Divisibilidad en Z

La divisibilidad de los números es conocida desde tiempos remotos. Así, los hindúes ya conocían la
divisibilidad por tres, siete y nueve y los egipcios conocían los números pares e impares. El matemático
griego Euclides demostró los teoremas básicos de la divisibilidad de números enteros, lo que permite a
Gauss en 1801, deducir el teorema fundamental de la Aritmética. Ya posteriormente, el matemático
francés Pascal (1623-1662) propuso las reglas para conocer la divisibilidad de cualquier número.

Definición: dados dos números enteros a, b, con a  0, se dice que a divide a b si existe
un entero x tal que b  ax
Si a divide a b se usa la notación: a \ b .
Por ejemplo;
4\20, ya que 20  4 5
7 \ 98, ya que 98  7 14
Si a no divide a b se escribe: a \ b .
Por ejemplo
3 \ 16 ya que no existe q   tal que 16  3  q
4 \ 10, 5 \ 24, 12 \ 18
Si a divide a b , también se dice que a es un divisor de b , o que a es un factor de b , o
que b es divisible por a , o que b es múltiplo de a .

Teorema 1
1. a \ 0 a  
2. a \ a a  
3. 1 \ a a  

Demostración
1. 0  Z tal que 0  a.0 por lo tanto a \ 0 .
2. 1 Z tal que a  a.1 luego por definición a \ a .
3. a  Z tal que a 1.a , luego por definición 1 \ a .

Prof. Marilex Porteles Página 1

Teorema 2
1. a \ b  a \ bc c  
2. a \ b  b \ c  a \ c
3. a \ b  a \ c  a \  bx  cy  x, y  
4. a \ b  b \ a  a  b
5. a \ b con a, b     a  b

Demostración
1. a \ b  q  Z / b  a.q
 bc   aq  c multiplicando por c
 bc  a  qc  prop. asociativa
 bc  aq1 donde q1  q1c  Z
 a \ bc def. de divisibilidad.
2. Como a \ b  b \ c  q1 , q2  Z / b  aq1  c  bq2
c   aq1  q2 sustituyendo b  aq1
c  a  q1q2  asociando
c  aq3 , q3  q1q2
luego por def. de divisibilidad a \ c
3. Se deja como ejercicio.
4. Se deja como ejercicio.
5. a \ b con a, b  Z 
 q  Z tal que b  aq como a, b  Z  entonces q  Z por lo tanto
q  1 de donde aq  a, sustituyendo b tenemos b  a es decir a  b .

Nota. Obsérvese que si en (3), en particular, tomamos se tiene:

( )
Similarmente, si tomamos nos queda:
( )

Por lo tanto, si un entero divide a otros dos, divide también a su suma y a su diferencia
Si entonces ∑ ¡Propuesto!
Para cualquier conjunto de n enteros

Prof. Marilex Porteles Página 2

Teorema 3.

Algoritmo de la División Euclídea.

Dado dos enteros entonces existen dos enteros únicos q y r tales que

Demostración
Sea el conjunto * +
Como entonces
Si tomamos se tiene con lo cual
Si

En cualquier caso
Y como D  N entonces D tiene menor elemento (de acuerdo con el principio de buena
ordenación)
Llamemos r a este entero, (por definición
de D)
Veamos ahora que para ello supongamos que

( ) además como ( ) es el
menor elemento de D entonces ( )
( )
( )

Lo cual es una contradicción, como la contradicción proviene de suponer que

entonces
Por lo tanto existen tales que es decir

tales que

¡Propuesto! Pruebe la unicidad del teorema

Observación: El teorema anterior se puede enunciar de la siguiente manera:

Dados dos enteros entonces existen dos enteros únicos tales que
demuéstralo.

De acuerdo con este teorema, al dividir cualquier entero por 2, los restos posibles
son 0 y 1; al dividir por 3, los restos posibles son 0, 1 y 2; al dividir por 4, los posibles son 0,
1, 2 y 3 y así sucesivamente.

Prof. Marilex Porteles Página 3

Ejercicios Resueltos.

1. Dado los enteros 16 y 3 existen

2. Sean a, b, c, d  Z  . Demuestra que:

a. Si a b y c d , entonces ac | bd .
b. Si a \ b , entonces ac | bc .
c. Sí ac \ bc , entonces a \ b .
Solución
a. a b y c d  q1q2  Z / b  aq1  d  cq2
Por lo tanto
bd   aq1  cq2    ac  q1q2 
 bd  ac.q3 ; q3  q1q2  Z
 ac \ bd def. de divide
b. a \ b  q1  Z / b  aq1
bc   aq1  c   ac  q1
 ac \ bc
c. ac \ bc  q1  Z / bc  acq1
acq1
b c0
c
b  aq1
a\b

3. Demostrar que 22 n  1 es un múltiplo de 3 para todo entero positivo n.

Solución
i) Si n  1, entonces 22  1  3 , que es un múltiplo de 3.
ii) Supongamos que se cumple para n  k es decir 22 k  1  3 p para algún entero
p.
iii) Probemos que se cumple para n  k  1 .
22 k 1  1  22 k  2  1
 22 22 k  1
 4.22 k  1

Prof. Marilex Porteles Página 4

  4.22 k  4  4  1
 4  22 k  1  3
 4  3 p   3 hip. Inductiva
 3  4 p  1
 3q q  4 p  1 Z

 22 n  1 es múltiplo de 3.

Ejercicios Propuestos

1. Cualquier número es de la forma

2. Si | |

3. Sea n un entero mayor que 1. Pruebe que

a. 2n es la suma de dos enteros consecutivos impar
b. 3n es la suma de tres enteros consecutivos.

4. El producto de dos números es 504. Cada uno de ellos es divisible por 6, pero
ninguno de ellos es 6. ¿Cuál es el mayor de estos dos números?

5. La edad de la maestra tiene la particularidad de que, al dividirse entre 2, 3, 4, 6 y 8,

siempre da como resto 1. Pero al dividirse entre 5, da como resto 0. ¿Cuántos años
tiene la maestra?

