GU A DI DC T IC A

U N I DA D

11

ESO

Semejanza.
Teorema de Tales

2
CONTENIDO

1 Programacin* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Sugerencias didcticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 Actividades de ampliacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5 Propuesta de evaluacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6 Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
*Esta programacin y la concrecin curricular de tu Comunidad Autnoma podrs encontrarlas en
el CD Programacin y en www.smconectados.com.

Programacin de aula
Unidad 11

Semejanza. Teorema de Tales

En este tema abordamos el concepto de semejanza, que est presente en cantidad de actuaciones de la vida de nuestros alumnos. Todos se han hecho fotos, fotocopias con sus ampliaciones y reducciones; han trabajado con mapas, planos, callejeros, etc., por lo que el concepto intuitivo de semejanza lo tienen claro, as como el conocimiento de la igualdad entre las formas. Aparece continuamente en el mundo de la imagen, del diseo grfico, en la moda, en el arte,
donde la proporcionalidad y la semejanza entre formas suelen estar relacionadas con el concepto de belleza y armona.
Lo que puede resultar ms difcil para los alumnos es, a travs de la observacin de una figura semejante (foto, plano,
fotocopia, etc.), determinar su tamao en la realidad, pasar de la percepcin a la concrecin. Dentro de la unidad, el
alumno construir figuras semejantes a una dada que guarde las proporciones adecuadas a la razn de semejanza que
se establezca. Es importante que trabajen siempre con material de dibujo y realicen sus grficos de modo preciso.
Tambin se abordar la comprobacin de la semejanza entre dos figuras, que requiere un trabajo previo del conocimiento de los criterios de semejanza, para lo cual se empezar por los tringulos, lo que dar lugar a la introduccin
del teorema de Tales y sus aplicaciones.
El planteamiento de ejercicios de clculo de distancias a puntos inaccesibles en la realidad donde se aplique la semejanza es imprescindible en el desarrollo de esta unidad.

OBJETIVOS

CRITERIOS
DE EVALUACIN

1. Comprender y aplicar el teorema

de Tales.

1.1 Utilizar el teorema de Tales para determinar medidas.

COMPETENCIAS
BSICAS

1.2 Aplicar el teorema de Tales para dividir un segmento en partes iguales.

1.3 Aplicar el teorema de Tales para dividir
un segmento en partes proporcionales.
2. Identificar figuras semejantes.

3. Comprender el concepto de razn

de semejanza.

2.1 Aplicar los criterios de semejanza de

tringulos.

Lingstica
Matemtica
Interaccin con el mundo
fsico
Social y ciudadana

2.2 Identificar polgonos semejantes.

Cultural y artstica

3.1 Calcular la razn de semejanza entre

dos figuras.

Tratamiento de la
informacin y competencia
digital
Aprender a aprender

3.2 Relacionar las reas y volmenes de figuras semejantes del plano y el espacio.
4. Resolver problemas mtricos a
travs de la interpretacin de planos, mapas, etc.

4.1 Utilizar la escala y la semejanza para

interpretar planos y mapas.

CONTENIDOS

Figuras semejantes. Tringulos

Razn de semejanza. Clculo de la razn de semejanza
Teorema de Tales
Tringulos en posicin de Tales
Utilizacin del teorema de Tales para obtener medidas
Divisin de un segmento en partes iguales
Divisin de un segmento en partes proporcionales
Criterios de semejanza de tringulos
Identificacin de tringulos semejantes
Razn de semejanza de las reas de figuras semejantes
del plano

Unidad 11

Semejanza. Teorema de Tales

Razn de semejanza de los volmenes de figuras semejantes del espacio

Construccin de figuras semejantes
Mapas, planos y maquetas. Escalas
Utilizacin de la escala para crear o interpretar planos y
maquetas
Reconocimiento y valoracin de la importancia del teorema de Tales en aplicaciones cotidianas
Valoracin y reconocimiento de la utilidad de las escalas
para poder estudiar en el papel objetos, terrenos, etc.,
cuyo tamao hace imposible su estudio en la realidad

Programacin de aula

ORIENTACIONES METODOLGICAS
1. Conocimientos previos
Para que los alumnos manejen con soltura el clculo de medidas a travs del teorema de Tales y distancias reales entre
dos puntos, conociendo su distancia sobre un plano, mapa o escala, es preciso que dominen las unidades de medida de
longitud, superficie y volumen.
Tambin es preciso que estn familiarizados con los instrumentos de dibujo.

2. Previsin de dificultades
Los alumnos no suelen tener dificultad en percibir a travs de la vista la semejanza entre figuras, pero a la hora de
representar o analizar la relacin existente entre ellas pueden encontrar dificultades.
Deben abordar este tema siempre con ayuda de material de dibujo, regla, comps, transportador, etc., para realizar la
representacin grfica adecuada en cada caso con las medidas pertinentes.

3. Vinculacin con otras reas

La proporcin geomtrica est presente en el mundo del arte y en la observacin de las medidas de la naturaleza. Basta recordar algunos ejemplos de la presencia de la proporcin ms conocida, la proporcin urea: Partenn, concha del
Nautilus, La Gioconda.

4. Esquema general de la unidad

La unidad comienza con una imagen que ilustra perfectamente la idea de semejanza. En el primer epgrafe se introducen las figuras semejantes con ampliaciones y reducciones de una fotografa para que los alumnos analicen de un modo
intuitivo la escala o razn de semejanza, estableciendo cundo dos polgonos son semejantes y particularizndolo en el
caso de los tringulos.
A continuacin se enuncia el teorema de Tales y se indica cundo dos tringulos estn en posicin de Tales, para poder
aplicarlo a la divisin de un segmento en partes iguales o en partes proporcionales.
Se trabajan los criterios de semejanza de tringulos. Aqu es
donde deben precisar y tener un concepto claro del valor exacto de la razn de semejanza como nmero abstracto, relacionndola tambin con el rea y el volumen de figuras semejantes en el plano y en el espacio.

