El ser humano siempre tuvo la necesidad de contar.

Para hacerlo creó lo que se conoce como números

naturales: 0, 1, 2, 3,... Sin embargo estos números no le fueron suficientes para representar algunas
cantidades, ni distinguir ciertas situaciones de otras. Por ejemplo, las ganancias y las pérdidas, los
años transcurridos antes y después de Cristo, entre otras. Para soluciones este tipo de problemas creó
los Números Negativos: -1, -2, -3, -4, ...

Los Números Enteros que tienen delante el signo + se llaman Enteros Positivos y el conjunto
formado por los enteros positivos se representa con Ζ  , es decir
Ζ    1 ,2 ,3 ,O simplemente se escribe: Ζ   1 , 2 , 3 ,

Los Números Enteros que tienen delante el signo (-) se llaman Enteros Negativos y representamos a
dicho conjunto por Ζ  es decir Ζ    1 ,2 ,3 ,
En todas estas representaciones el cero 0 se considera como punto de origen o referencia y los
números enteros positivos o negativos se identifican con situaciones contrarias u opuestas
respectivamente. En resumen se tiene que:
 Con números enteros positivos se presentan: ganancias, tener, subir, depósitos bancarios, años
después de Cristo, entre otros
Ejemplos:
400 años después de Cristo 400
200 metros sobre el nivel del mar 200

 Con números enteros negativos se presentan: pérdidas, deudas, bajar, retiros bancarios, años antes
de Cristo, etc.
Ejemplos:
Una pérdida de B/. 46. - 46
3 pistos debajo del quinto piso -3
Una temperatura de 10° C bajo cero -10
El conjunto formado por los números enteros negativos, el número cero 0  y los números enteros
positivos es el conjunto de los números enteros y se simboliza con Ζ .
O sea

Ζ  ,  5 ,  4 ,  3 ,  2 ,  1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , Escrito de otro modo Ζ  Ζ   0   Ζ 

1
UBICACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA
La recta numérica se usa para representar números como punto de una recta. Para representar los
números enteros se elige un punto de referencia sobre la recta al que se le asigna el número cero (0).
Hacia la derecha, se ubican puntos igualmente espaciados para representar los números enteros
positivos; hacia la izquierda, se ubican puntos igualmente espaciados para representar los números
enteros negativos. Ejemplo:

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Enteros Negativos Enteros Positivos
Punto de Referencia

NÚMEROS OPUESTOS O SIMÉTRICOS

El opuesto de un número entero es otro número entero con la misma magnitud o tamaño pero con
signo contrario, luego:
 El opuesto de cero es cero.
 El opuesto de un número positivo es un número negativo.
 El opuesto de un número negativo es un número positivo.
Ejemplo:
- 1 es el opuesto de 1 y 1 es el opuesto de -1
- 3 es el opuesto de 3 y 3 es el opuesto de -3

Los opuestos están en la recta numérica a la misma distancia de cero pero en sentidos contrarios.

-3 -1 0 1 3

VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO

El valor absoluto de un número entero es el valor que representa el número, independientemente del
signo que presenta. En la recta numérica, el valor absoluto de un número entero es la cantidad de
unidades que dicho número dista del cero.

2
El valor absoluto se expresa encerrando el número entre dos barras.
Ejemplos:
a) 3 3 b)  3  3

-3 -2 -1 0 1 2 3
Tres unidades Tres unidades

ORDEN DE LOS NÚMEROS ENTEROS

Los números enteros se pueden comparar a través delas siguientes relaciones:
Mayor que >
Menor que <
Igual a =

Al comparar números enteros se puede concluir que:

 El cero es mayor que cualquier entero negativo. Ejemplo: 0 > - 100
 El cero es menor que cualquier entero positivo. Ejemplo: 0 < + 5
 Todo número positivo es mayor que cualquier número negativo. Ejemplo: 1 > -5
 De dos números negativos, es mayor el que tenga menor valor absoluto.
 De dos números positivos, es mayor el que tenga mayor valor absoluto.
Ejemplos:
1.) 5 < 17 2.) -11 < 4 3.) -7 < - 4
4.) -5 < -2 5.) 9 > - 100

