Aritmetica 1 7

CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO
UNIDAD
N 01
LGICA
Si entonces
si y slo si
APRENDIZAJES ESPERADOS
1.
2.
3.
4.
5.
Reconocer
enunciados,
proposiciones
y
conectivos lgicos.
Operar con proposiciones lgicas y construir
tablas de verdad.
Definir: tautologa, contradiccin y contingencias
Distinguir las leyes lgicas y las inferencias
lgicas.
Reconocer los tipos de cuantificadores.
En una proposicin compuesta predomina la de mayor potencia,

salvo que los signos de puntuacin o de agrupacin indiquen lo
contrario.
p : 13 7 20
q : 3! 3
r : x 7 12
PF;
CONECTIVO
PROPOSICIONAL
FUNDAMENTAL
No
y
o
(incluyentE)
oo
(excluyentE)
r : x IR , 2 x 8 23 , PS, PS cerrada
2. PROPOSICIONES COMPUESTAS (PC)
Son aquellas que poseen por lo menos una proposicin

simple y
un conectivo proposicional. Es comn identificar
una proposicin
compuesta con el smbolo que se le ha
asignado.
Ejemplo
2 x 8 3 7 , PC, PC abierta.
PVVD; Prop. Cerrada
EXPRESIN NO PROPOSICIONAL (ENP):

Es una frase que no es proposicin abierta o cerrada.
Se consideran como expresiones no proposicionales a las:
interrogaciones, exclamaciones, emociones, sentimientos,
rdenes, directivas, etc.
Ejemplo
Vamos!
Detngase ah
Te amo ENP, es un sentimiento
CONECTIVOS PROPOSICIONALES (CP):
Son trminos que se usan para relacionar una o ms
proposiciones:
SMBOLO
REGLAS
Es el ms dbil de todos
Tienen igual potencia
entre si, pero son ms
potentes que . Para
indicar el conectivo
dominante (CD) de una
proposicin compuesta
se recurre al uso de los
1. PROPOSICIONES SIMPLES (PS)
q : 3x 7 5 , PS, PS abierta.
PV; PVVD; Prop. Cerrada

Prop. Abierta; PVVND
CLASES DE PROPOSICIONES
Son aquellas que no poseen conectivos proposicionales.

Se simbolizan mediante letras minsculas o letras
minsculas con subndices.
El valor de verdad de las proposiciones simples no lo
determina la lgica sino las ciencias particulares, o los
hechos, o las circunstancias con las cuales estn
relacionadas.
Ejemplos
p : La vista es el rgano de la visin, PS, PSF, PS cerrada.
DEFINICIN:
Es una ciencia formal que trata de las leyes, modos y formas
del raciocinio humano. Establece si la conclusin es
consecuencia de las premisas, es decir, si es vlida una
inferencia.
PROPOSICIN (P):
Es una oracin aseverativa, declarativa completa con un
significado definido de la cual puede decirse si es verdadera
(V) o falsa (F), por lo que se le llama proposicin cerrada, en
caso contrario, se le llama proposicin abierta, la que se
convierte en cerrada cuando los elementos arbitrarios o
variables se sustituyen por elementos definidos o cuando es
cuantificable. Los valores de verdad de una proposicin son:
Verdadero (V) y Falso (F).
Ejemplo
signos de puntuacin o
agrupacin. Deben
usarse el menor nmero
de signos de puntuacin
o de agrupacin
Son igualmente potentes
entre si, pero son ms
potentes que los
anteriores, vale aqu la
indicacin anterior.
4 2 3! 6 , PC, PCV, PC cerrada.

TABLAS DE VALORES DE VERDAD (TVV)
Es un diagrama en el que se presenta y visualizan el valor de
verdad de una PC cerrada, o las posibilidades de valor de
verdad de una PC abierta; en el cual, el:
N de columnas = N de PS (cerradas o abiertas)
N de filas = 2 n N de PS abiertas
n
n
n
Valores verdaderos y
falsos.
2
2
TIPOS
DE
PROPOSICIONES
COMPUESTAS
ELEMENTALES:
Se llaman elementales a las que poseen a lo ms 2 PS y un
CP
p
V
F
NEGACIN
~ p
F
V
CEPU - UNICA
UNIVERSIDAD NACIONAL San Luis Gonzaga

SILOGISMO HIPOTTICO (SH)
PS
p
V
V
F
F
V
F
V
F
CONDICIONAL
BICONDICIONAL
p q
p q
V
F
V
V
p q : o p o q; p o q pero no ambas
p q : Si p entonces q; p es condicin necesaria para q.
Donde: p es el antecedente y q es el consecuente
p q : p si y slo si q; p es condicin necesaria y suficiente

para q.
CLASES
DE
PROPOSICIONES
COMPUESTAS
ABIERTAS:
Una proposicin abierta es una:
Tautologa (T)
Si y slo si en su TVV, todos los valores de verdad del
conectivo dominante son V.
Contradiccin (C)
conectivo dominante son F.
Contingencia
conectivo dominante hay por lo menos una V y una F.
IMPLICACIN (I)
(P implica Q)
(PQ es una tautologA), lo que se
denota con
Ejemplo
P Q .
P:p qr
PQ.
Si
Q : p q p r entonces
NO IMPLICACIN
(P no implica Q) ( P Q no es una tautologA), lo que se
denota con P
Q.
IMPLICACIONES NOTABLES (IN)

MODUS PONENDO PONENS (MPP):
p q p q
MODUS TOLLENDO TOLLENS (MTT):
p q ~ q ~ p
MODUS TOLLENDO PONENS (MTP)
p q ~ p q
p q ~ q p
SIMPLIFICACIN (s)
pqp
pqq
2
PS
V
F
F
V
Se leen:
~ p : no p; es falso que p; no es cierto que p, no es verdad
que p.
p q : p y q; p a la vez q; p pero q; p sin embargo q; p
aunque q;
p no obstante q;
p q : p o q; p y/o q
p q q r p r
CICLO II 2016
CONJUNCIN
V
V
F
F
V
F
V
F
p q
V
F
F
F
DISYUNCIN
INCLUSIVA
DISYUNCIN
EXCLUSIVA
V
V
V
F
F
V
V
F
p q
p q
INFERENCIA
Definicin:
Es una estructura de proposiciones en donde a partir de una o
ms proposiciones llamadas premisas se obtiene otra que es la
conclusin, haciendo uso de las IN y de las EN.
Ejemplos
1. 4 9 9 17 4 17
2. Todas las mujeres son mortales. Maritza es mujer. Por lo
tanto, Maritza es mortal.
EQUIVALENCIA (E)
(P es equivalente a Q) ( P Q es una tautologA), lo que se
denota con P Q .
NO EQUIVALENCIA
(P no equivalente a Q) ( P Q no es una tautologA), lo que
se denota con P
Q .
EQUIVALENCIAS NOTABLES (EN)
Doble Negacin ( DN ):
p p
p p
Idempotencia ( Idem ):
p p p
p p p
Conmutatividad ( Conm ):
p q q p
p q q p
Asociativa ( Asoc ) :
p q r p (q r) (p q) r
p q r p (q r) (p q) r
Distributividad ( D ):
p (q r) (p q) (p r)
p (q r) (p q) (p r)
De Morgan ( DM ):
(p q) p q
(p q) p q
Condicional ( Cond ):
p q ( p q) (p q) ( q p)
Bicondicional ( B ):
p q (p q) (q p) ( p q) ( q p)
(p q) ( p q)
De Absorcin ( Abs ):
p (p q) p
p ( p q) p q
p (p q) p
p ( p q) p q
De La Disyuncin Exclusiva ( DE ):
p q (p q) (p q) (p q) (p q)
De La Complementacin ( Comp ):
p p T
p p C
T C
C T
De La Identidad ( I ):
pTp
pCC
pTT
pCp
LEYES LGICAS
Son las I N y las EN.
Para todo se verifica , y se le simboliza por .

Cuantificador existencial:
Se denomina as a la expresin:
Existe al menos un tal que se
verifica , y se le
simboliza por
Variante del Cuantificador Existencial
Existe un nico tal que se verifica y se simboliza por
CUANTIFICACIONES:
A partir de las proposiciones abiertas se pueden obtener
proposiciones cerradas, por ejemplo, mediante el proceso de
cuantificacin, es decir, usando cuantificadores.
Cuantificacin Universal en la variable x:
Se denomina as a la expresin: Para todo x se verifica p
1. Al simplificar:
A) p
B)
E)
pq
(x), y se le simboliza por x : p (x).

Cuantificacin Existencial en la variable x:
Se denomina as a la expresin: Existe al menos un x tal
que se verifica p (x), y se le simboliza por x / p (x).
Variante de la Cuantificacin Existencial en la variable x:
Se denomina as a la expresin: Existe un nico x tal que
se verifica p(x) y se le simboliza por:
! x / p x
x : p(x) x / p(x)
x / p(x) x : p(x)
Negacin de Cuantificaciones:
VALOR DE VERDAD DE LAS CUANTIFICACIONES:

A) Una cuantificacin universal es V si y solo si son V todas las
proposiciones particulares asociadas a la proposicin abierta
que forma parte de ella.
B) Una cuantificacin existencial es V si y solo si es V alguna de
las proposiciones particulares asociadas a la proposicin
abierta que forma parte de ella.
(~ p q) q , se obtiene:
~q
C) p q
D) p ~ q
p1 : La suma de los ngulos internos
2. Si:
TRANSFORMACIN
Y
SIMPLIFICACIN
DE
PROPOSICIONES
Transformar una proposicin es convertirla en otra
equivalente ms sencilla, de ser posible.
Simplificar una proposicin es transformarla en otra
equivalente que posea el menor nmero de proposiciones
simples y de conectivos proposicionales, haciendo uso de la
EN.
CUANTIFICADORES:
Cuantificador Universal:
PREGUNTAS PROPUESTAS N 1
de un octgono es
1080 0 .
p 2 : El valor aproximado de un radian es
57 0 14 ' 44,81" .
p3 : ( p q) ~ q ~ p
p4 : 1 1 1 . . .
1 2
23
3 4
1
n
,
n(n 1) n 1
Entonces el nmero de proposiciones falsas, es:

A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
3. El smbolo que corresponde a una tautologa, es:
A)
B)
C)
D)
4. E nmero de valores verdaderos que posee el

conectivo dominante de la proposicin abierta
( p ~ q ) r , es:
A) 0
5. Si:
p : !
q : !
B) 3
C) 4
D) 6
E)
E) 5
x3 9x2 , x Z
solucin x para
x N / x2 9
y las proposiciones abiertas r y t , entonces el
solucin
nmero de valores falsos que posee el conectivo

dominante de la proposicin
(~ p ~ r ) (~ q t ) , es:
A) 0
B) 1
6. Si la proposicin
V
V
F
F
C) 2
pq
q
V
F
V
F
D) 3
est definida por la TVV:
pq
F
V
F
F
Entonces le corresponde la proposicin:

A) ~ p ~ q
B) p ~ q
C)
D)
pq
E)
E) 4
~ ( p q)
CEPU - UNICA
~ pq

7. Se dan 2 cuadrados mgicos
8
1
6
3
El valor de E
A) 7
B) 18
Entonces el nmero de proposiciones verdaderas,

es:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
23
x 13 , es:
C) 13
D) 21
E) 3
9. Si:
p : 4 es el logaritmo en base 3 de 81
q : x es menor que 27.
Entonces el smbolo de la proposicin o de su

equivalente:
Si 4 no es el logaritmo de 81 en base 3 entonces x
no es menor que 27, es:
A) p ~ q
B) ~ p q
C) p ~ q
~ p~q
E)
~ ( p q)
10. Si la PVVD: (~ r p) (~ t
entonces el valor de verdad de:
I. (~ p t ) q
~ q)
es falsa,
(~ q p) (r t )
III. [( p ~ q ) q] ~ r
en el orden dado, es:

A) FVV
B) FFF
C) VVV
D) VFV
E) VFF
11. Si:
p : 6352(8) 4763(8) 1367(8)
y las proposiciones abiertas
r y t , entonces el
conectivo dominante de la proposicin
( p ~ r ) (~ q t ) , en su TVV, posee:
A) 4 V
E) 4 F
B) 3V y 1 F
13. El valor de verdad de cada una de las proposiciones

siguientes:
p1 : 7 11 o 5 3
p 2 : Si: 5! 120 , entonces 0! 1
1
1
3
0
p3 : sen 2 (2100 )
y cos (120 )
4
8
17
p 4 : o log 4 (32) 2,5 o 0,25(6)
36
en el orden dado, es:

A) FFFF
B) FFFV
D) VVVV
E) VVVF
C) 2V y 2F
D) 1 V y 3 F
(~ p q) p ~ r (r V ) , V ,
15. Al simplificar la proposicin abierta:

verdadero, se obtiene
A) ~ p
B) q
pr
CICLO II 2016
E)
16. Si la proposicin:
C)
~q r
~ (~ p ~ r ) q (r ~ t , es verdadera,
entonces los valores de verdad de p;q;r;t, en el
orden dado, es
A) VVVV
B) FVVV
C) FFVV
D) VFFV
E) FFVF
p; q; r son PVVND entonces al simplificar:

p ~ (~ p q) (~ p ~ r ) ~ p, se
17. Si:
obtiene
A) ~ p
D)
~r
B)
E)
q
~ p r
18. Si p y q son PVVND y

se concluye:
A) p q
B)
E) ~ p
C) FFVV
14. Al preguntrsele a Maruja por su edad dijo Anteayer

tena 29 aos y el ao prximo tendr 32 aos, el
da del cumpleaos de Maruja y el da en el que hizo
esta curiosa afirmacin, es:
A) 30; 01
B) 29; 01
C) 28; 02
D) 31; 02
E) 31; 01
D)
II.
q : 456(7) 237
p 2 : La vista es un rgano de la visin.

