CAPTULO 10

10.6 Ecuaciones polares de las cnicas y leyes de Kepler

Analizar y dar las ecuaciones polares de las cnicas.

Entender y emplear las leyes del movimiento planetario de Kepler.

Ecuaciones polares de las cnicas

En este captulo se ha visto que las ecuaciones rectangulares de elipses e hiprbolas adquieren
formas simples cuando sus centros se encuentran en el origen. Sin embargo, existen muchas
aplicaciones importantes de las cnicas en las cuales resulta ms conveniente usar uno de los focos
como punto de referencia (el origen) del sistema de coordenadas. Por ejemplo, el Sol se encuentra
en uno de los focos de la rbita de la Tierra; la fuente de luz en un reflector parablico se encuentra
en su foco. En esta seccin se ver que las ecuaciones polares de las cnicas adoptan formas
simples si uno de los focos se encuentra en el polo.
El teorema siguiente usa el concepto de excentricidad, definido en la seccin 10.1, para clasificar los
tres tipos bsicos de cnicas. En el apndice A se da una demostracin de este teorema.
Exploracin:
Representacin grfica de cnicas
En una herramienta de graficacin elegir el modo polar e introducir ecuaciones polares de la forma
a
a
r=
or=
1 bcos
1 bsen
Si

a 0,

la grfica ser una cnica. Describir los valores de a y b que generan parbolas. Qu

valores generan elipses? Qu valores generan hiprbolas?

TEOREMA 10.16 CLASIFICACIN DE LAS CNICAS DE ACUERDO CON LA EXCENTRICIDAD
Sean F un punto fijo (foco) y D una recta fija (directriz) en el plano. Sean P otro punto en el plano y e
(excentricidad) el cociente obtenido al dividir la distancia de P a F entre la distancia de P a D. El
conjunto de todos los puntos P con una determinada excentricidad es una cnica.
1. La cnica es una elipse si 0<e <1.
2. La cnica es una parbola si

e=1.

3. La cnica es una hiprbola si

e> 1 .

En la figura 10.58, obsrvese que en todos los tipos de cnicas el polo coincide con el punto fijo
(foco) que se da en la definicin. La ventaja de esta ubicacin se aprecia en la demostracin del
teorema siguiente.
TEOREMA 10.17 ECUACIONES POLARES DE LAS CNICAS
La grfica de una ecuacin polar de la forma
ed
ed
r=
o r=
1 e cos
1 e sen
es una cnica, donde

e> 0

directriz correspondiente.

DEMOSTRACIN:

es la excentricidad y

|d| es la distancia entre el foco, en el polo, y la

La siguiente es una demostracin de

r=ed /(1+ecos ) con

una directriz vertical que se encuentra

P=(r ,)
entre

es un punto en la grfica de

En la figura 10.59, considrese

unidades a la derecha del foco

r=ed /(1+e cos) ,

F=(0, 0) .

Si

se puede demostrar que la distancia

y la directriz es

PQ=|d x|=|d rcos|=

Como la distancia entre
PF |r|
= =|e|=e
PQ r
e

||

d >0.

|||

r (1+ ecos)
r
rcos =
e
e
P

y el polo es simplemente

PF=|r|

el radio

PF

entre

PQ

es

y, de acuerdo con el teorema 10.16, la grfica de la ecuacin debe ser una

cnica. Las demostraciones de los otros casos son similares.

Los cuatro tipos de ecuaciones que se indican en el teorema 10.17 se pueden clasificar como sigue,
siendo d >0.
a) Directriz horizontal arriba del polo:

b) Directriz horizontal abajo del polo:

r=

ed
1+ sen

r=

ed
1sen

c) Directriz vertical a la derecha del polo:

d) Directriz vertical a la izquierda del polo:

r=

ed
1+cos

r=

ed
1cos

La figura 10.60 ilustra estas cuatro posibilidades en el caso de una parbola.

EJEMPLO 1 Determinar una cnica a partir de su ecuacin

Dibujar la grfica de la cnica descrita por

15
r=
32 cos
Solucin Para determinar el tipo de cnica, reescribir la ecuacin como sigue
15
r=
Dividir el nmerador y el denominador entre 3.
2
1( )cos
3
Por tanto, la grfica es una elipse con e=2/3. Se traza la mitad superior de la elipse localizando
grficamente los puntos desde =0 hasta = como se muestra en la figura 10.61. Luego,
empleando la simetra respecto al eje polar se traza la mitad inferior de la elipse.