ACTIVIDADES
1) Escribe el número entero que corresponde a cada situación
 15 pasos a la izquierda ______
 Ni perdí, ni gané ______
 20° bajo cero ______
 400 años antes de Cristo ______
 35 pasos a la derecha ______
 Una ganancia de B/. 10 000 ______
 Un niño bajo en ascensor 8 pisos ______
 Un depósito bancario de B/. 300 ______

3
2) Escriba el valor opuesto de las siguientes expresiones numéricas

a. - 45 el opuesto es ________ d)  5
8
el opuesto es _______

b. + 32 el opuesto es ________ e) 75 el opuesto es ________

c. - b el opuesto es ________ f) n el opuesto es ________

3) Determine el valor absoluto de cada uno de los siguientes números enteros.

a)  25  b)  5  c) 86  d)  a 

4) Localice en la recta numérica los siguientes números enteros. ( 5 p )

a) + 5 b) - 10 c) - 6 d) 15 e) - 30

IV. Compara los siguientes números enteros y escribe “ < “ menor que ; “ > “ mayor que ;
“ = “ igual a dependiendo de la posición en la recta numérica. ( 8 p )

a)  24 ____ 25 b)  16 ____ 25 c)  12 ____ 5

d) 7 ____7 e) 1 ____ 100 e) 0 ____ 1

4
 TALLER

En la siguiente Tabla se representan las temperaturas de un experimento donde se calienta una

cantidad de agua y se toman varias muestras. Represente en una recta numérica Vertical, en forma de
Termómetro cada una de las temperaturas dadas marcadas con la letra que se le asigna. ( 10 p )
TERMOMETRO
Muestra Temperatura Muestra Temperatura
A - 8 F + 5
B +4 G + 7
C - 3 H 0
D - 10 I - 2
E - 7 J + 8

I. La tabla de la figura siguiente muestra diferentes lugares cuyas alturas se representan con las
siguientes letras: ( 4 puntos )
Lugar Altura ( m ) Lugar Altura ( m )
A - 600 D + 980
B + 930 E - 650
C - 345 F - 260
a) ¿ Cuál es el lugar más alto? ________
b) ¿ Entre C y F cual es más bajo? ________
c) ¿ Entre A y E cual es más alto? ________
d) ¿ Cual es el lugar más bajo? ________

III. Según el orden lógico en la recta numérica de los números enteros. Ordene los siguientes números:
a ) Ordene en forma Descendente ( de mayor a menor ) los siguientes números enteros: ( 3 p )
-4 , +6 , - 2 , 0 , -7 , +3

b ) Ordene en forma Ascendente ( de menor a mayor ) los siguientes números enteros: ( 3 p )

+ 8 , - 5 , + 9 , - 3 , 0 , +1

5
 ADICIÓN DE NÚMEROS ENTERO
Al sumar números enteros se pueden presentar dos situaciones.
a.) Que los sumandos tengan igual signo
Ejemplo:
1.) 2 + 4
Solución: 2 + 4 = 6

2.) (-2) + (-4)

Solución: (-2) + (-4) = -2 - 4= -6

Regla: Si las cantidades a sumar tienen igual signo, se coloca el mismo signo y se suman los valores
absolutos de las cantidades numéricas.

b.) Que los sumandos tengan signos diferentes.

Ejemplo:
1.) 5 + (- 6)
Solución: 5 + (- 6) = 5 - 6= -1

2.) (6) + (-2)

Solución: (6) + (-2) = 6 - 2= 4
c.)
Regla: Si las cantidades a sumar tienen distinto signo, se coloca el signo del mayor en valor absoluto y se
restan las cantidades numéricas.

Otros ejemplos:
1.) 12 + 8 = 12 + 8 = 20 2.) (-5) + (-10) = - 5 - 10 = -15
3.) (+30) + (-10) = 4.) (+25) + (-30) =
Cuando aparecen más de dos sumandos con signos distintos se agrupan los sumandos positivos por
una parte y por otra los sumandos negativos, y luego se suman los resultados de esas dos sumas
parciales.
Ejemplo
 5   3   4   1   5  1   3  4   6  7  1
1)

6
 PROPIEDADES DE LA ADICIÓN EN Z
La adición cumple con las siguientes propiedades.
Sean a, b, c, tres números enteros
PROPIEDAD ENUNCIADO SIMBÓLICAMENTE EJEMPLO
Si sumamos dos números 5 + (-4) =1
Cerrada enteros cualesquiera, el a+b=c
-10 + (-3) = -7
total es otro número entero.
La suma de dos números
enteros es igual si se -5 + 7 = 7 + (-5)
Conmutativa a+b=b+a
cambia el orden de los 2 = 2
sumandos
La suma de tres enteros es 2   3  4  2   3   4 
igual si agrupamos o 1  4  2  1
Asociativa (a + b) + c = a + (b + c)
asociamos los dos primeros 33
o los dos últimos.
A cualquier número entero
Elemento Neutro se le puede sumar cero o 5  0  0  5
a+0=0+a=a  4  0  0  ( 4)   4
o modulativa viceversa, el total será el
mismo número entero.
8  - 8   0
La suma de un entero y su a + (-a) = 0
Inverso aditivo u opuesto es igual al
opuesto 9  9  0
elemento neutro. -a + a = 0

ACTIVIDAD
Resuelva las siguientes adiciones
1) (3) + (7) 2) (8) + (-5) 3) +11 + (-8)
4) (-4) + (-3) 5) (-7) + (+2) 6) 30 + 70
7) (2) + (-3) 8) (+38) + (-41) 9) (-10) + (-10)
10) (-4) + (-1) 11) (52) + (-100) 12) (-45) + (-2) + (-3) + (-4)
13) (-11) + (-18) 14) (-84) + (-38) 15) (-25) + (-4) + (-20) + (-100)
16) (-21) + (-9) 17) (-8) + (-1) 18) 759 + (-490)
19) 1 + (-8) + (-10) +8 20) -9 + (-4) + (-12) + (1) 21) 1235 + (-761)
22) (3) + (-3) 23) (0) + (-14) 24) (-17) + (0)
25) -8 +(-8) + (-4) + 20 26) -600 + (-200) 27) 125 + 500
28) 82 + (-100) + (-1) + 76 29) 34 + 18 + (-66) + (-33) 30) -5 + 15 + (-3) + 6 + (-1)

7
 SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
La sustracción relaciona dos números enteros, llamados minuendo y sustraendo, para determinar un
tercer número llamado diferencia.
Ejemplo:
10 - 5 = 5

Minuendo Sustraendo Diferencia

Para restar números enteros, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo.

Ejemplo:
1) (+2) – (-3) = +2 + +3 = + 5

PRÁCTICA
2) (-5) – (-3) = -5 + 3 = - 2
Resuelva las siguientes sustracciones
1) 7 – (-4) 2) (-10) – (7)
3) De 25 restar (-9)
3) (-15) – (-5) 4) 100 – (-29)
Solución
5) (-125) – (+125) 6) (-45) – (-45)
25 – (-9) = 25 + 9 = 34
7) De 50 restar 30 8) Restar (-4) de 41
Restar 7 de -2
9) (69) – (-50) 10) De (-7) restar 4
Solución:
11) (-50) – (69) 12) Restar (-16) de (-74)
(-2) – (7) = -2 - 7 = -9

