Sec 12.5, Longitud de Arco y Curvatura
Sec 12.5, Longitud de Arco y Curvatura
Sec 12.5, Longitud de Arco y Curvatura
Longitud de arco
En la seccin 10.3 se vio que la longitud de arco de una curva plana suave C dada por las
ecuaciones paramtricas = () = (), , es
= [()]2 + [()]2 .
En forma vectorial, donde est dada por () = () + (), se puede expresar esta ecuacin
de la longitud de arco como
= ()
La frmula para la longitud de arco de una curva plana tiene una extensin natural a una curva
suave en el espacio, como se establece en el teorema siguiente.
4 1
() = 2 + 3 + 4
3 2
4 1
() = + 3/2 + 2
3 2
2
= 1 + 4 + 2
0
2
= ( + 2)2 3 Tablas de integracin (apndice B), frmula 26.
0
+2 3 2
=[ ( + 2)2 3 ln |( + 2) + ( + 2)2 3|]
2 2 0
3 3
= 213 ln(4 + 13) 1 + ln 3 4.816
2 2
() = + + 1 2
() = + + 1 2 Derivada.
Ahora, usando la frmula para la longitud de arco, se puede encontrar la longitud de un giro de la
hlice integrando () desde 0 hasta 2.
2
= () Frmula para la longitud de arco.
0
2
= 2 (2 + 2 ) + (1 2 )
0
2
=
0
2
= ] = 2.
0
Se ha visto que las curvas pueden representarse por medio de funciones vectoriales de maneras
diferentes, dependiendo del parmetro que se elija. Para el movimiento a lo largo de una curva, el
parmetro adecuado es el tiempo . Sin embargo, cuando se desean estudiar las propiedades
geomtricas de una curva, el parmetro adecuado es a menudo la longitud de arco .
Sea una curva suave dada por () definida en el intervalo cerrado [, ]. Para , la
funcin longitud de arco est dada por
() = () = [()]2 + [()]2 + [()]2 .
0
Figura 12.30
NOTA La funcin de longitud de arco s es no negativa. Mide la distancia sobre desde el punto
inicial ((), (), ())hasta el punto ((), (), ()).
= (). Derivada de la funcin longitud de arco.
En la forma diferencial, se escribe
= ().
() = (3 3) + 4 , 0t1
= 5
0
= 5.
Una de las ventajas de escribir una funcin vectorial en trminos del parmetro longitud de arco
es que () = 1. De este modo, en el ejemplo 3, se tiene
3 2 4 2
() = ( ) + ( ) = 1.
5 5
As, dada una curva suave representada por (), donde es el parmetro longitud de arco, la
longitud de arco entre a y b es
= ()
= .
Adems, si es cualquier parmetro tal que () = 1, entonces debe ser el parmetro
longitud de arco. Estos resultados se resumen en el teorema siguiente que se presenta sin
demostracin.
() = () + () o () = () + () + ()
() = 1
Si t es cualquier parmetro para la funcin vectorial r tal que () = 1, entonces t debe ser el
parmetro longitud de arco.
Curvatura
Un uso importante del parmetro longitud de arco es hallar la curvatura, la medida de cun
agudamente se dobla una curva. Por ejemplo, en la figura 12.32 la curva se dobla ms
agudamente en P que en Q, y se dice que la curvatura es mayor en P que en Q. Se puede hallar
la curvatura calculando la magnitud de la tasa o ritmo de cambio del vector unitario tangente T
con respecto a la longitud de arco , como se muestra en la figura 12.33.
DEFINICIN DE CURVATURA
Sea una curva suave (en el plano o en el espacio) dada por () donde es el parmetro
longitud de arco. La curvatura en est dada por
= = ()
Un crculo tiene la misma curvatura en todos sus puntos. La curvatura y el radio del crculo estn
relacionados inversamente. Es decir, un crculo con un radio grande tiene una curvatura pequea,
y un crculo con un radio pequeo tiene una curvatura grande. Esta relacin inversa se explica en
el ejemplo siguiente.
