INSTITUTO TECNOLGICO

DE TEPIC

Mtodos Numricos
4.- INTEGRACIN NUMRICA
Alumnos:
Salas Alvarado francisco
Vsquez Ocegueda Salvador
Barraza Domnguez Julio Joyce
Banderas Hernndez Edgar Ulises
Daz Aguiar Carlos Alberto
Parra Arcila Pedro Alfonso
Ortega Cortes Luis Francisco

Ing. Elctrica
Profesos:
Alcantar Medina Kristhian Omar
19/febrero/2012

4.- INTEGRACIN NUMRICA

En anlisis numrico, la integracin numrica constituye una amplia gama de

algoritmos para calcular el valor numrico de una integral definida y, por extensin,
el trmino se usa a veces para describir algoritmos numricos para resolver
ecuaciones diferenciales. El trmino cuadratura numrica (a menudo abreviado a
cuadratura) es ms o menos sinnimo de integracin numrica, especialmente si
se aplica a integrales de una dimensin a pesar de que para el caso de dos o ms
dimensiones (integral mltiple) tambin se utilizan.
El problema bsico considerado por la integracin numrica es calcular una
solucin aproximada a la integral definida:

Este problema tambin puede ser enunciado como un problema de valor inicial
para una ecuacin diferencial ordinaria, como sigue:

Encontrar y(b) es equivalente a calcular la integral. Los mtodos desarrollados

para ecuaciones diferenciales ordinarias, como el mtodo de Runge-Kutta, pueden
ser aplicados al problema reformulado. En este artculo se discuten mtodos
desarrollados especficamente para el problema formulado como una integral
definida.
Razones para la integracin numrica
Hay varias razones para llevar a cabo la integracin numrica. La principal puede
ser la imposibilidad de realizar la integracin de forma analtica. Es decir,
integrales que requeriran de un gran conocimiento y manejo de matemtica
avanzada pueden ser resueltas de una manera ms sencilla mediante mtodos
numricos. Incluso existen funciones integrables pero cuya primitiva no puede ser
calculada, siendo la integracin numrica de vital importancia. La solucin
analtica de una integral nos arrojara una solucin exacta, mientras que la
solucin numrica nos dara una solucin aproximada. El error de la aproximacin,
que depende del mtodo que se utilice y de qu tan fino sea, puede llegar a ser
tan pequeo que es posible obtener un resultado idntico a la solucin analtica en
las primeras cifras decimales.
Mtodos para integrales unidimensionales
Los mtodos de integracin numrica pueden ser descritos generalmente como
combinacin de evaluaciones del integrando para obtener una aproximacin a la
integral. Una parte importante del anlisis de cualquier mtodo de integracin
numrica es estudiar el comportamiento del error de aproximacin como una
funcin del nmero de evaluaciones del integrando. Un mtodo que produce un

pequeo error para un pequeo nmero de evaluaciones es normalmente

considerado superior. Reduciendo el nmero de evaluaciones del integrando se
reduce el nmero de operaciones aritmticas involucradas, y por tanto se reduce
el error de redondeo total. Tambin, cada evaluacin cuesta tiempo, y el
integrando puede ser arbitrariamente complicado.
De todos modos, un modo de integracin por fuerza bruta puede hacerse
siempre, de un modo muy simplista, evaluando el integrando con incrementos muy
pequeos.
Mtodos basados en funciones de interpolacin
Hay una extensa familia de mtodos que se basan en aproximar la funcin a
integrar f(x) por otro funcin g(x) de la cual se conoce la integral exacta. La funcin
que sustituye la original se encuentra de forma que en un cierto nmero de puntos
tenga el mismo valor que la original. Como los puntos extremos forman parte
siempre de este conjunto de puntos, la nueva funcin se llama una interpolacin
de la funcin original. Cuando los puntos extremos no se utilizan para encontrar la
funcin que sustituye a la original entonces se dice extrapolacin. Tpicamente
estas funciones son polinomios.
Frmulas de Newton-Cotes
La interpolacin con polinomios evaluada en puntos igualmente separados en
da las frmulas de Newton-Cotes, de las que la regla del rectngulo, la del
trapecio y la de Simpson son ejemplos. Si se escogen los nodos hasta k = n + 1
ser la frmula de Newton-Cotes cerrada y si se escogen k = n 1 ser la frmula
de Newton-Cotes abierta.
Regla del rectngulo
El mtodo ms simple de este tipo es hacer a la funcin interpoladora ser una
funcin constante (un polinomio de orden cero) que pasa a travs del punto
(a,f(a)). Este mtodo se llama la regla del rectngulo:

Regla del punto medio

Ilustracin de la regla del punto medio.

Si en el mtodo anterior la funcin pasa a travs del punto

este mtodo se llama la regla del punto medio:

Regla de Simpson
Ilustracin de la regla de Simpson.
La funcin interpoladora puede ser un polinomio de grado 2 que pasa a travs de
los puntos
de Simpson:

. Este mtodo se llama regla

Reglas compuestas
Para cualquier regla interpoladora, se puede hacer una aproximacin ms precisa
dividiendo el intervalo
en algn nmero de subintervalos, hallando una
aproximacin para cada subintervalo, y finalmente sumando todos los resultados.
Las reglas que surgen de hacer esto se llaman reglas compuestas, y se
caracterizan por perder un orden de precisin global frente a las correspondientes
simples, si bien globalmente dan valores ms precisos de la integral, a costa eso
s de incrementar significativamente el coste operativo del mtodo. Por ejemplo, la
regla del trapecio compuesta puede expresarse como:

Donde

los

subintervalos

tienen

la

forma

con

Mtodos de extrapolacin
La precisin de un mtodo de integracin del tipo Newton-Cotes es generalmente
una funcin del nmero de puntos de evaluacin. El resultado es usualmente ms
preciso cuando el nmero de puntos de evaluacin aumenta, o, equivalentemente,
cuando la anchura del paso entre puntos decrece. Qu pasa cuando la anchura
del paso tiende a cero? Esto puede responderse extrapolando el resultado de dos
o ms anchuras de paso (extrapolacin de Richardson). La funcin de
extrapolacin puede ser un polinomio o una funcin racional. Los mtodos de
extrapolacin estn descritos en ms detalle por Stoer y Bulirsch (Seccin 3.4). En
particular, al aplicar el mtodo de extrapolacin de Richardson a la regla del
trapecio compuesta se obtiene el mtodo de Romberg.

Cuadratura de Gauss
Si se permite variar los intervalos entre los puntos de interpolacin, se encuentra
otro grupo de frmulas de integracin, llamadas frmulas de cuadratura de Gauss.
Una regla de cuadratura de Gauss es tpicamente ms precisa que una regla de
Newton-Cotes que requiera el mismo nmero de evaluaciones del integrando, si el
integrando es suave (es decir, si se puede derivar muchas veces).
Algoritmos adaptativos
Si f no tiene muchas derivadas definidas en todos sus puntos, o si las derivadas
toman valores muy elevados, la integracin gaussiana es a menudo insuficiente.
En este caso, un algoritmo similar al siguiente lo hara mejor:
def integral(f, a, b):
"""Este algoritmo calcula la integral definida de una funcin
en el intervalo [a,b], adaptativamente, eligiendo pasos ms
pequeos cerca de los puntos problemticos.
h0 es el paso inicial."""
x=a
h = h0
acumulador = 0
While x < b:
if x+h > b: h = b - x
if error de la cuadratura sobre [x,x+h] para f es demasiado grande:
haz h ms pequeo
else:
acumulador += integral(f, x, x+h)
x += h
if error de la cuadratura sobre [x,x+h] es demasiado pequeo:
haz h ms grande
return acumulador
Algunos detalles del algoritmo requieren mirarlo con cuidado. Para muchos casos,
estimar el error de la integral sobre un intervalo para un funcin f no es obvio. Una
solucin popular es usar dos reglas de integracin distintas, y tomar su diferencia
como una estimacin del error de la integral. El otro problema consiste en decidir
qu es demasiado grande o demasiado pequeo. Un criterio posible para
demasiado grande es que el error de la integral no sea mayor que th, donde t,
un nmero real, es la tolerancia que queremos tener para el error global. Pero
tambin, si h es ya minsculo, puede no valer la pena hacerlo todava ms
pequeo si el error de la integral es aparentemente grande. Este tipo de anlisis
de error usualmente se llama a posteriori ya que calculamos el error despus de
haber calculado la aproximacin.

La heurstica para integracin adaptativa est discutida en Forsythe et al (seccin

5.4).
Estimacin del error conservativa (a priori)
Supongamos que tiene una primera derivada sobre
valor medio para , para

acotada. El teorema del

, da

para algn
en
dependiendo de . Si integramos en
lados de la igualdad y tomamos valores absolutos, tenemos

de

en ambos

Se puede aproximar ms la integral en el lado derecho metiendo el valor absoluto

en el integrando, y reemplazando el trmino en por una cota superior:

As, si aproximamos la integral

por su regla de integracin

, el error no es mayor que el lado derecho de la ecuacin.

Integrales mltiples
Los mtodos de integracin que se han comentado hasta aqu se han diseado
todos para calcular integrales de una dimensin.
Para calcular integrales de diversas dimensiones, un enfoque es expresar la
integral mltiple como repeticin de integrales de una dimensin haciendo uso del
teorema de Fubini.
Este enfoque lleva a una cantidad de evaluaciones de la funcin que crece
exponencialmente a medida que crece el nmero de dimensiones. Se conocen
dos mtodos para superar esta llamada maldicin de la dimensin.
Montecarlo
Artculo principal: Integracin de Monte Carlo

Los mtodos de Montecarlo y mtodos de cuasi-Montecarlo son fciles de aplicar

a integrales multidimensionales, y pueden producir una mejor exactitud por el
mismo nmero de evaluaciones de la funcin que en integraciones repetidas
empleando mtodos unidimensionales. Una clase grande de mtodos tiles de
Montecarlo son los llamados algoritmos de Cadena de Markov de Montecarlo, los
cuales incluyen el algoritmo de Metropolis-Hastings y muestreo de Gibbs.
Programas para integracin numrica
La integracin numrica es uno de los problemas estudiados ms intensivamente
en el anlisis numrico. Entre las muchas implementaciones en programas se
encuentran:

QUADPACK (parte de SLATEC) (cdigo fuente): QUADPACK es una

coleccin de algoritmos en Fortran para integracin numrica basada en
reglas gausianas.

GSL: GNU Scientific Library. La Librera Cientfica de GNU (GSL) es una

librera numrica escrita en C que provee una amplia gama de rutinas
matemticas, como la integracin por Montecarlo.

ALGLIB: Es una coleccin de algoritmos en C# / C++ / Delphi / Visual

Basic / etc., para la integracin numrica]].

Se pueden encontrar algoritmos de integracin numrica en GAMS class H2.

4.1.-Formulas de integracin de Newton-Cortes

Las frmulas de integracin de Newton-Cortes son los tipos de integracin
numrica ms comunes.se basan en la estrategia de reemplazar una funcin
aplicada o datos tabulados por un polinomio de aproximacin que es fcil de
integrar.
I = f(x)dx n(x)dx
Donde fn(x)= un polinomio de la forma:
Fn(x)= ao + a1x ++ an-1 + anxn
Donde n es el grado de polinomio. Por ejemplo, en la figura a se utiliza un
polinomio de primer grado (una lnea recta) como una aproximacin. En la
figurab se emplea una parbola con el mismo propsito.

La integral tambin se puede aproximar usando un conjunto de polinomios

aplicados por pedazos a la funcin o datos, sobre segmentos de longitud
constante.
Existen formas cerradas y abiertas en la de Newton-Cotes.
Las formas cerradas son aquellas donde se conocen los datos al inicio y al final de
los lmites de integracin figura a.

Frmulas cerradas de Newton-Cotes

Estas son algunas de las frmulas cerradas de Newton-Cotes.

La notacin es una abreviatura de

el grado. Regla del trapecio

, con

Regla del trapecio

Ilustracin de la regla del trapecio.

La regla del trapecio consiste en hallar la integral aproximada de una funcin a
travs de un polinomio de primer grado, es decir uniendo mediante una recta los
puntos en donde se evaluara la funcin.

Y el error es:

Siendo un nmero entre a y b.

Las formas abiertas tienen limites de integracin que se extienden mas aya del
intervalo de los datos figura b.

Frmulas abiertas de Newton-Cotes

Estas son algunas de las frmulas abiertas de Newton-Cotes.

Regla del punto medio

Ilustracin de la regla del punto medio.

En este mtodo se divide la funcin en rectngulos, los cuales deben tener una
altura igual al valor de la funcin en el punto medio. As se calculara la integral
aproximada mediante un polinomio de grado cero.

Y el error es:

Siendo un nmero entre a y b.

4.1.1 Regla Trapecial

La regla del trapecio es la primera de las formulas cerradas de integracin de
Newton Cotes. Corresponde al caso donde el polinomio de la ecuacin es de primer
grado:
b

I = f 1 ( x ) dx
a

Una lnea recta se puede representar como:

f 1 ( x )=f ( a )+

f ( b )f ( a )
(xa)
ba

El rea bajo esta lnea recta es una aproximacin de la integral de f(x) entre los lmites a y
b:
b

I = [ f ( a )+
a

f ( b )f ( a )
( xa ) ]dx
ba

El resultado de la integracin es:

I =(ba)

f ( a ) f (b)
2

Que se denomina regla de trapecio.

Geomtricamente, la regla del trapecio es equivalente a aproximar el rea del

trapecio bajo la lnea recta que une f(a) y f(b) en la figura 21.4. Recordando que la figura
para calcular el rea de un trapezoide es la altura por el promedio de las bases. Por lo
tanto la integral aproximada es:
I= ancho x altura promedio.

Figura 21.4
Representacin grfica
de la regla del trapecio

Figura 21.5
a)

b)

Formula del rea de un trapezoide: altura por

promedio de las bases.
Para la regla del trapecio: el concepto es el mismo
pero ahora el trapezoide esta sobre su lado.

I= (b-a) x altura promedio

Donde, para la regla del trapecio, la altura promedio es el promedio de los valores de la
funcin en los puntos extremos o [f(a) + f(b)]/2

Error de la regla del trapecio

Cuando empleamos la integral bajo un segmento de lnea recta para aproximar la integral
bajo una curva, obviamente se tiene un error que puede ser importante (figura 21.6).
Una estimacin al error de truncamiento local para una sola aplicacin de la regla del
trapecio es:
3

ba
1
Et = f ( )
12

Donde

esta en algn lugar en el itnervalo de a a b. la ecuacin anterior indica que si

la funcin sujeta a integracin es lineal, la regla del trapecio ser exacta. De otra manera,
para
funciones
con
derivadas de segundo
orden y de orden superior
(con curvatura), puede
ocurrir algn error.

La regla del trapecio de aplicacin mltiple

Una forma de mejorar la precisin de la regla del trapecio consiste en dividir el
intervalo de la integracin de a a b en varios segmentos, y aplicar el mtodo a cada uno
de ellos (figura 21.7). Las areas de los segmentos se suman despus para obtener la
integral en todo el intervalo. Las ecuaciones resultantes se llaman formulas de
integracin, de aplicacin mltiple y compuestas.
La figura 21.8 muestra el formato general y la nomenclatura que usaremos para
obtener integrales de aplicacin mltiple. Hay n + 1 puntos igualmente espaciados (x0, x1,
x2, , xn). En consecuencia, existe n segmentos del mismo ancho:

h=

ba
n

Si a y b se designan como x 0 y xn, respectivamente, la integral completa se

representara como
1

x2

xn

I = f ( x ) dx+ f ( x ) dx ++ f ( x ) dx
x0

x1

x n1

Sustituyendo la regla de trapecio en cada integral se obtiene

I =h

f ( x 0 ) +f ( x1 ) f ( x 1 ) + f (x 2)
f ( x n1 )+ f ( x n )
+h
+ +h
2
2
2

O agrupando trminos;
n1

f ( x 0 ) +2 f ( x i ) + f ( x n)
i=1

h
I=
2

Figura 21.7
Ilustracin de la regla del
trapecio de aplicacin
mltiple.
a)
b)
c)
d)

n1

f ( x 0 ) +2 f ( x i ) +f (x n)
I =(ba)

i=1

2n

Dos segmentos
Tres segmentos
Cuatro segmentos
Cinco segmentos

Figura 21.8
Formato
general
y
nomenclatura
para
integrales
de
aplicacin
mltiple.

Como la sumatoria de los coeficientes de f(x) en el numerador dividido

entre 2n es igual a 1, la altura promedio representa un promedio ponderado de
los valores de la funcion.
De acuerdo con la ecuacion anterior, a los puntos interiores se les da el
doble de peso que a los dos puntos extremos f(x 0) y f(xn).
Se tiene un error con la regla del trapecio de aplicacin multiple al sumar
los errores individuales de cada segmento, asi

ba 3

i
f 1 ()

Et =
f ( i )

Donde

es la segunda derivada en un punto

localizado

en el segmento i. Este resultado se simplifica al estimar la media o valor

promedio de la segunda derivada en todo el intervalo como:
n

f ( i )

f = i=1

n
3

Por lo tanto, S f<(xi)> n-f< y la ecuacion

ba 3

E a=

ba

i
f 1 () se describe como:

Et =

Asi, si se duplica el numero de segmentos, el error de truncamiento se

divide entre cuatro. Observe que la ecuacion

ba 3

E a=

es un error aproximado

f ( i )

debido a la naturaleza aproximada de la ecuacion

f = i=1

Ejemplo:
1

Utilizar la regla del trapecio para aproximar la integral:

e x dx
0

Tenga en cuenta que el valor real es 1.4626

Solucin: Usando la frmula directamente con los siguientes
datos:
2

a= 0; b=1;

f ( x )=e x

Si se asume el rea como un solo trapecio, se tiene que:

1

e x dx=( 10 )
0

f ( 0 ) +f ( 1 ) 1+e
=
=1.85914
2
2

Observando la Fig. 10 y teniendo en cuenta el resultado obtenido con el mtodo

trapezoidal tomando el rea como un solo trapecio (1.85914), se puede comprobar que
dicho valor es superior al valor real que es de 1.4626. El valor real es el rea bajo la curva
azul, que corresponde a la funcin dada y el valor calculado de 1.85914 corresponde al
rea bajo la curva de color rojo, que correspondera a la forma que toma el rea
asumindola como trapecio.

4.1.2 Mtodo de Simpson 1/3

REGLAS DE SIMPSON.
Adems de aplicar la regla trapezoidal con segmentos cada vez mas finos, otra
manera de obtener una estimacin ms exacta de una integral, es la de usar
polinomios de orden superior para conectar los puntos.
A las formulas resultantes de calcular la integral bajo estos polinomios se les llama
reglas de Simpson.
Reglas de Simpson 1/3
La Regla de Simpson 1/3 resulta cuando un polinomio de interpolacin de
segundo grado se sustituye en la ecuacin:
b

~
I = f ( x ) dx f 2 ( x ) dx

Figura 21.10
Si se designan

a y b como x 0 y x 2 , y f 2 ( x)

se representa por un polinomio de

lagrange de segundo grado, [vase la ecuacin (18.23), la integral se transforma

en

2
x 0x

( xx1 ) ( xx 2 )

( x0 x1 ) dx

x2

I =
x0

Despus de la integracin y de las manipulaciones algebraicas, se obtiene la

siguiente frmula:
I ~

h
f (x 0)+ 4 f ( x 1 ) + f ( x 2) ] (21.14 )
3[

Donde, en este caso,

h=

(ba)
.
2

esta ecuacin se conoce como regla de

Simpson 1/3, y es la segunda frmula de integracin cerrada de newton-cotes. Las

especificacin 1/3 se origina del hecho de que h est dividida entre 3 en la
ecuacin (21.14). Una alternativa para obtenerla se muestra en el cuadro 21.3,
donde se integra el polinomio de newton- Gregory para llegar para llegar a la
misma frmula.
La regla de Simpson 1/3 tambin se puede expresar usando el formato de la
ecuacin (21.5):

( ba ) f ( x 0 ) +4 f ( x 1 ) +f ( x 2 ) (21.15)
6

ancho

Donde

altura promedio

~
I

a=x 0 , b=x 2 y x1=el punto a lamitad entre a y b ,

que esta dado por (b+a)/2.

Observe que, de acuerdo con la ecuacin (21.15), el punto medio esta ponderado
por 2/3; y los dos puntos extremos, por 1/6.
Se puede demostrar que la aplicacin a un solo segmento a un solo segmento de
la regla de Simpson 1/3 tiene un error de truncamiento de (cuadro 21.3).
E1=

1 5 ( 4 )
h f ( )
90

O como

E1=

h=

ba
,
2

( ba )5 (4 )
f ( ) ( 21.16 )
2880

Donde

esta en algn lugar en el intervalo de

b . As, la regla de

Simpson 1/3 es ms exacta que en la regla del trapecio. No obstante , una

comparacin con la ecuacin (21.6) indican que es ms exacta de lo esperado en
lugar de ser proporcional a la tercera derivada, el error proporcional a la cuarta
derivada. Esto es porque, como se muestra en el cuadro 21.3 el termino del
coeficiente de tercer grado se hace 0 durante la integracin de la interpolacin
polinomial. En consecuencia, la regla de Simpson 1/3 alcanza una precisin de
tercer orden aun cuando se base en solo tres puntos. En otras palabras, da
resultados exactos para polinomios cbicos aun cuando se obtenga de una
parbola!\
Obtencin y estimacin del error de la regla de Simpson 1/3
la regla de Simpson 1/3 se obtiene al integrar el polinomio de interpolacin de
newton-Gregory hacia adelante.
x
2

( 0)+ f ( x0 ) +

f ( x0 )
f ( x 0)
f 4 ( )
( 1 )+
( 1 ) ( 2 ) +
( 1 )( 2 ) ( 3) h 4
2
6
24
f

x2

I =
x0

Observe que se escribi el polinomio hasta el trmino de cuarto grado, en lugar de

hasta el de tercer grado como se esperara. La razn de esto se ver un poco
x0 a x2 .
despus. Advierta tambin que los lmites de integracin van de
por lo
tanto, cuando se realizan las sustituciones para simplificar (recuerde el cuadro
21.2) la integral es de =0 a 2 :

x
2

( 0)+ f ( x0 ) +

f ( x0 )
f ( x 0)
f 4 ( )
( 1 )+
( 1 ) ( 2 ) +
( 1 )( 2 ) ( 3) h 4
2
6
24
f

I =h
0

Que al integrarse tiene

11 4 ( ) 4
I =h f ( x 0 ) + f ( x 0 ) +
2 f ( x 0 ) +
+
3 f ( x 0 ) +
+

f h
2
6 4
24 6 6
120 16 72
8
Y evaluando en los lmites se obtiene

f ( x0 )
1
I =h 2 f ( x 0 ) +2 f ( x 0 ) +
+ ( 0 ) 3 f ( x 0 ) f 4 ( ) h4 ( c 21.3 .1 )
3
90
Observe el resultado significativo de que el coeficiente de la tercera diferencia
dividida es 0. Debido a que

f ( x0 ) =f ( x 1 )f ( x 0 ) y 2 f ( x 0) =f ( x 2 ) 2 f ( x1 ) + f ( x 0 ) , la

ecuacin (c21.3.1) se reescribe como:

h
1
[ f ( x0 ) + 4 f ( x1 ) + f ( x 2) ] 90 f 4 ( ) h5
3

I=

regla de simpson1/ 3

error detruncamiento

As, el primer trmino es la regla de Simpson 1/3 y el segundo es el error de

truncamiento. Puesto que se suprime la tercera diferencia dividida, se obtiene el
resultado significativo de que la formula tiene una precisin de tercer orden.

Aplicacin simple de la regla de Simpson 1/3

Planteamiento del problema. Con la ecuacin (21.15) integre
f ( x )=.2+25 x200 x 2+ 675 x 3900 x 4 + 400 x 5
Desde a=0 hastab=.8

recuerde que la integral exacta es 1.640533

solucin
f ( 0 )=.2 f ( .4 )=2.456 f ( .8 )=.232
Por lo tanto, la ecuacin (21.15) se utiliza para calcular
.2+ 4 ( 2.456 ) +.232
=1.367467
6

I ~ .8

Que representa un error exacto de

E1=1.6405331.367467=0.2730667 1=16.6
Que es aproximadamente 5 veces ms que una sola aplicacin de la regla del
trapecio del (ejemplo 21.1)
El error estimado es
Ea =

[ ecuacion ( 21.16 ) ]

( .8 )5
(2400 )=0.27300667
2880

Donde -24000 es el promedio de la cuarta derivada en el intervalo, obtenida

usando la ecuacin (PT6.4). Como en el ejemplo 21.1, el error esta aproximado de
f 4 () .

sin embargo, como este caso tiene que ver con un polinomio de quinto

grado, el resultado concuerda.

La regla de Simpson 1/3 de aplicacin mltiple
As como en la regla del trapecio, la regla de Simpson se mejora al dividir el
intervalo de integracin en varios segmentos de un mismo tamao
h=

ba
n

la integral se puede representar como

xn

f ( x ) dx++ f ( x ) dx
x n2
x4

f ( x ) dx +
x2

x2

I =
x0

Al sustituir la regla de Simpson 1/3 en cada integral se obtiene

f ( x 2) + 4 f ( x3 ) + f ( x 4 )
f ( x n2 ) +4 f ( x n1) + f ( x n )
~ f ( x0 ) + 4 f ( x1 ) + f ( x 2)
I 2h
+2 h
++2 h
6
6
6
O, combinando trminos y usando la ecuacin (21.17)

4.1.3.-Mtodo de Simpson 3/8

La regla de Simpson de 1/3 es, en general, el mtodo de preferencia ya que
alcanza exactitud de tercer orden con tres puntos en vez de los de cuatro puntos
necesarios para la versin de 3/8.
No obstante, la regla de 3/8 tiene utilidad en aplicaciones de segmentos mltiples
cuando el nmero de segmentos es impar.
Para una estimacin de cinco segmentos una alternativa es la de aplicar la regla
de Simpson de 1/3 a los primeros segmentos y la regla de Simpson de 3/8 a los
ltimos tres.
De esta manera, se obtiene una estimacin con exactitud de tercer orden a travs
del intervalo completo
En una manera similar a la regla se Simpson 1/3, un polinomio de tercer orden se
puede ajustar a cuatro puntos e integrarse, la regla es:

x3

x0

f ( x)dx

3h
( f ( x0 ) 3 f ( x1 ) 3 f ( x 2 ) f ( x3 ))
b

Donde h = (b-a)/3. Al sustituir h en nuestra ecuacin anterior, la regla de Simpson

3/8 puede expresarse tambin de la siguiente forma:
I (b-a) f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3).

8
Ejemplo:
Use la regla de Simpson 1/3 y 3/8 para integrar la siguiente funcin:
f(x) = 0.2 +25x 200x2 + 675x3 900x4 + 400x5
Desde a = 0 hasta b = 0.8. La integral exacta es 1.640533.
- Por Simpson 3/8
Cada separacin va a tener:
x = (0 + 0.8)/3 = 0.2667
x0 = 0
x1 = (0 + 0.2667) = 0.2667
x2 = (0.2667 + 0.2667) = 0.5333
x3 = 0.8
f(x0) = f(0) = 0.2
f(x1) = f(0.2667) = 1.432724
f(x2) = f(0.5333) = 3.487177
f(x3) = f(0.8) = 0.232
Sustituimos los valores en la ecuacin:
I (b-a) f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3).
8
I 0.8 0.2 + 3(1.432724) + 3(3.487177) + 0.232.
8
I 1.519170

4.2 CUADRATURA DE GAUSS

En el captulo 21 estudiamos frmulas de integracin numrica o cuadratura

conocidas como ecuaciones de Newton-cotes. Una caracterstica de estas
frmulas (con excepcin del caso especial de la seccin 21.3) fue que la
estimacin de la integral se bas en valores igualmente espaciados de la funcin.

En consecuencia, la localizacin de los puntos que se usaron en estas ecuaciones

eran predeterminados o fijos.
Por ejemplo, la regla del trapecio se basa en obtener el rea bajo la lnea recta
que une a los valores de la funcin, en los extremos del intervalo de integracin.
La frmula que se utiliza para calcular esta rea es
I=(a-b)[ ( f( a ) + f( b ) ) / 2 ]
Donde a y b son lmites de integracin y b - a =el ancho del intervalo de
integracin.
Debido a que la regla del trapecio necesita los puntos extremos, existen casos
donde la formula pueda dar un gran error.
Ahora, suponga que se elimina la restriccin de los puntos fijos y se tuviera la
libertad de evaluar el rea bajo una lnea recta que uniera dos puntos cualesquiera
de la curva.
Al ubicar estos puntos en forma inteligente, definiramos una lnea recta que
equilibrara los errores negativo y positivo. As que, llegaramos a una mejor
estimacin de la integral.
Cuadratura de Gauss es el nombre de una clase de tcnicas para realizar tal
estrategia. Las formulas particulares de cuadratura de Gauss descritas en esta
seccin se denominan frmulas de Gauss-Legendre. Antes de describir el
procedimiento, mostraremos que las frmulas de integracin numrica, como la
regla del trapecio, pueden obtenerse usando el mtodo de coeficientes
indeterminados. Este mtodo se empleara despus para desarrollar las frmulas
de Gauss-Legendre.
Cuadratura de Gauss
En anlisis numrico un mtodo de cuadratura es una aproximacin de una
integral definida de una funcin. Una cuadratura de Gauss n-puntos llamada as
debido a Carl Friedrich Gauss, es una cuadratura que selecciona los puntos de la
evaluacin de manera ptima y no en una forma igualmente espaciada, construida
para dar el resultado de una polinomio de grado 2n-1 o menos, elegibles para los
puntos xi y los coeficientes wi para i=1,...,n. El dominio de tal cuadratura por regla
es de [1, 1] dada por:

Tal cuadratura dar resultados precisos solo si f(x) es aproximado por un

polinomio dentro del rango [1, 1]. Si la funcin puede ser escrita como
f(x)=W(x)g(x), donde g(x) es un polinomio aproximado y W(x) es conocido.

Frmula para calcular wi

Lista de coeficientes de wi y puntos xi para n=1,....,5

Nmero
de puntos,
n

Puntos, xi

Pesos, wi

x1=0

w1 =2

w1 =1 w2 =1

x1=-0.7745966 x2=0
x3=0.7745966

w1 =0.55555 w2 =0.88888 w3 =0.55555

x1=-0.861136311 x2=0.33998104
x3=0.33998104
x4=0.861136311

w1 =0.3478548451 w2 =0.6521451549
w3 =0.6521451549 w4 =0.3478548451

x1=-0.90617984 x2=-

w1 =0.23692688509 w2 =0.4786286705

0.53846931 x3=0
x4=0.53846931
x5=0.90617984

w3 =0.56888888w4 =0.4786286705
w5 =0.23692688509

Cambio de intervalos
Los cambios de intervalos van de [1, 1] despus de aplicar la cuadratura de
Gauss:

Despus de aplicar la cuadratura la aproximacin es:

Ejemplo:
Aproxime la integral f(x) = x3 + 2x2 de 1 a 5 cuando n = 2 mediante el mtodo de
cuadratura de Gauss y despus comparelo con el resultado exacto.

n=2
2n 1 = 2(2) 1 = 3

Con n = 2 podemos resolver la integral con exactitud para todos los polinomios de
grado igual o menor a 3 para f(x)