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Aritmética 1
Aritmética 1
Aritmética 1
ARITMTICA
19
Un matemtico despistado
Conocedora de su cabeza despistada, la
mujer del matemtico estadounidense
Norbert Wiener (1894-1964) siempre
recordaba a su esposo antes de ir al trabajo
la inminente mudanza de casa: Norbert,
no olvides que dentro de treinta das nos
cambiamos de casa y que, cuando salgas
de la universidad, no tendrs que coger el
mismo autobs, sino el que va a la zona
de nuestra nueva residencia. Wiener
siempre responda: S, querida. Y as
lleg el da de la mudanza. El traslado se hizo mientras l estaba en la
universidad. Como era de esperar, a la vuelta Norbert cogi el autobs
de siempre. Al llegar a su antigua morada, record que ya no viva en
aquel lugar. Como no saba ir desde all a su nueva casa, cogi de nuevo
el autobs que le llevaba todos los das a la universidad y esper a que
pasara el que se diriga a su nuevo lugar de residencia. Al bajar, se encontr
con un gran nmero de casas tan iguales que le era imposible reconocer
la suya. Empez a dar vueltas y vueltas hasta que, perdido y al borde del
pnico, se acerc a una nia que iba por la calle y le dijo:
Perdona, no sabrs dnde viven los Wiener?
S, pap. Venga, te llevo a casa! replic la pequea.
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Cuarto Bimestre
Intermedio I
Ejemplo:
Mltiplos de 4:
MCM(A, B) = A B
Ejemplo:
Mltiplos de 6:
MCM(16; 9) = 169 = 144
PESI
MCM(4; 6) = ________
2.
Si A B
1.
MCM(A, B) = A
Ejemplo:
MCM(35; 7) = 35
lo contiene
Ejemplo:
Calcular el MCM de 24; 36 y 40.
3.
24 36 40
Ejemplo:
MCM(24; 36; 40) = _____
2.
Si:
MCM(A, B) = m
MCM(C, D) = n
MCM(A, B, C, D) = MCM(m, n)
Ejemplo:
MCM(A, B) = 40
MCM(C, D) = 30
24
36
40
24 = _____
36 = _____
40 = _____
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Intermedio I
1.
2.
C) 36
B) 180
E) 60
C) 120
B) 120
E) 90
B) 360
E) 90
B) 21
E) 24
C) 22
C) 360
A 2n1 3 5 2
4.
B) 24
E) 48
9.
3.
ARITMTICA
C) 120
B 2n 3 5n
A) 1
D) 4
B) 2
E) 5
C) 3
Si A = 23 3 52 y B = 2 32 adems el MCM de A y
B es k.
M 3 x 53
Calcular el valor de k.
N 3 x 1 5 x
A) 1200
D) 1800
6.
B) 240
E) 90
C) 120
8.
C) 900
7.
B) 600
E) 3600
B) 240
E) 200
C) 150
A) 18
D) 25
C) 3
B) 2
E) 5
C) 3
A) 240
D) 110
MCM(M, N)
?
10
B) 200
E) 50
B) 2
E) 5
B) 2
E) 7
C) 14
Si M = 23 5 y N = 2 52.
Cul es el valor de
A) 1
D) 4
B) 700
E) 350
C) 280
C) 20
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Cuarto Bimestre
Intermedio I
B) 42
E) 11
18.
B) 10
E) 3
C) 70
19. Si:
MCM(P, Q) = 72
MCM(R, S) = 180
A 2a 5a
Calcular el MCM de P, Q, R y S.
B 2a 1 3 5a 1
A) 1
D) 4
B) 2
E) 5
1.
B) 4
E) 5
C) 6
B) 720
E) 540
3.
Hoy
k 15
Prximo
...
12
12
...
5
...
x das
x = MCM(8; 12; 5)
x = 120 das
C) 60 cm
Resolucin:
a = 15
b = 30
B) 100 cm
E) 1 m
30 = 2k
Luego reemplazando:
C) 360
Resolucin:
2.
A) 180
D) 480
C) 3
C) 6
Resolucin:
Por propiedad:
5k MCM(6;
4;
3) 240
5k(12) = 240
60k = 240
k4
Nos piden: k2 + 1 = 42 + 1 = 17
10
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x=8
x = 12
x=5
Intermedio I
1.
2.
B) 4
E) 64
8.
C) 128
9.
B) 480
E) 640
3.
ARITMTICA
C) 420
B) 60 000
E) 40 000
C) 120 000
Si: MCM(E, C) = 35
MCM(P, R) = 49
Calcular MCM(E, C, P, R).
A) 343
D) 245
Si:
B) 490
E) 700
C) 350
A 22 3 5
10. Si dos nmeros estn en la relacin de 5 a 1 y su
MCM es 70. Cul es el valor del menor de los
nmeros?