Solucin Sin prdida de generalidad, se puede considerar que el crculo est centrado en el
origen. Sea (, ) cualquier punto en el crculo y sea la longitud de arco desde (, 0) hasta (, ),
como se muestra en la figura 12.34. Denotando por el ngulo central del crculo, puede
representarse el crculo por
() = + . es el parmetro.
1 1 1
= () = =
NOTA Puesto que una recta no se curva, se esperara que su curvatura fuera 0. Tratar de
comprobar esto hallando la curvatura de la recta dada por
3 4
() = (3 ) + .
5 5
Si es una curva suave dada por () entonces la curvatura de en est dada por
() () ()
= =
() ()3
() [( + ) ()]/ ( + ) ()
= = =
/ [( + ) ()]/ ( + ) ()
En otras palabras, para un dado, cuanto mayor sea la longitud de , la curva se dobla ms en
, como se muestra en la figura 12.35.
Figura 12.35
Solucin No se sabe a simple vista si este parmetro representa la longitud de arco, as es que
hay que usar la frmula = ()/().
() = 2 + 2 2
() = 4 + 4 2 + 4 = 2 + 2 Longitud de (t)
() 2 + 2 2
() = =
() 2 + 2
( 2 + 2)(2 2 ) (2)(2 + 2 2 )
() =
( 2 + 2 )2
4 + (4 2 2 ) 4
=
( 2 + 2 )2
16 2 + 16 16 2 + 4 4 + 16 2
() =
( 2 + 2 )2
2( 2 + 2 )
= 2
( + 2 )2
2
= Longitud de (t)
2 + 2
Por tanto,
() 2
= = 2 Curvatura.
() ( + 2 )2
El teorema siguiente presenta una frmula para calcular la curvatura de una curva plana dada por
= ().
||
= .
[1 + ( )2 ]3/2
() = 1 + [()]2
() ()
=
()3
|()|
=
{1 + [()]2 }3/2
||
=
[1 + ( )2 ]3/2
Sea una curva con curvatura en el punto . El crculo que pasa por el punto de radio = 1/ se
denomina el crculo de curvatura si su centro se encuentra en el lado cncavo de la curva y
tiene en comn con la curva una recta tangente en el punto P. Al radio se le llama el radio de
curvatura en y al centro se le llama el centro de curvatura.
El crculo de curvatura permite estimar grficamente la curvatura K en un punto P de una curva.
Usando un comps, se puede trazar un crculo contra el lado cncavo de la curva en el punto P,
como se muestra en la figura 12.36. Si el crculo tiene radio r, se puede estimar que la curvatura
es = 1/.
El crculo de curvatura
Figura 12.36
El crculo de curvatura
Figura 12.37
|| 1
= =
[1 + ()2 ]3/2 2
1
Como la curvatura en (2,1) es 2, el radio del crculo de curvatura en ese punto es 2. Por tanto, el
centro de curvatura es (2, 1), como se muestra en la figura 12.37. [En la figura, obsrvese que la
5
curva tiene la mayor curvatura en P. Trate de mostrar que la curvatura en (4, 0) es 1/22 0.177.
La fuerza del empuje lateral que perciben los pasajeros en un automvil que toma una curva
depende de dos factores: la rapidez del automvil y lo brusco de la curva
Figura 12.38
Si () es el vector posicin de una curva suave , entonces el vector aceleracin est dado por
2 2
() = 2 + ( )
donde es la curvatura de y / es la rapidez.
() = +
= [] +
2
= 2
+ ()
2 2
= 2+( )
1
() = 2 + 2 3 .
3
Solucin Por el ejemplo 5, se sabe que
2
= () = 2 + 2 = .
( 2 + 2)2
Por tanto,
2
= = 2 Componente tangencial.
2
Y
2 2
= ( ) = 2 ( 2 + 2)2 = 2 Componente normal
( + 2)2
Aplicacin
Hay muchas aplicaciones prcticas en fsica e ingeniera dinmica en las que se emplean las
relaciones entre rapidez, longitud de arco, curvatura y aceleracin. Una de estas aplicaciones se
refiere a la fuerza de friccin o de rozamiento.
Un objeto de masa m en movimiento est en contacto con un objeto estacionario. La fuerza
requerida para producir una aceleracin a lo largo de una trayectoria dada es
2 2
= = ( 2 ) + ( )
= + .
La porcin de esta fuerza que es proporcionada por el objeto estacionario se llama fuerza de
friccin o de rozamiento. Por ejemplo, si un automvil se mueve con rapidez constante tomando
una curva, la carretera ejerce una fuerza de friccin o rozamiento que impide que el automvil
salga de la carretera. Si el automvil no se desliza, la fuerza de friccin es perpendicular a la
direccin del movimiento y su magnitud es igual a la componente normal de la aceleracin, como
se muestra en la figura 12.39. La fuerza de rozamiento (o de friccin) potencial de una carretera
en una curva puede incrementarse peraltando la carretera.
La fuerza de friccin es perpendicular a la direccin del movimiento
Figura 12.39
Un coche de carreras (kart) de 360 kilogramos viaja a una velocidad de 60 kilmetros por hora por
una pista circular de 12 metros de radio, como se muestra en la figura 12.40. Qu fuerza de
friccin (o rozamiento) debe ejercer la superficie en los neumticos para impedir que el coche
salga de su curso?
Figura 12.40
Solucin La fuerza de friccin o rozamiento debe ser igual a la masa por la componente normal
de aceleracin. En el caso de esta pista circular, se sabe que la curvatura es
1
= Curvatura de la pista circular
12
8,333 ()()/ 2
12.5 Ejercicios
1. () = + 3 , [0, 4]
Solucin:
2. () = + 2 , [0, 4]
Solucin:
3. () = 3 + 2 , [0, 2]
Solucin:
4. () = ( + 1) + 2 , [0, 6]
Solucin:
5. () = 3 + 3 , [0, 2]
Solucin:
6. () = cos + , [0, 2]
Solucin:
7. Movimiento de un proyectil Una pelota de bisbol es golpeada desde 3 pies sobre el nivel del
suelo a 100 pies por segundo y con un ngulo de 45 con respecto al nivel del suelo.
8. Movimiento de un proyectil Un objeto se lanza desde el nivel del suelo. Determinar el ngulo
del lanzamiento para obtener a) la altura mxima, b) el alcance mximo y c) la longitud mxima
de la trayectoria. En el inciso c), tomar 0 = 96 pies por segundo.
Solucin:
En los ejercicios 9 a 14, dibujar la curva en el espacio y hallar su longitud sobre el intervalo
dado.
Funcin Intervalo
9. () = + 4 + 3 , [0, 1]
Solucin:
10. () = + 2 + 3 , [0, 2]
Solucin:
3
11. () = 4, cos , , [0, ]
2
Solucin:
Funcin Intervalo
15. () = 2 + + ln 13
Solucin:
16. () = + cos + 3 02
Solucin:
20. Investigacin Repetir el ejercicio 19 con la curva representada por la funcin vectorial
3
() = 4( ), 4(cos ), 2 .
2
Solucin:
En los ejercicios 21 a 24, hallar la curvatura de la curva donde es el parmetro longitud
de arco.
2 2
21. () = (1 + ) + (1 )
2 2
Solucin:
22. () = (3 + ) +
Solucin:
En los ejercicios 25 a 30, hallar la curvatura K de la curva plana en el valor dado del
parmetro.
25. () = 4 , =1
Solucin:
26. () = 2 + , =2
Solucin:
1
27. () = + , =1
Solucin:
1
28. () = + 3 , =2
9
Solucin:
29. () = , , =
2
Solucin:
30. () = 5 cos , 4 , =
3
Solucin:
31. () = 4 cos 2 + 4 2
Solucin:
32. () = 2 cos +
Solucin:
33. () = cos +
Solucin:
34. () = cos +
Solucin:
35. () = ( sen ), (1 )
Solucin:
36. () = cos + ,
Solucin:
2
37. () = + 2 +
2
Solucin:
2
38. () = 2 2 + +
2
Solucin:
39. () = 4 + 3 cos + 3sen t
Solucin:
40. () = 2 + 2 cos + 2
Solucin:
41. () = 3 + 2 2 , (3, 2)
Solucin:
42. () = + 4 , (1, 0)
Solucin:
3
43. () = + 2 + , (2, 4, 2)
4
Solucin:
44. () = cos + + , (1, 0, 1)
Solucin:
45. = 3 2, =
Solucin:
46. = + , =
Solucin:
47. = 2 2 + 3, = 1
Solucin:
4
48. = 2 + , =1
Solucin:
49. = cos 2 , = 2
Solucin:
50. = 3 , =0
Solucin:
51. = 2 2 , =0
Solucin:
3
52. = 16 2 , =0
4
Solucin:
53. = 3 , =2
Solucin:
54. = , = 1, 2
Solucin:
55. () =
Solucin:
56. () = 4 2 /( 2 + 3)
Solucin:
En los ejercicios 57 a 60, usar una herramienta de graficacin para representar la funcin.
En la misma pantalla, representar el crculo de curvatura de la grfica en el valor dado de .
1
57. = + , =1
Solucin:
58. = ln , =1
Solucin:
59. = , =0
Solucin:
1
60. = 3 , =1
3
Solucin:
61. : = , = 1 cos
: = + , = cos 1
Solucin:
62. : = 3 cos , = 2
5 5
: = 3 , = 3
3 2
Solucin:
63. = ( 1)2 + 3
Solucin:
64. = 3
Solucin:
65. = 2/3
Solucin:
1
66. =
Solucin:
67. = ln
Solucin:
68. =
Solucin:
69. =
Solucin:
70. = cosh
Solucin:
En los ejercicios 71 a 74, hallar todos los puntos de la grfica de una funcin en los que la
curvatura es cero.
71. = 1 3
Solucin:
72. = ( 1)3 + 3
Solucin:
73. = cos
Solucin:
74. =
Solucin:
Desarrollo de conceptos
75. a) Dada la frmula para la longitud de arco de una curva suave en el espacio.
b) Dada las frmulas para la curvatura en el plano y en el espacio.
Solucin:
76. Describir la grfica de una funcin vectorial para la que la curvatura sea 0 en todos los valores
t de su dominio.
Solucin:
Para discusin
79. En la elipse dada por 2 + 4 2 = 4, mostrar que la curvatura es mayor en los puntos
terminales del eje mayor, y es menor en los puntos terminales del eje menor.
Solucin:
80. Investigacin Hallar todos los y tales que las dos curvas dadas por
1 = ( ) 2 =
+2
se corten en un solo punto y tengan una recta tangente comn y curvatura igual en ese punto.
Trazar una grfica para cada conjunto de valores de a y b.
Solucin:
81. Investigacin Considerar la funcin () = 4 2 .
a) Usar un sistema computacional para lgebra y encontrar la curvatura de la curva como
funcin de .
b) Usar el resultado del inciso a) para hallar los crculos de curvatura de la grfica de en = 0 y
= 1.Usar un sistema algebraico por computadora y representar grficamente la funcin y los dos
crculos de curvatura.
c) Representar grficamente la funcin () y compararla con la grfica de (). Por ejemplo, se
presentan los extremos de y en los mismos nmeros crticos? Explicar el razonamiento.
Solucin:
82. Investigacin La superficie de una copa se forma por revolucin de la grfica de la funcin
1
= 8/5 , 0 5
4
en torno al eje y. Las medidas se dan en centmetros.
84. Rapidez Cuanto menor es la curvatura en una curva de una carretera, mayor es la velocidad
a la que pueden ir los automviles. Suponer que la velocidad mxima en una curva es
inversamente proporcional a la raz cuadrada de la curvatura. Un automvil que recorre la
1
trayectoria = 3 3 ( y medidos en millas) puede ir con seguridad a 30 millas por hora en
1 3 9
(1, ). Qu tan rpido puede ir en ( , )?
3 2 8
Solucin:
85. Sea una curva dada por = (). Sea la curvatura ( 0) en el punto (0 , 0 ) y sea
1 + (0 )2
=
()
Mostrar que las coordenadas (, ) del centro de curvatura en son (, ) = (0 (0 ), 0 +
)
Solucin:
86. Usar el resultado del ejercicio 85 para hallar el centro de curvatura de la curva en el punto
dado.
2 1
) = , (0, 1) ) = , (1, ) ) = 2 , (0, 0)
2 2
Solucin:
87. Se da una curva por medio de la ecuacin polar = (). Mostrar que la curvatura en el
punto es (, ) es
[2()2 + 2 ]
=
[()2 + 2 ]3/2
Sugerencia: Representar la curva por r() = + .]
Solucin:
88. Usar el resultado del ejercicio 87 para hallar la curvatura de cada una de las curvas polares.
) = 1 + ) = ) = ) =
Solucin:
89. Dada la curva polar = , > 0, hallar la curvatura y determinar el lmite de cuando a)
y b) .
Solucin:
90. Mostrar que la frmula para la curvatura de una curva polar = () dada en el ejercicio 87
se reduce a = 2/|| para la curvatura en el polo.
Solucin:
En los ejercicios 91 y 92, usar el resultado del ejercicio 90 para hallar la curvatura de la
curva rosa en el polo.
91. = 4 2
Solucin:
92. = 6 3
Solucin:
93. Para la curva suave dada por las ecuaciones paramtricas = () y = (), demostrar
que la curvatura est dada por
[ () () ()()]
= .
{[()]2 + [()]2 }3/2
Solucin:
94. Usar el resultado del ejercicio 93 para encontrar la curvatura de la curva representada por
1
ecuaciones paramtricas () = 3 y () = 2 2 . Usar una herramienta de graficacin para
representar y determinar toda asntota horizontal. Interpretar las asntotas en el contexto del
problema.
Solucin:
95. Usar el resultado del ejercicio 93 para encontrar la curvatura de la cicloide representada por
las ecuaciones paramtricas
() = ( ) () = (1 )
96. Usar el teorema 12.10 para encontrar y de cada una de las curvas dadas por las
funciones vectoriales.
1
) () = 3 2 + (3 3 ) ) () = + 2 + 2
2
Solucin:
98. Fuerza de rozamiento o de friccin Un vehculo de 6 400 libras viaja a 35 millas por hora en
una glorieta de 250 pies de radio. Cul es la fuerza de friccin o de rozamiento que debe ejercer
la superficie de la carretera en los neumticos para impedir que el vehculo salga de curso?
Solucin:
100. Usar la definicin de curvatura en el espacio = () = (), para verificar cada una
de las frmulas siguientes.
()
) =
()
() ()
) =
()3
. ()
) =
()2
Solucin:
Verdadero o falso? En los ejercicios 101 a 104, determinar si la declaracin es verdadera
o falsa. Si es falsa, explicar por qu o dar un ejemplo que demuestre que es falsa.
106. Usando la segunda ley del movimiento de Newton, = , y la segunda ley de la gravitacin
de Newton, = (/ 3 ), mostrar que a y r son paralelos, y que () () = es un vector
constante. Por tanto, () se mueve en un plano fijo, ortogonal a
Solucin:
108. Mostrar que = es un vector constante.
Solucin:
109. Demostrar la primera ley de Kepler: todo planeta describe una rbita elptica con el Sol como
uno de sus focos.
Solucin:
110. Suponer que la rbita elptica = /(1 + cos ) est en el plano , con a lo largo del
eje . Demostrar que = 2 /.
Solucin:
111. Demostrar la segunda ley de Kepler: todo rayo del Sol a un planeta barre reas iguales de la
elipse en tiempos iguales.
Solucin:
112. Demostrar la tercera ley de Kepler: el cuadrado del periodo de la rbita de un planeta es
proporcional al cubo de la distancia media entre el planeta y el Sol.
Solucin: