Anlisis numrico

El anlisis numrico o clculo numrico es la rama de las matemticas que se encarga

de disear algoritmos para, a travs de nmeros y reglas matemticas simples, simular
procesos matemticos ms complejos aplicados a procesos del mundo real.
El anlisis numrico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores. Los
ordenadores son tiles para clculos matemticos extremadamente complejos, pero
en ltima instancia operan con nmeros binarios y operaciones matemticas simples.
Desde este punto de vista, el anlisis numrico proporcionar todo el andamiaje
necesario para llevar a cabo todos aquellos procedimientos matemticos susceptibles
de expresarse algortmicamente, basndose en algoritmos que permitan su simulacin
o clculo en procesos ms sencillos empleando nmeros.

Definido el error, junto con el error admisible, pasamos al concepto de estabilidad de
los algoritmos. Muchas de las operaciones matemticas pueden llevarse adelante a
travs de la generacin de una serie de nmeros que a su vez alimentan de nuevo el
algoritmo (feedback). Esto proporciona un poder de clculo y refinamiento
importantsimo a la mquina que a medida que va completando un ciclo va llegando a
la solucin. El problema ocurre en determinar hasta cundo deber continuar con el
ciclo, o si nos estamos alejando de la solucin del problema.
Finalmente, otro concepto paralelo al anlisis numrico es el de la representacin,
tanto de los nmeros como de otros conceptos matemticos como los vectores,
polinomios, etc. Por ejemplo, para la representacin en ordenadores de nmeros
reales, se emplea el concepto de coma flotante que dista mucho del empleado por la
matemtica convencional.

En general, estos mtodos se aplican cuando se necesita un valor numrico como
solucin a un problema matemtico, y los procedimientos "exactos" o "analticos"
(manipulaciones algebraicas, teora de ecuaciones diferenciales, mtodos de
integracin, etc.) son incapaces de dar una respuesta. Debido a ello, son
procedimientos de uso frecuente por fsicos e ingenieros, y cuyo desarrollo se ha visto
favorecido por la necesidad de stos de obtener soluciones, aunque la precisin no sea
completa. Debe recordarse que la fsica experimental, por ejemplo, nunca arroja
valores exactos sino intervalos que engloban la gran mayora de resultados
experimentales obtenidos, ya que no es habitual que dos medidas del mismo
fenmeno arrojen valores exactamente iguales.


Contenido
1 Problemas
o 1.1 Clasificacin atendiendo a su naturaleza o motivacin
2 reas de estudio
o 2.1 Clculo de los valores de una funcin
o 2.2 Resolucin de ecuaciones y sistemas de ecuaciones
o 2.3 Descomposicin espectral y en valores singulares
o 2.4 Optimizacin
o 2.5 Evaluacin de integrales
o 2.6 Ecuaciones diferenciales
3 Otros temas de anlisis numrico
4 Referencias
5 Enlaces externos
o 5.1 En castellano
o 5.2 En ingls
Problemas
Los problemas de esta disciplina se pueden dividir en dos grupos fundamentales:
Problemas de dimensin finita: aquellos cuya respuesta son un conjunto finito
de nmeros, como las ecuaciones algebraicas, los determinantes, los
problemas de valores propios, etc.
Problemas de dimensin infinita: problemas en cuya solucin o planteamiento
intervienen elementos descritos por una cantidad infinita de nmeros, como
integracin y derivacin numricas, clculo de ecuaciones diferenciales,
interpolacin, etc.
Clasificacin atendiendo a su naturaleza o motivacin
Asimismo, existe una subclasificacin de estos dos grandes apartados en tres
categoras de problemas, atendiendo a su naturaleza o motivacin para el empleo del
clculo numrico:
1) Problemas de tal complejidad que no poseen solucin analtica.
2) Problemas en los cuales existe una solucin analtica, pero sta, por
complejidad u otros motivos, no puede explotarse de forma sencilla en la
prctica.
3) Problemas para los cuales existen mtodos sencillos pero que, para
elementos que se emplean en la prctica, requieren una cantidad de clculos
excesiva; mayor que la necesaria para un mtodo numrico.
reas de estudio
El anlisis numrico se divide en diferentes disciplinas de acuerdo con el problema que
resolver.
Clculo de los valores de una funcin
Uno de los problemas ms sencillos es la evaluacin de una funcin en un punto dado.
Para polinomios, uno de los mtodos ms utilizados es el algoritmo de Horner, ya que
reduce el nmero de operaciones a realizar. En general, es importante estimar y
controlar los errores de redondeo que se producen por el uso de la aritmtica de
punto flotante.
La extrapolacin es muy similar a la interpolacin, excepto que ahora queremos
encontrar el valor de la funcin desconocida en un punto que no est comprendido
entre los puntos dados.
La regresin es tambin similar, pero tiene en cuenta que los datos son imprecisos.
Dados algunos puntos, y una medida del valor de la funcin en los mismos (con un
error debido a la medicin), queremos determinar la funcin desconocida. El mtodo
de los mnimos cuadrados es una forma popular de conseguirlo.
Resolucin de ecuaciones y sistemas de ecuaciones
Otro problema fundamental es calcular la solucin de una ecuacin o sistema de
ecuaciones dado. Se distinguen dos casos dependiendo de si la ecuacin o sistema de
ecuaciones es o no lineal. Por ejemplo, la ecuacin es lineal mientras que
la ecuacin no lo es.
Mucho esfuerzo se ha puesto en el desarrollo de mtodos para la resolucin de
sistemas de ecuaciones lineales. Mtodos directos, i.e., mtodos que utilizan alguna
factorizacin de la matriz son el mtodo de eliminacin de Gauss, la descomposicin
LU, la descomposicin de Cholesky para matrices simtricas (o hermticas) definidas
positivas, y la descomposicin QR. Mtodos iterativos como el mtodo de Jacobi, el
mtodo de Gauss-Seidel, el mtodo de las aproximaciones sucesivas y el mtodo del
gradiente conjugado se utilizan frecuentemente para grandes sistemas.
En la resolucin numrica de ecuaciones no lineales algunos de los mtodos ms
conocidos son los mtodos de biseccin, de la secante y de la falsa posicin. Si la
funcin es adems derivable y la derivada se conoce, el mtodo de Newton es muy
utilizado. Este mtodo es un mtodo de iteracin de punto fijo. La linealizacin es otra
tcnica para resolver ecuaciones no lineales.
Las ecuaciones algebraicas polinomiales poseen una gran cantidad de mtodos
numricos para enumerar :
Mtodo de Greffe (o mtodo de Lobachevsky o de Lobachevsky-Dandelin-
Greffe o del cuadrado de las races)
Mtodo de Laguerre
Mtodo de Bairstow (o mtodo de Lin-Bairstow)
Mtodo de Bernoulli
Mtodo de Horner
Mtodo de Householder
Mtodo de Newton-Raphson especializado para polinomios
Mtodo de Richmond especializado para polinomios
Mtodo modificado de Richmond
Mtodo de Newton-Horner
Mtodo de Richomnd-Horner
Mtodo de Birge-Bite
Mtodo de Jenkins-Traub
Descomposicin espectral y en valores singulares
Bastantes problemas importantes pueden ser expresados en trminos de
descomposicin espectral (el clculo de los vectores y valores propios de una matriz) o
de descomposicin en valores singulares. Por ejemplo, el anlisis de componentes
principales utiliza la descomposicin en vectores y valores propios.
Optimizacin
Artculo principal: Optimizacin (matemtica).
Los problemas de optimizacin buscan el punto para el cual una funcin dada alcanza
su mximo o mnimo. A menudo, el punto tambin satisface cierta restriccin.
Ejemplos de ,problemas de optimizacin son la programacin lineal en que tanto la
funcin objetivo como las restricciones son lineales. Un mtodo famoso de
programacin lineal es el mtodo simplex.
El mtodo de los multiplicadores de Lagrange puede usarse para reducir los problemas
de optimizacin con restricciones a problemas sin restricciones.
Evaluacin de integrales
Artculo principal: Integracin numrica.
La integracin numrica, tambin conocida como cuadratura numrica, busca calcular
el valor de una integral definida. Mtodos populares utilizan alguna de las frmulas de
NewtonCotes (como la regla del rectngulo o la regla de Simpson) o de cuadratura
gaussiana. Estos mtodos se basan en una estrategia de "divide y vencers",
dividiendo el intervalo de integracin en subintervalos y calculando la integral como la
suma de las integrales en cada subintervalo, pudindose mejorar posteriormente el
valor de la integral obtenido mediante el mtodo de Romberg. Para el clculo de
integrales mltiples estos mtodos requieren demasiado esfuerzo computacional,
siendo til el mtodo de Monte Carlo.
Ecuaciones diferenciales
El anlisis numrico tambin puede calcular soluciones aproximadas de ecuaciones
diferenciales, bien ecuaciones diferenciales ordinarias, bien ecuaciones en derivadas
parciales. Los mtodos utilizados suelen basarse en discretizar la ecuacin
correspondiente. Es til ver la derivacin numrica.
Para la resolucin de ecuaciones diferenciales ordinarias los mtodos ms utilizados
son el mtodo de Euler y los mtodos de Runge-Kutta.
Las ecuaciones en derivadas parciales se resuelven primero discretizando la ecuacin,
llevndola a un subespacio de dimensin finita. Esto puede hacerse mediante un
mtodo de los elementos finitos.