B 2 32 5
Calcular el MCM de A y B.
A) 90
D) 60
4.
B) 420
E) 360
C) 180
A) 7
D) 70
2
2
c
3
7
5.
B) 43
E) 68
A) 140
D) 210
P 2x 3 52
y su MCM es 6000. Calcular el valor de x2.
C) 44
7.
C) 4
B) 8
E) 20
B) 4
E) 7
B) 16
E) 25
C) 9
A) 15
D) 45
B) 20
E) 60
C) 30
C) 9
14. Calcular el menor mltiplo comn de 180 y 240.
A) 4
D) 1
B 2x 32 5
6.
C) 300
E 24 5 x
A 2x 3 5
B) 3
E) 6
B) 70
E) 100
12. Si:
A) 2
D) 5
C) 14
Calcular el valor de ab + c.
A) 42
D) 69
B) 5
E) 1
C) 5
a 51 .
A) 360
D) 720
B) 240
E) 900
C) 480
B) 9
E) 81
C) 300
11
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Cuarto Bimestre
12
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Intermedio I
Intermedio I
1.
______________________________________________________________
Curso
Profesor
______________________________________________________________
B) 48
E) 36
B) 343
E) 140
6.
C) 120
3.
2.
ARITMTICA
Alumno(a)
A) 6000
D) 11 000
7.
A 22 3 5
A) 450
D) 1800
8.
B 32 5b
Si el MCM (A, B) es 225 y a es diferente de b. Calcular
el valor de a + b.
C) 3
5.
B) 75
E) 40
C) 30
B) 700
E) 900
C) 8100
9.
4.
C) 66 10 3
B 2 32 5 2
A 3 5a
B) 2
E) 5
B) 6600
E) 66 600
C) 70
A) 1
D) 4
B) 21
E) 18
C) 42
B) 60
E) 48
C) 30
B) 8
E) 15
C) 9
B) 128
D) 264
E) 32
C) 64
13
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Cuarto Bimestre
14
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Intermedio I
Intermedio I
ARITMTICA
POTENCIACIN
20
Para saber ms
En el desarrollo de la Matemtica a lo largo
de los siglos, se han producido situaciones un
tanto sorprendentes. Una de ellas es la
posibilidad de que la ecuacin xn + yn =zn
tenga soluciones para n mayor que 2, siendo
x, y, z nmeros enteros. Pues bien, para n
mayor que 2 la citada ecuacin no tiene
soluciones que sean enteras positivos. Este
hecho fue descubierto por Pierre de Fermat
en el siglo XVII y ha habido que esperar hasta
el ao 1996 para poder demostrar, la hasta
entonces conocida como conjetura de Fermat.
El tamao de los virus suele expresarse
med iante una p otenci a de expone nte
negativo; as, por ejemplo, para cuantificar
la masa de un virus se utilizan expresiones como 3,1 10 24 gramos
o 3,1 10 21 kg, ambas equivalentes. Esta forma de expresar nmeros
muy pequeos se conoce como notacin cientfica.
15
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Cuarto Bimestre
Intermedio I
Es decir:
Potencia
Es una operacin matemtica que consiste en multiplicar
un nmero por s mismo varias veces.
2
2
2
K 2 a
b
c
D.C.
K P PK
K
K ...
K
Ejemplo:
n factores
Donde:
K: base
n: exponente
exponente 3 no es 2 .
P: potencia
Ejemplos:
32 = 3 3 = 9 ,
62 = 36
9 es potencia de 3.
36 es potencia de 6.
Potencia perfecta
Se dice que un nmero entero es una potencia perfecta, si
es el resultado de elevar un entero distinto de cero, a un
exponente mayor que 1.
Ejemplos:
Ejemplos:
24 35 no es un cubo perfecto.
par
()
=+
=+
a a =a
par o impar
1.
impar
()
(+)
x+y
x y
=a
(a b) = a b
n m
nm
(a ) = a
16
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Intermedio I
2.
ARITMTICA
3.
2
ab
...000
... 00
K
N 2 nmero par
de ceros
abc n(n 1)
Ejemplos:
Ejemplos:
2
169
0000
K
N2
35 = 12 2 5
12 = 3(3+1)
par
4.
3
ab
...00
... 00
85 2 = 7225
Por divisibilidad
N 3 nmero 3
de ceros
4 4 1
9 ; 9 1 ; 9 4 9 7
Ejemplos:
8000 = K3
64 000 000 = K3
4 1 ; 4 4 1
9 1 ; 9 9 1
Rejilla de 8
Coloca los nmeros del 1 al 8, de forma que dos nmeros consecutivos no
estn en casillas contiguas bien en vertical, horizontal o diagonal.
17
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Cuarto Bimestre
1.