p3 : La inversa aditiva de 8
p 4 : Paisaje hermoso.
8. La negacin de la afirmacin: Alguna planta no es

rbol, es:
A) Alguna planta es rbol
B) Ninguna planta es rbol
C) Toda planta es rbol
D) Toda planta no es rbol
E) Alguna planta no es rbol
D)
p1 : 87 (9) 143(7)
12. Si:
C)
pr
(~ p ~ q) q
C)
~q
D)
entonces
p ~q

19. Sean las premisas:
p1 : Si estudian entonces las aulas estn llenas.

p 2 : Las aulas no estn llenas.
Se deduce que:
A) Estudian
B) No estudian
C) Las aulas estn llenas
D) Las aulas no estn llenas
E) Estudian y las aulas no estn llenas
20. Al determinar el valor de verdad de cada una de las

proposiciones siguientes:
p : No es verdad que, 8 8 17 si y solo si
6 6 1
q : Es falso que 4! 24
log 5 (625) 4 .
r : Madrid est en Italia o Roma est en Espaa.

t : Es imposible que sen(300 ) 1 y no es el caso
3
que 4 32 .
En el orden dado, se obtiene que:
A) FFFV
B) FFFF
C) VFFF
D) VFFV
E) FFVV
UNIDAD
N 02
TEORA DE CONJUNTO
Conjunto: Es un trmino no definido, porque es un concepto de

primer orden.
Los conjuntos se simbolizan con letras maysculas o letras
maysculas con subndices.
Los elementos del conjunto se escriben entre llaves y separados
por puntos y comas.
Ejemplos
A = { -12 ; -3 ; 0 ; 4 ; 7 } y n(A) = 5 = nmero de elementos de A
B = { x / x2 4 = 0 } = { 2 ; 2 }
DETERMINACIN DE CONJUNTOS:
Por Extensin:
Cuando es posible dar una lista explcita de todos sus
elementos.
Ejemplo
A 2; 4; 6 n( A ) 3
Por Comprensin:
Cuando es posible enunciar una propiedad P (Relacin de
definicin) que caracterice a sus elementos y que lo
denotamos con:
A x U / P( x ) , donde:
U es el conjunto universal; P(x) es la relacin de definicin, y
que se lee: A es el conjunto de los objetos x de U, tales que,
dichos x cumplen la propiedad P.
Ejemplo
A x / x 7 13 6
B x / x 64 0 8 ; 8
2
CONJUNTOS ESPECIALES
Conjunto Vaco: Es el que carece de elementos. Se le
simboliza por { } o por , y
n 0
Conjunto Unitario: Es el que consta de un solo

elemento.
Conjunto Finito: Es el que consta de n elementos
diferentes y n
Conjunto Infinito:
Es el que no es finito.
Conjunto Universal (U): Es el conjunto formado por
todos los elementos de la teora en discusin.
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
Dados los conjuntos A, B y C, se tiene:
Inclusin ( )
A B x : x A x B , se lee: A est incluido en

B, A est contenido en B; A es subconjunto de B.
n ( X A) 2
Propiedades
1.
n ( A)
A : A
n ( X A X ) 2 n ( A) 1
2. A : A A
3. ABC : A B B C A C
No Inclusin ( )
A B x / x A x B
Disjunto (disj)
A disj B
x : x A x B
CEPU - UNICA

X P ( A) X A Equivalentemente X P(A) X A
Sub Conjunto Propio (Sp)
A sp B A B B A
P.1. A : P( A )
P.2. A : A P( A )
Comparabilidad (Comp)
A comp B A B B A
No Comparabilidad (Comp)
A comp B
P.3. A: n( P( A)) 2
P.5. A B : A B P ( A) P ( B )
A : A A
P.2. AB : A B B A
P.3. ABC : A B B C A C
x (A B) x A xB
Si A comp B:
.y B
A
.x
A sp B ; A B
A=B
Diagramas Lineales
Permiten visualizar algunas relaciones entre conjuntos
enlazndolos mediante segmentos de recta (verticales u
oblicuos).
Ejemplo
B
A
A B
A = B
Diagrama de:
Carrol Lewis
Veitch:
OPERACIONES CON CONJUNTOS
POTENCIACIN: P( A ) x / x A , donde:
CICLO II 2016
A B A
A B
A B
SUSTRACCIN O RESTA:
SUSTRACCIN SIMTRICA:
COMPLEMENTACIN:
A B x / x A x B
A B x / x A x B
x / ( x A x B ( x
A x B
Ac
A B A B
Si AcompB:
AB
Diagramas de Venn
Son regiones planas limitadas por lneas geomtricas
cerradas de forma triangular, rectangular, circular, elptica,
etc.
Ejemplo
DIAGRAMAS
INTERSECCIN: A B x / x A x B , donde
No Igualdad ( )
ABAB BA
.x
REUNIN O UNIN: A B x/x A x B

donde: x ( A B ) x A x B
P.1.
n( X A )
P.4. A B : A B P ( A) P ( B )
A B B A
Igualdad ( = )
A = B AB BA x : x A x B
P.1. A :
n( A)
COMPLEMENTACIN RELATIVA:
A B A x / x B x A
.x B
.
y A
COMPLEMENTACIN
ABSOLUTA:
A U A x / x U x U
c
A A '
.y
.x
Ac
Ac
Total
Bc
Total

ALGEBRA DE CONJUNTOS
Propiedades. De la Identidad
A A
A
K.7. A B ( A B ) ( A B )
A U U
A U A
b.2. A A A
De la Complementacin
c
c.1. A A U
c.2. A A
De la Conmutatividad
d.1. A B B A
K.5. A ( B C ) ( A B ) ( A C )
k.6. A B ( A B ) ( B A )
De la Idempotencia
b.1. AUA A
c
c.3. A
k.4. A B C A ( B C ) ( A B ) C
d.2. A B B A
De la Asociatividad
e.1. A B C A (B C ) ( A B ) C
e.2. A B C A (B C ) ( A B ) C
NMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO

P.1. A B : A B n( A B ) n( A )
P.2.
A B : A B
n(A B) n(A ) n(A B)
P.3. A B C : A ( B C ) ( A B) ( A C )
P.4. A B C : A ( B C ) ( A B) ( A C )
P.5
. A B C : A B C
n ( A B C ) n ( A ) n ( B ) n (C )
P.6. A B C : A B C
n(A B C) n(A) n(B) n(C)

n(A B) n(A C) n(B C) n(A B C)
P.7. n P( A B) 2
n ( A B)
nP( A) P( B)
De la Distributividad
f.1. A ( B C ) ( A B ) ( A C )
f.2. A ( B C ) ( A B ) ( A C )
De De Morgan
c
c
c
g.1. ( A B ) A B
c
c
c
g.2. ( A B ) A B
Absorcin:
h.1. A ( A B ) A
c
h.2. A ( A B ) A B
h.3. A ( A B ) A
c
h.4. A ( A B ) A B
Sustraccin
c
i.1. A B A B ( A B ) B
i.2. A A
i.3. A ( B C ) ( A B ) ( A C )
i.4. A ( B C ) ( A B ) ( A C )
i.5. A ( B C ) ( A B ) ( A C )
i.6. A A
i.7. A U
i.8.
i.9.
Conjunto Potencia
j.1. P ( A B ) P ( A ) P (B )
j.2. P ( A B ) P ( A ) P (B )
Diferencia Simtrica
k.1. A A
k.2. A A
k.3. A B B A
CEPU - UNICA

5.
3. En el centro de cmputo del CEPU-UNICA, se deci de

analizar las siguientes coincidencias:
El nmero de personas que aprob solo el primer
examen es igual al nmero de personas que aprob el
segundo y tercer examen.
El nmero de personas que aprob solo el segundo
primer y tercer examen.
El nmero de personas que aprob solo el tercer
primer y segundo examen.
El nmero de personas que aprob solo 2 exmenes
es igual al triple de los que aprobaron los 3 exmenes
y para ingresar basta con aprobar 2 de los exmenes.
Si el 16% de los postulantes no aprobaron examen
alguno; entonces el porcentaje del total de postulantes
que fueron admitidos, son:
A) 24% B) 25,2% C) 33,6%
D)43,5% E) 48%
4. Las fichas de datos personales llenados por 74
estudiantes que ingresaron a la UNICA, arrojaron los
siguientes resultados:
20 estudiantes son de Lima.
49 se prepararon en academia.
27 postularon por primera vez.
13 de Lima se prepararon en academia.
17 postularon por primera vez y se prepararon en
academia.
7 de Lima postularon por primera vez
8 de provincia que no se prepararon en academia
postularon por primera vez.
Cuntos alumnos de lima que se prepararon en
academia postularon por primera vez?
Cuntos alumnos de provincia que no se prepararon
en academia postularon ms de una vez?
A) 5 y 12 B) 5 y 10 C) 3 y 10
D)4 y 10 E) 4 y 12
CICLO II 2016
los
conjuntos:
C x IN 20 x 4000
x
A x IN 30 x! 50000 ;
B x IN 5 2 x 300 ;
y las proposiciones:
A C C ; A C B
B C C ; A B A
A BC
Entonces el nmero de proposiciones correctas, son:
A) 2
B) 3
C) 5
D) 1
E) 4
La cantidad de subconjuntos propios que tiene el
2
3x 8x 5
conjunto A xIN
IN 3 x 10 es:
x
A) 63
B) 15
C) 31
D) 7
E) 127
2. Se hizo una encuesta entre 170 personas para ver la
preferencia entre partidos polticos: A y B del centro, C
de derecha y D de izquierda con los siguientes
resultados: 10 no simpatizan con partido alguno, 32
solo con D, 22 solo con A, 20 solo con B y 20 solo con
C, 20 con A y D pero no con B; 6 solo con B y C; 4
solo con A y C; 24 con B y D y 28 con A y B. Si
ninguno que simpatiza con la derecha simpatiza con
la izquierda; entonces los que simpatizan con A, B y
D, es:
A) 8
B) 12
C) 16
D) 20
E) 24
Sean
6.
4x 2
M xIR
0
y
2x
2
N x Q 4x 2 0 ; entonces el conjunto M N ,
Sean
los
es:
conjuntos:
A) xQ x
2
D) 1; 1; 2
B) 1;
2
E) xQ 1 x
2
1
C)
2
7. De un grupo de 100 seoritas: 10 son solamente

flaquitas, 12 solamente morenas, 15 son solamente
altas. Si 8 tienen por lo menos 2 de estas
caractersticas; entonces el nmero de seoritas del
grupo que no tienen ninguna de las tres
caractersticas, son:
A) 50
B) 51
C) 55
D) Ms de 60
E) Menos de 40
2
8. Sean A a 9 ; b c 5 y
2
2
B 1; 6a; a b 7 donde A y B son conjuntos
iguales. Si a, b y c son nmeros enteros y k = a + b

+ c; entonces la suma de todos los valores de k, es:
A) -15
B) -14
C) 7
D) 1
E) 8
2
2
9. Sean los conjuntos F a 2b; b 1 y G . Si
F G a 4b; b 1 3a es un conjunto unitario y

a, b Q entonces el conjunto F G , es:
A)
B) 0
C) 10 D) 1
E) 1
10. Si A B C y A B C ; entonces al simplificar:

A B C B A B C A C se obtiene:
A)
B) A
C) B
D) C
E) U
11. El total de jugadores de un club deportivo es de 68. Si
hay 48 jugadores de futbol, 25 de bsquet y 30 de
vley y en los 3 deportes destacan 6 de ellos;
entonces la cantidad de jugadores que se dedican a
un solo deporte, es:
A) 25
B) 39
C) 42
D) 50
E) 65