FIGURAS SEMEJANTES
Razn de semejanza

A partir de este momento se pueden construir tringulos y

polgonos semejantes utilizando la divisin de un segmento
en partes iguales.

Criterios de semejanza
TEOREMA DE TALES

En este tipo de ejercicios se debe exigir precisin y exactitud,

trabajando con papel cuadriculado o milimetrado.
Por ltimo, se har la interpretacin de planos, mapas, fotocopias, etc., para utilizar el concepto de escala. Se deben trabajar ejemplos sencillos en un principio, pues los alumnos
suelen tener dificultades con su interpretacin y precisin,
sobre todo con cambios de unidades.

Divisin de un segmento
Construccin de figuras semejantes
Planos, maquetas y mapas

5. Temporalizacin
Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en ocho sesiones:
1. Introduccin. Figuras semejantes. Razn de semejanza
2. Teorema de tales. Tringulos en posicin de Tales
3. Divisin de un segmento
4. Criterios de semejanza de tringulos. Razn de semejanza de longitudes, reas y volmenes
5. Construccin de figuras semejantes
6. Mapas, planos y maquetas. Escalas
7. Actividades de repaso y consolidacin
8. Trabajo de las competencias mediante la doble pgina final de la unidad
En todas las sesiones, la exposicin terica debera ir acompaada de la realizacin de ejemplos y de ejercicios de los
que se proponen tanto en los epgrafes como en las pginas finales de actividades.
Por supuesto, el contexto de la clase es tambin un factor determinante para fijar el nmero de sesiones necesarias para
desarrollar la unidad.

Semejanza. Teorema de Tales

Unidad 11

Programacin de aula

CONTRIBUCIN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIN DE COMPETENCIAS BSICAS

Competencia lingstica
Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensin del texto es bsica para el aprovechamiento de la misma. El texto de entrada, los problemas con enunciado contextualizado y las actividades competenciales finales desarrollan de forma ms especfica los descriptores recogidos en la subcompetencia de comunicacin escrita. En la entrada de la unidad y en la introduccin de las actividades de En el pas de los gigantes se hace referencia
al libro Los viajes de Gulliver, lo que permite trabajar de una forma especfica el descriptor adquirir el hbito de la lectura y aprender a disfrutar con ella considerndola fuente de placer y conocimiento.

Competencia matemtica
Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prcticamente se trabajan todas las
subcompetencias y descriptores.
Al estar dedicada la unidad a la semejanza y sus aplicaciones, se desarrollan las subcompetencias razonamiento y argumentacin y uso de elementos y herramientas matemticos.

Competencia para la interaccin con el mundo fsico

La interpretacin y el uso de mapas, planos y maquetas para representar la realidad nos permiten desarrollar el descriptor conocer y valorar la aportacin del desarrollo de la ciencia y la tecnologa a la sociedad.

Competencia social y ciudadana

El texto inicial y el de En el pas de los gigantes permiten trabajar la subcompetencia desarrollo personal y social. El
debate que puede establecerse a raz de la actividad 5 de En el pas de los gigantes desarrolla la subcompetencia compromiso solidario con la realidad personal y social, en concreto el descriptor respetar y defender los principios universales
que contiene la Declaracin de los Derechos Humanos.

Competencia cultural y artstica

Con el visionado del vdeo sobre las maquetas de trenes que indica la actividad III de Desarrolla tus competencias
podremos trabajar la subcompetencia sensibilidad artstica.

Competencia para el tratamiento de la informacin y competencia digital

La unidad contiene variadas referencias a la utilizacin de medios tecnolgicos para la bsqueda de informacin y la resolucin de actividades interactivas. Se trabajan las subcompetencias de obtencin, transformacin y comunicacin de la
informacin.

Competencia para aprender a aprender

La creacin y utilizacin de reglas mnemotcnicas permitir que los alumnos desarrollen la competencia Aprender a aprender a travs del descriptor conocer y aplicar, segn las necesidades, las estrategias que favorecen el aprendizaje, como
las tcnicas de estudio y de memorizacin de la subcompetencia manejo de estrategias para desarrollar las propias capacidades y generar conocimiento.

Competencia para la autonoma e iniciativa personal

Las actividades finales de la entrada permiten trabajar la subcompetencia desarrollo personal y social.

Otras competencias de carcter transversal

Aprender a pensar
El proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexin y el sentido crtico
del alumno. La unidad presenta oportunidades en las que las actividades exigen al alumno este ejercicio reflexivo y
crtico.
En esta unidad se propone un tema de debate en internet en la actividad de Aprende a pensar sobre El pas de los gigantes en la que, adems de la competencia social y ciudadana, citada explcitamente en la tabla de la pgina siguiente, se
trabajan las competencias y subcompetencias:
Lingstica: Comunicacin escrita
Tratamiento de la informacin y competencia digital: Uso de las herramientas tecnolgicas y uso tico y responsable
de la informacin y las herramientas tecnolgicas.
Aprender a aprender: Manejo de estrategias para desarrollar las propias capacidades y generar conocimiento.
Autonoma e iniciativa personal: Desarrollo de la autonoma personal
En las sugerencias didcticas de los epgrafes y de las actividades se proponen algunos temas de reflexin y debate en
relacin con las actividades sealadas.

Unidad 11

Semejanza. Teorema de Tales

Programacin de aula

TRATAMIENTO ESPECFICO DE LAS COMPETENCIAS BSICAS EN LA UNIDAD

A lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias bsicas que prescribe el currculo. Para esta unidad
sugerimos realizar un trabajo ms intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptores competenciales especficos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.

COMPETENCIA

SUBCOMPETENCIA

1.er nivel de concrecin 2. nivel de concrecin

Lingstica

Practica con reglas mnemotcnicas.

Pon a prueba tus competencias:
Escucha y aplica, 2 y 3

Adquirir el hbito de la lectura y

aprender a disfrutar con ella
considerndola fuente de placer y
conocimiento.

Se interesa por leer Los viajes de Gulliver.