Prof. Marilex Porteles Página 5

Máximo Dados tres enteros: a ,b ,d , si d \ a y d \ b se dice que d es un divisor
Común
común de a y b. Por ejemplo, 3 es un divisor común de 6 y de 9 ya que
Divisor
4 es un divisor común de 8 y de 12 ya que 4\8 y 4\12.
Ahora bien, como cada entero a  0 tiene un número finito de divisores, entonces dos
enteros a y b, no ambos nulos, tienen un número finito de divisores comunes. Al
mayor de estos divisores comunes se le llama máximo común divisor de a y b, y se
denota por  a, b  . naturalmente, el máximo común divisor de dos enteros no nulos es
un entero positivo.
 a, b   max imo d  Z  / d \ a  d \ b
Ejemplos

18,30   max imo d  Z  / d \18  d \ 30 ¿SABIAS QUE?

Los divisores de un número
D 18   1, 2,3, 6,9,18 entero son todos los
números enteros distintos

D  30   1, 2,3,5, 6,10,15,30

de cero que los dividen
exactamente.

18,30   max imo 1, 2,3, 6

18,30   6
Observaciones
1. En general, se tienen n enteros a1 , a2 ,..., an , no todos nulos, el máximo común
divisor de ellos de define como:
 a1 , a2 ,..., a2   max imo d  Z  / d \ a1 , d \ a2 ,..., d \ an 
2. Si b es múltiplo de a, es decir a \ b, entonces  a, b   a
3. Si a  0  b  0 entonces  a, b   a
Si a  0  b  0 entonces  a, b   b

Dos enteros a y b son Primos Relativos (primos entre sí) si y solo sí  a, b   1 . En general
los enteros a1 , a2 ,..., an son primos relativos si y sólo sí  a1 , a2 ,..., an   1 .
Los enteros a1 , a2 ,..., an son Primos Relativos en Parejas (primos entre si dos a dos) si y
sólo sí  ai , b j   1 si i  j para i, j  1,..., n
Ejemplos
1.  21, 26   1, por lo tanto 21 y 26 son primos relativos.
2. Como  6,10,15  1, los números 6, 10, 15 son primos relativos o primos entre sí.
3. Como 8,13  8, 21  13, 21  1, los números 8, 13, 21 son primos relativos en
parejas o primos entre si dos a dos.
4. 2,3 y 5 son primos relativos en parejas ya que  2,3  1,  2,5  1 y  3,5  1,

Prof. Marilex Porteles Página 6

Observación
Si a1 , a2 ,..., an son primos relativos en parejas, entonces son primos relativos. El
recíproco no es cierto por ejemplo 6, 10, 15 son primos relativos, pero 6, 10, 15 no son
primos relativos en parejas ya que  6,10   2,  6,15  3

Teorema 4
Si a y b son enteros no ambos cero, entonces el máximo común divisor d   a, b  es el
menor entero positivo que pueda expresarse como d  ax  by para a lg un x, y  Z .

Demostración
Para demostrarla, consideremos el conjunto de todos los números de la forma
ax  by, donde x, y  Z . Es decir, consideremos el conjunto
D  t  Z  / t  ax  by con x, y  Z  si tomamos x a y y b se tiene que
t  ax  by  a 2  b2  0  t  Z  por lo tanto t  D garantizando así que D  
Además D  Z  por el principio de la buena ordenación garantiza que existe un elemento
m D que es el menor entero positivo de D, entonces
m  ax0  by0 para algun x0 , y0  Z probemos ahora que m  d ,  , a b
como m  D entonces m  0
Afirmamos que m \ a  m \ b
En efecto si m \ a entonces q, r  Z tales que a  mq  r con 0  r  m (algoritmo de la
división)

r  a  mq
 a   ax0  by0  q
 a  ax0 q  by0 q

r  a 1  x0 q   b   y0 q  1  x0 q ,  y0 q  Z
como r  0 entonces r  D
mr
Por ser m el menor entero de D, lo cual es una contradicción ya que
0  r  m por lo tanto m \ a
De manera análoga se demuestra que m \ b luego m es un divisor común de a y b y como
d   a, b   m  d ( I ) .
Por otra parte como d   a, b  entonces d \ a  d \ b luego por teorema 2(3) d \ ax0  by0
de donde d \ m y como d  0 y m  0 entonces por teorema d  m (II)
De (I) y (II) d  m

Por lo tanto d es el menor entero positivo tal que d  ax  by para algun x, y  Z .

Prof. Marilex Porteles Página 7

Observación

1. La representación de  a, b  como función lineal, en el teorema anterior, no es

única.
En efecto
Si  a, b   ax0  by0 entonces  a, b   ax0  by0  abt  abt t  Z
 a, b   a  x0  bt   b  y0  at  t  Z
 a, b   ax1  by1
con x1  x0  bt  Z y y1  y0  at  Z

2. Del teorema anterior se tiene que

 a, b   menor entero positivo de ax  by / x, y  Z 
 menor elemento de ax  by  Z  / x, y  Z 

Teorema 5
Dos enteros a y b, no ambos ceros, son primos relativos si y sólo si existen x0 , y0  Z tales
que ax0  by0  1 (relación de Bezout).

Demostración
 
) a y b , son primos relativos entonces por definición a, b  1 y por teorema 4 existen
x0 , y0  Z tales que 1  ax0  by0 .

) Supongamos ahora que existen x0 , y0  Z tales que ax0  by0  1 (I) y  a, b   d ,

entonces d  0, de donde d 1 (i)
d \ a  d \ b def. de m.c.d
 d \ ax0  by0 por teorema 2 parte 3
 d \1 de (I)
como d  0 y 1  0 por teorema 2(5) tenemos d 1 (ii) luego de (i) y (ii) d 1 así

 a, b   1 y por definición a y b son primos relativos

Prof. Marilex Porteles Página 8

Teorema 6
 a, b   d si y solo si
i) d  0
ii ) d \ a  d \ b
iii ) c \ a  c \ b  c \ d con c  Z 

Demostración
 
) como a, b  d entonces d  0 por definición de m.c.d por lo tanto se cumple i),

 
además por def. de m.c.d d \ a  d \ b por lo tanto se cumple ii) como a, b  d
entonces por teorema 4 d  ax0  by0 para algún x0 , y0  Z , como
c \ a  c \ b entonces c \ ax0  by0 por teorema 2(3) sustituyendo d tenemos que c \ d
y se cumple iii).