12. En un mnibus viajan 30 pasajeros entre peruanos y
extranjeros. Si hay 9 del sexo femenino extranjero, 6
nios extranjeros, 8 extranjeros del sexo masculino,
10 nios, 4 nias extranjeras, 8 seoras y 7 seores;
entonces la cantidad de nias peruanas que hay en el
autobs, es:
A) 2
B) 3
C) 4
D) 1
E) 5
A B A B A B ;
13. Si A U ,
BU y
entonces los valores de verdad de las siguientes
proposiciones:
I) B AI
II) A A - B
IV) A B
es:
A) VVVVV
D) VFVFV
14. Si
III) B B A
V) A B A B I , en ese orden,
B) VVVFF
E) FFFFF
m 1
19. Si: E n Z 1 n 9 ; A mE
es par
3
12
B pE
Z entonces nPA B , es:
p
A) 32
B) 64
C) 16
D) 8
E) 4
20. Si A, B y C son conjunto no comparables y no

disjuntos;
entonces
al
simplificar
A B C A A B A C , se obtiene:
A) A B C
B) A B
C) A B C
D) B C
E) B
C) VVFFV
nA 15 ; nB 32 y nA - B 8 ; entonces el
valor de nA B n AI BI es:
A) 36
B) 37
C) 51
D) 58
E) 59
15. De un grupo de 62, atletas, 25 lanzan bala, 36 lanzan

jabalina y 30 lanzan disco, 3 tres lanzan los tres. Si 10
lanzan jabalina y disco, 15 disco y bala, 7 lanzan bala
y jabalina; entonces los que no lanzan jabalina ni
disco, son:
A) 4
B)6
C) 7
D) 5
E) 3
16. Los conjuntos A a 2 2a; b 3 b y B 2a;15 son

iguales. Si a y b son nmeros naturales; entonces el
valor de A B , es:
A) 8
B) 15
C) 9
D) 12
E) 6
17. En una encuesta realizada a 190 personas sobre la

preferencia de leer las revistas A y B, el resultado fue
el siguiente:
1
El nmero de personas que le gusta A y B es
de
4
los hombres que solo les gusta A y la mitad de las
mujeres que solo les gusta A.
2
El nmero de hombres que solo le gusta B es
del
3
nmero de mujeres que solo les gusta B.
Si los que leen A son 105 y los que leen B son 70,
entonces el nmero de personas que no leen ni A ni
B, es:
A) 30
B) 32
C) 36
D) 38
E) 40
18. A un matrimonio asistieron 150 personas. De los
hombres: 23 no usan reloj pero si tienen terno; y 42
tiene reloj. De las mujeres: las que no usan minifalda
son tantas como los hombres que no usan terno ni
reloj y 8 tienen minifalda y reloj. Si el nmero de
hombres es el doble del nmero de mujeres; entonces
el nmero de mujeres que usan minifalda, pero no
reloj, es:
A) 7
B) 6
C) 8
D) 5
E) 9
CEPU - UNICA
UNIDAD
N 03
NUMERACIN
Es la parte de la Aritmtica que se encarga de estudiar a los

nmeros en su formacin, escritura y lectura para lo cual el
hombre ha ideado los sistemas de numeraciones, el cual es un
conjunto de reglas, principios y convenios, que sirven para
formar a los nmeros y operar con ellos.
NMERO:
Es un ente matemtico que nos permite cuantificar los elementos
de la naturaleza, el cual nos da la idea de cantidad, su
representacin grfica geomtrica es un nmero. Actualmente se
usa el sistema de escritura Indo Arbico.
Ejemplo:
5 = cinco = five =
PRINCIPALES PRINCIPIOS DEL SISTEMA POSICIONAL DE

NUMERACION
Principio del Orden
Toda cifra de un nmero posee un orden, el cual se lee de
derecha a izquierda, enumerndoseles empezando del orden
uno.
No debemos confundir el ORDEN con el LUGAR que ocupa la
cifra. Al indicar lugar nos referimos a su ubicacin
enumerndolas de izquierda a derecha, empezando del primer
lugar.
Ejemplo:
En el siguiente numeral 5847, se observa:
Cuatro
1er
ORDEN
tres
dos
uno
2do
3er
LUGAR
4to
Ejemplo:
Representar 21 unidades simples:
Base 8
10
Base 3
CICLO II 2016
41
210
(5)
(3)
De donde, afirmamos que:
En una igualdad de dos numeros, a mayor numero aparente le

corresponde menor base y viceversa.
PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACION
Por convencin, cuando la cifra es mayor que 9 se utilizan letras
griegas para su representacin:
= 10 ; = 11 ; = 12 ; = 13; . . . . .
2(10 )3(11)
Ejemplo:
Base
Nombre
(13 )
23
(13 )
Cifras Dgitos Guarismos
Binario
0; 1
Cuaternario
0; 1; 2; 3
Senario
0; 1; 2; 3; 4; 5
3
5
6
7
8
9
10
11
Ternario
Quinario
Heptanario
0; 1; 2
0; 1; 2; 3; 4
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6
Octonario
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7
Dcuplo
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9
Duodedimal
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; (10);
(11)
Nonario
Undecimal
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; (10)
Mxima
La base tambin nos indica el nmero de smbolos (llamados

cifras), con que cuenta el sistema para poder formar los nmeros
en ella.
Base 5
(8)
Toda cifra que forma parte de un nmero es un nmero entero

menor que la base. As en el sistema de base n, se pueden
utilizar n cifras diferentes las cuales son:
21 =
21 25
Luego:
(3)
Observacin:
Se denomina Base de un Sistema de Numeracin, a todo

nmero entero positivo mayor que uno, la cual nos indica la
cantidad de unidades mnimas necesarias de un cierto orden
para poder formar una unidad del orden inmediato superior.
21
21 = 210
( 5)
12
- La cifra 4 es de orden dos y ocupa el 3er lugar.

- La cifra 8 es de orden tres y ocupa el 2do lugar.
Principio de la Base
Base 10
21 = 41
25(8)
0; 1; 2; 3; 4; . . . . . . .; (n-1)
Significativas
Conclusin:
Cifra < Base
Representacin literal de los numeros
Cuando no se conocen las cifras del nmero stos se pueden

representar mediante letras.
ab 10; 11; 12; 13;......... 99
xyzw 7 1000 7 ; 10017 ; 1002 7 ;.............6666 7
mnp 9 100 9 ; 1019 ; 102 9 ;................8889
Numeros Capica:
Son aquellos en las cuales las cifras equidistantes son iguales:
aa
; aba ; abba 7 ; abcba 9 ; abccba 5
Valor Absoluto y Valor Relativo de una cifra:
El valor absoluto de una cifra es el valor que tiene por su figura

que representa.

El valor relativo de una cifra es el valor absoluto con las unidades
de orden al cual pertenece.
VA = 1
abcdef
VR = 7.103
VA = 9
1
5 7 8 9 4
VR = 9.10
VA = 7
Descomposicin polinmica de un numero
La descomposicin polinmica de un numeral es la sumatoria de

los valores relativos de sus cifras.
La descomposicin polinmica nos permite hallar el equivalente
en el sistema decimal.
Ejemplos:
42 = 4.101 + 2
4232(5) = 4.53 + 2.52 + 3.51 + 2 = 567
*
*
(n)
abcd ( n ) .n 2 ef ( n )
(n)
(n)
ab ( n ) .n 4 cdef
Cambio de Bases:
Caso 1: de Base n a Base 10.
Procedimiento: Descomposicin polinmica
Ejemplo:
VR = 1.10
abcdef
4576(9) = 4.93 + 5.92 + 7.91 + 6 = 3390

*
Caso 2: de Base 10 a Base n
Procedimiento: Divisiones sucesivas.
Ejemplo:
Representar 867 en el sistema octonario.

867
3
278(9) = 2.92 + 7.91 + 8 = 233
27364(x) = 2x4 + 7x3 + 3x2 + 6x1 + 4

Casos Particulares
k cifras
N=
ab
a k .n
b ( a k 1)
a 1
6 2
0 3
110
(n)
Cada bloque se descompone polinmicamente y el resultado es

la cifra en la nueva base.
Ejemplo:
4 2
02
0
100
11
1.3 + 1
4
12
1.3 + 2
5
20
2.3 + 0
6
21
2.3 + 1
7
22
2.3 + 2
8
101112202122(3) = 345678(9)
5 2
12
0
5
2
101
3. Descomposicin polinmica por bloques

abcdef(n) ab(n) .n 4 cd (n) .n 2 ef (n)
abcdef
El nmero se descompone en bloques de k cifras a partir del

orden cero.
1.3 + 0
ab(n)
Como la nueva base es 9 = 32, cada bloque tiene que ser dos
cifras.
Si a = 1 entonces N = n + b . k
6
Procedimiento:
10
Expresar 101112202122(3) en el sistema de numeracin de base

9.
ab
k
veces
13
Primer caso: de Base n a Base nk, k N.
ab
Casos especiales de cambio de base:
nk 1
n 1
2. Para bases sucesivas:

- Si a 1 entonces
867 = 1543(8)
1. Cuando el numero tiene todas sus cifras iguales.
aaa ....... aaa ( n )
108
abc ( n ) .n 3 def
2 2
0 1
010
Segundo caso: de Base nk a Base n, kN.

Procedimiento:
- Cada cifra del nmero se convierte al sistema de base n
mediante las divisiones sucesivas.
- Cada conversin debe tener k cifras, de no ser as se
completa con ceros a su izquierda.
Ejemplo:
Expresar 6452(8) en el sistema de numeracin de base 2.
Resolucin:
Como 8 = 23, cada conversin debe tener tres cifras.
6452(8) = 110100101010(2)
(n)
CEPU - UNICA
11

PROPIEDADES ADICIONALES:
A) Numero expresado en bases sucesivas
a b c .......... x n
1a
1b
1c
abc(n) cba(n) xyz(n) x + z = n - 1 ; y = n-1
1x (n)
a .b . c .... k . n
b0
abc cba mnp m + p = 9 y n = 9

En general:
a0
TEOREMA
Si: a > b y
c0
Multiplicacin (x)
Es una operacin directa, en la cual para dos nmeros
llamados multiplicando y multiplicador, se obtiene un
tercer nmero llamado producto, el cual es igual a sumar
tantas veces el multiplicando como lo indique el
multiplicador.
a b a a a .... a P
k 0 ( n)
B) Nmero formado slo por cifras mximas.
( n 1)( n 1)( n 1)......( n 1) ( n ) n k 1
k cifras
CUATRO OPERACIONES
Se conoce con el nombre de cuatro operaciones a una parte de

la Aritmtica que comprende el estudio de las operaciones de
adicin, sustraccin, multiplicacin y divisin; en el conjunto
de los nmeros naturales y luego por extensin en el conjunto de
nmeros enteros.
Una operacin aritmtica ser:
Directa o de composicin: cuando sealados dos nmeros
cualesquiera, se obtiene un tercer nmero como nico
resultado de dicha operacin.
Inversa o de descomposicin; cuando conocido el resultado
de una operacin directa y uno de los nmeros que intervino
en dicha operacin, se halla el otro nmero.
Adicin (+)
Es una operacin directa, en la cual para dos nmeros
cualesquiera llamados sumandos, se obtiene un tercer
nmero llamado suma o suma total.
a+b=S
Donde:
*a y b : Sumandos
*S
: Suma
Sustraccin (-)
Es una operacin inversa a la adicin en la cual para dos
nmeros llamados minuendo y sustraendo se obtiene un
tercer nmero llamado diferencia tal que si:
Donde:
M-S=D
* M : Minuendo
* S : Sustraendo
* D : Diferencia
12
CICLO II 2016
" b" sumandos
Donde:
* a : Multiplicando
* b : Multiplicador
* P : Producto
Observaciones:
Una multiplicacin se considera como una adicin abreviada,
donde los trminos: multiplicando y multiplicador, son llamados
factores.
Algoritmo de la Multiplicacin:
2 7 3
5 8
2 1 8 4
1 3 6 5
1 5 8 3 4
producto
parcial
producto
parcial
suma de
productos parciales
Divisin ()
Es una operacin inversa a la multiplicacin, en la cual, para
dos nmeros llamados dividendo y divisor (este ltimo
diferente de cero), se encuentra un tercer nmero llamado
cociente, de
modo que el producto del divisor y el
cociente sea el dividendo.
Dd=q
S+D=M
Donde:
* D : Dividendo
* d : divisor (d 0)
* q : cociente
D= d x q

En conclusin:
Cuatro
Operaciones
Aritmtica
Directas
Inversas
* Adicin (+)
*Multiplicacin (.)
* Sustraccin (-)
* Divisin ()
COMPLEMENTO ARITMETICO (C.A.)

Se llama as, a lo que le falta a un nmero para ser igual a la
unidad del orden inmediato superior.
Representacin:
Sea:
(n )
un nmero de k cifras, entonces:
C . A. N ( n ) n
N(n)
Ejemplos:
3
Mtodo Prctico:
A la primera cifra significativa de menor orden,
se le resta de la base y a las dems cifras de la izquierda se le
resta de la mxima cifra de la base. Estas diferencias obtenidas
sern las cifras correspondientes en el C.A. del nmero. Si hay
ceros despus de la ltima cifra significativa, stos quedan en el
C.A.
C . A 999102346
) es mayor al dividendo. El nmero de unidades
que excede dicho producto al dividendo, es llamado residuo por

exceso re.
d q
D d qe. re
Propiedades de la Divisin Inexacta

1. 0 < Residuo < d
Residuo mnimo = 1
Residuo mximo = d 1
2.
r r d
e
q
q 1
ALGORITMO DE LA DIVISIN
* C. A.(1329 ) 9 1329 7579
exceso:
3.
* C.A (24) = 102 --- 24=76
Ejemplos:
Divisin Inexacta por Exceso

Cuando el producto del divisor por el cociente (cociente por
D d
D d qr
r q
Llamado Algoritmo de Euclides
= 7654
C.A 6 6 7145000(7) 5220007
DIVISION ENTERA
Es un caso particular de la divisin, en la que todos los trminos
son nmeros enteros. Donde conocido un nmero (Dividendo),
al ser dividido por otro (divisor) se obtenga un tercer nmero
(CocientE) tal que su producto con el divisor sea igual o se
acerque lo ms posible al dividendo.
I. Divisin Exacta
Se cumple que el dividendo es igual al producto del divisor por el
cociente.
Donde:
D, d, q Z
D = d q
d0
II. Divisin Inexacta

Es la divisin entera en la que el producto del divisor por el
cociente es diferente al dividendo.
Donde:
D, d, q Z
D=dq+r
d0;r0
Divisin Inexacta por Defecto

Cuando el producto del divisor por el cociente (cociente por
defecto: q) es menor al dividendo. El nmero de unidades que le
falta a dicho producto para ser igual al dividendo, se le llama
residuo por defecto (r).
dq<D D=dq + r
CEPU - UNICA
13

e)
1. Si expresamos ababab...(n) de 26 cifras en base n3 se

obtiene un nmero cuya primera y ltima cifra son 20
y 92 respectivamente; entonces el valor de a + b + n,
es:
a) 11
b) 12
c) 13
d) 10
e) 15
2. Si se cumple que (n - 2)(n 2 1)n (4n) 1a1(b) ; entonces
el valor de a + b + n, es:
a) 22
b) 24
c) 20
d) 18
e) 15
3. Si los nmeros 5a1(2a 1) ; (b 3)2(6) y (b a)12(8)
estn correctamente escrito; entonces el menor valor

de a + b, es:
a) 5
b) 10
c) 8
d) 7
e) 6
4. Si se cumple que 4aa(7) bc(2c)13 ; entonces el valor

de a + b + c, es:
a) 10
b) 7
c) 8
d) 9
e) 12
5. Si el mayor nmero de 3 cifras diferentes de base 12
se pasa a base 7 se obtiene un nmero, cuya suma
de cifras, es:
a) 16
b) 18
c) 21
d) 20
e) 24
6. Si se cumple que aa...aa
(7) xyz ; entonces la suma