En la elipse en la figura 10.61, el eje mayor es horizontal y los vrtices se encuentran en

(3, )

Por tanto, la longitud del eje mayor es

se usan las ecuaciones

2

e=c /a

se tiene

y b =a c

b2=a2c2=a2( ea ) =a2 ( 1e2 ) Elipse

Como e=2/3

2 a=18.

(15, 0)

Para encontrar la longitud del eje menor,

para concluir que

( ( ))

b2=92 1

2
3

=45

lo cual implica que

b= 45=3 5

Por tanto, la longitud del eje menor es

2 b=6 5 .

Un anlisis similar para la hiprbola da

b2=c 2a2=(ea)2a2=a 2 ( e 21 ) Hiprbola
EJEMPLO 2 Trazar una cnica a partir de su ecuacin polar
Trazar la grfica de la ecuacin polar
32
r=
3+5 sen

Solucin Se divide el numerador y el denominador entre 3 y se obtiene

32/3
r=
5
1+( ) sen
3
Como

e=5/3>1,

la grfica es una hiprbola. Como

d=32 /5,

El eje transversal de la hiprbola se encuentra en la recta

( r , )=(4, )
2

( r , )= 16,

= /2

la directriz es la recta

y=32/5.

y los vrtices se encuentran en

3
.
2

Dado que la longitud del eje transversal es 12, puede verse que

a=6.

Para encontrar

b , se

escribe
2
2 2
2
b =a ( e 1 )=6

Por tanto,

b=8.

(( ) )

5
1 =64
3

Por ltimo, se usan

obtener la grfica que se muestra en la figura 10.62.

para determinar las asntotas de la hiprbola y

Leyes de Kepler
Las leyes de Kepler, las cuales deben su nombre al astrnomo alemn Johannes Kepler, se emplean
para describir las rbitas de los planetas alrededor del Sol.
1. Todo planeta se mueve en una rbita elptica alrededor del Sol.
2. Un rayo que va del Sol al planeta barre reas iguales de la elipse en tiempos iguales.
3. El cuadrado del periodo es proporcional al cubo de la distancia media entre el planeta y el Sol.*
Aun cuando Kepler dedujo estas leyes de manera emprica, ms tarde fueron confirmadas por
Newton. De hecho, Newton demostr que todas las leyes pueden deducirse de un conjunto de leyes
universales del movimiento y la gravitacin que gobiernan los movimientos de todos los cuerpos
celestes, incluyendo cometas y satlites. Esto se muestra en el ejemplo siguiente con el cometa que
debe su nombre al matemtico ingls Edmund Halley (1656-1742).

Kepler formul sus tres leyes a partir de la extensa recopilacin de datos del astrnomo
dans Tycho Brahe, as como de la observacin directa de la rbita de Marte.
EJEMPLO 3 Cometa Halley
El cometa Halley tiene una rbita elptica, con el Sol en uno de sus focos y una excentricidad
e 0.967 .
La longitud del eje mayor de la rbita es aproximadamente 35.88 unidades
astronmicas (UA). (Una unidad astronmica se define como la distancia media entre la Tierra y el
Sol, 93 millones de millas.) Hallar una ecuacin polar de la rbita. Qu tan cerca llega a pasar el
cometa Halley del Sol?

Solucin Utilizando un eje vertical, se puede elegir una ecuacin de la forma

ed
r=
(1+ e sen )
Como los vrtices de la elipse se encuentran en = /2 y =3 /2 la longitud del eje mayor es
la suma de los valores r en los vrtices, como se observa en la figura 10.63. Es decir,
2 a=

0.967 d
0.967 d
+
1+0.967 10.967

35.88 27.79 d 2 a 35.88

Por tanto,
r=

d 1.204

1.164
1+0.967 sen

y ed ( 0.967 ) ( 1.204 ) 1.164 . Usando este valor en la ecuacin se obtiene

Donde r se mide en unidades astronmicas. Para hallar el punto ms cercano al Sol (el foco), se
escribe c=ea (0.967)(17.94) 17.35. Puesto que c es la distancia entre el foco y el centro, el
punto ms cercano es
ac 17.9417.35 0.59 UA 55 000 000 millas
La segunda ley de Kepler establece que cuando un planeta se mueve alrededor del Sol, un rayo que
va del Sol hacia el planeta barre reas iguales en tiempos iguales. Esta ley tambin puede aplicarse
a cometas y asteroides con rbitas elpticas. Por ejemplo, la figura 10.64 muestra la rbita del
asteroide Apolo alrededor del Sol. Aplicando la segunda ley de Kepler a este asteroide, se sabe que
cuanto ms cerca est del Sol mayor es su velocidad, ya que un rayo corto debe moverse ms
rpido para barrer la misma rea que barre un rayo largo.