) Supongamos que se cumple i), ii) y iii) de i) y ii) se tiene que d es divisor común
positivo de a y b. Sea c otro divisor positivo de a y b es decir
c \ a y c \ b entonces por iii) c \ d y como c  0 y d  0 entonces por teorema 2(5)
cd por lo tanto d es el mayor de los divisores comunes, positivos de
a y b  d   a, b  .

Observación
El máximo común divisor de dos enteros no ambos ceros es único.

Demostración
En efecto, si d   a, b   d ' entonces
Como  a, b   d y d \ a  d \ b, entonces d \ d (por teorema 5)
' ' '

Y  a, b   d y d \ a  d \ b, entonces d \ d (por teorema 5)

' '

d ' \ d  d \ d '  d  d ' , pero como d y d  0 por ser máximo común divisor de a y b
tenemos que d  d ' “el máximo común divisor de dos enteros no ambos ceros es único”

Teorema 7.
Sea d   a, b  entonces existen enteros x0 , y0 tales que ax0  by0  m si y
sólo si d \ m ¡Propuesto !!!

Prof. Marilex Porteles Página 9

Teorema 8
El máximo común divisor de dos enteros no ambos ceros a y b con a  0 es igual al
máximo común divisor de a y el resto de la división de b entre a.

Demostración
   
Sea d1  a, b y d2  a, r donde b  aq  r 0  r  a
d1 \ a  d1 \ b  d1 \ b  aq teorema 2(3) entonces d1 \ r de allí tenemos que
d1 \ a  d1 \ r  d1 \  a, r  por teorema 6
 d1 \ d2
 d1  d2 ( I ) pues d1 y d2  0 y por teorema 2(5)

Por otra parte

d2 \ a  d2 \ r  d2 \ aq  r teorema 2(3)
 d2 \ b
tenemos d2 \ a  d2 \ b  d2 \ d1 teorema 6
 d2  d1 ( II ) d1 , d2  0 y teorema 2(5)
De (I) y (II) d1  d2 .

Algoritmo de Euclides. Dados dos enteros, a y b siendo a  0 si aplicamos

reiteradamente Algoritmo de la División Euclídea obtenemos una secuencia de
ecuaciones:
b  q1a  r1 , 0  r1  a,
a  q2 r1  r2 , 0  r2  r1 ,
r1  q3 r2  r3 , 0  r3  r2 ,
.
.
.
rn  2  qn rn 1  rn , 0  rn  rn 1 ,

Y como la sucesión de los restos es estrictamente decreciente y todos ellos son no

negativos, algunos de ellos, digamos rn será el último resto no nulo en la cadena de
igualdades.
Entonces,
rn1  qn1rn

Ahora bien, por teorema 8  a, b    a, r1    r1 , r2   ...   rn1 , rn   r . n

Prof. Marilex Porteles Página 10

Observación
Usando el Algoritmo de Euclides podemos hallar los valores de x, y tales que
 a, b   ax  by .

Ejemplos
1. Halle  93,81 y encuentre luego x, y tales que  93,81  93x  81y .
Solución
93  81
93 81
12  93  81
12 1
81 12
9  81  12.6
9 6
12 9
3  12  9
3 1
9 3
0 3

 93,81  3
3  12  9
 12   81  12.6 
 12  81  12.6
 12.7  81
  93  81 7  81
 93.7  81.7  81
 93.7  81 8 
 93,81  3
 93(7)  81( 8)

Es decir x  7  y  8 .

Prof. Marilex Porteles Página 11

 2. Halle  243, 198 y expréselo como función lineal de -243 y -198.
Solución

243 198
45  243  198
45 1
198 45
18  198  45  4
18 4
45 18
9  15  18  2
9 2
18 9
0 2

 243, 198    243,198   9

 243, 198   9
 45  18  2
 45  198  45  4   2
 45  198  2  45  8
 45  9  198  2
  243  198   9  198  2
 243  9  198  9  198  2
 243  9  198  11
  243 9    198 11

Teorema 9
1. m  Z   ma, mb   m  a, b 
a b 1
2. d \ a  d \ b  d  0   ,    a, b 
d d  d
a b
3.  a, b   d   ,   1
d d 
Demostración
1. Sea d   a, b  , d1   ma, mb  demostremos que d1  md
d \ a  d \ b  md \ ma  dm \ mb
 md \  ma, mb  por teorema 6
 md \ d1
como m, d , d1  0 por teorema 2(5) md  d1 ( a)

Prof. Marilex Porteles Página 12

 Por otra parte d   a, b   x0 , y0  Z tales que d  ax0  by0 ( I ) teorema 4
d1 \ ma  d1 \ mb  d1 \ max0  mby0 teorema 2(3)
 d1 \ m  ax0  by0 
 d1 \ md de (I)
Pero d1  0, m  0 y d  0 entonces d1  md (b) teorema 2(5)
De (a) y (b) d1  md , es decir  ma, mb   m  a, b  .
2. Se deja como ejercicio.
3.  a, b   d hipotesis ( I )
a b 1
 ,    a, b  por la parte 2 del teorema
d d  d
1
 d de ( I )
d
1
Teorema 10
1.  a, b    a, c   1   a, bc   1
2. c \ ab   b, c   1  c \ a
Demostración
1.  a, b   1 y  a, c   1  x0 , y0 , x1 , y1  Z tales que 1  ax0  by0 y 1  ax1  cy1 por
teorema 5 (relación de Bezout)
1  ax0  by0
 ax0   by0 1
 ax0  by0  ax1  cy1 
 ax0   by0  ax1    by0  cy1 
 a  x0  by0 x1   bc  y0 y1 

1  ax2  bcy2 con x2  x0  by0 x1  Z y y2  y0 y1  Z

 a y bc son primos relativos por teorema relación de Bezout
  a, bc   1 .
2. si a  0 como c \ 0 por teorema 1(1) entonces c \ a
si a  0 como c \ ab y además c \ c  c \ ac teorema 2(1) entonces c \  ab, ac 
si a  0 entonces  ab, ac   a  b, c  por teorema 9(1)
 a.1  b, c   1
a
es decir c \ a

Prof. Marilex Porteles Página 13

 si a  0 entonces  ab, ac    ab, ac 
 a  b, c  teorema 9(1)
 -a.1 hipotesis
 a
de donde c \ a con lo cual c \ a