Desarrolla tus competencias
Pon a prueba tus competencias:
Aprende a pensar

Estimar y enjuiciar la lgica y validez

de argumentaciones e informaciones y
analizar crticamente los resultados

Aplica razonamientos matemticos para decidir si

King Kong podra mantenerse sobre sus patas.
Pon a prueba tus competencias:
Analiza la ficcin, 2

Conocer y utilizar los elementos

matemticos bsicos (distintos tipos
de nmeros, medidas, smbolos,
elementos geomtricos, etc.) en
situaciones reales o simuladas de la
vida cotidiana.

Usa la proporcionalidad geomtrica.

Pon a prueba tus competencias:
Aprende a pensar, 1 a 3
Analiza la ficcin, 1 y 2

Conocer y aplicar herramientas

matemticas para interpretar y
producir distintos tipos de
informacin (numrica, grfica).

Realiza dibujos y mapas a escala.

Pon a prueba tus competencias:
Aprende a pensar, 1 y 2

Conocimiento y
valoracin del
desarrollo cientficotecnolgico

Conocer y valorar la aportacin del

desarrollo de la ciencia y la tecnologa
a la sociedad

Valora el uso de mapas y maquetas para

representar la realidad.
Mapas, planos y maquetas

Desarrollo personal
y social

Desarrollar el juicio moral para tomar

decisiones y razonar crticamente
sobre la realidad de forma global,
teniendo en cuenta la existencia de
distintas perspectivas.

Debate sobre las consecuencias del descubrimiento

de culturas con otras caractersticas.
Pon a prueba tus competencias:
Aprende a pensar, 4

Compromiso solidario
con la realidad personal
y social

Respetar y defender los principios

universales que contiene la
Declaracin de los Derechos Humanos.

Fomenta la igualdad entre compaeros.

Pon a prueba tus competencias:
Aprende a pensar, 5

Sensibilidad artstica

Adquirir sensibilidad y sentido

esttico para comprender, apreciar,
emocionarse y disfrutar con el arte y
otras manifestaciones culturales.

Muestra admiracin por las maquetas de trenes.

Desarrolla tus competencias
Ejemplo 14

Obtencin,
transformacin y
comunicacin de la
informacin

Buscar y seleccionar informacin con

distintas tcnicas segn la fuente o el
soporte, valorando su fiabilidad.

Busca en internet para complementar la informacin.

Desarrolla tus competencias
Pon a prueba tus competencias:
Escucha y aplica
Visita librosvivos.net para realizar distintas
actividades.
Actividades 11, 16 y 25

Manejo de estrategias
para desarrollar las
propias capacidades y
generar conocimiento

Conocer y aplicar, segn las

necesidades, las estrategias que
favorecen el aprendizaje, como las
tcnicas de estudio.

Construye sus propias reglas mnemotcnicas.

Pon a prueba tus competencias:
Escucha y aplica, 2 y 3

Comunicacin escrita

Matemtica
Uso de elementos y
herramientas
matemticos

Social y ciudadana

Cultural y artstica

Tratamiento
de la informacin
y competencia digital

Aprender
a aprender

DESEMPEO
4. nivel de concrecin

Aplicar de forma efectiva habilidades

lingsticas y estrategias no
lingsticas para interactuar y
producir textos escritos adecuados a
la situacin comunicativa.

Razonamiento y
argumentacin

Interaccin con
el mundo fsico

DESCRIPTOR
3.er nivel de concrecin

Semejanza. Teorema de Tales

Unidad 11

Programacin de aula

EDUCACIN EN VALORES
Tanto los contenidos de la unidad como las actividades para el trabajo especfico de las competencias que se citan en la
tabla de la pgina anterior nos permiten desarrollar algunos aspectos relacionados con la educacin en valores:
Educacin para los derechos humanos: actividad 5 de El pas de los gigantes.

ATENCIN A LA DIVERSIDAD
Hay que recordar que los ejercicios resueltos y propuestos en el libro de texto estn clasificados por un cdigo de colores segn su dificultad: verde, nivel bsico; naranja, nivel medio, y rojo, de alguna dificultad.
De esta forma, el profesor podr adaptar el contenido de la unidad bien a las caractersticas particulares de la clase, bien
a las especficas de cada grupo de alumnos dentro de la misma.
Adems, en este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno:
Actividades de refuerzo. Una pgina fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido.
Actividades de ampliacin. Una pgina fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cada
unidad del libro.
Propuesta de evaluacin. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asimilacin y comprensin de los conceptos y procedimientos tratados.
Cuaderno de evaluacin de competencias. En l se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve para
evaluar la adquisicin por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemticos tratados a situaciones en contextos reales, en conjuncin con el resto de competencias bsicas.

MATERIALES DIDCTICOS
Repaso de contenidos de cursos anteriores
Cuaderno de Matemticas. 1. de ESO. N. 6. Medida
Unidad I. Sistema Mtrico Decimal
Cuaderno de refuerzo de Matemticas: Aprende y aprueba. 1. de ESO

Bibliogrficos

Unidad 7. Medida
SM

Refuerzo y ampliacin de contenidos de este curso

Cuaderno de refuerzo de Matemticas. 2. de ESO. Aprende y aprueba
Unidad 7. Teoremas de Tales y de Pitgoras
Cuaderno de Matemticas. 2. de ESO. N. 6: Geometra y medida
Unidad IV. Semejanza
Cuaderno de Matemticas para la vida. 2. de ESO
Disea tu ruta, Nmeros en casa, Alturas inaccesibles y El local perfecto

Otros

Internet

SM

VV. AA.: Las matemticas de la vida cotidiana, Addison-Wesley / Ediciones de la UAM,

Madrid, 2006. El captulo 16 est dedicado al crecimiento y la forma, donde podremos
encontrar aplicaciones curiosas y motivadoras de la semejanza.
www.smconectados.com
www.librosvivos.net
Semejanza en el libro digital de 2. de ESO de educacin a distancia:

Otros

www.e-sm.net/2esomatprd20
Unidad didctica del teorema de Tales en Descartes:

Otros
materiales

www.e-sm.net/2esomatprd21

Unidad 11

Mapas, planos y maquetas

Material de dibujo: comps, regla, escuadra y cartabn

Semejanza. Teorema de Tales

Sugerencias didcticas
Desarrolla tus competencias
La fotografa de entrada en la que se ve a Gulliver tumbado en el suelo, atado y rodeado de liliputienses muestra al
alumno de una forma llamativa la idea de semejanza.
Existen muchos trabajos en la red sobre las matemticas
escondidas en Los viajes de Gulliver. Jakov Perelman, en
su libro Problemas y experimentos recreativos, dedica un
captulo a ello.
I. Con esta actividad podemos ver la relacin existente entre
el volumen y las figuras semejantes. En el libro, Swift
indica que la proporcin entre los liliputienses y Gulliver
era de 1 a 12, tanto en estatura como en peso y en contorno. Tanto Gulliver como los liliputienses son personas
tridimensionales, por lo que parece lgico que la cantidad diaria de comida de Gulliver fuera aproximadamente 123 veces lo que coma un liliputiense.
II y III. Para realizar estas actividades indicaremos a los
alumnos que establezcan una proporcin y que calculen
las diferentes medidas como estn acostumbrados a
hallar los trminos desconocidos de una proporcin. Convendra que les recomendramos buscar previamente
las dimensiones de la Torre Eiffel.

1. Figuras semejantes. Tringulos

semejantes
Para la observacin y comprensin del concepto de semejanza se puede recurrir a material grfico, como fotos y
fotocopias con ampliaciones y reducciones, donde puedan
observar que se mantiene la forma, la igualdad entre los
ngulos de las figuras representadas y la proporcionalidad de las medidas de sus segmentos.
A la hora de establecer la relacin de semejanza conviene hacer ver a los alumnos que algunos de ellos obtendrn por razn de semejanza la inversa de la que hayan
obtenido los otros, en funcin del orden en que relacionen las figuras.
En el reconocimiento de tringulos semejantes se puede comenzar con tringulos que en el grfico tengan sus
lados paralelos, pero se deben hacer representaciones
de tringulos semejantes que se encuentren girados,
invertidos, etc., para que recurran a la medida de ngulos y de lados siempre, para hacer sus comprobaciones.

ACTIVIDADES POR NIVEL

Bsico

2, 3, 26 y 27

Medio

29 a 32

Alto

33

2. Teorema de Tales
Trabajando con segmentos en los que se utilizan las medidas reales, con el apoyo del material de dibujo, y construyendo el trazado correcto de las paralelas (tcnica que
deben controlar con ayuda de la regla y la escuadra) que
dividen en segmentos proporcionales dos rectas que se
cortan en un punto, pueden comprobar realmente la proporcionalidad establecida por Tales. Para ello deben medir

los segmentos y realizar las comprobaciones. Si no obtienen los resultados esperados, analizarn los errores
cometidos en su construccin, lo que les servir de ayuda para la correccin de sus propios fallos. Observarn
que la razn de semejanza es un nmero abstracto.
En este punto no puede demostrarse la semejanza de los
tringulos en posicin de Tales, pero cuando enunciemos
los criterios de semejanza de tringulos, resultar obvio.
En el ejercicio resuelto 4 es importante indicar a los alumnos que para calcular x se ha aplicado el teorema de Tales
y que para calcular y se ha utilizado la semejanza de tringulos.
Como actividad complementaria podemos pedir a los
alumnos que busquen informacin sobre Tales de Mileto, situndolo en la poca en que vivi y enumerando
alguno de los clculos matemticos que realiz.

ACTIVIDADES POR NIVEL

Bsico

5, 6 y 28

Medio

37

3. Divisin de segmentos
Una de las aplicaciones del teorema de Tales es la divisin de segmentos en partes iguales, que tiene una aplicacin didctica de gran utilidad para la representacin
exacta sobre la recta real de nmeros fraccionarios.
Podemos proponer ejercicios de representacin de nmeros fraccionarios de diferentes rangos de valores, donde
los alumnos puedan observar que tienen que utilizar el
concepto de escala y hacer representaciones diferentes,
y que no pueden representarlos sobre el mismo eje.

ACTIVIDADES POR NIVEL

Bsico

7 y 34

Medio

8, 35 y 36

4. Criterios para determinar la

semejanza de tringulos
Para la observacin y adecuada comprensin de estos
criterios se debe procurar que los alumnos trabajen con
regla, escuadra o cartabn, comps y transportador, y
observen cmo se cumplen estos criterios entre tringulos semejantes con la ayuda de la medida.
Siempre deben tener en cuenta que en un tringulo, a
ngulo mayor se opone siempre un lado de mayor medida, clave en la representacin de tringulos semejantes
que no se encuentran en la posicin de Tales o donde no
se puede establecer una relacin de paralelismo a simple vista entre sus lados.
Una vez explicados los criterios de semejanza, podramos particularizarlos para el caso de tringulos rectngulos, indicando que para que dos tringulos rectngulos sean semejantes basta con cualquiera de estas
condiciones:
Semejanza. Teorema de Tales

Unidad 11

Sugerencias didcticas

Que tengan un ngulo agudo igual.

Que sus catetos sean proporcionales.
Que un cateto y la hipotenusa sean proporcionales.

ACTIVIDADES POR NIVEL

Bsico

10 y 57

Medio

12 y 38

Alto

67

5. Semejanza y razn de longitudes,

reas y volmenes
El trabajo con papel cuadriculado o milimetrado donde el
alumno pueda observar cmo la ampliacin o reduccin
de una figura repercute sobre la superficie que ocupa, y
pueda hacerlo tomando como unidad de medida la superficie de una cuadrcula, le ayudar a la comprensin de
la razn que existe entre las reas de figuras semejantes. De este modo, cuando realice el proceso analtico
del clculo no se sorprender con el resultado, sino que
se lo esperar y lo entender.
De modo anlogo a lo que hicimos para comprobar la
relacin de la superficie con la razn de semejanza, llevaremos al aula cubos y formaremos con ellos dos cubos
ms grandes, uno de dos cubos pequeos por arista y
otro de tres, para que comprendan la relacin que existe entre los volmenes de figuras semejantes.

ACTIVIDADES POR NIVEL

Bsico

39 a 43

Medio

15, 17, 44 a 46 y 60 a 62

Alto

65, 68 y 69

6. Construccin de polgonos
semejantes
Para la construccin de polgonos semejantes es muy
til la triangulacin de los mismos y el trazado de paralelas a la distancia adecuada.
Se puede comenzar por la construccin de cuadrilteros
semejantes, e ir poco a poco ampliando el nmero de
lados.
Los alumnos deben trabajar la construccin de polgonos semejantes a uno dado con el centro de semejanza en un vrtice del polgono, que es el mtodo descrito en el epgrafe. Pero aquellos que tengan inters por
aprender otros mtodos pueden hacerlo en la direccin
que viene en el margen. A estos alumnos se les puede
dejar elegir que utilicen el mtodo que les resulte ms
cmodo. Lo importante en este caso es la construccin
correcta.

ACTIVIDADES POR NIVEL

Bsico

18 y 47 a 49

Medio

19

Unidad 11

Semejanza. Teorema de Tales

7. Mapas, planos y maquetas

Se puede sugerir como prctica de este apartado que
sean los propios alumnos quienes traigan a clase este
tipo de materiales, que seguramente sern muy sugerentes, como las maquetas, pues es muy probable que
algunos de nuestros alumnos sean aficionados a las construcciones de maquetas de barcos, aviones, castillos
medievales, etc.
Se puede proponer que calculen determinadas distancias en la realidad sobre el material que nos hayan proporcionado.
La utilizacin de GeoGebra, propuesta en el lateral, o de
otros programas de geometra dinmica puede ayudar
mucho a la comprensin de la composicin de movimientos.

ACTIVIDADES POR NIVEL

Bsico

21

8. Escalas
Los alumnos han manejado intuitivamente en mapas y
planos este tipo de escalas, pero suelen encontrar dificultad para hacerse una idea de la medida real con la
simple observacin de la escala hasta que no hacen el
clculo exacto de alguna de las distancias concretas en
el mapa, estableciendo la proporcionalidad dada por la
escala, y entonces la toman como referencia.
Es importante que expresen de modo correcto tanto verbalmente como por escrito la relacin a:b que representa la escala numrica como la razn entre la longitud
determinada en la representacin y la medida real que le
corresponde.
La escala grfica que acompaa a muchos planos o mapas
suele ser mucho ms til para percibir las distancias reales, pues la visin simultnea del segmento que representa la escala y el grfico da un conocimiento relativo de
la medida real a simple vista. Pero no se deben dejar
engaar por la vista, y regla en mano deben hacer las
medidas y los clculos pertinentes.
Se puede sugerir que busquen en el ordenador a travs
de internet mapas o planos de la calle donde viven, los
impriman y calculen la anchura y longitud de determinadas calles, y observen que la mayora de ellos van
acompaados de la correspondiente escala grfica.

ACTIVIDADES POR NIVEL

Bsico

23, 50 a 52, 58 y 59

Medio

24, 53 a 56, 63 y 64

Alto

66

Organiza tus ideas

Podemos pedir a los alumnos que utilicen colores, marcadores, subrayados, etc., para destacar lo que les presente
en principio una mayor dificultad, y que lo utilicen para
resolver los problemas. De este modo irn fijando sus ideas
hasta que llegue el momento en que ya no lo necesiten.

Sugerencias didcticas

Otra actividad que podemos pedirles es que asignen a

cada uno de los apartados del esquema-resumen actividades realizadas de la unidad.

Actividades de ampliacin

que son diferentes a ellos, ya sea por estar afectados por

alguna enfermedad, por ser de diferente raza, profesar una
religin diferente, etc. Una vez que hayan realizado estas
reflexiones, las emplearn para debatir en el blog con otros
alumnos, trabajando las siguientes competencias:
Lingstica, desarrollando la subcompetencia oral.

Con estas actividades desarrollamos las competencias de

aprender a aprender y de autonoma e iniciativa personal.
Los alumnos debern aplicar los contenidos del tema, decidiendo cules son los ms apropiados para resolver cada
una de las actividades.

Tratamiento de la informacin y competencia digital, a

travs del uso de las nuevas tecnologas.

Asimismo, debern elaborar sus propias estrategias para

resolverlos, dado que no son problemas guiados ni se ajustan a patrones preestablecidos que ya conozcan, lo que
puede resultarles muy estimulante, aunque al comienzo
les asuste un poco.

ANALIZA LA FICCIN. LA LEY DEL CUBO-CUADRADO

Pon a prueba tus competencias

APRENDER A PENSAR. EN EL PAS DE LOS GIGANTES
Esta actividad es continuacin de la de la entrada. En esta
ocasin volvemos a trabajar con la semejanza, solo que
ahora el gigante no es Gulliver, sino los habitantes del nuevo pas.

Autonoma e iniciativa personal, con la subcompetencia

desarrollo de la autonoma personal.

Con esta actividad, los alumnos pueden comprobar con un

ejemplo concreto cmo las matemticas sirven para explicar fenmenos fsicos.
Para responder al apartado c de la pregunta 1 les indicaremos que utilicen como superficie de apoyo 600 centmetros cuadrados.
En la pregunta 2 pueden demostrar, gracias a la semejanza,
la no existencia de monstruos como King Kong o Godzilla.
En el libro recomendado en los materiales didcticos se desarrolla detenidamente la idea expuesta en este apartado.
ESCUCHA Y APLICA. TEOREMA DE TALES

En la actividad 1 podemos llamar la atencin de los alumnos sobre que Swift utiliza la misma proporcin entre los
liliputienses y Gulliver y entre Gulliver y los habitantes de
Brobdingnag, indicndoles que no es fruto del azar y que el
motivo es que esta es la proporcin que existe entre pulgada
y pie en el sistema de medidas anglosajn.

Aunque esta actividad est al final de la unidad, no sera

mala idea enunciar el teorema de Tales proyectando en
clase algn vdeo de Les Luthiers donde cantan el teorema
y pedir a los alumnos que dibujen las rectas, para luego
comparar el dibujo que hayan obtenido con el que aparece
en el epgrafe 2 de la unidad.

En la pregunta 2, los alumnos deben tener cuidado a la

hora de hallar la proporcin entre el pas de Brobdingnag
y Espaa, ya que comparan superficies, y obtendrn k2, no
k. Debemos indicarles que el mapa poltico de Amrica del
Norte que utilicen para dibujar el pas de Brobdingnag debe
tener la escala.

En la direccin de la pregunta 2, los alumnos encontrarn

diferentes ejemplos de reglas mnemotcnicas, que les
darn ideas para crear otras nuevas y aplicarlas no solo
para aprender matemticas.

La pregunta 4 va encaminada a que los alumnos reflexionen sobre el respeto que debe mostrarse ante personas

Despus de que los alumnos hayan escrito la frase para

recordar las ocho primeras cifras decimales del nmero
, podemos pedirles que vayan leyndolas uno a uno y que
de entre las que tengan sentido elijan la ms original.

En la pgina 16 presentamos una matriz de evaluacin que el profesor puede utilizar para evaluar
el grado de consecucin de las competencias bsicas trabajadas a lo largo de esta unidad. Adems,
en www.smconectados.com puede descargar una aplicacin informtica que le facilitar esta tarea.

Semejanza. Teorema de Tales

Unidad 11

Actividades de refuerzo
Unidad 11

Semejanza. Teorema de Tales

ORIENTACIONES METODOLGICAS
Los alumnos, al completar la unidad, deben:
Utilizar el teorema de Tales para determinar medidas y construir figuras semejantes.
Aplicar los criterios de semejanza de tringulos y polgonos para resolver problemas mtricos.
Utilizar la semejanza y las escalas para interpretar planos y mapas.
En geometra es muy importante que se insista en que dibujen todas las figuras, siendo precisos en sus medidas. Tambin suele ayudar, cuando dibujan figuras semejantes, que trabajen con distintos colores. Como tienen que medir y hacer
clculos con unidades de medida, es importante que en todo momento trabajen en las unidades adecuadas de medida y practiquen el redondeo.
Procuraremos que utilicen las herramientas de medida adecuadas (regla, comps, escuadra o cartabn, transportador) para que puedan comprobar grficamente los clculos que realicen.

ACTIVIDAD DE GRUPO
Das de fotos
Se puede proponer como actividad de clase a los alumnos que calculen el tamao de determinados objetos a partir de
una foto.
Para ello, con una cmara digital, deben hacerse fotos al lado de la pizarra, los pupitres, la mesa del profesor, sus sillas,
etc., y como conocen su estatura, pueden determinar lo que miden cada uno de los objetos. Es importante tambin que
calculen la escala de la foto, ya la tengan impresa o en la pantalla de su ordenador.
Esta actividad puede llevarse fuera del aula para calcular la altura aproximada de edificios, puentes, monumentos, etc.

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS

= 90 y C
= 30
1. a) = 60, B
= 90 y C'
= 30
' = 60, B'
3
b) Razn de proporcionalidad: r = = 15
,
2
3 6
6
c) r = = x = = 4 cm
2 x
15
,
3 5,2
5,2
r= =
y=
= 3,47 cm
2
y
15
,

2. Como el enunciado nos dice que son semejantes, no es

necesario medir los ngulos para comprobarlo.
Razn de proporcionalidad:
4
4 6
6
r = = 2 r = = x = = 3 cm
2
2 x
2
4 5
5
r = = y = = 2,5 cm
2 y
2

3.
2 cm

4 cm

A
B

4. a)

Medidaenlailustracin
Medidaenlarealidad

A
B

2 cm
70 cm
17

Unidad 11

Semejanza. Teorema de Tales

1
85

Se escribe 1 : 85 y se lee 1 es a 85.

85

4 cm = 340 cm = 34 m
1
85
rbol: 3 cm = 255 cm = 2,55 m
1
85
Nio: 15
, cm = 127,5 cm = 1275
,
m
1

b) Farola:

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar ms propuestas de actividades de refuerzo.

10

Ms recursos
en tu carpeta

ACTIVIDADES de REFUERZO
Unidad 11

Semejanza. Teorema de Tales

1. Dados los tringulos ABC y A'B'C' de la figura:

a)

Mide el valor de sus ngulos con el transportador para comprobar que

son iguales en los dos tringulos.

b)

Si aplicas el criterio de semejanza que dice que dos tringulos son

semejantes si tienen dos ngulos correspondientes iguales, esto supone que sus lados son proporcionales.
Cul es la razn de proporcionalidad entre los lados de los dos tringulos?

c)

C
C
5,2 cm

6 cm

3 cm

2 cm

Calcula la medida de los lados que faltan en el tringulo ABC.

2. Siguiendo las pautas del ejercicio 1, determina los valores x e y del tringulo A'B'C' de la figura que se
adjunta sabiendo que es semejante al ABC.
C
4 cm

5 cm

6 cm

C
2 cm y

A x
B

3. Construye un rombo que sea el doble del de la figura. Para ello sigue estos pasos:
1. Dibuja un rombo de 2 cm de lado como el de la figura.

2 cm

2. Prolonga con la regla desde A los segmentos AD, AC y AB.

3. Con el comps haciendo centro en D y tomando como radio AD, marca la medida sobre
las rectas que has prolongado para obtener el vrtice D'.

A
B

Repite el procedimiento sobre los vrtices B y C y marca C' y B', que con A formarn
un rombo el doble del dado.
4. Por ltimo, comprueba con la regla que todos sus lados miden 4 cm.
4. Si sabes que la chica del dibujo mide 1,70 m, calcula:
a)

Escala a la que se ha hecho la ilustracin. Recuerda que

para calcular la escala debes utilizar la misma unidad
de medida para la medida real y la de la ilustracin o
plano. Tambin has de tener en cuenta que la escala es
una razn cuyo valor es:
Medida en la ilustracin A
=
Medida en la realidad
B

Se escribe A : B y se lee A es a B.
Utilizando ya la escala de la ilustracin que has calculado, determina qu altura tienen la farola, el
nio y el rbol de la ilustracin.
Recuerda que:

Medida en la ilustracin A
B
Medida en la ilustracin.
= Medida en la realidad =
Medida en la realidad
B
A

Semejanza. Teorema de Tales

Unidad 11

Pgina fotocopiable

b)

11

Actividades de ampliacin

Semejanza. Teorema de Tales

Unidad 11

ORIENTACIONES METODOLGICAS
Los alumnos a los que van dirigidas este tipo de actividades deben trabajar con diferentes formas geomtricas y observar la posible relacin de semejanza no solo entre sus dimensiones por tener la misma forma, sino tambin entre sus
reas, como en el proceso de unin de varias figuras generalmente regulares que puede dar lugar a la construccin
de figuras regulares de forma diferente.
Estos alumnos pueden profundizar un poco ms sobre la semejanza trabajando con fractales donde puedan observar
imgenes realmente ldicas en las que la semejanza de las formas est presente. Existen verdaderas maravillas en
el mundo de la arquitectura.

ACTIVIDAD DE GRUPO
Metro a metro
Se puede dividir la clase en grupos de trabajo para que realicen un plano a escala de cada una de las plantas del edificio del colegio.
Para ello tomarn medidas de los diferentes recintos del centro, se pondrn de acuerdo en el tamao del papel que usarn para hacer la representacin, as como en la escala adecuada para poder representar las dimensiones de cada planta en ese formato elegido.

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS

1. a)

D
D

3 C
6

C
6

S=

12

S' =

3+ 6
2

2,6 = 117
, cm2

12 + 6
2

2. a)

5,2 = 46,8 cm2

2 2

2 2

S
= 4 k= 4
S

b)

3
3

b) P = 6 cm, P' = 18 cm r =

3.

180
,
h

2
10

1
3

c) A = 3 cm , A' = 27 cm r =
2

12

c)

h = 9 m. Falta 1 metro de pozo.

4. El tringulo ABC es semejante al tringulo ADE y

5
8
DE = DC:
DE = 3,1 cm
=
DE 8 DE
5.

d)
9

3
9

x + 800
x

h 80 + 800 h
=
= h = 44 metros
4
80
4

6. 1,75 16 = 28 metros
7. AB = 4,5 cm, AC = 9 cm, BC = 6 cm

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar ms propuestas de actividades de ampliacin.

12

Unidad 11

Semejanza. Teorema de Tales

Ms recursos
en tu carpeta

ACTIVIDADES de AMPLIACIN
Unidad 11

Semejanza. Teorema de Tales

3 cm

1. Dado el trapecio issceles de la figura:

a) Dibuja un trapecio semejante que sea el doble de grande. Calcula sus reas.
Cul sera la razn k' entre las reas del mayor y del menor de los trapecios?

3 cm

b) Realiza grficamente la divisin en k' trapecios como el de la figura del

trapecio dibujado en el apartado a.

6 cm

c) Construye un hexgono regular de lado 6 cm, comprueba que su superficie es ocho veces la del trapecio issceles dado. Realiza grficamente la divisin del hexgono en los ocho trapecios.
d) Construye un tringulo equiltero de lado 9 cm, comprueba que su superficie es el triple que la del trapecio issceles dado. Realiza grficamente la divisin del tringulo en los tres trapecios.

2. Dentro de un crculo de radio 3 cm se ha dibujado la superficie sombreada.

a) Dibuja una superficie semejante a la sombreada dentro de un crculo de radio
9 cm.
b) Calcula los permetros de la figura dada y de la figura semejante que has dibujado. Qu razn de semejanza existe entre los permetros?
c) Calcula las superficies de la figura dada y de la figura semejante. Qu razn de semejanza existe
entre las superficies?

3. En casa de Ana estn construyendo un pozo circular de 5 metros de radio y

quieren que tenga 10 metros de profundidad. Ana, que mide 1,80 m, observa que si se sita a 2 m del borde puede unir su visual del borde superior
del pozo y del borde inferior, si dicha visual se encuentra en un plano que
contiene al dimetro y es perpendicular al pozo.

1,80 m

5m
2m

Habrn terminado ya de construir los 10 metros de fondo? Razona la respuesta.

se traza su bisectriz CD y luego el segmento DE paralelo a CB.

4. En el tringulo ABC rectngulo en C
Calcula DE si sabes que CB = 5 cm y CA = 8 cm.

5. Julio quiere saber la altura de una torre y observa que en la visual del punto ms alto de la misma se
encuentran alineadas las copas de dos rboles, uno de 4 m que se encuentra a 800 m de la torre y otro
de 14 m que se encuentra a 600 m de la torre.
Calcula la altura de la torre.

6. Mara, para calcular la altura de un edificio, mide las sombras que proyectan ella y el edificio a una
determinada hora del da. Observa que la diferencia que existe entre las sombras es de 15 veces la suya.

7. Si ABC y CDE son dos tringulos opuestos por el vrtice con las medidas que se dan del tringulo CDE y
sabiendo que:
2
CE = BE
5
AB es paralelo a ED.

Calcula la longitud de AB, BC y AC.

4 cm
6 cm

E
3 cm
D

Semejanza. Teorema de Tales

Unidad 11

Pgina fotocopiable

Qu altura tiene el edificio, si Mara mide 1,75 m?

13

PROPUESTA de EVALUACIN
Unidad 11

Semejanza. Teorema de Tales

APELLIDOS:

NOMBRE:

FECHA:

CURSO:

GRUPO:

1. Dibuja un segmento de 8 cm de longitud y divdelo en tres partes iguales. (Usa la regla y la escuadra).
r

2. Siendo la recta r paralela a r', calcula el valor de x y de x + 1.

r
x+

2 cm

6 cm
D

3. Construye un cuadriltero semejante al ABCD de tal modo que sus lados midan el doble.
(Utiliza como punto de proyeccin uno de sus vrtices).

C
A

B
A

4. En el tringulo rectngulo ABC se traza la altura AD y queda dividido en

otros dos tringulos rectngulos: el BAD y el DCA.
Si sabes que AC = 12 cm y AB = 9 cm:
a) Podras determinar si son semejantes los tringulos ABC y ABD?

Razona la respuesta.
b) Calcula la razn de semejanza entre los tringulos ABC y ABD. Utilizando la razn de semejanza, calcula los catetos AD y BD.
c) Son semejantes los tringulos ABD y ACD? Razona la respuesta. Cul es su razn de semejanza?
5. Calcula la altura del edificio de la figura.

27 m

4m

1,80 m
1,65 m

6. Dado un hexgono regular de lado 6 cm:

a) Cunto medira el lado de otro hexgono semejante cuya razn de semejanza entre el dado y su semejante es de 3 : 4?
b) Calcula sus permetros. Qu razn existe entre ellos?
c) Calcula sus reas. Qu razn existe entre ellas?

Pgina fotocopiable

7. Completa la siguiente tabla, donde se reflejan los datos tomados de tres planos.

14

Distancias

Distancia en el plano

Entre dos ciudades

20 cm

Entre dos personas

Entre dos edificios

Unidad 11

Semejanza. Teorema de Tales

Distancia real

1:1 000 000

80 m

12 cm

Escala

500 m

1:2000

Propuesta de evaluacin
Unidad 11

Semejanza. Teorema de Tales

SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIN

1.
2 cm
2 cm
2 cm
A

2.

2
x

8/3

8/3

8/3
8 cm

x +1
6

x 2 + x 12 = 0 x = 3 cm y x + 1 = 4 cm

3.
D

C
C

4. a) El tringulo ABC es semejante al tringulo ABD, pues sus ngulos son iguales; por tanto, sus lados opuestos
son proporcionales.
5
b) Razn = AD = 7,2 cm y BD = 9,6 cm
3
c) El tringulo BDA es semejante al tringulo DCA, pues sus ngulos son iguales.
4
Razn =
3

5.

18
,
18
,
x
x
= x =135
, m;
= h = 40 m
h
,
4
x +165
,
x + 27+165

6. a) 8 cm
b) Permetro del hexgono dado: 36 cm. Permetro del hexgono semejante: 48 cm. Razn:

4
2
3
9
c) rea del hexgono dado: 93,53 cm2. rea del hexgono semejante: 166,3 cm2. Razn: = = = 0,56
4 16
7.

Distancias

Distancia en el plano

Distancia real

Escala

Entre dos ciudades

20 cm

200 km

1:1 000 000

Entre dos personas

4 cm

80 m

1:2000

Entre dos edificios

12 cm

500 m

3:12 500

Semejanza. Teorema de Tales

Unidad 11

15

Unidad 11
Semejanza. Teorema de Tales

Lingstica
Comunicacin escrita

DESEMPEO

DESCRIPTOR
Aplicar habilidades lingsticas y
estrategias no lingsticas para
interactuar y producir textos escritos
adecuados a la situacin comunicativa.

Practica con reglas mnemotcnicas.

Escucha y aplica, 2 y 3

Adquirir el hbito de la lectura y aprender

a disfrutar con ella considerndola fuente
de placer y conocimiento.

Se interesa por leer Los viajes de Gulliver.

Matemtica
Razonamiento y argumentacin

Estimar y enjuiciar la lgica y validez de

argumentaciones e informaciones y
analizar crticamente los resultados.

Aplica razonamientos matemticos para decidir si King

Matemtica
Uso de elementos y herramientas
matemticos

Conocer y aplicar herramientas

matemticas para interpretar y producir
distintos tipos de informacin.

Interaccin con el mundo fsico

Conocimiento y valoracin del
desarrollo cientfico-tecnolgico

Conocer y valorar la aportacin del

desarrollo de la ciencia y la tecnologa a la
sociedad.

Social y ciudadana
Desarrollo personal y social

Desarrollar el juicio moral para tomar

decisiones y razonar sobre la realidad de
forma global, teniendo en cuenta la
existencia de distintas perspectivas.

Social y ciudadana
Compromiso solidario con la
realidad personal y social

Respetar y defender los principios

universales que contiene la Declaracin de
los Derechos Humanos.

Cultural y artstica
Sensibilidad artstica

Adquirir sensibilidad y sentido esttico

para comprender, apreciar y disfrutar con
el arte y otras manifestaciones culturales.

Informacin y competencia digital

Obtencin, transforma-cin y
comunicacin de la informacin

Buscar y seleccionar informacin con

distintas tcnicas segn la fuente o el
soporte, valorando su fiabilidad.

Aprender a aprender
Manejo de estrategias para
desarrollar las propias capacidades
y generar conocimiento

Conocer y aplicar, segn las necesidades,

las estrategias que favorecen el
aprendizaje, como las tcnicas de estudio.

Desarrolla tus competencias

Aprende a pensar
Kong podra mantenerse sobre sus patas.
Analiza la ficcin, 2
Realiza dibujos y mapas a escala.

Aprende a pensar, 1 y 2
Valora el uso de mapas y maquetas para representar la

realidad.
Mapas, planos y maquetas
Debate sobre las consecuencias del descubrimiento de

culturas con otras caractersticas.

Aprende a pensar, 4
Fomenta la igualdad entre compaeros.

Aprende a pensar, 5
Muestra admiracin por las maquetas de trenes.

Desarrolla tus competencias

Ejemplo 14
Busca en internet para complementar la informacin.

Escucha y aplica
Visita librosvivos.net para realizar actividades.

Actividades 11, 16 y 25
Construye sus propias reglas mnemotcnicas.

Escucha y aplica, 2 y 3

LO
CONSIGUE
(4 puntos)

NO
CON
TOTALMENTE DIFICULTAD
(3 puntos)
(2 puntos)

NO LO
CONSIGUE
(1 punto)

Matriz de evaluacin de competencias

16

COMPETENCIA Y
SUBCOMPETENCIA

ESO

SOLUCIONARIO