" x" cifras
de los valores que toma a + x + y, es:

a) 15
b) 18
c) 21
d) 14
8. A un primer grupo de 20 personas se le dio 17 soles a

cada una, a un segundo grupo de 21 personas se les
dio 18 soles a cada una, a un tercer grupo de 22
personas se les dio 19 soles a cada una y as
sucesivamente. Si en total fueron 30 grupos; entonces
la cantidad total del dinero repartido, es:
a) s/ 37 073
b) s/ 37 063
c) s/ 36 063
d) s/ 36 073
e) s/ 37 003
9. La suma de los n primeros nmeros naturales, en
cuyas escrituras intervenga solo la cifra 4, es:
4
4
a)
10n 9n 10
b)
10n 9n 10
81
81
c)
4
10n 1 9n 10
81
14
CICLO II 2016
d)
4
10n 1 9n 10
81
10. La suma de los 50 trminos de la siguiente progresin

aritmtica: aa; ...; 2a0 , es:
a) 3 100
b) 4 100
c) 5 100
d) 6 100
e) 7 100
11. Si la suma de 77 nmeros consecutivos termina en 8;
entonces la cifra en que termina el mayor nmero, es:
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 5
12. Si al cubo de un nmero natural se resta el cuadrado
de dicho nmero se obtiene mn ; entonces la suma de
todos los mn posibles, es:
a) 55
b) 66
c) 77
d) 88
e) 99
13. La suma de las 20 ltimas cifras del producto

P 88...8(9) 88...8(9) 88...8(9) , es:
21 cifras
a) 132
20 cifras
b) 142
19 cifras
c) 152
d) 162
e) 172
14. Si 5xyz zywx 2579 ; entonces el valor de x + y +

w + z, es:
a) 16
b) 15
c) 14
d) 13
e) 12
15. Si CA xyzw aa (y 1)(w 1)00 y x + w =14;
entonces el valor de a + x + y + z + w, es:
a) 25
b) 35
c) 30
d) 20
e) 22
16. Si mnpq(7) 6666(7) ....4532(7) ; entonces el valor de
e) 16
7. Un nmero de la forma ab representa la edad de una

persona que an no alcanza la mayora de la edad. Si
en una base n (n < b) dicho nmero es capica;
entonces la suma la suma de todos los nmeros ab
que cumplen dicha condicin, es:
a) 15
b) 16
c) 31
d) 32
e) 48
4
10n-1 9n 10
81
m, es:
a) 6
b) 5
c) 4
d) 3
e) 2
17. La cantidad de nmeros enteros tal que al dividir entre

31; nos da un residuo (no nulo) igual al valor absoluto
del cociente, es:
a) 10
b) 15
c) 17
d) 30
e) 25
18. Si el dividendo en una divisin entera es un nmero
de 3 cifras, el divisor es el complemento aritmtico del
dividendo; el cociente es 65 y la razn aritmtica del
divisor y el resto es 5; entonces la suma de cifras del
dividendo, es:
a) 18
b) 19
c) 20
d) 21
e) 22
19. Una divisin natural inexacta tiene como cociente y
residuo a 397 y 21 respectivamente y al dividir dicho
cociente entre el divisor de la misma obtenemos otro
cociente y otro residuo, ambos de 2 cifras que
sumados dan 37. Si el cociente de esta ltima divisin
es un nmero par menor que 20 y el residuo contiene
a 5; entonces el dividendo de la divisin original, es:
a) 12 238
b) 12 328 c) 12 832
d) 12 130
e) 12 340

20. Las cifras de las unidades
del menor nmero
comprendido entre 600 y 700 tal que al dividirlos
entre cierto nmero da como residuo por defecto 17 y
residuo por exceso 12, es:
a)7
b)2
c)3
d)4
e)6
DIVISIBILIDAD-NMEROS
PRIMOS
UNIDAD
N 04
Preliminares
Definicin:
Parte de la teora de los nmeros que tiene por objeto
estudiar las condiciones que debe tener un nmero para que
sea divisible por otro.
Divisibilidad.Un nmero entero A es divisible por otro nmero entero
positivo B, si al dividir A por B el cociente es entero y el
residuo es igual a 0
Multiplicidad.Se dice que A es mltiplo de B divisible por B, cuando A
contiene a B, un nmero entero y exacto de veces.
o
Notacin: A B ; A Bk, k Z
Ejemplo : 1
39 13 por que 39 3 13 ; 54 6 por que 9 6 54

0
0 125 por que 0125 0

En general se tiene:
0
n nk
, nZ
; donde
Observaciones:
1. Cero es mltiplo de todos los nmeros enteros.
2. Por convencin el primer mltiplo de un nmero es el mismo
nmero.
3. No existen mltiplos de nmeros negativos.
4. Si existen mltiplos negativos
o
5. abcd (n) n d
Ejemplo : 2
13X 5(8) 8 5
Divisor
Se dice que un nmero B 0 es divisor del nmero A, cuando B
A
lo divide en forma entera y exacta. Esto es:
= n ; n Z .
B
PRINCIPIOS DE LA DIVISIBILIDAD
n
o
P .nnn n ;
1
n ; nZ
o
P4 n z z ; z Z
o
( n. z )
o o
P . n n n
P .n n n ;
o
o
P . n n ; k Z
5

0
n
P6. n k ; k ; n n. k
P7 .
N a ; N b; N c N mcm(a; b, c )
0
CEPU - UNICA
15

P8 .
Nmero divisible por diversos mdulos con igual residuo:

o
N a R ;N b R;N c R N mcm ( a;b; c ) R
P9. En
toda divisin entera inexacta el dividendo ser mltiplo
del divisor ms el residuo por defecto o mltiplo del divisor

menos el residuo por exceso:
o
o
D d r
10 .
; D d r
N M y M A .B N A N B
Principio de Arqumedes
11 .
Sean A y B dos nmeros enteros tal que A B n ; adems:

A no es mltiplo de n; A y n no tienen divisores comunes,
excepto 1,
o
Entonces B n
Ejemplo : 3
7x 13 x 13
10y 25 2y 5 y 5
GENERALIZACION DEL BINOMIO DE NEWTOM
P12 . (n b )m n bm , m Z
0
P13
(n a)(n b) n a b
Ao comercial (360 D) =
n
y/o 5 .
Divisibilidad por 3 y/o 9

Todo nmero ser divisible por 3 y/o 9 cuando la suma de sus
cifras da como resultado un mltiplo de 3 y/o 9, en caso contrario
nos determina el residuo de dividir dicho nmero entre 3 y/o 9.
Dado el nmero: N = abcdef
N9
N3
abc d e f 9
abc d e f 3
Ejemplo : 4
Dado el nmero: 12345674
Suma de sus cifras 32 9 5 r 5
N = 7 + {(2d + 3e + f) (2a + 3b + c)}
Ao bisiesto (366 D) = 7 2
7 3
; Todo ao bisiesto es 4
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Son reglas prcticas que nos permiten saber a priori cuando
un nmero es divisible por otro; en caso contrario nos
determina el residuo. Los principales son:
n
n
Divisibilidad por 2 y/o 5
CICLO II 2016

-2 -3 -1 2 3 1
Ejemplo: {1072; 1732; 1892; 2000; 2004}.
16
la suma o diferencia de ellos d como resultado un 7 , en caso

contrario nos determinar el residuo de dividir dicho nmero por
7.
Dado el nmero: N = a b c d e f
A B rd
AB
0
A B re
dicho nmero entre 2
Divisibilidad por 7
Todo nmero ser divisible por 7 cuando al multiplicar sus cifras
de derecha a izquierda por los coeficientes 1, 3, 2, -1, -3 y 2...
7 1 ;
nmero formado por sus n ltimas cifras sea divisible entre 2

n
y/o 5 , en caso contrario nos determina el residuo de dividir
P15 . Nmeros no divisibles
Ao civil (365 D) =
n
y/o 5 ; cuando el
* 2 7 5 4 8 6 9 ((9 + 8 + 5 + 2) (6 + 4 + 7)= 11 + 7
Tiene por residuo 7
0
m
n b , si m es par
0
P14 . (n b)m
0
n b m , si m es impar
P16 . Problemas con fechas
Divisibilidad por 11
Un nmero ser divisible por 11 cuando la diferencia entre la
suma de sus cifras de orden impar con la suma de sus cifras de
0
orden par da como resultado un 11 ; en caso contrario determina
el residuo de dividirlo entre 11.
Ejemplo : 5
0
bc d
e f N 11 ( f d b) ( e c a)
Sea N a
Todo nmero entero ser divisible entre 2
Ejemplo :
Para el nmero: N = 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8

-2 -3 -1 2 3 1
345678 =
7 {(12 +21 + 8)-(6 + 12 + 5) }

0
= 7 18 = 7 14 4 = 7 4 r 4
Todo nmero ser divisible por 13 cuando al multiplicar sus cifras
de derecha a izquierda por los coeficientes 1, -3, -4, -1, 3 y 4... la
0
suma o diferencia de ellas de como resultado un 13 ; en caso

contrario nos determinar el residuo de dividir dicho nmero por
13.

Dado el nmero:
La suma de divisores de N, se denota y se determina por:

p1
q1
r 1
N a b c d e f
4
S (N)
S(IN)=
El
13 18 13 13 5 13 5
0
13 8
r = 8
Divisibilidad por 33 99
Un nmero ser divisible por 33 99 cuando al separarles en
bloques de 2 cifras de derecha a izquierda y efectuar la suma
algebraica de dicha cifras se obtiene 33 99.
Sea el nmero
N =14 0 5 0 9 3 8
producto de
D (N )
los
divisores
de
est
dado
por:
Tambin:
D(N) = DP(N) + DNP(N)
D(N) = DP(N) + 1 + DC(N)
D(N) = DS(N) + DC(N)
Donde : DP : divisores primos ; DNP : divisores no primos
DC
: divisores compuestos ; DS : divisores simples
456789 13 (16 15 6 28 24 9)
0
S(N)
P(N) N
4 5 6 7 8 9

4 3 1 4 -3 1
1 b
1 c
1
.
.
...
a 1
b 1
c 1
La suma de las inversas de los divisores de N, est dado por :
3 -1 -4 3 1
N 13 ( 4a 3b c 4d 3e f )
Ejemplo : 7
Para el nmero:
N = 14 + 5 + 9 + 38 = 66 = 33
NMEROS PRIMOS
Nmero Primo Absoluto
Un nmero primo es un nmero entero positivo mayor que
uno, que tiene solamente dos divisores diferentes: el nmero
mismo y uno.
Ejemplo : 8
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17.
Los nmeros primos son nmeros simples. El 1 no es nmero
primo, pero 1 es nmero simple. El 1 es nmero singular.
Nmeros Primos entre s (PESI)
Son dos o ms nmeros que admiten como nico divisor comn
a uno.
Ejemplo : 9
(3 y 7); (4; 8 y 3); (12; 13 y 37), etc.
Nmeros compuestos
Son aquellos nmeros naturales que tienen ms de 2 divisores.
Ejemplo : 10
4; 6; 12; 28; 111
Descomposicin Cannica de un Nmero Natural (Factores

primos)
Se llaman factores primos a los nmeros primos que son
divisores de un nmero compuesto
Relaciones entre los Divisores de un Nmero Compuesto

Sea N un nmero compuesto que tenga por descomposicin
cannica
N = apx b qx crx ..., donde:
a, b, c, .. son primos absolutos diferentes
pqrExponentes de los factores primos.
La cantidad de divisores de N se denota y se determina por:
D(N) = (p+1) (q+1) (r+1) ...
MXIMO COMN DIVISOR (MCD)

Es el mayor de los divisores comunes de dos o ms nmeros.
Ejemplo:
Sean los nmeros 8; 12 y 20, donde:
s
DIVISORES
12
18
24
1; 2; 3; 4; 6; 12
1; 2; 3; 6; 9; 18
1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24
Sus divisores comunes son: 1; 2; 3 y 6

Luego: MCD (12, 18, 24 ) = 6
El mayor nmero que divide a 12; 18 y 24 a la vez es 6.
FORMAS PRCTICAS PARA DETERMINAR EL MCD
i) Descomposicion simultnea
20
4
15
3
PESi
MCD (20; 15) = 5
ii) Por descomposicin cannica

Sean los nmeros:
A = 26 . 35 . 54
B = 24 . 53 . 72
MCD (A;B) = 24 . 53
Se toman los factores primos comunes elevados a sus menores

exponentes
iii) Divisiones sucesivas o algoritmo de euclides

Para hallar el MCD(A,B) se procede de la siguiente manera:
Se divide el nmero mayor entre el menor obtenindose un
cociente(C)y un residuo (R), se divide el nmero menor entre R
obtenindose un cociente (C1) y Un residuo (R1) y as
sucesivamente se procede hasta encontrar un residuo cero. El
ultimo residuo diferente de cero es el MCD(A,B).
Esquema:
COCIENTE
()
RESIDUO
C1
C2
C3
C4
C5
R1
R2
R3
R4
R1
R2
R3
CEPU - UNICA
R4
17

donde: A B , y
MCD(A,B)
=MCD(B,R)=
MCD(R,R1)
=MCD(R1,R2)
=MCD(R2,R3)=MCD(R3,R4)= R4
R3 = C5R4 ; R2 = C4R3 + R4; R1 = C3R2 + R3 ; R =C2R1 + R2
B = C1R + R1 ; A = CB + R
PROPIEDADES DEL MCD
1. El MCD nunca es mayor que uno de los nmeros
2.Si el menor de los nmeros es divisor comn de los otros,
entonces el MCD ser ese menor nmero.
3. El MCD de 2 nmeros primos entre s es uno.
4. MCD (A; B; C)=d
Se cumple:
MCD (An ; Bn ; Cn ) = dn
A B C
d
MCD ; ;
n n n
MCD(A; B; E; F) = MCD (M ; N)
Donde:
M = MCD ( A;B) ; N = MCD(E;F)
Tambin:
MCD( A;B;E;F) = MCD(A; MCD(B;E; F)
MCD(A;B;C)= d
A
p ;
d
B
q
d
C
r
d
A=p.d ;B=q.d ;C=r.d

A , B y C son mltiplos de d y p, q , r PESI
MNIMO COMN MLTIPLO ( MCM.)
Es el menor mltiplo comn de dos o ms nmeros
Ejemplo : 12
Hallando el MCM (8 ; 12), se tiene:
8 8;16;24,32;40;48;56;...
0
12 12;24;36,48;60;...
PROPIEDADES del MCM
P.1. El MCM nunca es menor que alguno de los nmeros

o
P.2. Para 2 nmeros A y B donde: A = B = B . K
MCM (A , B) = A
P.3. El MCM de dos nmeros primos entre s, es el producto
de dichos nmeros.
A y B son PESI MCM (A ; B) = A . B
P.4. MCM (A ; B ;C ; D) = MCM(M;N)
M = MCM(A ; B); N = MCM( C ; D)
P.5. MCM(nA;nB;nC)= n . MCM(A; B; C)
A B C 1 . ( A ; B ; C)
; ;
n n n n
P.6 MCM
P.7
MCM(A , B)
A
MCM (A, B)
B
Observacin:
Mltiplos comunes de A ; B y C = Mltiplos del MCM de (A;B;C)
FORMAS PRCTICAS PARA DETERMINAR EL MCM
i) DESCOMPOSICIN SIMULTNEA
Ejemplo:
20 15 5
4 3
3
4 1 4
1 1
MCM ( 20 ; 15) = 5 x 3 x 4 = 60
ii) POR DESCOMPOSICION CANONICA

Sean los nmeros
A = 26. 35. 54
B = 24. 53. 72
MCM ( A ; B) = 26. 35. 54. 72
Se toman los factores primos comunes y no comunes elevados
a sus mayores exponentes
Ejemplos:
A = 24 . 3
B = 22 . 5
MCM ( A ; B) = 24 . 3 . 5
18
CICLO II 2016
PESI
RELACIONES ENTRE EL MCD Y MCM PARA 2 NMEROS

Se sabe:
A
B :
d MCD(A;B) = d
q2
q1
PESi
A = MCD(A;B)xq1 ; B = MCD(A;B)xq2
MCM(A;B) = MCD(A;B)xq1xq 2
A . B = MCD . MCM
Mltiplos comunes: 24 ; 48, .

MCM ( 8 ; 12 ) = 24
INDICADOR DE UN NMERO O FUNCIN DE EULER

Indicador de un Nmero.- Es la cantidad de nmeros primos
menores que un nmero N. Su notacin es (N).
El indicador de un nmero primo P es : ( P 1 ).
Para hallar el indicador de un nmero compuesto N:
Si N a .b .c ... ; siendo a, b y c primos absolutos diferentes,

entonces:
1
1
1
(N) a
(a 1)b (b 1)c (c 1)... ; o tambin:
1
1
1
(N) N 1 1 1 ...
a b c

1.
El producto de los primeros 70 nmeros impares al

dividirlo entre cuatro se obtiene
como
residuo:
a) 2
2.
3.
b) 3
c) 4
123456123456123456...123456 (1200 cifras )

b) 2
7.
c) 3
2a3b8c 2 7 3 , entonces el resto al dividir

a 4b5c entre 7 es:
Si
b) 3
39!
39!
Al dividir
a) 1
b) 2
c) 4
d) 5
entre 79 el residuo, es:

c) 19
d) 38
e) 6
e) 78
abcd es divisible por 9; cabd es divisible por

17, bdca es divisible por 11 y acbd es divisible
b) 4
Al dividir
c) 5
d) 6
131313131345762 ( 9 )
residuo, es:
a) 1
valor de a, es:
b) 2
c) 3
d) 4
e) 7
entre
11(9 ) ,
residuo que deja
a) 0
b) 1
abcd
c) 2
al
dividirse entre 7 es:

d) 3
el
e) 5
Hay un nmero de la forma abcd que es divisible

por 44 y que si se divide entre 9 y
25 los
residuos son 2 y 22 respectivamente. Entonces el
e) 4
71 ab , la cantidad de
14 es:
a) 11
b) 13
ab!al ser expresado en base
c) 18
d) 8
e) 14
11. Si los trminos de la siguiente sucesin: 6, 11, 18,

27, , 1027. Lo expresamos en
base 5. El
nmero de trminos que terminan en 3 es igual a:
a) 12
b) 14
c) 17
12. Sabiendo que 35
d) 19
e) 21
tiene a 4 divisores. El nmero
de divisores de E 33 33 es:
a) 238
b) 272 c) 298
d) 294
n
e) 296
13. El valor de n sabiendo que: 15 75

n
17n 34 divisores es:
a) 11
b) 12
c) 13
tiene
d) 14
e) 15
d) 81
e) 82
14. Si A 2(15 ) y B 30 se sabe que el

nmero de divisores de B es el cudruple
del
nmero de divisores de A. Entonces la cantidad de
divisores compuestos que
tiene
k
Un nmero de cuatro cifras diferentes de la forma
a) 3
9.
e) 5
por 4, entonces el
8.
d) 4
Cuantos nmeros comprendidos entre 2000 y 3000

terminan en la cifra 8 y son mltiplos de 17?
a) 5
b) 6
c) 10
d) 14
e) 12
a) 2
6.
e) 7
El residuo de dividir:
a) 1
5.
d) 5
69!
ceros en que termina
Una correa cuesta S/. 2,10 si un comprador tiene 15

monedas de 5 soles y la cajera tiene 20 monedas de
2 soles. El nmero de maneras diferentes que se
puede efectuar el pago es:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
entre 7, es:
4.
10. Si
CEPU 2016
N (k 3) k 1 , es:
a) 78
15. Si:
b) 79
N 30 x 20 y
divisores
de N, es:
a) 156
c) 80
tiene 126 divisores
20 . Entonces la cantidad
b) 160
c) 182
y 120
de divisores
d) 192
e) 216
16. Si el nmero:
N ( a 2)(a 3)(a 3)(a 3)(a 3)(a 3) a
es mltiplo del cuarto

nmero primo natural,
entonces se puede afirmar que el nmero de
divisores del
nmero
( a 1)(a 3)( a 5)
a) 17
17. Si:
ab
b) 18
es:
c) 20
N 2 3 7 x
0
d) 21
e) 24
es un nmero que tiene

0
divisores 12 y a7 divisores 28 y
48
divisores que no son mltiplos de 36, entonces el
valor de a + b es:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
CEPU - UNICA
e) 9
19

ab0 existen 100 nmeros que
ab
son PESI con 200 . El nmero de ceros en que
termina ab!al ser expresado en base 7 es:
18. Desde 200 hasta
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
19. Entre dos cuadrados prefectos consecutivos existen

222 nmeros consecutivos el mayor de ellos es
divisible por:
a) 2
b) 3
c) 7
d) 5
e) 11
20. Si: N 3 5 7 tiene 16 divisores mltiplos de

35 y 16 divisores mltiplos de 63,
la suma de
cifras de N, es:
a
a) 17
b) 18
c) 19
d) 21
e) 22
UNIDAD
N 05
FRACCIN
Es cualquier par de nmeros enteros positivos m y n, al

m
cual generalmente se le denota por ; donde n 0 y
n
m n , m y n trminos de la fraccin,
m
0
n
FRACCIN IRREDUCTIBLE
Son aquellas fracciones cuyos trminos son primos entre
s (PESI) :
7
81 13
;
;
20 16 45
FRACCIONES EQUIVALENTES
Dos o ms fracciones son equivalentes si tienen igual
valor y se obtienen de una fraccin irreductible.
Ejemplo :
1 2 3 4
1. k

; k 1;2;3;
2 4 6 8
2. k
CLASIFICACIN DE FRACCIONES
Por comparacin respecto a uno
Pueden ser:
Propia: Cuando su valor es menor que uno, es decir
m<n.:
Impropia: Cuando su valor es mayor que uno, es
decir m>n.
Por su denominador
Pueden ser:
Ordinaria o comunes: Cuando el denominador no es
potencia de diez.
Ejemplo:
2 5 8
; ; ; ...
5 7 11
Decimales: Cuando el denominador es una potencia
de diez.
Ejemplo:
3 7 11
;
;
; ...
10 100 100
Por comparacin de los denominadores.
Homogneas :Cuando tienen igual denominador
Heterogneas: Cuando tienen diferente denominador.
SIMPLIFICACIN DE FRACCIONES
Simplificar una fraccin reductible es transformada a una
fraccin irreductible equivalente, eliminando el MCD de
sus trminos.
A MCD . a a
B MCD . b b
MXIMO COMN DIVISOR
MLTIPLO DE FRACCIONES
20
CICLO II 2016
MNIMO
COMN

Sean las fracciones irreductibles.
a1 a
;
b1
b
a a a MCD(a 1 ; a 2 ; a 3 ) ;
MCD 1 ; 2 ; 3
b 1 b 2 b 3 MCM(b 1; b 2; b 3 )
2
2
a .3
b3
a a a MCM(a 1; a 2 ; a 3 )
MCM 1 ; 2 ; 3
b1 b 2 b 3 MCD(b 1; b 2;b 3 )
2)
NMEROS DECIMALES
Nmeros Decimales
Es la expresin en forma lineal de un valor determinado
en el sistema de base 10 que posee parte entera y otra
parte no entera, separados por una coma.
Pueden obtenerse dividiendo el numerador por el
denominador de una fraccin.
Segn se generen por fracciones puede ser:
Decimal Exacto:
Una fraccin irreductible dar origen a un decimal exacto
cuando en su denominador se observan slo potencias
de 2, potencias de 5 o en todo caso potencia de 2.5
2n
a
f ; b 5 m ; Donde (n, m y p) Z+
b
10 p
Ejemplo:
23 . 52
0, abc ;
x
0, abcd
4 3
2 .5
Fraccin Generatriz
Ejemplo:
x
0, mnpq
4 4
2 .5
0, abc
abc
1000
32
432(9)
32 ( 8 )
2) 0,432(9)
3) 0,32 ( 8 )
100
100 ( 8 )
1000(9)
Decimal Inexacto
Decimal Peridico Puro:
1) 0,32
2
0,18
11
Regla:
Para hallar la cantidad de cifras decimales que hay en el
perodo, basta saber en cuantos nueves como mnimo
esta contenido el denominador.
TABLA DE LOS NUEVES
n de cifras 9
9
32
3;9
99
32.11
11
999
33. 37
27 ; 37
9999
32. 11.101
101
99999
32. 41.271
10141 ; 271
999999 33. 7.11.13.37 7 ; 13
1
0, abc ; porque 27 esta contenido
27
3 nueves.
2
0, mnpqr ; porque 41 esta contenido
41
5 nueves.
1
2
3
4
5
6
como mnimo en
como mnimo en
1
0, abc...xyz
11 . 37 . 41 . 7
30 cifras
6 M.C.M (2; 3; 5; 6) = 30 cifras
Fraccin generatriz:
Ejemplo :
1) 0,24
24
99
Regla:
La cantidad de cifras decimales exacta que origina una
fraccin irreductible viene dada por la mayor potencia de
2 5 contenida en el denominador.
2)
3) 0,1234
1234
9999
0, abc
abc
999
3/4 = 0,75 ; 2/5 = 0,4
1
0, 3
3
1)
Halle el MCD y el MCM de: 4 ; 21 ; 44 .

10 45 80
1)
Ejemplo :
Ejemplo:
Una fraccin irreductible dar origen a un decimal

peridico puro cuando en su denominador se observan
factores diferentes de potencias de 2; 5 en todo caso de
10.
2n
a
f ; b 5m donde (n, m y p) Z+
b
10 p
2) 0,32(8)
32(8)
77 (8)
4 ) 0, 234 ( 7 )
234 ( 7 )
666 ( 7 )
Decimal Peridico Mixto:

Una fraccin irreductible dar origen a un decimal
perodico mixto, cuando en su denominador se observan
tambin factores potencias de 2; 5 10 entre otros.
2n
a
f ; b 5m
b
10 p
otros
m, n, p Z
CEPU - UNICA
21

Ejemplo :
11
0,1 2
90
11
0 .3 6
30
Regla:
Para hallar la cantidad de cifras peridicas y no
peridicas que origina una fraccin irreductible, se sigue
como los casos anteriores aplicados a la vez.
1
0, abcdmnp
2 4.53.37
1
0, abcmn
2 3.11
1
0, abcdemnop........xyz
3 2
2 .5 .11.101.7
abc n
1000 n
n 1n 1n 1n
0, abc xy n
Una vendedora lleva en una canasta cierta cantidad

de duraznos. Un primer cliente le compra la mitad de
ellas ms dos, otro cliente compro la mitad de las
que quedaban ms dos, luego vino un casero y le
compro la mitad de las que le quedaban ms dos.
Entonces la vendedora observ que solo le
quedaban un durazno y se la comi. Cuntos
duraznos haba en la canasta inicialmente?
A) 15
B) 16
C) 25
D) 36
E) 9
3)
Cuntas fracciones equivalentes a 4/5, que

cumplen con la siguiente condicin:
25 < numerador < 40, 38 < denominador < 53,
existen?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
4)
La mayor fraccin equivalente a 2/3 que tiene como

producto de sus trminos a un nmero menor que
600, es:
A) 18/27 B) 16/24 C) 14/21 D) 12/18 E) 10/15
5)
La suma de cifras del numerador de la fraccin cuyo
aval exacto
abc n
0, abc n
2)
M.C.M. (2,4,6) = 12 cifras
Fraccin Generatriz :
abcd ab
0,abcd
9900
Nmeros Avales
Son aquellos nmeros no enteros, expresados en
sistemas de numeracin diferentes al decimal en los
cuales se cumple:
n
Un tanque puede ser llenado por la caera A en 6

horas y vaciado por otra caera B en 8 horas. Si
se abren los dos caos, el tiempo en horas que
demora en llenarse el tanque es:
A) 12
B) 8
C) 10
D) 24
E) 20
12 cifras
2 4 6
0 , abc
1)
abc xy n abc n
n 1n 1000 n
aval peridico puro

aval peridico mixto
|
Ejemplos : 14
valor es mayor que
325
0,325
0,68
1005
nmero
pentaval
3
5
1
5
que el denominador es 84, es:

A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
nmero
decimal
3
5
...
6)
Csar gasto
A) S/.
E) S/.
7)
y gasto
x
de
y
lo que no
y
B) S/. xy
x
x y
C)S/. x
D) S/.
La cantidad de valores que puede tomar x, si
x
1
es una fraccin propia mayor que , es:
15
4
A) 11
CICLO II 2016
x y soles
E) 7
gast. La cantidad que no gast Csar, es:
13
8
1
(5)
N 0,1313 ...
0, 13(5)
0,3
(5)
44
24 3
(5)
22
1
1
pero menor que , sabiendo
7
6
B) 12
C) 13
D) 10
E) 14

8)
9)
Al simplificar
se obtiene:
A) 21/2 B) 21/4
2,333 0,58333
C) 7/2
D) 14/3
E) 21/8
La fraccin tal que al restarle su inversa da por

resultado 1,28787878, es:
A) 11/6 B) 11/8 C) 11/18 D) 3/5
E) 13/8
10) La suma de todas las fracciones impropias e

irreductibles menores que 5, con numerador un
cuadrado perfecto y denominador igual a 40, es:
A) 3,5
B) 10,5 C) 11,2 D) 19,7 E) 23,75
11) La fraccin equivalente a 4/5, talque el producto de
sus trminos es el menor nmero que posee 18
divisores, es:
A) 7/9
B) 4/15 C) 3/4
D) 5/4
E) 12/15
12) Cuntas fracciones impropias existen, de trminos
impares consecutivos que sean mayores que
1,1363636?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
13)
Si
a, b son
nmeros
enteros
0,1(3a ) 0, b(12) 2,0 1 ( 4) 0,1( 3)
mayor valor de a
A) 10
B) 12
14) El valor de
A) 4
es:
C) 16
D) 18
tales
entonces
20 48 56
MCM ; ;
45 72 63
E
20 48 56
MCD ; ;
45 72 63
B) 11
15) Si la fraccin
C) 14
D) 12
que:
17) Si se cumple :
0,431( n ) 0,754629
entonces el valor de n, es:

A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
18) La suma de las tres ltimas cifras del periodo que

genera la fraccin
A) 10
19) Si
N
3a5a
a es:
A) 5
B) 9
5
73
es:
C) 8
es equivalente a
B) 7
C) 6
12
17
D) 14
E) 7
entonces el valor de
D) 4
E) 8
20) La suma de todas las fracciones propias e

irreductibles cuya suma de trminos sea un nmero
primo de 2 cifras y adems el producto de sus
trminos sea un nmero primo de 2 cifras que posee
9 divisores, es:
A) 19/136 B) 135/225 C) 17/36 D) 136/125
E) 19/36
el
E) 20
es:
E) 15
0,1 2 (9 ) 0,2 3 (9 ) 0,7 8 (9 )
0,2 1 ( 9 ) 0,3 2 (9 ) 0,8 7 (9 )
es irreductible, la suma de sus trminos es:

A) 18
B) 27
C) 39
D) 81
E) 91
0, ab 0, bc 0, ca
4, 1
0, abc
P a b c, es:
el mximo valor de
16) Si se cumple
A) 48
B) 96
C) 100
D) 192
E) 210
CEPU - UNICA
23

UNIDAD
N 06
MAGNITUD-PROPORCIONALIDAD
Es todo aquello susceptible de variacin

(aumento o
disminucin) y que puede ser medido.
CANTIDAD
Es el valor de un estado particular de la magnitud, posee 2
partes: valor numrico y unidad de medida.
Ejemplo :
MAGNITUD
CANTIDAD
TIEMPO
100 hr
TEMPERATURA
30 C
LONGITUD
PESO
45 18 = 27
unidades
Razn GEOMTRICA:
Ejemplo :
60
4
15
45 excede a 18 en 27
a
k
b
; ek ; x k
a
c
e
x

k
b d
f
y
a = bk ; c = dk ; e = fk ; x = yk
NOTACIN
a, c, e, x antecedentes
b, d, f, y consecuentes
k razn o constante de proporcionalidad
PROPIEDADES
Si :
a c e x
= = = =k
b d f
y
24
entonces se cumple:
CICLO II 2016
bd f y
P3 : a
cn en xn
bn dn f n yn
kn
SERIE
DE
RAZONES
GEOMTRICAS
EQUIVALENTES (S.R.G.C.E.)
b
c
P1 :
ac
bd
CONTINUAS
c = dk
PROPIEDAD: En : a c
60 es el cudruplo de 15
a cex
60 Kg
SERIE DE RAZONES GEOMTRICAS EQUIVALENTES

Es la igualdad de dos o ms razones geomtricas que tienen el
mismo valor
k ;
P2 :
Observacin
Cuando se menciona simplemente la razn de dos cantidades,
consideraremos la razn geomtrica.
Notacin:
a
antecedente
b
consecuente
r
valor de la razn aritmtica
k
valor de la razn geomtrica
acex
bdf y
20 mt
RAZN
Es la comparacin de dos cantidades correspondientes a una
misma magnitud y de la misma especie.
Tipos:
Razn ARITMTICA:
ab=r
Ejemplo:
P1:
b = dk2
d
P2 :
ab
ab
cd
cd
PROPORCIN
Es la igualdad de dos razones de la misma clase
CLASES
Proporcin Aritmtica: a b = c d
Proporcin geomtrica:
NOTACIN:
a, c: antecedentes ; a, d : trminos extremos
b, d: consecuentes ; b, c : trminos medios
a, b: trminos de la primera razn
c, d: trminos de la segunda razn
PROPIEDADES
1.
En toda proporcin aritmtica, la suma de los trminos
extremos es igual a la suma de los trminos medios:
a+d=b+c
2. En toda proporcin geomtrica, el producto de los trminos
extremos es igual al producto de los trminos medios:
a .d = b .c
CLASIFICACIN
PROPORCIN ARITMTICA DISCRETA:
ab=cd ; bc :
d cuarta diferencial de a, b, y c
Ejemplo :
La cuarta diferencial de 20, 12 y 15 :
20 12 = 15 x x = 7
PROPORCIN ARITMTICA CONTINUA:
ab=bd ; b=c
b media aritmtica o media diferencial de a y d; d tercia o
tercera diferencial de a y b
Ejemplo :
La tercera diferencial de 20 y 16 :
20 16 = 16 x x = 12
Ejemplo :
La media diferencial de 50 y 30 :
50 x = x 30 x = 40

Para 3 nmeros a, b y c:
PROPORCIN GEOMTRICA DISCRETA O DISCONTINUA
P9 MA
;b c
P11 MH
144 6
x 1
24 x
x 25
x 324 . 225 x 270
PROMEDIOS (MEDIA)
Dadas las siguientes cantidades ordenados en forma creciente:
a1; a2; a3; . . . ; an, se llama promedio (P) a una cantidad
referencial que se calcula haciendo ciertas operaciones entre
ellas y se cumple la siguiente condicin: a1
TIPOS:
P an
a a a
Media Aritmtica: MA 1
Media Geomtrica: MG n a a a
1 2
n
Media Armnica: MH
1
1
1
a a
a
1
2
n
PROPIEDADES
P1 Si al menos 2 de las cantidades ai son diferentes entonces
MH < MG < MA
P2 a1 = a2 = . . . = an MA = MG = MH
Para 2 nmeros (b < A):
Se cumple :
P3 b< MH< MG < MA < a
P4 MA . MH = MG2
MG MA . MH
P5 (a B) = 4( MA + MG) (MA MG)

2
P6 MA a b
P8
MH
a.b
1
a
1
b
MH
a
a
a
a
A
k 1 2 3 .... n
B
b
b
b
b
1
Es decir : A(DP)B
Magnitudes Inversamente Proporcionales:

Notacin: I.P.
Sean las magnitudes A y B tales que:
A : a1 ; a2 ; a3 ; . . . ; an
B : b1 ; b2 ; b3 ; . . . ; bn
Entonces, se puede afirmar que A es inversamente proporcional
a B, si se cumple que: A . B = k
A . B = k = a1 . b1 = a2 . b2 = a3 . b3 = . . . = an . bn
Es decir: A(IP)B A . B = K
Tambin:
A DP B B DP C A DP C B es cons tan te
A DP B B I.P C A I.P C B es cons tan te
A .C
B.C
k
A
A I.P B B IP C A DP C B es cons tan te B . A . C k
A DP B A DP C A DP (B . C )
A I.P B A I.P C A I .P (B . C)
2
A DP B B DP
6
A DP
C A DP B B DP
C B cons tan te
Observaciones:
1. Las magnitudes D.P. van de ms a ms o de menos a menos
2. Las magnitudes I.P. van de ms a menos o de menos a ms.
REPARTO PROPORCIONAL
P7 MG
3abc
ab ac bc
Dos magnitudes son proporcionales cuando al variar una de ellas

en una razn entonces la otra tambin vara en la misma razn.
Clasificacin:
Magnitudes Directamente Proporcionales:
Notacin: D.P. .
Sean las magnitudes A y B tales que:
A : a1 ; a2 ; a3 ; . . . ; an
B : b1 ; b2 ; b3 ; . . . ; bn
Entonces, se puede afirmar que A es directamente proporcional
A
a B, si se cumple que:
k
B
Ejemplo :
La media proporcional de 324 y 225
324
x
225
x
MAGNITUDES PROPORCIONALES
PROPORCIN GEOMTRICA CONTINUA:

a b ; bc
b
d
d tercia o tercera proporcional de a y b
b media geomtrica o media proporcional de a y d
Ejemplo :
La tercera proporcional de 625 y 125 :
625 125
125
x
Se cumple:
MG 3 abc
P10
d es cuarta proporcional de a, b y c
Ejemplo:
La cuarta proporcional de 144 ; 24 y 6 :
abc
2ab
ab
Es una regla que tiene por objeto repartir una cantidad en partes,
directa o inversamente proporcional a dos o ms nmeros
dados.
Clasificacin
Reparto Proporcional Directo
Para repartir una cantidad N en tres partes (puede ser ms)
que
CEPU - UNICA
25

sean D.P. a tres nmeros dados a, b y c, se multiplica
dicha cantidad por cada uno de los otros y se divide por su
suma; esto es:
Sea x la parte de N que corresponde a a, y la parte de N
que corresponde a b, z la parte de N que corresponde a c
Por definicin de magnitudes D.P. se tiene que:
x y z
K (constante )
a b c
Por propiedad:
x+y+z x y z
N
x y z
= = = =K
= = =
a+b+c a b c
a+b+c a b c
Donde; N = x + y + z, entonces se cumple que:
a.N
N
x
x
abc a
abc
b. N
y
N
ii)
y
abc b
abc
i)
III)
c.N
N
z
z
abc c
abc
Reparto Proporcional Inverso

Para repartir un nmero N en partes I.P. a otros nmeros
dados a,b y c; se invierten los nmeros dados y luego se
reparten el nmero N en partes D.P. a estos inversos.
REGLA DE COMPAA
Objetivo.- La regla de compaa tiene por objeto repartir

la ganancia prdida generada en un negocio, entre sus
socios integrantes. Este reparto se har proporcional a
los capitales depositados y al tiempo que estuvieron
impuestos respectivamente en dicha actividad.
Clases
La regla de sociedad o compaa puede ser simple o
compuesta.
Compaa Simple: Se presentan tres casos:
Capitales y tiempos iguales
En este caso se divide la ganancia o prdida entre el
nmero de socios.
Capitales iguales y tiempos diferentes
En este caso no se considera el capital, y se reparte
la ganancia o prdida en partes D.P. a los tiempos.
Tiempos iguales y capitales diferentes
En este caso, no se considera al tiempo y se reparte
la ganancia o prdida en partes D.P. a los capitales.
Nota.- si las ganancias (prdidas) son iguales para cada
socio; los capitales y los tiempos respectivos son
inversamente proporcionales.
Compaa Compuesta
Es cuando los capitales y los tiempos son distintos, se
reparte la ganancia o prdida en partes proporcionales a
los productos de los capitales por los tiempos.
REGLA DE TRES
Es una aplicacin de la proporcionalidad que consiste en

calcular el valor desconocido de una magnitud relacionada con
dos o ms magnitudes, esta puede ser: regla de tres simple o
regla de tres compuesta.
Regla de tres simple (R.3.S)
26
CICLO II 2016
Cuando intervienen dos magnitudes proporcionales de las

cuales se conocen tres valores, dos de una magnitud y la tercera
de la otra magnitud y se debe calcular el cuarto valor. La regla
de tres simple puede ser: R.3.S directa o inversa, segn sea la
proporcionalidad que ligue a las magnitudes
R.3.S.D.
Cuando las magnitudes que intervienen son directamente
proporcionales( D.P.)
R.3.S.I.
Cuando las magnitudes que intervienen son inversamente
proporcionales ( I.P.)
Regla de tres compuesta (R.3.C)
Cuando intervienen ms de dos magnitudes.
Se toma como referencia la magnitud en la cual se ubica la
incgnita, sta se compara con cada una de las dems
indicndose si son D.P. I.P.
OBSERVACIONES:
1. Cuando intervienen la magnitud nmero de obreros y
rendimiento
se multiplican porque son I.P. y se reemplaza
por una sola magnitud que sera el rendimiento total.
2. Cuando se tiene el nmero de das y las horas diarias, ambas
se multiplican porque son I.P. y se reemplazan por una sola
magnitud que sera el tiempo
3. Igualmente si tenemos las dimensiones largo, ancho espesor
de una obra y su respectiva dificultad todas se multiplican y se
reemplazan por la magnitud obra porque son I.P.
4. Los factores comunes de una misma columna se pueden
cancelar.
5. Para resolver un problema de regla de 3 compuesta se
compara una de las magnitudes (por ejemplo, nmero de
personas) con las otras magnitudes para establecer si son
directas o inversamente proporcionales, se aplica la regla
correspondiente.
6. Cuando la obra se hace por etapas, se procede de la manera
siguiente:
7. Se prescinde de la magnitud obras y se compara la magnitud
nmero de personas con las otras magnitudes, tal como en el
ejemplo siguiente:
P (n personas)
25
25
31
38
P.h
d
O (n de obras)
total
O1
O2
O3
P1 . h . d i
Hd (n de horas diarias)
25
5
10
x
25 . 25 25 . 5 31 . 10 38 . x x 5

8.
1.
Si:
a b c d
y
x y z w
(a b c d )( x y z d ) 6724 .
A)
Entonces el valor de:
A) 123
2.
1
( ax by cz dw ) , es:
2
B) 41
C) 42
D) 43
E) 51
El nmero de toneladas de hierro que lleva un tren A

es los 5 / 11 del que lleva un tren B y el que lleva
un tren C es los 7 / 13 de otro tren D. Entre A y B
llevan tantas toneladas como los otros dos. Si el
nmero de toneladas de cada tren no puede pasar
de 60 toneladas, entonces el nmero de toneladas
que lleva el tren C, es:
A) 25
B) 55
C) 28
D) 52
E) 48
3.
a c e
; 5ad cf
b d
f
de (e a ) , es:
Si:
A) 8
4.
5.
6.
7.
B) 10
C) 12
a e 12 . El valor
D) 6
E) 14
Dos mviles parten uno al encuentro del otro con

velocidades que estn en la relacin de 3 a 5. Si
luego de un tiempo por primera vez estn separados
30 metros. Si la distancia inicial es de 70 metros,
entonces la diferencia entre las distancias recorridas
entre los mviles, es:
A) 10 m B) 16 m C) 20 m D) 25 m E) 40 m
En una pequea empresa se paga en promedio S/
40 por da a cada obrero. Si al contratar 10 obreros
ms a S/ 20 por da, el promedio seria 100/3,
entonces el nmero inicial de obreros, es:
A) 12
B) 14
C) 16
D) 18
E) 20
La edad promedio de un saln de clases es 17 aos.
Si en una clase hay 40 alumnos en total, de los
cuales 10 tienen 16 aos, un grupo tiene 17 aos y
el resto 18 aos, entonces la cantidad de personas
que tiene 17 aos, es:
A) 20
B) 30
C) 12
D) 15
E) 10
El promedio de un conjunto de datos es N. Si se
eliminan 31 datos cuya suma es 713 el promedio de
los datos restantes sigue siendo N. Calcular cunto
debern sumar 7 datos de tal manera que
agregados a los restantes el promedio sea N.
A) 187
B) 119
C) 121
D) 129
E) 161
De una muestra de P personas, el promedio de

las edades de las que bailan es q aos, de los
que no bailan es r y el promedio de las edades de
todas las personas es E aos, entonces en
nmero de personas que bailan, es:
D)
9.
P(q r )
Eq
P( E r )
qr
B)
E)
P( E r )
rq
P( r E )
rq
C)
P( r E )
qr
MA, MH y MG 2 de dos
nmeros es igual a 1 048576. Si la MA es 5 / 4 de
la MG , entonces la diferencia de los cuadrados de
El producto de la
dichos nmeros, es:

A) 3240
B) 3280
E) 4280
C) 3640
a
b
c
;
n ! (n 1)! (n 2)!
10. Si:
c 7(2 n ) ,entonces
valor de n es:
A) 3
B) 4
D) 3840
a b 2n ,
la cifra de las unidades del

C) 5
D) 6
E) 7
11. Se reparte un nmero en forma directamente

proporcional a todos los divisores de 100, si la
mayor de las partes es 2800, entonces el nmero
repartido, es:
A) 6076
B) 6067
C) 7066
D) 7660
E) 7606
.12. Si
al
dividir
6141
en
partes
directamente
n
proporcional a los nmeros 1; 2; 4; 8;...;2 , la
mayor de las partes es 3072. Entonces el valor de
n , es:
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
13. Repartir 14280 directamente proporcional a los

nmeros 1; 4; 9;16;... (n cantidades) de tal manera
que la diferencia entre la mayor y menor de las
partes es 2304. El valor de n , es:
A) 16
B) 17
C) 18
D) 19
E) 20
14. Si 8 obreros realizan en 9 das trabajando a razn de
6 horas por da un muro de 30 metros. Cuantos das
necesitarn 10 obreros trabajando 8 horas
diarias para realizar los 50 m de muro que
faltan?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
15. Una fbrica produce normalmente 10 000 camisas al

mes, con 40 operarios. Al recibir un pedido por 18
000 camisas para entregar en un mes, los operarios
aumentan la produccin en un 20%, trabajando
horas extras. Cuntos operarios ms se deber
contratar, si trabajarn en jornada normal y, por ser
CEPU - UNICA
27

novatos, rinden el 80% de lo que rinden los
experimentados?
A) 15
B) 20
C) 25
D) 30
E) 32
16. Una empresa tiene que realizar una obra en 30 das,
empleando 15 hombres y trabajando 10 horas
diarias. Despus de 8 das de trabajo se acord que
la obra quedase terminados 12 das antes del plazo
estipulado y as se hizo. Entonces el nmero de
hombres ms que se contrataron para cumplir con el
trabajo, teniendo en cuenta que se aument en 1
hora el trabajo diario, es:
A) 15
B) 20
C) 12
D) 10
E) 13
17. Un grupo de 24 obreros al 80% de su capacidad
en 18 das a razn de 8 horas diarias de trabajo
pueden hacer 400 sillas, siendo su dificultad como 6.
Entonces el nmero de obreros al 100% de su
capacidad en 12 das a razn de 9 horas diarias de
trabajo que puedan hacer 600 sillas, siendo su
capacidad como 5, es:
A) 25
B) 28
C) 32
D) 30
E) 33
18. Al repartir N en forma directamente proporcional al

cuadrado de la suma de a y b, al cudruple del
producto de a y b, y al cuadrado de la diferencia de a
y
b,
se
obtiene
tres
partes
P1 , P2 y P3
respectivamente, de modo que la diferencia de
P1 y P2
es la sexta parte de N. Entonces el valor
de la suma de las razones que se pueden formar con

los nmeros a y b, es:
A) 6
B) 4
C) 3
D) 6
E) 8
19. Dos hermanos forman una compaa con medio

milln de soles cada uno, a los 6 meses el mayor
incrementa su capital en un 20% y el menor retira
25% de su capital, si 4 meses ms tarde se
repartieron una ganancia de S/. 132000 soles.
Determinar la diferencia de las ganancias entre los
dos.
A) S/.2400
B) S/.11000
C) S/.12000
D) S/.9000 E) S/. 8000
20. Si A tiene a aos, B tiene b aos, C tiene c aos

y D tiene d aos. Una cantidad de S soles se
reparte IP a las edades de A,B,C y D. Siendo la
1 1 1 1
, adems
a b c d
S
S
120000;
90000
y
ar
br
constante de reparto
se
tiene
S
45000 .
dr
Si se reparte S entre A, B y C
directamente proporcional a sus edades. Entonces la

diferencia entre la parte de A y la de C, es:
A) S/.208250
B) S/.81750
C) S/.109000
D) S/.54500
E) S/.45000
28
CICLO II 2016
CLAVE RESPUESTAS
1
11
A
12
D
13
B
14
D
15
D
16
A
17
C
18
B
10
19
20
UNIDAD
N 07
AU= 100 a1 100 a 2 100 a 3 100 a n 100 %
El porcentaje o tanto por ciento es el nmero de unidades

que se toma de cada 100 y se considera como un caso
particular de la regla de tres simple o de las fracciones
decimales
Notacin:
La frase por ciento se representa por %. y 1 = 100%
Uno por ciento
El uno por ciento de una cantidad es una de las cien
partes en que se puede dividir dicha cantidad.
Es decir si a IN +, el uno por ciento de a es
100
=a
por ciento
Por lo tanto si se quiere calcular el b por ciento de a,
se calcular
En general
b.a
100
a por ciento de N = a% de N =
Ejemplo : 1
20% de 80 es:
20
100
80 16
a
N
100
Nota:
Toda cantidad referencial respecto a la cual se va a
calcular en porcentaje se considera como 100%. :
a=1.a=100%.a
Propiedades:
Para encontrar que tanto por ciento representan a
a
respecto a b se plantea del modo siguiente: .100%
b
Ejemplo : 2
Qu tanto por ciento de 80 es 20:
20
80
x 100 % 25 %
El a por ciento de b es igual a b por ciento de a

a%N + b%N + c%N = (a + b + c ) %N
a%N - b%N = ( a b )%N
N + a%N = (100 + A)%N
N a%N = (100 A)%N
a
Dados los descuentos sucesivos: a1%, a2%, a3%, ....,an%;

el descuento nico se calcula:
DU= 100 100 a1 100 a2 100 a3 100 an %
100
n 1
a a
DU a1 a2 1 2 %
100
Dados los aumentos sucesivos: a1%, a2%, a3%, ....,an%;

el aumento nico se calcula:
a a
AU a1 a2 1 2 %
100
Ejemplo : 3
Al realizar los aumentos sucesivos del 10%; 20% y 30%
equivale a un aumento nico de:
AU=
100 10 100 20 100 30

1002
Nota :
100 % 71.6%
El "a por ciento ms " de N

1 N
100
Tanto por cuanto de un nmero: a por b
a por b =
Nota :
a
b
a por b ms 1
b
APLICACIONES COMERCIALES
Para las transacciones comerciales cotidianas, los
trminos, definiciones y frmulas que generalmente se
usan, son:
Pf = Precio fijado o precio de lista (PL) o de catlogo :
Es el valor en que debe venderse una mercadera por
parte de su productor, o del comerciante que la revende.
Es un precio fijado, que se puede vender:
A) Sin descuento (DC)o rebaja (R) y est dada por :
P P G P
f
donde:
PC = Precio de costo o precio de compra
G = Ganancia = r% . Pc
PV = Precio de venta :
Es el valor en que se vende una mercadera sin rebaja
o descuento
Dc = Decuento Comercial o rebaja (R) = r% . Pf
B) Con descuento (DC)o rebaja (R) y est dado por
P D P P G D
El a% del b% del c % de N es: 100 100 100 N
100 n 1
PORCENTAJE-INTERS
y D r %.P , donde :
c
P = Precio de venta con descuento o rebaja.

v
Luego diremos que
P P P P D
v
CEPU - UNICA
29

Otros trminos comerciales y frmulas:
donde la tasa de inters (r) debe ser de acuerdo al

perodo de capitalizacin y n es el nmero de perodos.
P P A D A D G A Aumento D G
v
P P G g g gastos
v
P P P P P p prdida
c
GB G N g GB Ganancia bruta G N GanancianetaGN
g g = GB - GN
= GB
Se denomina inters o rdito a la ganancia que produce

una cantidad llamada capital al ser prestado durante un
cierto tiempo y a una tasa (porcentajE) fijada.
Clases de inters
En una operacin comercial se presentan dos clases de
inters:
Inters simple
Es cuando el capital permanece constante, es decir el
inters que produce dicho capital no se acumula.
Inters compuesto
Es cuando el inters o ganancia que origina el capital
en cada unidad de tiempo (perodo) se incrementa a
dicho capital.
Elementos de la regla de inters:
Capital(c): Suma de dinero u otro bien que se presta
o impone
Tiempo(t): Nmero de aos, meses o das durante
los cuales se presta o invierte el capital.
Tasa de Inters (r): Es el % de ganancia del capital
tomado generalmente en forma anual.
Inters(I): Es el beneficio que se obtiene al prestar un
cierto capital.
c .r . t
c .r .t
1200
t, en meses
100
t, en aos
M CI
M= Monto
Para r% anual
c .r . t
36000
C MI
c .r . t
36600
t, en das
Ao Bisiesto
M C ( 1 r % )
CICLO II 2016
c.r .t
t, en das Ao
Comercial
Frmula del inters compuesto:
30
I MC
36500
t, en das
Ao Normal
IC = Inters compuesto
M = Monto
C = Capital inicial
k.t
INTERS
Frmulas del inters simple:
donde:
IC = M C
M C 1
k
i
tan to por ciento
donde
100
k perodos de tiempo que tiene 1 ao
Equivalencias de la tasa de inters:
5% mensual
= 60% anual , (1 ao = 12 meses)
12% trimestral = 48% anual , ( 1 ao = 4 trimestres)
8% semestral = 16% anual , ( 1 ao = 2 semestres)
20% cuatrianual = 5% anual , (Cuatrianual = 4 aos)
14% bianual
= 7% anual , (Bianual = 2 aos)
DESCUENTO
Descuento (D)
Disminucin que se hace al importe de un documento de
crdito en funcin de una tasa de inters, por el tiempo
que falta desde la fecha efectiva hasta la del vencimiento.
Documentos de crditos
Son por ejemplo: letra de cambio, pagar, vales etc;
los cuales son promesas de pago.
Letra de cambio
Es un documento de crdito mediante el cual una
persona o empresa, denominada acreedor (girador o
librador) manda a otra
persona que es la deudora (o aceptantE) a que firme
el documento y se comprometa a pagar una cierta
cantidad de dinero en un determinado plazo, con o sin
intereses.
Elementos que intervienen en el descuento.
Plazo (t)
Es el tiempo que falta desde la fecha en que se
negocia el documento hasta la fecha en que vence,
generalmente est expresado en das.
Valor nominal (Vn)
Se llama as, a la cantidad de dinero que figura escrito
en el documento.
Valor efectivo o Actual (VA)
Es la suma que se recibe en efectivo, por el
documento en el momento de negociarlo o en la fecha
de vencimiento.Es decir:
Va= Vn D
, donde: D = Descuento
Tasa de inters (r) o tasa de descuento

Es el porcentaje de beneficio respecto a cierta cantidad.
Fecha de giro (F.G.):
Es el da en que se firma la letra.

Fecha de vencimiento (F.V.)
Es la fecha en la que el documento vence y en la cual de
deber hacer efectiva.
Fecha de descuento (F.D.)
Es el da en que se paga la letra antes de la fecha de
vencimiento.
Tipos de descuento:
Descuento bancario ( Db )
Es el inters que produce el valor nominal de una letra,
desde el da en que se hace el descuento hasta el da de
su vencimiento. Llamado tambin descuento exterior o
descuento abusivo.
Descuento racional ( Dr )
Es el inters que produce el valor actual de una letra,
desde el da en que se hace el descuento hasta el da de
su vencimiento. Llamado tambin descuento interior o
descuento matemtico.
Clculo del descuento:
Frmulas para el Descuento Bancario y el
Descuento Racional:
V . r .t
D n
b
100
V . r .t
D n
b 1200
V . r .t
D n
b 36000
V . r .t
V . r .t
t en aos
t en meses
D a
r
100
D a
r
1200
V . r .t
t en aos
t en meses
t en das
D a
r 36000
Va Va D Dr Va Dr Va D , Va Va
b
r
r
r
b
b b
b
Db Dr Var Vab
t en aos.
Vn . r . t
1200
r.t

Dr
t en meses
t en aos
Va
r
V .r . t
Dr n
r.t
100
"t" en aos
100 . V
100 r . t
Cambio de letras
Consiste en reemplazar dos o ms letras por una letra
nica cuyo valor actual deber ser la suma de los valores
actuales de las respectivas letras. Se cumple:
V
v v v
a
a
1
unica
Vencimiento comn
Es el caso particular del cambio de letra que consiste en
reemplazar varias letras por una letra nica cuyo valor
nominal sea la suma de los valores nominales de dichas
letras; adems la tasa de todas las letras la misma, en
conclusin hallaremos el tiempo nico de vencimiento
comn de dicha letra nica.
tu
Vn i . t i
i 1
Vn
t
u
Vn .t u Vn i . t i
Luego,
t en das
Propiedades:
D . Dr
D .r .t
Db Dr r
Vn b
100
Db Dr
Vn . r 2. t 2
D Dr
b
100 100 r .t
V t V
n 1
1
n
1
t V
n 2
2
n
2
de
donde
t ... V t
n 3
3
n
3
... V
n n
n
n
n
donde : tu = t = tiempo nico
V V ;V
; .... ; V
n
n
n
i
1
2
nominales
ti= t1 ; t2 ; ...; tn
imposicin.
n
V V
n
i 1 ni
n
1
; son los respectivos valores
n
n
Son los respectivos tiempos de
n
3
... V
n
n
Vn . r . t
36000
r.t

Dr
t en das
CEPU - UNICA
31

1.
Un banquero perdi el 20% de dinero que tena a su

cargo. Con que porcentaje del resto deber reparar
lo perdido?
A) 20
B) 15
C) 25
D) 30
E) 40
2.
Si Anita tiene 20 aos, en qu tanto por ciento se

habr incrementado dicha edad, cuando cumpla 32
aos?
A) 40% B) 20% C) 50% D) 60% E) 80
3.
El precio de un automvil sufre una devaluacin del

5% cada ao. Si en el ao 2013 se compr un
automvil nuevo en S/. 20000 Cul fue el precio en
el ao 2015?
A) 18050
B) 19050 C) 17050
D) 17100
E) 19150
4.
Una tienda anuncio una rebaja de 30% sobre el

precio de lista de cualquier producto. Cul ser el
precio de lista de un producto que cuesta 2000 soles
si la empresa recibe un beneficio del 40% del costo
al venderlo, hacindole la rebaja anunciada?
A) S/. 3000
B) S/. 5000
C) S/. 4500
D) S/. 4000
E) S/. 3500
5.
Una persona compr cierta cantidad de artculos en

S/.60 cada uno. Si los vendi con una ganancia neta
de S/.1200 y los gastos ascendieron al 20% de
ganancia bruta, cuntos artculos compr, si
recaud en total S/. 2100?
A) 15
B) 10
C) 12
D) 8
E) 20
6.
Un trabajo puede ser hecho por 10 obreros en 15

das. Si 6 das despus de iniciado la obra 4 obreros
aumentan su eficiencia en 20% y el resto baja en x%
terminndose la obre en 16 das entonces cul es
el valor de x?
A) 10
B) 20
C) 30
D) 40
E) 50
7.
Un comerciante vende 2 artculos a $ 240 cada uno.

Si en uno de ellos est ganando el 25% del costo y
en el otro perdiendo el 25 % de su costo entonces:
A) gana $ 32
B) pierde $ 32
C) gana $ 48
D) pierde $ 48
E) No gana ni pierde
8.
Si el precio de costo de un artculo es S/. 18360

entonces cul debe ser el precio de un artculo
para que al momento de venderlo, se haga con una
rebaja del 15% y todava se gane el 20% del precio
de venta?
A) 7000 B) 17000 C) 33000 D) 27000 E) 57000
32
CICLO II 2016
9.
Csar tiene S/. 16000 que presta al 5% trimestral y

Felipe tiene S/. 20000 que presta al 5%
cuatrimestral. Dentro de cuanto tiempo los montos
sern iguales?
A) 10 aos
B) 11 aos
C) 14 aos
D) 18 aos
E) 20 aos
10. Despus de prestar por 3 aos un capital se obtiene

un monto igual al triple del capital prestado. Al
prestar S/. 3000 a la misma tasa de inters por un
ao y 3 meses. Cul ser el inters a recibir?
A) 3000 B) 2850 C) 2750 D) 2500 E) 2250
11. Carlos impone su capital por 1 ao y 9 meses al 5%Si los intereses producidos los reparte entre sus 3
sobrinas: a una le da los 3/7, a la segunda los 4/11 y
a la tercera 64000 soles, cunto es su capital?
A) 2 100 000 B) 1 500 000
C) 2 875 000
D) 3 520 000 E) 3 500 000
12. Si un capital C, al r % anual produce en t aos 800
nuevos soles. Cunto producir otro capital que es
5 veces ms que al anterior, en el quntuplo del
tiempo, impuesto a una tasa que es 1/8 menos?
A) 18000
B) 17500 C) 11000
D) 20100
E) 21000
13. Se tiene un capital cuyo monto alcanzado en 10
meses es los 5/6 del monto obtenido en 15 meses.
En 3 meses qu tanto por ciento del capital gana?
A) 10% B) 15% C) 20% D) 25% E) 30%
14. Se deposit un capital al 4% y el monto fue de S/.
4200, pero si hubiera depositado al 9% el monto
hubiera sido S/.4450. Si dicho capital se hubiera
depositado al 10% entonces el monto obtenido, es:
A) 3000 B) 5000 C) 4500 D) 4000 E) 3500
15. Al imponer un capital durante 5 aos se obtuvo un
monto superior en S/. 1350 al que se obtuvo en 3
aos y medio. Si el capital es de S/. 9000 a qu
tasa anual se ha colocado?
A) 5%
B) 17,5% C) 10%
D) 15% E) 12%
16. Un capital colocado en una financiera al 20%
capitalizable semestralmente gana en un ao y
medio S/. 580 menos que si lo colocamos al 4%
bimestral de inters simple en el mismo tiempo.
Cunto fue el capital?
A) 26000 B) 58000
C) 24000 D) 20000
E) 16000
17. La suma y deferencia de los descuentos
matemticos y externos de una letra se encuentran
en la misma relacin que los nmeros 486 y 6. Si el
valor actual racional es S/. 16000 entonces cul es
el valor nominal de la letra?
A) 16840 B) 16420 C) 16400 D) 17200 E) 16428

18. Se tiene 4 letras de iguales valores nominales y los
tiempos que faltan para sus vencimientos en das
estn dado por 4 potencias consecutivas de 2. Si el
tiempo de vencimiento comn es 240 das entonces
dentro de cuantos das vencer la primera de las
letras?
A) 32
B) 16
C) 128
D) 64
E) 512
19. Se compr un artefacto a crdito y se firm por esta
una letra de cambio de S/. 1800 que vence dentro
de un ao. Si se desea cancelar dentro de 2 meses
con un descuento racional del 24% anual cunto
se pag por la letra (valor actual)?
A) S/. 1600
B) S/. 1500
C) S/. 1700
D) S/. 1400
E) S/. 1200
20. Una letra vence dentro de 4 meses y se observa que
dentro de 2 meses, los descuentos comercial y
racional estn en la relacin de 7 a 6. Si hoy la letra
tiene un valor de S/. 270 entonces el valor nominal
de dicha letra, es:
A) S/. 540
B) S/. 450
C) S/. 405
D) S/. 560
E) S/. 650
CEPU - UNICA
33

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CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO

En una proposicin compuesta predomina la de mayor potencia,

2. PROPOSICIONES COMPUESTAS (PC)

Son aquellas que poseen por lo menos una proposicin

PVVD; Prop. Cerrada

EXPRESIN NO PROPOSICIONAL (ENP):

1. PROPOSICIONES SIMPLES (PS)

PV; PVVD; Prop. Cerrada

Son aquellas que no poseen conectivos proposicionales.

4 2 3! 6 , PC, PCV, PC cerrada.

UNIVERSIDAD NACIONAL San Luis Gonzaga

p q : p si y slo si q; p es condicin necesaria y suficiente

IMPLICACIONES NOTABLES (IN)

MODUS TOLLENDO TOLLENS (MTT):

MODUS TOLLENDO PONENS (MTP)

CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO

Para todo se verifica , y se le simboliza por .

(x), y se le simboliza por x : p (x).

VALOR DE VERDAD DE LAS CUANTIFICACIONES:

p1 : La suma de los ngulos internos

p 2 : El valor aproximado de un radian es

Entonces el nmero de proposiciones falsas, es:

4. E nmero de valores verdaderos que posee el

nmero de valores falsos que posee el conectivo

est definida por la TVV:

Entonces le corresponde la proposicin:

UNIVERSIDAD NACIONAL San Luis Gonzaga

Entonces el nmero de proposiciones verdaderas,

Entonces el smbolo de la proposicin o de su

en el orden dado, es:

p : 6352(8) 4763(8) 1367(8)

y las proposiciones abiertas

conectivo dominante de la proposicin

13. El valor de verdad de cada una de las proposiciones

en el orden dado, es:

15. Al simplificar la proposicin abierta:

p; q; r son PVVND entonces al simplificar:

18. Si p y q son PVVND y

14. Al preguntrsele a Maruja por su edad dijo Anteayer

p 2 : La vista es un rgano de la visin.

8. La negacin de la afirmacin: Alguna planta no es

CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO

p1 : Si estudian entonces las aulas estn llenas.

20. Al determinar el valor de verdad de cada una de las

r : Madrid est en Italia o Roma est en Espaa.

Conjunto: Es un trmino no definido, porque es un concepto de

Conjunto Unitario: Es el que consta de un solo

A B x : x A x B , se lee: A est incluido en

UNIVERSIDAD NACIONAL San Luis Gonzaga

Sub Conjunto Propio (Sp)

OPERACIONES CON CONJUNTOS

REUNIN O UNIN: A B x/x A x B

CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO

NMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO

n(A B) n(A ) n(A B)

n(A B C) n(A) n(B) n(C)

UNIVERSIDAD NACIONAL San Luis Gonzaga

3. En el centro de cmputo del CEPU-UNICA, se deci de