Teorema 11
1. b \ c   a, b    a  c, b 
2.  a, c   1  b \ c   a, b   1
3. Si d \ mn y  m, n   1 entonces existe d1 , d 2  Z tales que
d  d1.d 2 , d1 \ m, d 2 \ n y  d1 , d 2   1

Demostración
1. Se deja como ejercicio.
2. Se deja como ejercicio.
d
 
Sea d 1  d , m y d 2 
d1
con d 2  Z ya que d 1 \ d por ser d 1  d , m  . Además

d
d 1d 2  d 1  d , por otra parte como d 1  d , m  entonces d 1 \ m
d1
Veamos ahora que d 2 \ n .
m
Como d 1 \ m entonces existe q1  Z tal que m  d 1q1 (I)  d 1  (II)
q1
mn
Y por hipótesis d \ mn entonces existe q 2  Z tal que mn  dq 2  d  (III) .
q2
Sustituyendo II y III en d  d 1d 2 (IV ) se tiene que
mn m
 d  nq 1  d 2q 2
q 2 q1 2
 d 2 \ nq 1 (V )

Demostremos ahora que d 2 , q1   1 .

Como d 1  d , m  entonces

Prof. Marilex Porteles Página 14

 x 0 , y 0  Z tales que d 1  dx 0  my 0

d 1  d 1d 2x 0  d 1q 1 y 0 de IV y I d  d 1d 2 y m  d 1q 1
 1  d 2 x 0  q 1 y 0 dividiendo por d 1  0
 d 2 , q 1   1 (VI) por teorema 5

De V y VI y por teorema 10 parte 2 d 2 \ n

Probemos ahora que d 1 , d 2   1 supongamos que

d , d   g
1 2

 g  0 de donde g  1 (VII)
g \ d 1 y g \ d 2 , pero d 1 \ m y d 2 \ n
 g \m y g \n
 g \ m , n 
 g \1 por hipotesis  m , n   1
 g  1 (VIII)

Luego de VII y VIII g  1 es decir d 1 , d 2   1

Prof. Marilex Porteles Página 15

Mínimo Si a y b son dos enteros no nulos y a \ M y b \ M , entonces M se dice que es
Común múltiplo común de a y b. Por ejemplo 12 es múltiplo común de 3 y 4, ya que
Múltiplo 3 \12  4 \12 ; como 3 \ 24  4 \ 24 es también un múltiplo común de 3 y 4.
El menor entero positivo m múltiplo de a y b se dice el mínimo común múltiplo de a y b, y
se denota por m   a, b

En general, dados n enteros no nulos a1 , a2 ,..., an su mínimo común múltiplo se denota por
 a1 , a2 ,..., an 
Ocupémonos primero del mínimo común múltiplo de dos números. Sea M algún múltiplo
común de los enteros a y b. Como éste es múltiplo de a, se tiene que
a \ M  k  Z tal que M  ak (I) pero también es múltiplo de b es decir b \ M y de (I)
tenemos b \ ak (II) .
Si  a, b   d entonces d \ a  d \ b por lo tanto q1 , q2  Z / a  dq1  b  dq2 ( III )
sustituyendo (III) en (II) tenemos
dq2 \ dq1k  q2 \ q1k donde  q1 , q2   1 pruebelo
Por teorema 10 (2) : c \ ab   b, c   1  c \ a se tiene que
q2 \ k  t  Z \ k  q2t (IV)
Sustituyendo (IV) en (I)
b
M  aq2t y como por (III) b  dq2 despejando q2  , d  0 por ser máximo de a y b
d
b ab
De aquí que M  a t t
d d

Concluyendo así lo siguiente:

2.1 Cualquier múltiplo común de a y b se puede expresar como
ab
M t
d
2.2 Recíprocamente, es evidente que cualquier M de esta forma es múltiplo tanto de a
como de b.
El menor positivo de estos múltiplos, es decir, el mínimo común múltiplo, se obtiene para
t  1 esto es
ab
m
d
Introduciendo m, en la fórmula obtenida para M se puede escribir así
M  mt
La última y penúltima igualdades dan lugar a los teoremas 12 y 13:

Prof. Marilex Porteles Página 16

Teorema 12
El conjunto de los múltiplos comunes de dos números coincide con el conjunto de los
múltiplos de su mínimo común múltiplo.

Teorema 13
El mínimo común múltiplo de dos números es igual a su producto, dividido por su máximo
común divisor.

Teorema 14
Si m   a, b y c es un múltiplo común de a y b, entonces m \ c .
Demostración
Por hipótesis c es un múltiplo común de a y b, a \ c  b \ c ( I ) como m, c  Z entonces por
el algoritmo de la división existen q, r  Z tal que c  mq  r con 0  r  m de donde
r  c  mq, 0  r  m
Además m   a, b  a \ m  b \ m ( II ) por definición de m.c.m tenemos
a \ c  a \ m  a \ c  mq de (I) y (II) teorema 2(3)
b \ c  b \ m  b \ c  mq de (I) y (II) teorema 2(3)
Es decir que a \ r  b \ r por lo tanto r es un múltiplo común de a y b
Si r  0 entonces r es un múltiplo común positivo de a y b y por definición de m.c.m
m  r , lo cual es un contradicción ya que 0  r  m, por lo tanto r  0 de aquí que
c  mq
.
m\c

Teorema 15
Si m  0 entonces  ma, mb  m  a, b
Demostración
Sean m1   a, b y m2   ma, mb demostraremos que m2  mm1
 ma, mb  m2  ma \ m2  mb \ m2 def . de m.c.m
pero m \ ma  m \ mb de aqui tenemos que:
m \ ma  ma \ m2 
  m \ m2
m \ mb  mb \ m2 
como m \ m2  q  Z tal que m2  mq cono m2 , m  0 entonces q  0
 ma \ mq  mb \ mq
 a \ q b \ q
q es un múltiplo común positivo de a y b

Prof. Marilex Porteles Página 17

 m1  q def de m.c.m
 mm1  mq
 mm1  m2 (a )
Por otra parte
 a, b  m1  a \ m1  b \ m1
am \ mm1  bm \ mm1 como m, m1  0 entonces mm1 es un múltiplo común positivo de
am y bm por definición de m.c.m m2  mm1 (b) .
De (a) y (b)
m2  mm1 es decir
 ma, mb  m  a, b

Ejercicios Resueltos.