ACTIVIDAD

I. Escriba el nombre de la propiedad aplicada en la suma de números enteros

a.) (0) + (-8) = -8 _______________________________________
b.) (-6) + (+6) = (+6) + (-6)=0 _______________________________________
c.) (8) +(-2) = 6 _______________________________________
d.) (-8+6) +7 = -8 + (6+7) _______________________________________
e.) (-4) + (+1) = (+1) + (-4) _______________________________________

II. Resuelva las siguientes adiciones de números enteros

a.) (+230) + (-348) =
b.) (-75) + (-15) + (-40) =
c.) (+115) + (+20) + (+8) =
d.) (-346) + (+128) + (-582) + (755) =

8
III. Resuelva las siguientes sustracciones de números enteros
a.) +624) - (+296)=
b.) De (-587) restar (235)=
c.) -3286- (+2985)=
d.) Restar (37) de (-63)=

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Los términos que intervienen en una multiplicación reciben el nombre de factores y el resultado se
llama producto. Usualmente la multiplicación se denota por:
 Paréntesis (a) (b) = c Ejemplos: (2) (3) = 6
 Un punto entre los factores a  b = c Ejemplos: 2  3 = 6
 Una equis entre los factores a x b = c Ejemplos: 2 x 3 = 6

Regla de los signos para la multiplicación de números enteros.

1) Si multiplicamos dos factores de igual signo el producto siempre es positivo, es decir:
      
      
2) Si multiplicamos dos factores de signo diferentes, el producto siempre es negativo, es decir:
      
      

Para multiplicar números enteros, se multiplican los números como si fueran naturales y se aplica la
regla de los signos.
Ejemplos:
1.)   6    4   24 2.)   3    6    18
3.)   5    6    30 4.)   4    11    44
Cuando multiplicamos más de dos números enteros, el resultado es positivo si hay un número par de
factores negativos y el resultado es negativo si hay un número impar de factores negativos.
Ejemplo:
1)   4    2   3    24

2)   1    4    5   1    20

9
 ACTIVIDAD
Resuelva las siguientes operaciones con números enteros
1.)  2   3   2.)  4   2   3.) 55   8  
4.)   25    8   5.) 12   15  1  6.) 13    33   2  
7.)   4  35   2  8.) 12  85   9.) 32   105  
10.) 75   8   11.) 72   0   12.)   14   0  

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN EN Z

PROPIEDAD ENUNCIADO EJEMPLO

Clausurativa Al multiplicar dos números

enteros su producto será otro  3   4   12
 3Ζ,  4Ζ, 12Ζ
número entero.

Conmutativa El orden de los factores no - 6    5     5  - 6 

altera el producto  30   30

PRODUCTOS IGUALES
Asociativa Los números enteros se pueden  3 x  5   2    3  5 x  2 
multiplicar agrupándolos y su  15   2    3 10 
producto será siempre igual.  30   30

Elemento Neutro Todo número entero UNO

multiplicado por 1, es igual al - 8   1   8
mismo número entero. MISMO NÚMERO
Factor Cero Todo número entero
multiplicado por cero (0) es - 7   0   0
igual a cero (0).

Distributiva con  3  2  1   3 x  2    3 x 1

respecto a la Adición   3   1    6  3
3  3

DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

La regla de los signos para la división es la misma que para la multiplicación

        

         

10
Para dividir números enteros, se dividen los números como si sean números naturales y se aplica la
regla de los signos

Ejemplos:

 24
 (-24)  (-6) = +4 ó  4
6
 18
 (-18)  (+9) = -2 ó  2
9
 12
 (+12)  (-3) = -4 ó  4
3

La división de números enteros no es conmutativa, asociativa, no tiene elemento neutro, no existe la

división por cero y el cero dividido entre un número diferente de cero es siempre cero.

PRÁCTICA
Resuelva las siguientes divisiones de números enteros
1.)   54   9  2.) 72  3.)  144 
36  36

4.)  20  5.)  12   12   6.)   120   6  

2
7.)  18    6   8.)  100  9.) 875 
 10 125

10.)  500 
 25

ACTIVIDAD

I PARTE: encuentre los productos de las siguientes multiplicaciones aplicando la ley de los signos
correspondiente.

 27 98 

  18 3 4 1 

 232 6 

 55112 

  4 1207 

  35 4 5 9 

11
II PARTE: efectúe las siguientes divisiones aplicando la ley de los signos correspondientes

342 40
   
2 0

 200 0
   
 20  20

 999 675
   
3 5

Definición: se llama potencia al proceso de resolver una multiplicación cuyos factores son todos
iguales. La potenciación se denota por:
a= base
a  n
b n = exponente
b = potencia

El exponente indica las veces que se multiplica la base por ella misma. Ejemplo:  2 3   2   2   2   8
Regla de los signos:
1.) Toda potencia de exponente par es positiva.
2.) Toda potencia de exponente impar tiene el signo de la base.
Ejemplos:
2 2  2  2   4
- 2  2  - 2  - 2   4
 2 3   2   2   2   8
- 2 3  - 2  - 2  - 2   - 8
ACTIVIDAD
Resuelva las siguientes potencias de números enteros
1) 2 3  6) - 4 2  11) - 1 
5

2) - 2 3  7) - 4 3  12) - 1 
8

3) - 2 4  8) - 37  13) - 3  
0

4) - 3 3  9) - 4 5  14) 12  
0

5) 4 2  10) 10  
3
15) - 24  
1

12
13
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN

1. Producto de potencias de bases iguales:

Para resolver el producto de potencias de igual base, se coloca la misma base y se suman los
exponentes. Es decir
a  m  a  n  a mn

2. Cocientes de potencias de igual base:

Para dividir potencias de igual base se coloca la misma base y se restan los exponentes. Es decir:
a  m  a 
mn

a  n
3. Potencia de potencia
Para resolver la potencia de una potencia, se escribe la base y se multiplican los exponentes. Es decir.

a  
n m
 a 
nxm

4. La potencia de un producto es igual al producto de las potencias.

a bn  a n bn

5. Todo número elevado a la cero es igual a uno siempre que dicho número sea distinto de cero. Es
decir  a 0 1  a 0

6. Todo número elevado a la uno es igual al mismo número. Es decir

a1 = a

14
 ACTIVIDAD
I. Resuelve los siguientes productos de bases iguales
1) 2 2 2 3  5) - 5 - 5 0 

2) 3 5 3 3  6) 2 2 2  2 6 

3) - 34 - 32  7) - 34 - 30 - 3 - 3 

4) - 2 5 - 2 
II. Desarrolla los siguientes cocientes de potencias iguales

1)
25  5)
 83 
23  82

2)
36  6)
 104 
32  105

3)
1010  7)
 95 
1010  96

4)
 4 5 
 4 4
III. Resuelva las siguientes potencias de potencias

1) 3  
2 3

2) 2  
3 2

3) - 4  
2 2

4) - 10   
3 2

IV. Resuelva la potencia se los siguientes productos

1)  3 42  4) 1 44 
2)  4 53  5)  5 2 32 
3)  7 33  6) 23 63 

15
La radicación es la operación inversa a la potenciación. El signo de radicación se representa por
.

Términos de la Radicación
Considerando n ; a  y b  , se tiene:

n
a  b
Índice de la raíz Raíz
Cantidad subradical o Radicando

Para obtener la raíz de un número entero, se debe encontrar otro número que multiplicado por sí
mismo tantas veces como lo indique el índice de cómo resultado la cantidad subradical.
Ejemplo:
4
16  2 porque  2 4  2 x 2 x 2 x 2  16
3
- 125  - 5 porque -5  -5  -5    125    5 3
Regla para los signos
I. Si el índice es par se da dos situaciones:
 Que el radicando sea positivo entonces su respuesta es  
Ejemplos:
4  2
4
1  1
 Que el radicando sea negativo entonces su respuesta no existe, ya que no hay ningún número

entero que la represente.

Ejemplos:
4  No existe, ya que no hay número entero que elevado al cuadrado de resultado -4.
4
 16  No existe, ya que no hay número entero que elevado a la cuarta de resultado -2.

II. Si el índice es impar el signo de su respuesta va ser el de la cantidad subradical.

Ejemplos:
3
8 2 Por que   2 3  2  2  2    8
3
8  2 Ya que  2 3  2  2  2   8

16
 ACTIVIDAD
Resuelve los siguientes radicales aplicando la ley de los signos correspondientes

1) 3
 125 2) 16 3) 3
125
4) 3
343 5) 3
1 6) 4
625
4
7) 16 8) - 16 9) 1
10) 4
1 11) 5
32 12) 10
0
13) 6
1 14) 144 15) 3
 1000

PROPIEDADES DE LA RADICACION
1) Raíz de un producto: la raíz de cualquier grado de un producto indicado de varios factores es
igual al producto de las raíces del mismo grado de cada uno de los factores.
n a  b   n
a n
b
La raíz n-ésima de un producto es igual al producto de las raíces n-enésima de los factores.
Ejemplos:

9  4   9 4  32  6

3 64  8   3 64 3
8  42  8

2) Raíz de un cociente: la raíz cualquier grado de un cociente exacto es igual a la raíz de dicho grado
del numerador dividido entre la raíz del mismo grado del denominador.
na
n a  con a y b Z y n un entero positivo
b nb ,

Ejemplos:
3
3 8  8 2
27 3
27 3
4 4 2
a)  
9 3
9

La raíz enésima de un cociente, es igual al cociente de la raíz enésima de cada término del cociente.

17
3) Potencia de una raíz o raíz de una potencia: la raíz de cualquier grado de una potencia se
obtiene al dividir el exponente de la potencia por el índice de la raíz; es decir:

 a
m
m
n
 n am  a n
Ejemplos:
3
3
2  2  21  2
3 3

6
3
5 6  5 3  5 2  25

Nota: Recuerda que a0 = 1 siempre que a 0 y a1 = a

ACTIVIDAD
I. Resuelve los siguientes radicales aplicando la propiedad del producto:
 6481100   3
8 27 
 3 164125   3
8 27216 
 9 16   4 25 
 36 49   42536 

II. Aplica la propiedad raíz de un cociente:

1 1
 3   
64 36

9 8
  
3 
4 27

16
 
25
III. Aplica la propiedad de la raíz de una potencia:

215  28  315 
3 5
  

26  59  518 
3 6
 

4 8
 56   2 

18
PROBLEMAS CON NUMEROS ENTEROS

NUMEROS ENTEROS

1. Amaya y Jorge van en bicicleta y salen del mismo lugar. Amaya avanza 6 km y luego retrocede 2 km,
mientras que Jorge avanza 8 km y retrocede 5 km.

a) ¿A qué distancia se encuentra uno del o tro?

b) ¿Quién ha avanzado más de los dos?

c) ¿Quién ha recorrido más km?

2. Una máquina de hacer pozos perfora 15 m al día. Si ha tardado 8 días en perforar un pozo de petróleo, ¿qué
profundidad tiene el pozo?

4. El nivel del agua de una presa ha disminuido 8 cm diarios durante 6 días. A causa de las intensas lluvias
caídas los 3 días siguientes ha subido el nivel 7 cm diarios. ¿Cuál ha sido el desnivel total del agua de la presa?

5. En un depósito hay 800 l de agua. Por la parte superior un tubo vierte en el depósito 25 l por minuto, y
por la parte inferior por otro tubo salen 30 l por minuto. ¿Cuántos litros de agua habrá en el depósito
después de 15 minutos de funcionamiento?

6 La temperatura del aire baja según se asciende en la atmósfera, a razón de 9 ºC cada 300 metros. ¿A
qué altura vuela un avión si la temperatura del aire es de −81 ºC?

19