2.
B) 130
E) 271
C) 151
B) 325
E) 128
C) 425
9.
10.
C) 3
A) 1
D) 4
B) 2
E) 0
C) 3
B) 12
E) 30
C) 10
B) 24
E) 72
C) 36
A) 530
D) 230
B) 9
E) 7
B) 230
E) 630
C) 430
A) 0
D) 3
B) 1
E) 4
C) 2
13. Sea N = 72 53 3.
C) 52 aos
C) 5
A) 32 aos
D) 82 aos
B) 4
E) 8
I.
7.
B) 2
E) 4
III. 56 34
6.
C) S/. 60
22 24 5
II. 33 22 8
5.
B) S/. 50
E) S/. 10
4.
8.
3.
Intermedio I
C) 8
B) 12
E) 20
C) 15
B) 296
E) 396
18
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C) 196
Intermedio I
ARITMTICA
B) 6
E) 9
C) 7
A) 6
D) 9
B) 14
E) 16
C) 15
1.
B) 5
E) 9
B) 7
E) 10
C) 4
C) 8
B) 66
E) 77
C) 88
B) 81
E) 90
C) 63
Resolucin:
N 18 = K3
2
2
1
3
3
2
3 2 K
Resolucin:
Todo cuadrado perfecto que termina en 5 tiene como
cifra de las decenas a 2, entonces el valor de c = 2.
N = 3 22
N=34
N = 12
ab = x (x+1)
12 = 3 4
20 = 4 5
30 = 5 6
42 = 6 7
56 = 7 8
72 = 8 9
90 = 9 10
2.
Existen 7 nmeros.
3.
120
Si se cumple 1 3 5 7 ...
...ab , halle a+b.
Resolucin:
Al multiplicar 1357... nos da un nmero que
termina en 5.
120
Entonces: ... 5
... ab
19
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Cuarto Bimestre
1.
2.
B) 425
E) 915
C) 385
3.
Intermedio I
B) 2
E) 6
C) 3
Sea N = 23 52 3.
Cul es el menor nmero que se debe multiplicar a
N para que sea un cubo perfecto?
A) 40
D) 57
4.
B) 2
E) 5
C) 3
6.
C) 64
5.
B) 45
E) 81
B) 3
E) 8
C) 5
7.
B) 91
E) 144
C) 49
8.
B) 27
E) 227
5
Si se cumple 3 7 9 ... ab , calcule a+b.
A) 1
D) 6
C) 147
B) 3
E) 7
(2 4 8)3
A) 1
D) 4
B) 2
E) 6
B) 7
E) 9
C) 3
B) 36
E) 64
C) 49
B) 8
E) 11
C) 7
C) 3
B) 4
E) 25
C) 6
B) 8
E) 4
C) 5
A) 1
D) 4
A) 81
D) 64
9.
C) 10
20
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C) 6
Intermedio I
1.
ARITMTICA
Alumno(a)
______________________________________________________________
Curso
Profesor
______________________________________________________________
6.
B) 98
E) 36
7.
8.
22 54
II. 15 3 22
IV. 72 36 59
A) 0
D) 3
4.
B) 1
E) 4
C) 2
5.
9.
B) 36
E) 420
C) 210
C) 4
B) 2
E) 5
C) 3
III. 10 5 2
B) 3
E) 6
C) 100
A) 1
D) 5
C) 7
3.
B) 6
E) 9
B) 5
E) 9
C) 7
B) 4
E) 7
C) 6
80
10. Si 3 5 7 9 2 ... ab , calcule el valor de a+b.
A) 0
D) 4
B) 1
E) 5
C) 2
B) 2
E) 10
C) 4
21
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Cuarto Bimestre
22
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Intermedio I
Intermedio I
ARITMTICA
RADICACIN
21
23
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Cuarto Bimestre
Intermedio I
Calcular
1.
256 .
256
256 = ___
R n N N Rn
Donde:
N es radicando
n es el ndice
2.
___ =___=___
R es la raz ensima
2.
Ejemplos:
144=_____ ( )2 144
125=_____ ( )3 125
Mtodo general
Este mtodo es para nmeros que sean o no
cuadrados perfectos.
Lo explicaremos con un ejemplo:
Calcular
Raz cuadrada
a)
b)
Cuando el ndice es 2.
2308
16
c)
Ejemplos:
Calcular
1.
2308 .
400 .
Descomponemos a 400:
400
400 = ___ ___
2.
d)
e)
24
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Intermedio I
ARITMTICA
Raz cuadrada entera
Cuando el ndice es 2 y hay 2 clases:
Calcular:
443
a)
b)
Raz cbica
Cuando el ndice es 3.
N = K +rd
Ejemplo:
29
29 = ___+___
Ejemplos:
rd
Calcular
1.