1.  a, b   d , a  dr y b  ds   r , s   1.
Demostración

d   a, b 
  dr , ds  sustituyendo a  dr y b  ds
 d d, s d  0 (por ser máximo) teorema 9(1)
pero d  0 de donde  r , s   1

2.  a, bc   1   a, b    a, c   1
Demostración

 a, b   d  d  1 (a )
d \ a  d \ b, pero b \ bc
 d \ a  d \ bc
 d \  a, bc  teorema 6
 d   a, bc 
 d  1 (b) por hipotesis

De (a) y (b) Si d  1, es decir  a, b   1

De manera análoga se demuestra que  a, c   1 .

Prof. Marilex Porteles Página 18

 3. Hallar  224,192 aplicando el teorema 13.
Solución
224 192
32 1
192 32
00 6
 224,192   32
224 192
 224,192 
32
 224  6
 1344

4. Un reloj suena cada 45 minutos y otro cada 60 minutos. Si ambos relojes sonaran
a las 2:00pm, ¿a qué hora volverán a sonar simultáneamente?
Solución
Un reloj suena cada 45 minutos y el otro cada 60 minutos, entonces el tiempo en
el que volverán a sonar simultáneamente los dos será en mínimo común múltiplo
de 45 y 60

60 2
45 3
30 2
15 3
15 3
5 5
5 5
1
1
45  3 .5
2
60  22.3.5
El  45,60  2 .3 .5  4.9.5  180 . Por lo tanto, los relojes volverán a sonar después de
2 2

180 minutos, es decir, a las 5:00p.m.

Ejercicios Propuestos

1. Aplicando el algoritmo de Euclides encontrar el máximo común divisor (m.c.d) de:

a. 7469 y 2464; b. 2689 y 4001
c. -816 y 7209 d. -5376 y -3402
Expresarlo como función lineal de dichos números, y utilizando el teorema 13
buscar el mínimo común múltiplo.

2. Encontrar el máximo común divisor g de los números 1819 y 3587 y a continuación

encontrar los enteros x y y que satisfagan 1819 x  3587 y  g .

Prof. Marilex Porteles Página 19

 3. Encontrar los enteros x y y tales que cada enunciado sea verdadero
a. 2  78x  32 y ; b. 13  104 x  91y
c. 7  31x  19 y d. 1  52 x  13 y .

21n  4
4. Demostrar que la fracción 14n  3 es irreducible para todo entero n.

5. Cierto planeta A tarda 150 días en completar una órbita completa alrededor de su sol.
Otro planeta B del mismo sistema solar lo hace en 225 días. Si cierto día ambos planetas
están alineados con el sol, ¿Cuánto tardarán en volver a estarlo?

6. Jaime hace una revisión rutinaria de su vehículo cada 15.000 km y hace otra revisión más a
fondo cada 70.000 km ¿Cada cuántos kilómetros coinciden las dos revisiones?

7. Se desea cubrir con azulejos cuadrados una pared de una cocina que mide 210 cm de
ancho por 300 cm de alto. Si queremos que los azulejos sean lo más grande posible y que
no haya que romper ninguno, ¿cuál debe ser la anchura del azulejo?

8. Se tienen tres tipos de alambres para construir una cerca, sus longitudes son 120m, 64m y
36m. se quieren dividir en pedazos de la misma longitud sin que sobre ni falte alambre.
Diga una posible forma de dividir los alambres.

Prof. Marilex Porteles Página 20

LA MATEMÁTICA EN LA HISTORIA
Diofanto

Nada se conoce con seguridad sobre su vida salvo en la edad que falleció
gracias a un epitafio redactado en forma de problema: “fue muchacho 1/6
de su vida, su barba creció luego 1/12 más, se casó 1/7 después, tuvo hijo
cinco años más tarde, que vivió la mitad de la edad de su padre, el cual murió
cuatro años después de su hijo. De todo esto se deduce su edad”
x x x x
  5  4  x Donde x es la edad que vivió Diofanto
6 12 7 2

ECUACIONES DIOFÁNTICAS LINEAL

Si a, b y c son enteros y ab  0 toda ecuación lineal de la forma ax  by  c, donde los
valores de x e y están restringidos al conjunto de los enteros, se dice una ecuación
diofántica lineal en dos variables. En general cualquier ecuación polinómica en varias
variables x, y, z... con coeficientes enteros se dice una ecuación diofántica si los valores
de las variables están restringidos al conjunto de los enteros.

Aquí solo discutiremos el uso del algoritmo de Euclides en la solución de la ecuación

diofántica lineal

Consideremos la ecuación diofántica lineal

27 x  11y  4
Sea a  27 y b  11. Entonces, por el algoritmo de Euclides, tenemos
27 11
27  2.11  5
5 2
5  27  2.11
11 5
11  2.5  1
1 2
1  11  2.5
5 1
5  1.5
0 5
Por lo tanto  27,11  1 son primos relativos entre sí, por teorema es posible
escribir 1 como una función lineal homogénea de 27 y 11:

Veamos

Prof. Marilex Porteles Página 21

1  11   2  .5
 11   2  27  2.11
 11   2  27  4.11
  2  .27  5.11
Multiplicando por 4 en ambos miembro de la igualdad tenemos
4   8  .27  20.11
4  27  8   11 20 
De aquí que la solución particular de la ecuación diofántica lineal 27 x  11y  4 está dada
por las ecuaciones x  8 y y  20
Existen otras soluciones por ejemplos
x  14 y y  34
x  19 y y  47
Una solución general de la ecuación diofántica lineal es dada por las ecuaciones
x  8  11t y y  20  27t donde t  Z
En efecto
27  8  11t   11 20  27t   216  297t  220  297t
4
Existen ecuaciones diofánticas lineales sin solución. Por ejemplo, si 2 x  4 y  7, es
evidente que no existe una solución entera ya que 2 x  4 y es un entero par para todos
los valores de x e y.

