Numeros Enteros

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN

U. E COLEGIO LOYOLA GUMILLA
PUERTO ORDAZ-EDO BOLÍVAR
Guía de estudio nº2
Temas:
Números enteros (Z).
Adición. Propiedades de la adición. Sustracción.
Valor absoluto
Operaciones combinadas de suma y resta en (Z).
El conjunto Z de los números enteros está dado por:
Z= {…, -3,-2,-1, 0, 1, 2,3…}
A los números -1,-2,-3…. números naturales precedido por el signo menos (-), se
le conoce como números negativos.
En la práctica los números enteros se utilizan para indicar cualquier situación

diametralmente opuesto. Así, las situaciones de ganancias o pérdidas de bs 100
pueden ser representadas por +100 y -100, respectivamente.
Subconjuntos notables de Z.
Dentro del conjunto de z de los números enteros podemos distinguir subconjuntos

notables.
1. El subconjunto de los números enteros positivos Z+ comprende a los elementos

del conjunto del conjunto N*. es decir.
Z+= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12…}.
2. El subconjunto de los enteros negativos, z-. comprende a los números enteros

negativos.
z- = {…, -4, -3,-2,-1,}.

3. El subconjunto de los números enteros distintos de cero, Z*: comprende a los
enteros positivos, a los enteros negativo, a los enteros negativos y excluye el
cero.
Z* = {…, -3,-2,-1,1,2,3…}.
De esta manera, se cumple las siguientes expresiones:
z+ pertenece Z z- pertenece Z z* pertenece Z
Es importante hacer notar que los números negativos siempre debe estar
precedido del signo menos. En los números enteros positivos es opcional usa el
signo + para precederlos. Así podemos escribir.
Números negativo 4= -4
Números positivo 7= +7, o simplemente 7.
4. El subconjunto {0} = contiene únicamente al número 0 del conjunto Z. el número

0 no es ni positivo ni negativo.
Al igual que los números naturales, los números enteros se pueden representar
gráficamente en una recta numérica como se muestra en la figura.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Como en la recta los números están ordenados, de izquierda a derecha, de menor

a mayor, y 2 está a la derecha de -8, entonces -2>-4.
Dados a y b que pertenece a Z, si a está a la derecha de b, entonces a>b; lo cual

implica que el número mayor de dos números enteros es el que está más a la
derecha en la recta numérica. De esta manera análoga, si a está a la izquierda de
b, entonces a<b; esto implica que el número menor de dos números enteros es el
que está más a la izquierda en la recta numérica.
En general, en el conjunto de los números enteros se pueden afirmar que:
 Todos los enteros positivos son mayores que 0 (43>0).

 Todos los enteros negativos son menores que 0 (-28<0).
 Todo número entero positivo es mayor que cualquier número entero
negativo (2 > -31).
Valor absoluto: es el valor que tiene el número sin tomar en cuenta el signo.
NOTACION: |a| se lee “valor absoluto de a”
Ejemplos: |+3| se lee “valor absoluto de +3”

|-5| se lee “valor absoluto de -5”.
El valor absoluto de un número entero es siempre positivo

Por lo tanto: |+3|=3 |-5|= 5
Geométricamente el valor absoluto es la distancia entre el cero y el número entero.
-3 0 -3
|-3| = |+3| = 3
Ejemplo de valor absoluto:
a) - |-17| = como el valor absoluto |-17| = 17, entonces -|-17|= -17

b) 50 - |-38|= como |-38| = 38, entonces: 50 - |-38|= 50 – 38 = 12
La adición de números enteros.

Si sumamos dos enteros positivos el resultado será siempre positivo.
Ejemplo=
2+ (+2)= 4
5+ (+9)= 14
Si sumamos dos números enteros negativos, el resultado será siempre un entero

negativo.
Ejemplo=
2+ (-2) = -4
-5+ (-6) = -11.
Adición de enteros de distintos signos= se determinan los valores absolutos de

los números, se resta el de menor valor absoluto del que tiene mayor valor
absoluto y al resultado se le coloca el signo del número de mayor valor absoluto.
Veamos el siguiente ejemplo:
Pedro tiene Bs 2600 y quiere comprar un libro de en la librería, el cual tiene un

costo de Bs 6400. Si Pedro abona 2600 bolívares (Bs) que tenía. ¿Cuántos
bolívares queda debiendo?
Queda debiendo Bs. 6400 – Bs.2600 = Bs.3800.
Como los 2600 bs son un haber, y los 6400Bs son un deber, la operación se
puede escribir de la forma siguiente:
(+2600) + (-6400) = -3800.
En la adición el sumando con signo negativo es el que tiene el mayor valor

absoluto, pues |+2600| = 2600 y |-6400|= 6400, y como 6400>2600, entonces,
entonces, |-6400| > |+2600|. El resultado de la adición se obtiene al restar 6400
(por tener el valor absoluto mayor) menos 2600 (por tener el menor absoluto) y
colocar el signo del sumando que tiene mayor valor absoluto, es decir, el signo
menos (-).
Elemento neutro. X+0= 0+x = x que pertenece a números enteros (Z).
En una adición de entero, el cero es el elemento neutro.
Al sumar cero con cualquier número entero, la suma es igual al sumando.
0+(-5) =-5+0 = -5
Elementos simétricos a+(-a) = 0 a pertenece al conjunto Z.

El opuesto de -3 es 3
Elemento simétrico a+(-a) = 0 a pertenece al conjunto Z.
El simétrico de un número es el mismo número, pero con el signo contrario.

Propiedad conmutativa.
En la adición el orden de los sumandos no altera la suma. Es decir, para todo a y

b, se tiene que a+b = b+a.
Ejemplo= 3+5 = 5+3 2+(-5) = (-5) +2
8 = 8 -3 = -3
Propiedad asociativa.
a+b+ (-c) = (a+b)+ (-c)= a+ [b+ (-c)].
Para todo a y b que pertenece a números Z.
La forma como se asocien los sumandos no varía la suma.
Ejemplo=
3+5+(-2) = (3+5) + (-2) = 8+(-2) = 6
Es igual a=
3+5+ (-2) = 3+ [5+ (-2)] = 3+3=6
Sustracción en (Z).
La diferencia del entero de a con el entero de b, a-b, es igual a la suma de a con el

opuesto de b.
a-b = a+(-b)
por ejemplo=
a) (-7) -(+8) = (-7) + (-8) = -15

b) (+7) –(-8) = (+7) +(8) = 15
Adiciones y sustracciones en números Z.
Escritura abreviada de adiciones y sustracciones.
Los paréntesis, en las sumas o restas se pueden eliminar según el signo que los
preceda:
a) Si es + o no tiene signo, se elimina el paréntesis (con el signo +); y los

números que están dentro mantienen su signo.
Ejemplo:
(+50) + (+10) = 50+10
b) Si es negativo (-). Se elimina el paréntesis junto con el signo (-); y los

números que están dentro cambia de signo:
Ejemplo:
−(−15) − (+76) = 15 − 76
Adiciones o sustracciones sin paréntesis
Para efectuar adiciones o sustracciones que no tengan paréntesis, se deben

considerar los signos de + o – que están antes de cada número:
Sin son signos iguales, se suman los números, y al resultado se le coloca el signo
que precede a los sumandos:
Ejemplos:
102+105= 207
Si son signos diferentes, se restan los números y se coloca el signo que precede
al número que tenga mayor valor absoluto:
Ejemplo:
342 − 785 = −443

−289 + 520 = 231
Operaciones combinadas de adición y sustracción con signo de agrupación.
Cuando un ejercicio tenga varios signos de agrupación = ( ), [ ] y { }; se eliminan

el signo que preceda + o -, de manera análoga a la eliminación del paréntesis.
Primero se elimina los paréntesis, luego los corchetes y después las llaves.
= −4 − {−5 + 8 − [6 + (−11) + 7} − 12 =
= −4 − {−5 + 8 − [6 − 11] + 7} − 12
= −4 − {−5 + 8 − 6 + 11 + 7} − 12
= −4 + 5 − 8 + 6 − 11 − 7 − 12
= 5 + 6 − 4 − 8 − 11 − 7 − 12
= 1 − 42 = −31
Ejercicios propuestos.
Realiza las siguientes operaciones. Los ejercicios a) y d) se resuelve aplicando las

propiedades conmutativa: se agrupan primeros los números positivos y luego los
negativos
a) −12 + 5 − 7 − 12 + 16=
b) −13 − (-6+9)+16=
c) − (64 − 36 + 5) + (45 − 87) =
d) −8 + 9 + 6 − 17 − 21 + 15 + 8 =
Resuelve los siguientes ejercicios de valor absoluto.
a) |-13|=
b) |-125|=
c) |+41|=
Efectúa las siguientes operaciones.
a) (+12) +(+5) =
b) (-9) +(-5) =
c) (+12) + (-10) =
d) (-197) + (-179) =
Realiza las siguientes operaciones de sustracciones:
a) (+5) − (−6) =
b) (−30) − (+5) =
c) (+32) − (−105) =
Aplica la propiedad asociativa y calcula las siguientes operaciones:
a) (-37) +(+51) +(-24) =

b) (-85) + (-25) + (-32) =
c) (-11) + (-6) + (+17) =
d) (+7) +(-6) +(-32) =
Efectúa las siguientes operaciones combinadas eliminando los signos de

agrupación:
a) 23- [(-7) +5- (-13)] +51=
b) 5- {5- [4 + (-4) -3]-3} =
c) 42- [16-(-4-20)] + 10+15=
d) -7- {[-21+ (14-15)]-6+9=
Resuelva los siguientes problemas de adicción y sustracción en Z.
Si un termómetro marca -5ºC, indica que temperatura marcará:
a) Si la temperatura sube 14ºC.

b) Si la temperatura desciende 8ºC.
c) Si la temperatura desciende 5ºC.
d) Si la temperatura aumenta 5ºC.
Un caracol se encuentra en el fondo de un pozo que tiene 10 metros de

profundidad. El primer día sube 3 m y en la noche, cuando duerme, resbala 1 m. el
segundo día sube 4 m y resbala 2 m. El tercer día sube 5 m y resbala 1 m.
¿Cuántos metros necesitarás subir el caracol al día siguiente para salir del pozo?
Carlos depositó en su cuenta corriente bs 15000 y, luego realizó un pago de varios
cheques con los montos siguientes: Bs 4350 para cancelar la luz; Bs 4536 en el
supermercado; y Bs 2560 para pagar el teléfono. Si inicialmente Raúl tenía Bs.
8470 en su cuenta corriente, ¿Cuál es su saldo final?
Si en el año 1644 se cumplieron los 2000 años de Alejandro Magno, fundador de

la ciudad de Alejandría en Egipto, ¿en qué año fue su nacimiento?
Bibliografía
Cualquier libro de matemática de 1er año.
Ejercicios de operaciones combinadas de números enteros del prof alex en el sitio

web YouTube.
https://www.superprof.es para números enteros.

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Guía de estudio nº2

Números enteros (Z).

Adición. Propiedades de la adición. Sustracción.

Operaciones combinadas de suma y resta en (Z).

El conjunto Z de los números enteros está dado por:

Z= {…, -3,-2,-1, 0, 1, 2,3…}

En la práctica los números enteros se utilizan para indicar cualquier situación

Dentro del conjunto de z de los números enteros podemos distinguir subconjuntos

1. El subconjunto de los números enteros positivos Z+ comprende a los elementos

2. El subconjunto de los enteros negativos, z-. comprende a los números enteros

z- = {…, -4, -3,-2,-1,}.

De esta manera, se cumple las siguientes expresiones:

z+ pertenece Z z- pertenece Z z* pertenece Z

4. El subconjunto {0} = contiene únicamente al número 0 del conjunto Z. el número

Como en la recta los números están ordenados, de izquierda a derecha, de menor

Dados a y b que pertenece a Z, si a está a la derecha de b, entonces a>b; lo cual

En general, en el conjunto de los números enteros se pueden afirmar que:

 Todos los enteros positivos son mayores que 0 (43>0).

Ejemplos: |+3| se lee “valor absoluto de +3”

El valor absoluto de un número entero es siempre positivo

Ejemplo de valor absoluto:

a) - |-17| = como el valor absoluto |-17| = 17, entonces -|-17|= -17

La adición de números enteros.

Si sumamos dos números enteros negativos, el resultado será siempre un entero

Adición de enteros de distintos signos= se determinan los valores absolutos de

Veamos el siguiente ejemplo:

Pedro tiene Bs 2600 y quiere comprar un libro de en la librería, el cual tiene un

Queda debiendo Bs. 6400 – Bs.2600 = Bs.3800.

(+2600) + (-6400) = -3800.

En la adición el sumando con signo negativo es el que tiene el mayor valor

Elemento neutro. X+0= 0+x = x que pertenece a números enteros (Z).

En una adición de entero, el cero es el elemento neutro.

Al sumar cero con cualquier número entero, la suma es igual al sumando.

Elementos simétricos a+(-a) = 0 a pertenece al conjunto Z.

Elemento simétrico a+(-a) = 0 a pertenece al conjunto Z.

El simétrico de un número es el mismo número, pero con el signo contrario.

En la adición el orden de los sumandos no altera la suma. Es decir, para todo a y

a+b+ (-c) = (a+b)+ (-c)= a+ [b+ (-c)].

Para todo a y b que pertenece a números Z.

La forma como se asocien los sumandos no varía la suma.

3+5+(-2) = (3+5) + (-2) = 8+(-2) = 6

3+5+ (-2) = 3+ [5+ (-2)] = 3+3=6

La diferencia del entero de a con el entero de b, a-b, es igual a la suma de a con el

a) (-7) -(+8) = (-7) + (-8) = -15

Escritura abreviada de adiciones y sustracciones.

a) Si es + o no tiene signo, se elimina el paréntesis (con el signo +); y los

(+50) + (+10) = 50+10

b) Si es negativo (-). Se elimina el paréntesis junto con el signo (-); y los

Adiciones o sustracciones sin paréntesis

Para efectuar adiciones o sustracciones que no tengan paréntesis, se deben

342 − 785 = −443

Cuando un ejercicio tenga varios signos de agrupación = ( ), [ ] y { }; se eliminan

Realiza las siguientes operaciones. Los ejercicios a) y d) se resuelve aplicando las

Resuelve los siguientes ejercicios de valor absoluto.

Efectúa las siguientes operaciones.

Aplica la propiedad asociativa y calcula las siguientes operaciones:

a) (-37) +(+51) +(-24) =