥 = 2 𝑠𝑒𝑛 − 𝑥 = −2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − entonces graficamos en el orden:
4 4
𝜋 𝜋
a) y = 2 Sen x, b) y = 2 Sen ( 𝑥 − ), c) y = - 2 Sen ( 𝑥 − )
4 4
9) Gráfica de g ( x ) = I f ( x ) |:
Desde que y = | f ( x ) | ≥ 0 , y
𝑓 𝑥 , 𝑠𝑖 𝑓(𝑥) ≥ 0
𝑦 = 𝑓(𝑥) = ቊ
−𝑓 𝑥 , 𝑠𝑖 𝑓 𝑥 < 0
entonces la gráfica se encontrará completamente en el SEMIPLANO SUPERIOR y ≥ 0 y se
consigue a partir de la gráfica de y = f ( x ) REFLEJANDO HACIA EL SEMIPLANO SUPERIOR (
y ≥ 0 ) TODO LO QUE SE ENCUENTRE DEBAJO DEL EJE X , QUEDANDO INTACTA LA PARTE
DE LA GRÁFICA DE y = f (x ) QUE ORIGINALMENTE YA SE ENCONTRABA ARRIBA DEL EJE X .
Ejemplo # 10
Bosquejaremos la gráfica de
f ( x ) = I Sen ( x ) I
 Ejemplo # 11
Dada la gráfica de f (figura ), halle la gráfica de g ( x ) = 4 - f ( x — 2).

Solución:

Ejemplo # 12
Halle la gráfica y el rango de la función
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 , 𝑥 ∈ 0, 2𝜋
Solución:
 Ejercicio
Pruebe que, en efecto, dada la gráfica de y = f ( x ) :

entonces la gráfica de y = [| f ( x ) |] es :
 Composición de Funciones
Definición:
Sean 𝑓: 𝐴 → 𝐵 y 𝑔: 𝐵 → 𝐶, dos funciones de variable real tales que 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑓 ∩ 𝐷𝑜𝑚𝑔 ≠ ∅. La
composición de funciones de 𝑔 con 𝑓, denotado por 𝑔 ∘ 𝑓 ( 𝑓 ∘ 𝑔 ), es la función:
𝑔 ∘ 𝑓: 𝐴 → 𝐶 | 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑓 𝑥 ó 𝑓 ∘ 𝑔: 𝐴 → 𝐶 | 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥
con dominio 𝐷𝑜𝑚𝑔∘𝑓 = 𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ∧ 𝑓 𝑥 ∈ 𝐷𝑔 ó 𝐷𝑜𝑚𝑓∘𝑔 = 𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐷𝑔 ∧ 𝑓 𝑥 ∈ 𝐷𝑓
𝐴 𝐵 𝐶
𝑓 𝑔
𝑅𝑔
Observación:
𝐷𝑓 𝑅𝑓
Para que exista la
𝐷𝑔∘𝑓 𝑅𝑔∘𝑓
composición es necesario
que 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑓 ∩ 𝐷𝑜𝑚𝑔 ≠ ∅
𝑥 𝑓 𝑥 𝑔 𝑓 𝑥
𝐷𝑔
Del gráfico se observa que:
i. 𝐷𝑜𝑚𝑔∘𝑓 ⊆ 𝐷𝑓 ⊆ 𝐴
ii. 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑔∘𝑓 ⊆ 𝑅𝑔 ⊆ 𝐶
g∘𝑓
Propiedades de la composición de funciones:
Sean 𝑓, 𝑔 y ℎ funciones reales cuyos dominios son 𝐷𝑜𝑚𝑓 , 𝐷𝑜𝑚𝑔 , y 𝐷𝑜𝑚ℎ , respectivamente.
Entonces:
1. 𝑔∘𝑓 ≠𝑓∘𝑔 (No es conmutativa)
2. 𝑓∘𝑔 ∘ℎ =𝑓∘ 𝑔∘ℎ (Asociativa)
3. 𝑓±𝑔 ∘ℎ =𝑓∘ℎ±𝑔∘ℎ (Distributiva)
4. 𝑓∙𝑔 ∘ℎ =𝑓∘ℎ∙𝑔∘ℎ
𝑓 𝑓∘ℎ
5. ∘ℎ =
𝑔 𝑔∘ℎ
6. 𝑓 ∘ 𝐼 = 𝑓; 𝐼 ∘ 𝑓 = 𝑓, ∀𝑓 (𝐼 es identidad)
7. (𝑔 ∘ 𝑓)−1 = 𝑓 −1 ∘ 𝑔−1 (Inversa)
Ejemplo: Ejemplo:
Sean las funciones Sean las funciones
𝑓 = 1, −2 , 2, −5 , 3,0 , 4, −1 𝑓 𝑥 = 𝑥, 𝑥 : 𝑥 ∈ 0, +∞ y
y 𝑔 = 0, 1 , 1, 0 , 3, 3 , −1, 4 , (2, 1) . 𝑔 𝑥 =
Hallar la función 𝑓 ∘ 𝑔 . 0, 1 , 2, −3 , 4, 7 , 8, −1 , 3, 1 .
Solución: Hallar 𝑓 ∘ 𝑔 y 𝑔 ∘ 𝑓 .
Solución:
NOTA:
Cuando las funciones están definidas por varias reglas de correspondencia,
como por ejemplo:

𝑓1 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝐴1 = 𝐷𝑜𝑚𝑓1
𝑓 𝑥 =ቊ ; 𝐴1 ∩ 𝐴2 = ∅
𝑓2 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝐴2 = 𝐷𝑜𝑚𝑓2

𝑔1 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝐵1 = 𝐷𝑜𝑚𝑔1
𝑔 𝑥 = ൞ 𝑔2 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝐵2 = 𝐷𝑜𝑚𝑔2 ;
𝑔3 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝐵3 = 𝐷𝑜𝑚 𝑔3
donde los conjuntos B₁, B₂ y B₃ son disjuntos dos a dos, entonces el DOMINIO
DE LA COMPOSICIÓN f o g se halla como sigue:
Ejemplo: Ejemplo:
Sean las funciones
Sean las funciones 𝑓 = 2𝑥 + 6, 𝑥 ∈ 0, 8
y 𝑔 = 𝑥 2 − 1, 𝑥 ∈ −2, 2 . Hallar la función 3𝑥 + 4, 𝑥 ∈ 0, 2
𝑓 𝑥 =ቊ y
𝑓 ∘𝑔 . −𝑥 + 1, 𝑥 ∈ 2, 5
Solución: 𝑥 2 , 𝑥 ∈ 0, 3
𝑔 𝑥 =ቊ . Hallar 𝑓 ∘ 𝑔 .
4, 𝑥 ∈ 3, 6
Solución:
Ejemplo: Ejemplo:
Sean las funciones Sea g ( x ) = ( x + 1 )/( x — 1), x ∈ [ - 1, 4] - {1}
1 − 𝑥; 𝑥 ∈ −1, 1 ; la función f tiene dominio Dom f = ( - 1, 2 ]
𝑓(𝑥) = ቊ 2 - { 1 } tal que ( f o g ) ( x ) = x² - x + 1. Halle la
𝑥 − 1; 𝑥 ∈ 1, 2
regla de correspondencia de f ( x ) así como
𝑥 2 . sgn 𝑥 ; 𝑥 ∈ −1, 1
y 𝑔(𝑥) = ൝ . Hallar el dominio y el rango de f o g .
3 − 𝑥; 𝑥 ∈ 1. 3 Solución:
las funciones 𝑓 ∘ 𝑔 𝑦 (𝑔 ∘ 𝑓).
Solución:
( )

( )
( )

( )
 ( )

( )
( )

( )
( )

( )
 Gracias

29/7/20XX Orientación de empleados 54