1728 .
1728
N
re
K+1
N = (K+1) re
Ejemplo:
2.
3 ___ ___
=______
29
1728 =___
Radicacin entera
Cuando todos sus trminos son nmeros enteros y tiene
un 4. trmino llamado resto o residuo.
29 = ___ ___
re
Propiedades
a)
rmn = 1
b)
rmx = 2K
c)
rd + re = 2K + 1
25
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Cuarto Bimestre
1.
2.
Al calcular
Intermedio I
7.
B) 4
E) 5
Al calcular la
A) 36
D) 64
C) 72
8.
B) 34
E) 42
B) 52
E) 89
C) 98
Si:
6775
.
.
.
A) 24
D) 25
B) 26
E) 28
C) 23
521
A) 17
D) 18
A) 1
D) 4
abc
abb
efcc
Al calcular
B) 26
E) 28
3
C) 25
C) 3
Calcular K+r.
B) 13
E) 16
C) 15
B) 4
E) 1
C) 6
B) 3
E) 9
B) 2
E) 6
103
r
A) 12
D) 18
C) 16
B) 14
E) 20
Si:
79482
.
.
.
ab
.
.
.
cd
6.
C) 16
Si:
1225 a5
b
d5e
325
3c5
5.
B) 44
E) 89
C) 46
9.
4.
A) 6
D) 3
Calcular el valor de ba .
3.
Al calcular la
C) 4
B) 15
E) 19
C) 3
B) 577
E) 25
26
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C) 575
Intermedio I
ARITMTICA
B) 278
E) 290
B) 17
E) 16
B) 178
E) 177
B) 169
E) 148
C) 196
C) 20
A) 195
D) 170
C) 323
B) 16
E) 17
C) 24
C) 176
B) 239
E) 271
C) 273
1.
B) 14
E) 20
C) 17
3.
Si:
3421
.
.
.
Resolucin:
m
2m 5n 2 2 5 2
Pero: 50 2 52 2m 5n
2 52
m
22
n
52
m 1 n 2
2
2
m 2
n4
ab
.
.
.
cd
Calcular ab cd .
Resolucin:
3421 58
25
1088
951
864
57
ab 58 y cd 57
Nos piden ab cd = 58 + 57=115
2.
N 225 1 N 226
27
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Cuarto Bimestre
1.
2.
Calcular
A) 9
D) 15
3.
Intermedio I
B) 22
E) 16
3
C) 18
C) 12
4.
5.
B) 4
E) 6
C) 8
B) 3
E) 1
C) 2
Calcular el valor de E.
6.
B) 24
E) 17
7.
8.
B) 146
E) 132
C) 3
C) 17
B) 363
E) 342
C) 381
B) 576
E) 640
C) 581
B) 31
E) 28
C) 32
C) 9
A) 8
D) 9
B) 6
E) 4
C) 3
15. Calcular R.
3
R 204 126
B) 4
E) 7
C) 30
P 1 3 5 ... 13
B) 8
E) 5
A) 6
D) 8
A) 30
D) 33
Calcular el valor de P.
A) 6
D) 7
C 324 121
E 169 289
A) 29
D) 32
Calcular el valor de C.
A) 15
D) 12
general.
A) 3
D) 7
9.
A) 644
D) 744
B) 412
E) 400
C) 121
B) 14
E) 12
C) 18
28
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C) 544
Intermedio I
1.
ARITMTICA
Alumno(a)
______________________________________________________________
Curso
Profesor
______________________________________________________________
Calcular el valor de E.
6.
A) 13
D) 12
E 164 3 64 25
A) 256
D) 265
2.
Calcular
B) 248
E) 272
3.
7.
B) 4
E) 7
C) 24
8.
A) 676
D) 697
C) 5
9.
237 .
B) 32
E) 53
C) 27
B) 169
E) 161
C) 172
C) 687
Calcular el valor de J.
A) 28
D) 42
C) 15
4.
B) 36
E) 18
B) 14
E) 11
C) 273
A) 18
D) 29
J 1 3 5 ... 25
A) 14
D) 13
B) 12
E) 24
C) 17
Calcular m+n, si
A) 1
D) 4
400 2m 5n .
B) 2
E) 5
L 729 3 1728
C) 3
A) 39
D) 29
B) 37
E) 32
C) 38
29
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Cuarto Bimestre
30
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Intermedio I
Intermedio I
ARITMTICA
ESTADSTICA
22
Que tenga la capacidad de responder las preguntas de la vida real observando las tablas de frecuencias.
Estadstica
El origen de la estadstica se remonta a dos tipos de actividades humanas que en apariencia tienen poco en comn, los juegos
de azar y lo que ahora se denomina ciencia poltica. Desde la Antigedad, reyes y emperadores se preocuparon por conseguir
datos abundantes sobre sus posesiones. As, por ejemplo, el emperador Augusto (coetneo de Cristo), mand realizar una
gran encuesta sobre las riquezas del Imperio romano: soldados, navos, recursos, rentas, etc. No obstante, hasta comienzos
del siglo XVII la estadstica fue puramente descriptiva, es decir, una enumeracin sistemtica y ordenada de datos.
En la ingeniera y en la administracin industrial la estadstica es importante, ya que aporta soluciones a los problemas de
produccin, al uso eficiente de materiales y fuerza de trabajo a la investigacin bsica y al desarrollo de nuevos productos.
En economa, los problemas de planeacin econmica favorecieron la invencin de mtodos especiales utilizados en el
anlisis de series de datos sobre los negocios.
10%
6%
12%
29%
43%
1
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Grfica estadstica
Diagrama circular
31
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Cuarto Bimestre
Intermedio I
Estadstica
La estadstica es una ciencia pura y aplicada que se ocupa
de recolectar, procesar, analizar e interpretar datos en forma
adecuada.
Ejemplo: Julin lanz 10 veces un dado, y obtuvo los
siguientes resultados:
2; 2; 1; 1; 5; 5; 3; 6; 4; 5
a) Cul de las caras del dado apareci un mayor nmero
de veces?
Variables estadsticas
Todo proceso de recoleccin de datos implica la
centralizacin de nuestra atencin en determinada
caracterstica del problema en estudio.
Variable: La variable es la caracterstica que se registra o
investiga.
b) variables cuantitativas
total
10
variable discreta
a)
c) Grafica estos resultados en un diagrama.
N. de veces
Ejemplo:
2
1
Variables cualitativas
Son aquellas que no pueden expresarse en forma
numrica.
variable continua
Numeracin
del dado
b)
1)
Marca de gaseosas.
2)
Equipos de ftbol.
3)
Color de cabello.
Variables cuantitativas
Son aquellas que son susceptibles de ser medidas.
Ejemplo:
1)
Clases de estadstica
2)
A)
3)
Estadstica descriptiva
Es la parte de la estadstica que se ocupa de la
recoleccin, organizacin, presentacin, descripcin
y simplificacin de datos.
B)
Estadstica inferencial
Es la parte de la estadstica que se ocupa de estudiar
las inferencias hechas a partir de una informacin
parcial, as como de las condiciones que rigen su
validez.
Incluye los mtodos de generalizacin, estimacin o
prediccin de caractersticas de la poblacin basada
en una muestra.
Poblacin y muestra
Poblacin: Es el conjunto for mado por todas las
observaciones posibles para una variable (puede ser finito
o infinito).
Ejemplo:
1) Las notas de los cursos de un alumno
2) Las universidades del Per.
3) Todas las herramientas que usa una empresa
constructura.
32
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Intermedio I
ARITMTICA
hi
fi
n
Presentacin de datos
Ejemplo 1:
Supongamos que se tiene los datos referidos al nmero de
hijos de 20 familias.
4
menor
Hi
Fi
n
4
4
mayor
fi
1
Fi
1
hi
0,05
0,15
0,20
0,25
0,45
0,00
0,45
15
0,30
0,75
15
0,00
0,75
16
0,05
0,80
19
0,15
0,95
20
0,05
1,00
Hi
0,05
A 0; 8
Grficos o diagramas
Del ejemplo 1:
R 808
Frecuencia
absoluta
(familias)
1
3
5
0
6
0
1
3
1
Total=20
N. de hijos
por familia
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Frecuencia
relativa
1/20
3/20
5/20
0
6/20
0
1/20
3/20
1/20
1
Ejemplo:
Nmero
N. de
hijos Conteo de familias
0
1
1
3
2
5
3
0
4
6
5
0
6
1
7
3
8
1
20
Total
fi
Fi
1
3
5
0
6
0
1
3
1
1
4
9
9
15
15
16
19
20
Grfico de barras
6
5
4
3
2
1
0
3 4
33
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Cuarto Bimestre
Intermedio I
Observacin
120
# de
180 60 personas
personas 360
un polgono de frecuencias.
6
5
total
encuestados = 180
4
3
180 45 60 75 personas
2
1
0
3 4
# personas = 75
x
. 180
360
Grfica de sectores
Una vuelta
es 360
90
150
75
150 x
120
a) Media aritmtica
: Personas que no terminaron la secundaria.
5 5 7 7 21 3 5 4 8 8
11
x5
b) Moda: Es el valor con mayor frecuencia.
1; 2; 3; 4; 5; 5; 5 ; 7; 7; 8; 8 M O = 55
2
1 1 1 1
2
3
90
# de
180 45 personas
personas 360
34
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Intermedio I
1.
ARITMTICA
2.
Estado civil.
El nmero de estudiantes del colegio.
Los pesos de cada profesor del colegio.
Nacionalidad.
El nmero de hijos de todas las familias del colegio.
Magaly
72
Gisela
16
Goles en accin
28
TV novelas
44
Total
Frecuencia
relativa
(hi )
3.
Frecuencia
absoluta
(fi )
160
Nmero
de personas
170
160
150
140
Frecuencia
absoluta
Programas
Nmero de
horas
B
o
c
Peridicos
O
j
o
C
o
m
e
r
c
i
o
R
e
p
b
l
i
c
a
Peridicos
Frecuencia absoluta
Bocn
Ojo
Comercio
Repblica
35
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Cuarto Bimestre
Intermedio I
8.
C) 3
D) 2
Nota
M
A
T
E
M
T
I
C
A
S
12
14
15
16
17
19
20
Total
E) 4
9.
B) 6
Del cuadro:
frecuencia de 9 aos: frecuencia de 10 aos:
frecuencia de 11 aos: frecuencia de 12 aos:
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
B) 4
C) 3
D) 6
E) 2
12
10
8
10
12/40
1
40
Frecuencia Frecuencia
absoluta
relativa
2
2/40
1/40
1
7
50
90
Cantidad
B) 180
C) 100
36
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D) 220
E) 110
Intermedio I
1.
ARITMTICA
Derecho
Ingeniera
Medicina
Educacin
2.
C) 4 y 2
3.
B) 5 y 2
E) 3 y 2
B) 14
E) 12
Marca
6.
7.
C) 16
A) 30
D) 25
8.
A) Derecho
D) Ingeniero
Peziduri
12
Donofrio
32
rtica
5.
C) 28
B) Medicina
E) Educacin
C) Todos
Cantidad alumno
9.
Helados.
Marca de helados.
Donofrio.
Nmero de alumnos.
Marcianos.
20
45
35
B) 80
E) 20
C) 60
Frecuencias absolutas
4.
B) 40
E) 16
10
25
15
5
Nmero de alumnos
Profesin
25
20
15
10
5
20 25 30 35 40 45 50 Edades
37
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Cuarto Bimestre
Intermedio I
B) 80
C) 88
D) 78
E) 90
B) 50
E) N.A
C) 43
separadas
Polgono de frecuencias
Universitario
110
130
Alianza
Lima
A) Alianza = 2600 ;
separadas
Estado civil
D) Alianza = 1500 ;
E) N.A.
Estado
civil
Frecuencia Frecuencia
absoluta
relativa
(fi )
(hi )
Distrito Frecuencia
Lince
Surquillo
50
Miraflores
130
Total
200
20
casadas
solteras
viudas
separadas
Total
300
38
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Intermedio I
1.
ARITMTICA
Alumno(a)
______________________________________________________________
Curso
Profesor
______________________________________________________________
Calcule la moda.
2.
B) 12
E) 16
C) 20
___________________________________________
8.
150
C) 52
90
120
C) 10
: Personas que no estudian.
: Personas que estudian.
Frecuencia
absoluta
50
51
52
20 personas
150
9.
6.
B) 60
E) 50
A) 9
D) 8
5.
C) 11
4.
7.
B) 16
E) 13
3.
A) 17
D) 12
53
54
55
Peso de
alumnos
B) 150
E) 200
C) 70
B) 14
E) 16
C) 18
39
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Cuarto Bimestre
40
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Intermedio I
Intermedio I
ARITMTICA
ANLISIS COMBINATORIO
23
00.
10.
20.
30.
01.
11.
21.
31.
02.
12.
22.
32.
03.
13.
23.
33.
04.
14.
24.
34.
05.
15.
25.
35.
06.
16.
26.
36.
07.
17.
27.
37.
09.
19.
29.
39.
40.
50.
60.
70.
90.
41.
51.
61.
71.
91.
42.
52.
62.
72.
92.
43.
53.
63.
73.
93.
44.
54.
64.
74.
94.
45.
55.
65.
75.
95.
46.
56.
66.
76.
96.
47.
57.
67.
77.
97.
49.
59.
69.
79.
99.
41
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Cuarto Bimestre
Intermedio I
Como resultado, obtenemos 92 9 93 729 nmeros de tres cifras. Esto significa que en el club haba 729 ciclistas. Si
tomamos no los nmeros de tres cifras, sino los de cuatro, habr 9 4 = 6561 nmeros que no contengan ochos.
En otro club, los ciclistas eran an ms supersticiosos. Como el nmero 0 se parece a una rueda estirada, eliminaron tambin
esta cifra, y se las arreglaban con ocho: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 9.
Cuntos miembros tena este club, si los nmeros de los carns eran de tres cifras?
Este problema es semejante al que acabamos de resolver; slo que ahora tenemos nada ms que 8 cifras, en lugar de 9. Por
esto, en la respuesta debemos tambin sustituir el 9 por el 8. En otras palabras. en el club haba 8 3= 512 miembros.
PRINCIPIO DE ADICIN
Si una operacin o actividad A, puede realizarse de m maneras diferentes y otra operacin o actividad B se realiza de n
formas diferentes, entonces la operacin que consiste en hacer A o B (no ambas simultneamente, sino la una o la otra)
podr ocurrir de (m + n) formas distintas.
Operacin
Operacin
Se realiza de
m formas
Se realiza de
n formas
Se realiza de
(m + n) formas
42
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Intermedio I
ARITMTICA
Ejercicio
Resolucin:
Va
area
Por va area
El esquema respectivo:
Va
terrestre
Lima
Lima
Cuzco
Va area
Va terrestre
Este principio se puede utilizar para ms de dos operaciones, siempre que se pueda hacer
una u otra pero no todas simultneamente. Estas operaciones son llamadas mutuamente
excluyentes.
2.
Operacin A
Se realiza de
m formas
Operacin B
Se realiza de
n formas
A y
Se realiza de
(m n) formas
Ejercicio
1.
Se tendr:
Polo
Pantaln
(Forma de vestir)
AM (1)
AN (2)
AP (3)
BM (4)
BN (5)
BP (6)
43
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Cuarto Bimestre
Intermedio I
(Elige un polo)
(Elige un pantaln)
1.
2.
Formas de vestirse
(con polo y pantaln) = 2 3 = 6 formas
2.
CB
CA
CU
BC
BA
BU
AC
AB
AU
UC
UB
UA
# maneras = 12
EXPLICACIN
1.
2.
3.
44
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Intermedio I
1.
2.
B) 240
E) 12
B) 12
E) 20
B) 30
E) 20
9.
B) 10
E) 14
C) 8
A) 35
D) 30
B) 11
E) 25
C) 24
C) 9
C) 120
C) 36
C) 80
B) 6
E) 9
C) 7
B) 8
E) 16
C) 15
B) 45
E) 35
C) 25
8.
B) 12
E) 10
7.
C) 18
6.
B) 24
E) 20
5.
C) 10
4.
B) 9
E) 8
3.
ARITMTICA
B) 20
E) 100
C) 900
B) 9000
E) 450
C) 900
B) 9
E) 16
C) 10
45
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Cuarto Bimestre
Intermedio I
B) 250
E) 180
C) 125
B) 300
E) 246
C) 336
1.
B) 150
E) 60
C) 25
B) 12
E) 16
C) 42
B) 24
E) 20
C) 16
B) 340
E) 128
C) 840
Se pueden sentar:
Resolucin:
A
B
C
D
E
a
1
2
3.
..
9
9
2.
b ba
0
Observar que aqu no
1
se da valores puesto que
2.
al inicio ya se dio valores.
..
9
10 =90
B
C
D
E
C
D
E
D
E
3.
3 2
2 40 formas
Los asientos:
46
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Intermedio I
1.
2.
B) 9
E) 8
B) 10
E) 21
B) 30
E) 24
5.
B) 120
E) 100
6.
B) 900
E) 720
A) 1
7.
C) 120
C) 4
D) 6
E) 8
8.
B) 2
B) 6
E) 11
C) 8
B) 500
E) 400
B) 36
D) 64
E) 81
C) 49
A) 15
B) 8
D) 12
E) 16
C) 10
A) 120
B) 24
D) 36
E) 18
C) 100
A) 25
C) 20
C) 8
9.
C) 12
4.
C) 10
3.
ARITMTICA
C) 1200
A) 12
B) 24
D) 64
E) 68
C) 128
B) 90
D) 20
E) 60
C) 80
B) 48
D) 38
E) 42
C) 90
B) 45
D) 900
E) 180
C) 90
47
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Cuarto Bimestre
48
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Intermedio I
Intermedio I
1.
2.
3.
4.
ARITMTICA
Alumno(a)
______________________________________________________________
Curso
Profesor
______________________________________________________________
B) 24
D) 12
E) 20
6.
B) 12
D) 11
E) 15
C) 10
A) 10
D) 15
7.
B) 50
D) 65
E) 80
C) 45
8.
9.
5.
A) 24
B) 36
D) 16
E) 18
C) 12
B) 90
D) 180
E) 160
C) 900
B) 12
E) 16
C) 8
B) 332
E) 236
C) 128
C) 10
B) 3
E) 12
C) 2
B) 90
E) 60
C) 80
B) 125
E) N.A.
C) 900
49
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Cuarto Bimestre
50
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Intermedio I
Intermedio I
ARITMTICA
PROBABILIDAD
24
51
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Cuarto Bimestre
Intermedio I
Ejemplo:
Experimento:
Se hace rodar un dado y se observa el nmero que
aparece en la cara superior.
Ejemplo:
Cul es la probabilidad o posibilidad de que resulte
ganador de La Tinka?
Espacio muestral:
A
B
C
Suceso o evento:
....................................................................
Cul es la probabilidad de que un TV dure 3 aos
sin que fallen sus circuitos?
....................................................................
Aplicacin
Experimento:
Lanzar una moneda y observar la figura.
Experimento aleatorio ( )
Espacio muestral:
Evento o suceso:
Ejemplo:
Nmero de
dados
1:
Al arrojar un dado no se puede asegurar el resultado.
2:
Espacio muestral ()
Es el conjunto formado por todos los resultados posibles
de un experimento aleatorio dado.
Espacio
muestral ()
mero de
casos totales
1:
{1; 2; 3; 4; 5; 6}
n() = 6
2:
n() = 62
3:
................................
52
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n() = 6n
Intermedio I
ARITMTICA
Nmero de
monedas
C
1:
2:
3: C
Ejemplo 1:
mero de
casos totales
C, S
n() = 2
(C, C)(C, S)
(S, C)(S, S)
n() = 22
(C, C, C)
(S, S, S)
n() = 2
................................
n() = 2m
.....................
........................................
Roja
II
Azul
Resolucin:
Nmero de resultados
favorables al suceso A
P A =
Nmero de resultados
posibles en
n A
n
53
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Cuarto Bimestre
1.
Intermedio I
6.
..............................................................................
n .....................
n .....................
7.
2.
..............................................................................
n .....................
..............................................................................
n .....................
3.
8.
..............................................................................
n .....................
9.
4.
5.
B ..............................................................................
n B .....................
P B .....................
n A .....................
P A .....................
B) 1/3
E) 4/6
C) 2/5
B) 1/3
E) 18/7
54
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C) 7/18
Intermedio I
ARITMTICA
B) 7/3
E) 5/7
C) 4/7
A) 1/52
D) 4/58
B) 1/3
E) 1/6
B) 6/12
E) 7/12
1.
B) 1/6
E) 1/3
C) 1/13
B) 1/6
E) 2/36
C) 3/36
C) 1/3
B) 3/52
E) 2/52
C) 1/4
B) 9/24
E) N.A.
C) 8/24
C) 1/2
A) 5/13
D) 5/8
B) 3/8
E) 8/13
C) 8/5
n A 3
Resolucin:
CCC, CCS, CSC, SCC, SSC, SCS, CSS, SSS
Rpta.: P A
n 8
3.
n A 3
n A 3 1
n 6 2
n A
Rpta.: P A 3
n
8
A= 1 ; 1 ; 1 ;1
2.
n A 4
Adems: n 52
n A
Rpta.: P A 4 1
n
52
13
55
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Cuarto Bimestre
1.
Intermedio I
2.
B) n 6
D) n 12
3.
4.
C) 11/23
B) 10/23
E) 2/23
C) 11/23
B) 2/3
E) 4/5
C) 1/4
8.
B) 12/23
E) 2/23
7.
C) 12/23
6.
B) 4/23
E) 8/23
5.
B) n B 11
D) n B 1
B) 4/9
E) 2/3
A) 2/9
D) 4/7
9.
B) 7/9
E) 3/8
C) 3/7
B) 1/4
D) 2/3
E) 5/18
C) 3/8
B) 1/64
D) 1/32
E) 1/16
C) 1/128
B) 63/365
D) 10/12
E) 2/366
C) 1/6
B) 3/6
D) 7/36
E) 5/36
C) 1/6
B) 16/50
D) 4/52
E) 5/52
C) 4/13
B) 2/12
D) 7/12
E) 7/6
C) 1/6
C) 7/36
B) 10/14
D) 2/3
E) 4/3
56
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C) 2/8
Intermedio I
1.
2.
3.
4.
______________________________________________________________
Curso
Profesor
______________________________________________________________
B) 1/3
D) 1/9
E) 4/9
A) 3/6
B) 1/6
D) 2/3
E) 1/4
B) 1/6
D) 1/4
E) 2/5
B) 4/12
E) 2/6
8.
C) 3/11
C) 2/13
C) 1/2
C) 3/20
B) 5/15
E) 15/30
C) 15/21
9.
B) 1/5
E) 1/10
B) 3/6
E) 1/9
C) 1/3
7.
A) 5/20
D) 3/4
C) 5/6
6.
C) 4/32
A) 8/13
D) 3/13
5.
ARITMTICA
Alumno(a)
B) 4/11
E) 9/11
C) 5/11
B) 1/8
E) 3/9
C) 2/7
57
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Cuarto Bimestre
58
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Intermedio I