EJEMPLO 4 El asteroide Apolo

El periodo del asteroide Apolo es de 661 das terrestres, y su rbita queda descrita aproximadamente
por la elipse
1
9
r=
=
9+5 cos
5
1+
cos
9

()

Donde r se mide en unidades astronmicas. Cunto tiempo necesita Apolo para moverse de la
posicin dada por = /2 a = /2
como se ilustra en la figura 10.65?

Solucin Para empezar se encuentra el rea barrida cuando

aumenta de

/2

a /2.

A=

1
r 2 d Frmula para el rea de una grfica polar .
2

A=

2
1
9
d

2 /2 9+5 cos

/2

Usando la sustitucin

u=tan ( )
2 , analizada en la seccin 8.6, se obtiene

81 5 sen 18
A=
+
arctan
112 9+5 cos 56

56 tan ( )
2

14

/2 0.90429
/2

Como el eje mayor de la elipse tiene longitud

encuentra que

b=a 1e =9 / 56

rea de la elipse

ab=

2 a=81 /28

y la excentricidad es

e=5/9

se

Por tanto, el rea de la elipse es

( 8156 )( 956 ) 5.46507

Como el tiempo requerido para recorrer la rbita es 661 das, se puede aplicar la segunda ley de
Kepler para concluir que el tiempo t requerido para moverse de la posicin = /2 a la posicin
= /2

est dado por

t
rea del segmento elptico 0.90429
=

661
rea de laelipse
5.46507

lo cual implica que

t 109

das.

10.6 Ejercicios

Razonamiento grfico En los ejercicios 1 a 4, usar una herramienta de graficacin para

representar la ecuacin polar cuando a) e=1 b) e=0.5 y c) e=1.5 Identificar la cnica.
1.r =

2e
1+ e cos

Solucin:

2. r=

2e
1e cos

Solucin:

3. r=

2e
1e sen

Solucin:

4. r=

2e
1+e sen

Solucin:

5. Redaccin Considerar la ecuacin polar

r=

4
1+e sen

a)
Usar
una
herramienta
e=0.1, e=0.25, e=0.5, e=0.75, y

de
graficacin
para
representar
la
ecuacin
con
e=0.9 . Identificar la cnica y analizar la variacin en su forma

+ .

cuando e 1 y e 0

b) Usar una herramienta de graficacin para representar la ecuacin cuando

e=1.

Identificar la

cnica.

c) Usar una herramienta de graficacin para representar la ecuacin cuando e=1.1, e=1.5
+
e=2. Identificar la cnica y analizar la variacin en su forma a medida que e 1 y e .
Solucin:

6. Considerar la ecuacin polar

4
r=
10.4 cos
a) Identificar la cnica sin elaborar la grfica de la ecuacin.
b) Sin elaborar la grfica de las ecuaciones polares siguientes, describir la diferencia de cada una
con la ecuacin polar de arriba.
4
4
r=
,r=
1+0.4 cos
10.4 sen

c) Verificar en forma grfica los resultados del inciso b).

Solucin:

En los ejercicios 7 a 12 hacer corresponder la ecuacin polar con su grfica. [Las grficas
estn etiquetadas a), b), c), d), e) y f).]