Teorema 16
La ecuación diofántica lineal ax  by  c tiene solución en enteros si y sólo si d \ c, donde
d   a, b  . Además, si  x0 , y0  es solución particular, la solución general tiene la forma
b a
x  x0  t , y  y0  t donde t  Z
d d
Demostración

i) Supongamos que ax  by  c tiene solución entonces x0 , y0  Z tal que ax0  by0  c
como d   a, b  entonces d \ a  d \ b
 d \  ax0  by0 
d \c

ii) Recíprocamente sabemos que: d \ c y d   a, b   x1 , y1  Z tal que ax1  by1  d (I)

Prof. Marilex Porteles Página 22

 c c 
Multiplicando ambos miembros la ecuación (I) por   Z ya que d \ c  tenemos
d d 
 c  c c
a  x1   b  y1   d
 d  d d
c c
ax0  by0  c donde x0  x1 y y0  y1
d d
Por consiguiente x0 , y0 es una solución particular de la ecuación ax  by  c
Busquemos todas las soluciones, supongamos que  x, y  es cualquier solución de la
ecuación entonces se tiene: ax  by  c, además x0 , y0 es una solución particular de la
ecuación ax0  by0  c,
Por sustitución,
ax  by  ax0  by0
ax  ax0  by0  by
a  x  x0   b  y0  y 
a b a b
 x  x0    y0  y  ,  Z pues d   a, b 
d d d d
De aquí tenemos
b a
\  x  x0 
d d
a b
Por teorema 9 parte 3: como d   a, b  , entonces  ,   1 de aquí se concluye:
d d 
b
\  x  x0  es decir
d
b
x  x0  t para algún t  Z , luego
d
b
x  x0  t
d
Sustituyendo x en la ecuación ax  by  c y despejando se tiene

Prof. Marilex Porteles Página 23

  b 
a  x0  t   by  c
 d 
b
by  c  ax0  a t
d
b
by  ax0  by0  ax0  a t
d
a
by  by0  b t
d
a
y  y0  t
d
Toda solución entera de la ecuación ax  by  c y puede escribirse de la forma
b a
x  x0  t  y  y0  t
d d
Sustituyendo estos valores en la ecuación se ve inmediatamente que se verifica la
igualdad.
Ejercicios Resueltos.
1. Determine una solución particular de la ecuación diofántica lineal 39 x  26 y  105 .
Solución
Como  39, 26  13  13 \ 105 por el teorema 16 la ecuación lineal
39 x  26 y  105 no tiene solución.

2. Determine las soluciones enteras y positivas de la ecuación 18x  5 y  48 .

Solución
Sean a  18, b  5 entonces por algoritmo de Euclides,
resto
18  3.5  3 3  18  3.5
5  1.3  2 2  5  1.3
3  1.2  1 1  3  1.2
2  2.1
Así 18,5  1 luego 1 se puede escribir como función lineal homogénea de 18 y
15.

Prof. Marilex Porteles Página 24

 1  3  1.2
1  18  3.5   5  3
1  18  3.5  5  3
1  18  4.5  3
1  18  4.5  18  3.5
1  18  2   5  7 
 48  18  96   5  336 
x0  96  y0  336
Una solución general de la ecuación diofántica lineal 18x  5 y  48 está dada por
las ecuaciones
x  96  5t y  336 18t
Donde t  Z las soluciones enteras positivas pueden ser obtenidas considerando
el sistema de desigualdades
96  5t  0

336  18t  0
96
96  5t  0  t  
5
 t  19, 2
 t  19 t  Z
336
336  18t  0  t  
18
 t  18, 6
 t  19 t  Z

t  19  t  19 se tiene que t  19 y x  96  5  19  1 e y  339  18  19  6

Por lo tanto la única solución entera positiva de la ecuación 18x  5 y  48 es 1 y 6

Ejercicios Propuestos.
1. Determine la solución general de la ecuación diofántica lineal 14 x  22 y  50 .

Prof. Marilex Porteles Página 25

 LA MATEMÁTICA EN LA HISTORIA
Euclides

El matemático griego Euclides fue el primero en descubrir que los números

primos constituye una serie infinita. La primera prueba indiscutible del
conocimiento de los números primos se remonta a alrededor del año 300 a. C. y
se encuentra en los Elementos de Euclides (tomos VII a IX). Euclides define los
números primos, demuestra que hay infinidad de ellos. Esta es una de las
primeras demostraciones conocidas en la que se utiliza el método del absurdo
para establecer el resultado. Euclides también demuestra el Teorema
Fundamental de Aritmética: Todo entero puede ser escrito como un producto
único de primos.

Números El número 1 sólo tiene un divisor positivo, el propio 1. ¿SABIAS QUE?

Los números primos son unos
Primos En este sentido el 1 constituye un caso particular. números “rebeldes” que no se
Cualquier entero positivo n  1 admite, por lo menos, dos dejan dividir por otros números;
están, pues, vacíos de divisores
divisores: 1 y n. Se dice que un entero positivo p  1 es un entre la unidad y ellos mismos.
número primo si únicamente admite dos divisores positivos: 1 y Estos números llamaron la
atención de los estudiosos hace
p. Por ejemplo: 2, 3, 5, 7, 11, 13,… son números primos. Si un más de 2.000 años.

entero positivo tiene más de dos divisores positivos diferentes, es un número compuesto.
Por ejemplo: 4, 6, 8, 9, 12, 14, 15,… El número 1 no es ni primo ni compuesto.

Teorema 17
Todo entero n  1 puede expresarse como producto de primos (con tal vez un solo factor)
Demostración
Por Inducción Matemática.
i) Para n  2
n  2 puede expresarse como producto de un solo factor primo 2.
ii) Supongamos que se cumple para todo 1  n  k es decir que n  p1. p2 ... ps pi es
primo i  1, 2,...s
iii) Veamos que se cumple para k  1
Si k  1 es primo entonces k  1 se expresa como producto de primos con un solo
factor.
Si k  1 es compuesto, entonces k  1  n.m donde 1  n  k  1 y 1  m  k  1 es decir
1 n  k y 1 m  k
Luego por hipótesis inductiva n  p1. p2 ... ps y m  q1.q2 ...qr donde pi y q j son primos
para todo i  1, 2,..., s y j  1, 2,..., r de donde
k  1  p1. p2 ... ps .q1.q2 ...qr es decir que k  1 se puede escribir como productos de
primos.
Luego por inducción para todo n  Z  con n  1 n puede expresarse como productos
de primos.

Prof. Marilex Porteles Página 26

Teorema 18

Si p es primo y p \ ab entonces p \ a  p \ b
Demostración
Supongamos que p \ a, como p es primo se tiene necesariamente que  a, p   1 en
efecto:
sea  a, p   d  d  1 y d \ a  d \ p
 d  1 o d  p (ya que p es primo)
Si d  p entonces p \ a lo cual contradice lo que habíamos supuesto al principio por lo
tanto d  1 así  p, a   1 y como p \ ab entonces por teorema 10(2) p \ b.

Nota Es fácil generalizar, por inducción este resultado para un producto de n factores. Es
decir, si p \ a1.a2 ...an , entonces p \ ai para algún i  1, 2,..., n.

Corolario del teorema 18.

Si p, p1 ,..., pn , son primos y p \ p1. p2 ... pn entonces p  pi para algún i 1, 2,..., n .
Demostración
p \ p1. p2 ... pn entonces por teorema 18 (generalización) p \ pi para algún i 1, 2,..., n
pero los únicos divisores de pi son 1 y pi pero p  1  p  pi .

Teorema 19

Teorema fundamental de la Aritmética. Todo entero positivo n  1 puede expresarse

como un producto de factores primos en forma única (salvo el orden en que aparezcan los
factores).

Demostración
Sea n  Z  tal que n  1 por teorema 17 n se puede factorizar como productos de
primos, procedemos por reducción al absurdo, admitiremos que n se puede factorizar de
dos formas distintas
n  p1. p2 ... pk y
n  q1.q2 ...qm
Donde pi y q j son primos para i  1, 2,..., k y j  1, 2,..., m
 n  p1. p2 ... pk  q1.q2 ...qm
Afirmamos que ningún pi es igual a ningún q j ya que si pi  p j para algún i y algún j
podemos cancelar pi con q j y nos quedaría una expresión de la misma forma con los pi
distintos a los q j

Prof. Marilex Porteles Página 27

Como p1. p2 ... pk  q1.q2 ...qm entonces q1 \ p1. p2 ... pk y como q1 , p1 , p2 ,..., pk son primos
entonces por corolario del teorema 18 q1  pi para algún i 1, 2,..., k lo cual contradice
la afirmación anterior.
Como la contradicción provino de suponer que n se puede factorizar de dos formas
distintas, entonces la factorización en números primos es única.

Usualmente, cuando se aplica el teorema fundamental de la aritmética, un entero n  1 se

escribe en la forma:
n  p11 . p22 ... pkk ,
Donde p1 , p2 ,..., pk son primos diferentes y 1 ,  2 ,...,  k son enteros positivos. Esta es la
llamada forma canónica del entero n. Por ejemplo,

1960  23.5.72

Observación
Se puede hallar el m.c.d y el m.c.m de dos enteros a y b usando el teorema fundamental
de la aritmética de la siguiente forma:
1) Se representa a y b como producto de primos (forma canonica).
2)  a, b  es el producto de los factores primos comunes de a y b con su menor
exponente.
3)  a, b  es el producto de los factores primos comunes y no comunes con su mayor
exponente.

Ejemplos
1. Halle 1960,1188 y 1960,1188
Solución.

1960  23.5.7 2
1188  22.33.11
1960,1188  22  4
1960,1188  23.33.5.72.11  582120

2. Si n es un número compuesto mayor que 1, entonces existe un primo p tal que

p\n y p n

Prof. Marilex Porteles Página 28

Demostración
Por teorema 18 Teorema fundamental de la Aritmética
n  p . p11 . p2 2 ... ps s con p,p1 , p2 ,..., ps primos tal que p  p11  ...  ps s
n  p. p 1. p11 . p2 2 ... ps s

 p. p 1. p11 . p2 2 ... ps s 
 p.q con q  p 1. p11 . p2 2 ... ps s
Por lo tanto
p  q  p. p  p.q
 p2  n
 p n
y como n  pq entonces p \ n

De acuerdo con este resultado se tiene que para verificar si un número dado n  1 es
primo o no, es suficiente ver si es divisible o no por algunos de los primos p  n . Si no
lo es, entonces n es primo.
Por ejemplo, si queremos ver si el número 191 es primo o no, calculamos 191 y
observamos que 13  191  14, y se determina si los primos menores o iguales a 13
(esto es, entre 2,3,5,7 y 13 ) son o no factores de 191.
Veamos
2 \ 191, 3 \ 191, 5 \ 191, 7 \ 191 y 13 \ 191 por lo tanto 191 es primo.
Esta idea sugiere un método para hallar todos los primos menores que un entero positivo
n. Tal método se conoce como criba de Eratóstenes y consta de los siguientes pasos:

1. Se escriben los números 2,3, 4,5,..., n ¿SABIAS QUE?

Eratóstenes (matemático y geógrafo
2. El 2 es el primer número primo. Se tachan de la lista griego que vivió en el s. III a. C.) se
todos los múltiplos de 2 (excepto el mismo 2). inventó una criba para encontrar los
números primos en la serie de los
3. El 3 es el siguiente número primo (no está tachado números naturales. El método es
porque no es múltiplo de 2). Se tachan todos los muy sencillo, aunque muy lento: en la
lista de todos los números positivos
múltiplos de 3, excepto el mismo 3, que no hayan sido (exceptuando el 1, que no es primo
tachados anteriormente por ser también múltiplo de 2. pues
1).
sólo tiene un divisor: el propio

4. El siguiente número no tachado es el 5. Se tachan los múltiplos de 5, con

excepción de él mismo.
5. Se continua el mismo procedimiento, observando que al tachar los múltiplos de un
primo p se comienza por p 2
6. El método termina cuando se han tachado los números compuestos que son
múltiplos de los números primos menores o iguales que n .

Prof. Marilex Porteles Página 29

Ejemplo
Halle los primos menores que 35

5  35  6

2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28
29 30 31 32 33 34 35
Los primos menores que 35 son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31
Observaciones
- Si observamos con cuidado esta lista notamos que hay un solo número primo par, el 2.
- Y que a partir de 5, los posibles números primos terminan en 1, 3, 7 ó 9.

Teorema 20 (Teorema de Euclides)

El número de primos es infinito.

Demostración
Supongamos que el número de primos es finito. Sea S   p1 , p2 ,..., pk  el conjunto de
todos los números primos.

Sea n  1  p1. p2 ... pk entonces n  Z y n  1 por lo tanto n es primo o es compuesto.
Si n es primo entonces n  pi para algún pi  S pero esto es falso ya que
n  pi pi  S .
Si n es compuesto entonces por teorema 17, n tiene un factor primo p, entonces
p  pi para a lg ún i 1, 2,..., k ya que los únicos primos son p1 , p2 ,..., pk .
Como pi es factor de n es decir n  pi .q  pi \ n pero además
pi \ p1. p2 ... pk
 pi \ n  p1. p2 ... pk
 pi \1  p1. p2 ... pk  p1. p2 ... pk
 pi \1
 pi  1
Lo cual es una contradicción ya que pi  1 por ser primo.
Por lo tanto el número de primos es infinito.

Prof. Marilex Porteles Página 30

Conjeturas de Goldbach
En el siglo XVIII el matemático Charles Goldbach conjeturó que todo entero par
mayor que 4 puede ser expresado como suma de dos primos impares. Por ejemplo:
6  33
8  35
10  3  7  5  5
12  5  7
14  3  11  7  7
16  3  13  5  11
.
.
.
40  17  23
.
.
.
Aunque muchos matemáticos han tratado de probar o refutar la conjetura
de Goldbach, nadie todavía ha tenido éxito.

Ejercicio Resuelto

1. Halle todos los números primos iguales a un cuadrado perfecto menos 1.

Solución.
p  x2 1
p   x  1 x  1
Como p es primo los únicos divisores positivos de p son 1 y p , por lo tanto
a) x  1  1  x  1  p
b) x  1  1  x  1   p
c) x  1  p  x  1  1
d ) x  1   p  x  1  1
de a) x  2  p  3
de b) x  0  p  1 lo cual es imposible ya que p  1
de c) x  0  p  1 imposible
de d ) x  2   2  1   p
 p3
El único primo que satisface tal condición es p  3 .

Prof. Marilex Porteles Página 31

    
2. Si a, p  p y b, p  p siendo p un número primo entonces ab, p  p .
2 3 2 4 3
 
Demostración
Como  a, p   p
2
entonces p \ a es decir q1  Z / a  pq1 (i) de igual forma como

 b, p   p
3 2
 p2 \ b
 q2  Z / b  p 2 q2 (ii )
De (i) y (ii) ab   pq1   p 2 q2   p3q1q2 con lo cual

 ab, p    p q q , p 
4 3
1 2
4

 p q q , p  3
1 2

Sea d   q1q2 , p  entonces d \ p y como p es primo se tiene que d  p o d  1

Si d  p como d \ q1q2 entonces p \ q1q2 luego por teorema 18 p \ q1  p \ q2
Si p \ q1 entonces q3  Z / q1  pq3 (iii) sustituyendo (iii) en (i) se tiene que
a  p  pq3   p 2 q3
así  a, p 2    p 2 q3 , p 2   p 2  q 3 ,1
 p2
Lo cual contradice la hipótesis por lo tanto p \ q1 de manera análoga se demuestra
que p \ q2 esto contradice el teorema 18 por lo tanto d  1 es decir
 q1q2 , p   1 y de aquí que  ab, p 4   p3 .

Ejercicio propuesto

1. Halle  5500,12675 y 5500,12675


2. Todo primo excepto 2 y 3 es de la forma 6k  1 o 6k  1 donde k  Z .
3. Demostrar que para cualquier entero positivo n.  n  1! 2 es compuesto.
4. Descomponga 40 en suma de tres números primos, de todas las maneras posibles.
5. Verificar la conjetura de Goldbach para los enteros pares

a) 32 b) 100 c) 1024 d) 756

Prof. Marilex Porteles Página 32

CURIOSIDADES MATEMÁTICA

La gente curiosa se preguntó si había algún procedimiento (algoritmo) distinto al

método de Eratóstenes que pudiera ir generando de otra forma la lista completa de los
números primos. Y empezaron los intentos. Uno de los más curiosos es el que propone
que en la expresión: n2  n  41 , se sustituya n por 0, 1, 2, 3, etc. y se evalúe el número
que se obtiene cada vez.

Por ejemplo,

Para n = 0, se obtiene 0 + 0 + 41 = 41;

Para n = 1, se obtiene 1 + 1 + 41 = 43;

Para n = 2, se obtiene 47;

Para n = 3, se llega a 53.

Todos estos números (41, 43, 47, 53) son primos. Y, asombrosamente, la cosa funciona...
hasta llegar a n = 40, cuando se obtiene 402 + 40 + 41 = 1.681, que es 412. En efecto,

402 + 40 + 41 = 402 + 81 = 402 + 80 + 1 = 402 + 2 x 40 + 1, expresión que podemos

reconocer como (40 + 1)2

Evidentemente, 412 no es un número primo. Pero el intento fue bueno... y funcionó ¡40
veces seguidas!

También Euclides, nos indica una manera de obtener números primos, aunque no en
forma ordenada como Eratóstenes. Para ello observó que si p es un número primo, al
formar el producto de p por todos los números primos anteriores, y agregarle una
unidad a ese producto, el nuevo número así obtenido también es primo. Por ejemplo, si
partimos de 7, el número primo a que se llega es: 7 x5 x 3 x 2 + 1 = 210 + 1 = 211. Con El
procedimiento de Euclides se llega en seguida a números primos muy grandes. Y de paso,
se ve que siempre podemos llegar a otros más grandes...

Los números cuya suma de divisores propios es igual al mismo número fueron
bautizados como números perfectos. Algunos de los conocidos son 6, 28, 496, 8.128
(puede verificarlo; y plantearse si habrá algún número perfecto que sea impar..., porque
hasta ahora no se ha descubierto ninguno). Como nota adicional (Kline, 1992), a los
números mayores que la suma de sus divisores propios se les llamó deficientes. Y a los
números menores que dicha suma, abundantes (trate de hallar algunos ejemplos de cada
especie). Muy expresivos los griegos, ¿no?

Prof. Marilex Porteles Página 33

 REFERENCIA

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo

http://7dcanilda.wikispaces.com/DIVISIBILIDAD

Andonegui M. (2006). Divisibilidad. Serie Desarrollo del pensamiento matemático N° 8.

Prof. Marilex Porteles Página 34