DIFERENCIACIÓN E

INTEGRACIÓN
NUMÉRICA
UNIDAD 4

MÉTODOS CONTINUOS
 TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CERRO AZUL

MATERIA
FUNDAMENTOS DE MECÁNICA DE LOS MEDIOS CONTINUOS
UNIDAD 4
“DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICA”
TRABAJO
INVESTIGACIÓN DEL TEMA
COMO DOCENTE
ING. CERÓN DELGADO RODOLFO ABDIEL
COMO ALUMNO
VILLEGAS OLVERA EDUARDO DANIEL
ESPECIALIDAD
INGENIERÍA CIVIL
GRUPO
1
ENTREGA
MAYO 2019
SEMESTRE
4°
CICLO ESCOLAR
ENERO – JUNIO 2019

1
Contenido

INTRODUCCIÓN .............................................................................................................. 3

Diferenciación numérica ................................................................................................. 3

Integración numérica ....................................................................................................... 5
Razones para la integración numérica ........................................................................... 5
Integración múltiple ........................................................................................................ 6
4.1 Ecuaciones de diferencias divididas finitas para datos uniformemente distribuidos. ... 7

4.2 Ecuaciones para derivar datos irregularmente espaciados. ........................................... 8

4.3 Ecuación de integración de Newton- Cotes ................................................................ 11

........................................................................................................................................... 14

4.4 Aplicaciones de la diferenciación e integración numérica. ......................................... 14

Conclusión ........................................................................................................................ 17

Bibliografía ....................................................................................................................... 18

2
INTRODUCCIÓN

Diferenciación numérica

El cálculo de la derivada de una función puede ser un proceso "difícil" ya sea por lo

complicado de la definición analítica de la función o por que esta se conoce únicamente en un

número discreto de puntos. (Este es el caso si la función representa el resultado de algún

experimento). En esta lección estudiaremos técnicas para aproximar las derivadas de una función

y veremos el análisis de error de dichas formulas.

Fórmulas para la primera derivada: La definición de la derivada de una función f(x)

en el punto "x" está dada en términos del límite:

De esta definición podemos decir que si "h" es pequeño

entonces:

(Note el símbolo de aproximación). Esto nos da inmediatamente la primera formula

numérica para aproximar la derivada:

Antes de ver algunos ejemplos donde usamos esta fórmula, tratemos de contestar la
pregunta de ¿cuán buena es esta aproximación de la derivada? Por el Teorema de Taylor
sabemos que:

Donde esta entre x y x+h. Si despejamos ahora en esta fórmula por f'(x) y usamos la
definición de tenemos que:

3
 Esta fórmula nos dice que aproxima a f'(x) con un error proporcional a "h", i.e., O(h).

Formulas para la segunda derivada: El proceso de arriba se puede usar para obtener fórmulas

para las derivadas de orden mayor de uno de una función f(x). Usamos este proceso para obtener

una formula para la segunda derivada. Usando

el Teorema de Taylor, podemos escribir las expansiones:

Sumando estas dos expansiones y despejando para f''(x)

obtenemos:

Donde

y esta entre [x-h,x+h]. Tenemos aqui una fomula de orden dos para f"(x).

Diferenciación usando polinomios de interpolación: Suponga que son puntos distintos y

sea pn(x) el polinomio que interpola a f(x) en estos puntos. Entonces aproximamos f '(x) por:

Suponga que . Se puede demostrar que

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 Aunque no discutiremos en más detalles este método para aproximar derivadas, si
mencionamos que las dos formulas que discutimos para aproximar f '(x) se pueden obtener
usando polinomios de interpolación de grados uno y dos respectivamente.

Integración numérica

En análisis numérico la integración numérica constituye una amplia gama de algoritmos

para calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión, el término se usa a
veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales. El término
cuadratura numérica (a menudo abreviado a cuadratura) es más o menos sinónimo de integración
numérica, especialmente si se aplica a integrales de una dimensión a pesar de que para el caso de
dos o más dimensiones (integral múltiple) también se utiliza.

El problema básico considerado por la integración numérica es calcular una solución

aproximada a la integral definida:

Este problema también puede ser enunciado como un problema de valor inicial para una
ecuación diferencial ordinaria, como sigue:

Encontrar y(b) es equivalente a calcular la integral. Los métodos desarrollados para

ecuaciones diferenciales ordinarias, como el método de Runga-Kutta pueden
ser aplicados al problema reformulado. En este artículo se discuten métodos
desarrollados específicamente para el problema formulado como una integral definida.

Razones para la integración numérica

Hay varias razones para llevar a cabo la integración numérica. La principal puede
ser la imposibilidad de realizar la integración de forma analítica. Es decir, integrales que
requerirían de un gran conocimiento y manejo de matemática avanzada pueden ser resueltas
de una manera más sencilla mediante métodos numéricos. Incluso existen funciones
integrables pero cuya primitiva no puede ser calculada, siendo la integración numérica de
vital importancia. La solución analítica de una integral nos arrojaría una solución exacta,
mientras que la solución numérica nos daría una solución aproximada. El error de la
aproximación, que depende del método que se utilice y de qué tan fino sea, puede llegar a
ser tan pequeño que es posible obtener un resultado idéntico a la solución analítica en las
primeras cifras decimales.

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 Integración múltiple

Las integrales múltiples se utilizan a menudo en la ingeniería. Por ejemplo, una

ecuación general para calcular el promedio de una función bidimensional puede escribirse

como sigue:

Al numerador se le llama integral doble.

Las técnicas estudiadas en este capítulo (y en el siguiente) se utilizan para evaluar

integrales múltiples. Un ejemplo sencillo seria obtener la integral doble de una función

sobre un área rectangular.

Recuerde del cálculo de dichas integrales se pueden calcular como integrales

iteradas.

Primero se evalúa la integral en una de las dimensiones y el resultado de esta

primera integración se incorpora en la segunda integración. Una integral numérica doble

estará basada en la misma idea. Primero se aplican métodos, como la regla de Simpson o

del trapecio para segmentos múltiples, a la primera dimensión manteniendo constante los

valores de la segunda dimensión.

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4.1 Ecuaciones de diferencias divididas finitas para datos

uniformemente distribuidos.

Este método consiste en una aproximación de las derivadas parciales por

expresiones algebráicas con los valores de la variable dependiente en un limitado número

de puntos seleccionados. Como resultado de la aproximación, la ecuación diferencial

parcial que describe el problema es reemplazada por un número finito de ecuaciones

algebraicas, en términos de los valores de la variable dependiente en puntos seleccionados.

El valor de los puntos seleccionados se convierten en las incógnitas. El sistema de

ecuaciones algebraicas debe ser resuleto y puede llevar un número largo de operaciones

aritméticas. En el siguiente video se desarrolla un ejemplo de dicho tema (Video tomado de

el canal de youtube Alfa Teorema)

El método de NEWTON de diferencias divididas es otra forma de obtener el

polinomio interpolador.

Dado cierto número de puntos obtenidos pormuestreo o a partir de un experimento

se prentede encontrar un polinomio que pase por todos los puntos

Dada una función f de la cual se conocen sus valores en un número finito de

abscisas x1, x1, ....., xm, se llama interpolación polinómica al proceso de hallar un

polinomio pm(x) de grado menor o igual a m.

Sea fn una variable discreta de n elementos y se xn otra variable discreta de n

elementos los cuales corresponden por parejas a la imagen u ordenada y abcisa de los datos

que se quieran interpolar, respectivament, tales que:

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 Este método es muy algorítmico, por lo que resulta muy cómodo, más cuando se

quiere calcular un polinomio interpolador de grado elevad. El polonimio resultante tendrá

la forma.

Los coeficientes aj son las llamadas diferencias dividias.

4.2 Ecuaciones para derivar datos irregularmente espaciados.

Los procedimientos analizados hasta ahora se diseñaron principalmente para

determinar la derivada de una función dada. Para las aproximaciones por diferencias

divididas finitas de la sección 23.1, los datos deben estar igualmente espaciados. Para la

técnica de extrapolación de Richardson de la sección 23.2, los datos deben estar igualmente

espaciados y generados por sucesivas divisiones a la mitad de los intervalos. Para tener un

buen control del espaciamiento de datos, con frecuencia, sólo es posible cuando se utiliza

una función para generar la tabla de valores.

Sin embargo, la información empírica (es decir, datos a partir de experimentos o de

estudios de campo) con frecuencia se obtiene a intervalos desiguales. Tal información no

puede analizarse con las técnicas estudiadas hasta aquí.

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 Una manera de emplear datos irregularmente espaciados consiste en ajustar un

polinomio de interpolación de Lagrange de segundo grado [recuerde la ecuación (18.23)] a

cada conjunto de tres puntos adyacentes. Recuerde que estos polinomios no requieren que

los puntos estén igualmente espaciados. Si se deriva analíticamente el polinomio de

segundo grado se obtiene

donde x es el valor en el cual se quiere estimar la derivada. Aunque esta ecuación es

más complicada que las aproximaciones de la primera derivada de las figuras 23.1 a 23.3,

tiene importantes ventajas. Primero, sirve para estimar la derivada en cualquier punto

dentro de un intervalo determinado por los tres puntos. Segundo, los puntos no tienen que

estar igualmente espaciados y tercero, la estimación de la derivada tiene la misma exactitud

que la diferencia centrada [ecuación (4.22)]. De hecho, con puntos igualmente espaciados,

la ecuación (23.9) evaluada en x = xi se reduce a la ecuación (4.22).

Planteamiento del problema. Como se muestra, un gradiente de temperatura puede

medirse abajo del suelo. El flujo de calor en la interfaz suelo-aire puede calcularse

mediante la ley de Fourier,

9
 donde q = flujo de calor (W/m2), k = coeficiente de difusividad térmica en el suelo

(≅ 3.5 × 10–7 m2/s), r = densidad del suelo (≅ 1 800 kg/m3) y C = calor específico del

suelo (≅ 840 J/(kg · ºC)). Observe que un valor positivo del flujo indica que el calor se

transfiere del aire al suelo. Utilice diferenciación numérica para evaluar el gradiente en la

interfaz suelo-aire y emplee dicha estimación para determinar el flujo de calor bajo el suelo.

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4.3 Ecuación de integración de Newton- Cotes
En análisis numérico las fórmulas de Newton-Cotes (nombradas así por Isaac

Newton y Roger Cotes) son un grupo de fórmulas de integración numérica de

tipo interpolatorio, en las cuales se evalúa la función en puntos equidistantes, para así hallar

un valor aproximado de la integral. Cuanto más intervalos se divida la función más preciso

será el resultado.

Este método es eficiente si se conocen los valores de la función en puntos

igualmente separados. Si se pueden cambiar los puntos en los cuales la función es evaluada

otros métodos como la cuadratura de Gauss son probablemente más eficientes.

Las fórmulas de Newton - Cotes son los tipos de integración numérica más

comunes. Se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada o datos tabulados

por un polinomio de aproximación que es fácil de integrar:

donde fn(x) es un polinomio de la forma

donde n es el grado del polinomio. Por ejemplo, en la Figura 1 se utiliza un

polinomio de primer grado como una aproximación, mientras que en la Figura 2, se emplea

una parábola con el mismo propósito.

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 La integral también se puede aproximar usando un conjunto de polinomios aplicados

por pedazos a la función o datos, sobre segmentos de longitud constante. Así, en la Figura

3, se usan tres segmentos de línea recta para aproximar la integral.

Existen formas cerradas y abiertas de las fórmulas de Newton - Cotes. En esta

sección sólo se analizarán las formas cerradas. En ellas, se conocen los datos al inicio y al

final de los límites de integración.

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13
4.4 Aplicaciones de la diferenciación e integración numérica.

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Conclusión

Mediante este proyecto de trabajo has podido poner en consideración teoremas y

propiedades matemáticas para encontrar la solución de problemas complejos a algo mas

sencillo y rápido. Ya que esto nos reducirá tiempo y esfuerzo en cálculos aplicados a

la ingeniería, esta nueva herramienta, se pretende que se toma en verdadera consi-

deración para su aplicación en su desarrollo académico.

En las aplicaciones prácticas, a menudo sucede que tenemos valores de la variación

de una función en algunos puntos sin tener su expresión analítica, y queremos inferir de

ellos la función derivada en algún otro punto. De la misma forma, podemos necesitar la

integral definida de esa función de la que sólo sabemos sus valores en algunos puntos; en el

caso de la integral además, puede darse el caso de que, incluso teniendo la expresión

analítica de la función a integrar, y siendo la función integrable, no exista la función

primitiva. En estos casos la solución pasa por aproximar la derivada y la integral usando los

métodos del cálculo numérico.

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 Bibliografía

 http://cidecame.uaeh.edu.mx/lcc/mapa/PROYECTO/libro8/131_mtodo_de_diferencias_div

ididas_finitas.html

 https://es.slideshare.net/reinario/metodos-numericostrabajo-franchesco

 http://www.frsn.utn.edu.ar/GIE/AN/IN/Formulas_Newton_Cotes.html

 https://www.ugr.es/~prodelas/ftp/Ciencias/Geologia/Tema4.pdf

 https://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmulas_de_Newton%E2%80%93Cotes

 https://www.academia.edu/27624515/APLICACIONES_DE_DIFERENCIACION_E_NTE

GRACION_NUMERICA

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