7.r =

6
1cos

Solucin:

8. r=

8
2cos

Solucin:

9. r=

3
12 sen

Solucin:
10.r =

2
1+ sen

Solucin:

11. r=

6
1sen

Solucin:

12.r =

2
2+ 3 cos

Solucin:
En los ejercicios 13 a 26, hallar la excentricidad y la distancia del polo a la directriz de la
cnica. Despus trazar e identificar la grfica. Usar una herramienta de graficacin para
confirmar los resultados.
13.r =

1
1cos

Solucin:
14.r =

1
1+ sen

Solucin:
15.r =

4
1sen

Solucin:

16.r =

1
1+ cos

Solucin:
17.r =

6
2+ cos

Solucin:

18.r =

10
5+4 sen

Solucin:
19.r ( 2+ sen ) =4
Solucin:

20. r ( 32 cos ) =6
Solucin:

21. r=

5
1+2 cos

Solucin:

22. r=

6
3+7 sen

Solucin:

23. r=

3
2+ 6 sen

Solucin:

24. r=

8
1+ 4 cos

Solucin:
25. r=

300
12+6 sen

Solucin:
26. r=

180
153.75 cos

Solucin:
En los ejercicios 27 a 30, usar una herramienta de graficacin para representar la ecuacin
polar. Identificar la grfica.
27. r=

3
4+2 sen

Solucin:

28. r=

15
2+ 8 sen

Solucin:

29. r=

10
1cos

Solucin:

30. r=

6
6+7 cos

Solucin:

En los ejercicios 31 a 34, usar una graficadora para representar la cnica. Describir en qu
difiere la grfica de la del ejercicio indicado.

31. r=

1sen( )
4

(ver ejercicio 15)

Solucin:

32. r=

1+ cos( )
3

( ver ejercicio 16)

Solucin:

33. r=

2+ cos(+ )
6

(ver ejercicio 17)

Solucin:

34. r=

6
2
3+7 sen (+ )
3

(ver ejercicio 22)

Solucin:

35. Dar la ecuacin de la elipse que se obtiene al girar

del reloj la elipse
8
r=
8+5 cos
Solucin:

/6

radianes en sentido de las manecillas

36. Dar la ecuacin de la parbola que se obtiene al girar

/6

radianes en sentido contrario a las

manecillas del reloj la parbola

9
r=
1+ sen
Solucin:

En los ejercicios 37 a 48, hallar una ecuacin polar de la cnica con foco en el polo. (Por
conveniencia, la ecuacin de la directriz est dada en forma rectangular.)
Cnica

Excentricidad

37. Parbola e=1 x=1

Solucin:

38. Parbola e=1 y =1

Solucin:

39. Elipse e=1 /2 y=1

Solucin:

Directriz

40. Elipse e=3/ 4 y=2

Solucin:

41 . Hiprbola e=2 x=1

Solucin:

3
42 . Hiprbola e= x=1
2
Solucin:

Cnica

Vrtice o vrtices

43 . Parbola(1, )
2
Solucin:

44 . Parbola (5 , )
Solucin:

45 . Elipse ( 2 ,0 ) ,( 8, )

Solucin:

( 2 ) ,(4 , 32 )

46 . Elipse 2,
Solucin:

47 . Hiprbola 1 ,
Solucin:

3
3
,(9 ,
)
2
2

48 . Hiprbola ( 2, 0 ) ,(10,0)
Solucin:

49. Encontrar la ecuacin para la elipse con foco

(0, 0) , excentricidad de 1/2 y directriz en

r=4 sec .

Solucin:
50. Encontrar la ecuacin para una hiprbola con foco
r=8 csc .

Solucin:
Desarrollo de conceptos
51. Clasificar las cnicas de acuerdo con su excentricidad.
Solucin:

0, 0
), excentricidad de 2 y directriz en

52. Identificar cada cnica.

a r=

5
12 cos

Solucin:
b r=

5
10s en

Solucin:
c r =

5
33 cos

Solucin:
d r=

13 sen ( )
4

Solucin:

53. Describir qu pasa con la distancia entre la directriz y el centro de una elipse si los focos
permanecen fijos y e se aproxima a 0.
Para discusin
54. Explicar en que difiere la grfica de cada cnica de la grfica de
4
r=
1+ sen

a r=

4
1cos

Solucin:
b r=

4
1sen

Solucin:

c r =

4
1+ cos

Solucin:
d r=

13 sen ( )
4

Solucin:

55. Demostrar que la ecuacin polar de

2

r=

x2 y2
+ 2 =1 es
2
a b

b2
Elipse .
1e 2 cos2

Solucin:

56. Demostrar que la ecuacin polar de

2

r=

b 2
Hiprbola.
2
2
1e cos

Solucin:

x2 y2
=1
a2 b 2

es

En los ejercicios 57 a 60, usar los resultados de los ejercicios 55 y 56 para dar la forma polar
de la ecuacin de la cnica.
.

57. Elipse: foco en (4, 0); vrtices en (5, 0), (5,

Solucin:

58. Hiprbola: foco en (5, 0); vrtices en (4, 0), (4,

Solucin:
59.

x2 y2
=1
9 16

Solucin:

60 .

x2 2
+ y =1
4

Solucin:

En los ejercicios 61 a 64, usar las funciones de integracin de una herramienta de graficacin
para estimar con una precisin de dos cifras decimales el rea de la regin limitada por la
grfica de la ecuacin polar

61. r=

3
2cos

Solucin:

62. r=

9
4+ cos

Solucin:
63. r=

2
32 cos

Solucin:

64. r=

3
6+5 sen

Solucin:
65. Explorer 18 El 27 de noviembre de 1963, Estados Unidos lanz el Explorer 18. Sus puntos bajo
y alto sobre la superficie de la Tierra fueron aproximadamente 119 millas y 123 000 millas,
respectivamente (ver la figura). El centro de la Tierra es el foco de la rbita. Hallar la ecuacin polar
de la rbita y hallar la distancia entre la superficie de la Tierra y el satlite cuando =60 (Tomar
como radio de la Tierra 4 000 millas.)

Solucin:

66. Movimiento planetario Los planetas giran en rbitas elpticas con el Sol como uno de sus focos,
como se muestra en la figura.

a) Mostrar que la ecuacin polar de la rbita est dada por

( 1e2 ) a
r=
1e cos
donde e es la excentricidad.
b) Mostrar que la distancia mnima (perihelio) entre el Sol y el planeta es
distancia mxima (afelio) es r=a(1+e)
Solucin:

r=a(1e)

y que la

En los ejercicios 67 a 70, usar el ejercicio 66 para hallar la ecuacin polar de la rbita elptica
del planeta, as como las distancias en el perihelio y en el afelio.
67. Tierra

a=1.496 10 Kilmetros e=0.0167

Solucin:

68. Saturno

a=1.427 10 Kilmetros e=0.0542

Solucin:

69. Neptuno

a=4.498 10 Kilmetros e=0.0086

Solucin:
70. Mercurio
Solucin:

a=5.791 107 Kilmetros e=0.2056

71. Movimiento planetario En el ejercicio 69 se encontr la ecuacin polar para la rbita elptica de
Neptuno. Usar la ecuacin y un sistema algebraico por computadora.
a) Aproximar el rea que barre un rayo que va del Sol al planeta cuando aumenta de 0 a /9 .
Emplear este resultado para determinar cuntos aos necesita Neptuno para recorrer este arco, si el
periodo de una revolucin alrededor del Sol es de 165 aos.
b) Por ensayo y error, aproximar el ngulo tal que el rea barrida por un rayo que va del Sol al
planeta cuando aumenta de a sea igual al rea encontrada en el inciso a) (ver la
figura). Barre el rayo un ngulo mayor o menor que el del inciso a), para generar la misma rea? A
qu se debe?

c) Aproximar las distancias que recorri el planeta en los incisos a) y b). Usar estas distancias para
aproximar la cantidad promedio de kilmetros al ao que recorri el planeta en los dos casos.
Solucin:

72. Cometa Hale-Bopp El cometa Hale-Bopp tiene una rbita elptica con el Sol en uno de sus focos
y una excentricidad de e 0.995 La longitud del eje mayor de la rbita es aproximadamente 500
unidades astronmicas.
a) Hallar la longitud del eje menor.
b) Hallar la ecuacin polar de la rbita.
c) Hallar distancias en el perihelio y en el afelio.
Solucin:
En los ejercicios 73 y 74, sea

r0

la distancia del foco al vrtice ms cercano, y

distancia del foco al vrtice ms lejano.

73. Mostrar que la excentricidad de una elipse puede expresarse como
r r
e= 1 0
r 1 +r 0
Despus mostrar que
r 1 1+e
=
r 0 1e
Solucin:

r1

la

74. Mostrar que la excentricidad de una hiprbola puede expresarse como

r +r
e= 1 0
r 1r 0
Despus, mostrar que
r 1 e+1
=
r 0 e1
Solucin:
En los ejercicios 75 y 76, mostrar que las grficas de las ecuaciones dadas se cortan en
ngulo recto.
75.r =

ed
ed
y r=
1+ sen
1sen

Solucin:
76 . r=

c
d
y r=
1+ cos
1cos

Solucin: