Expo Matlab
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En la introducción de la parte seis destacamos que las funciones que vayan a integrarse
de manera numérica son principalmente de dos tipos: una tabla de valores o una función.
La forma de los datos tiene una influencia importante en los procedimientos que se
utilizan para evaluar la integral. Con información tabulada, se está limitando al número
de puntos que se tengan. En cambio, si se tiene la función, se pueden generar tantos
valores de f(x) como se requieran para alcanzar una exactitud aceptable (recuerde la figura
PT6.7).
Este capítulo se ocupa de dos técnicas expresamente diseñadas para analizar los casos
donde se tiene la función. Ambas aprovechan la posibilidad de generar valores de la
función para desarrollar esquemas eficientes para la integración numérica. La prime- ra
se basa en la extrapolación de Richardson, que es un método que combina dos esti-
maciones numéricas de la integral para obtener un tercer valor más exacto. El algoritmo
computacional para implementar de manera muy eficiente la extrapolación de Richard-
son se llama integración de Romberg. Esta técnica es recursiva y se utiliza para generar
una estimación de la integral dentro de una tolerancia de error preespecificada.
El Segundo método se denomina cuadratura de Gauss. Recuerde que en el último capítulo
los valores de f(x) en las fórmulas de Newton-Cotes se determinaron para va- lores
específicos de x. Por ejemplo, si se utiliza la regla del trapecio para determinar una
integral, estamos restringidos a tomar el promedio ponderado de f(x) en los extremos del
intervalo. Las fórmulas de cuadratura de Gauss emplean valores de x que están entre a y
b, de forma que resulta una estimación mucho más exacta de la integral.
Además de estas dos técnicas estándar, dedicamos una sección final a la evaluación de
integrales impropias. En este análisis nos concentraremos en integrales con límites finitos
y en mostrar cómo un cambio de variable y de fórmulas de integración abierta son útiles
en tales casos.
b)
FUNCTION SimpEq (n, a, b) h = (b — a) / n
x = a
sum = f(x)
DOFOR i = 1, n — 2, 2
x = x + h
sum = sum + 4 * f(x) x = x + h
sum = sum + 2 * f(x) END DO
x = x + h
sum = sum + 4 * f(x) sum = sum + f(b)
SimpEq = (b — a) * sum/(3 * n) END SimpEq
INTEGRACIÓN DE ROMBERG
Extrapolación de Richardson
Recuerde que en la sección 10.3.3 usamos refinamiento iterativo para mejorar la solución de un
conjunto de ecuaciones lineales simultáneas. Hay técnicas de corrección del error para mejorar
los resultados de la integración numérica con base en la misma estimación de la integral.
Dichos métodos usan dos estimaciones de una integral para calcular una tercera más
exacta y, en general, se les conoce como extrapolación de Ri- chardson.
100
10
10–1
10–2
10–3
10–4
10–5
10–6
Ahora recuerde que el error de la regla del trapecio de aplicación múltiple puede repre-
sentarse en forma aproximada mediante la ecuación (21.13) [con n = (b – a)/h]:
Si se supone que f es constante para todo tamaño de paso, la ecuación 22.2 se utiliza
para determinar la razón entre los dos errores, que será
Este cálculo tiene el importante efecto de eliminar el término f de los cálculos. Al hacerlo, fue
posible utilizar la información contenida en la ecuación (22.2) sin un cono- cimiento previo de la
segunda derivada de la función. Para lograr esto, se reordena la ecuación (22.3) para dar
de donde se despeja
Se puede demostrar (Ralston y Rabinowitz, 1978) que el error de esta estimación esn
O(h4). Así, hemos combinado dos estimaciones con la regla del trapecio de O(h2) para
obtener una nueva estimación de O(h4). En el caso especial donde el intervalo es divi-
dido a la mitad (h2 = h1/2), esta ecuación se convierte en
o, agrupando términos,
EJEMPLO Correcciones del error en la regla del trapecio
Segmentos h Integral et %
1 0.8 0.1728 89.5
2 0.4 1.0688 34.9
4 0.2 1.4848 9.5
Use esta información junto con la ecuación (22.5) para calcular mejores
estimaciones de la integral.
La ecuación (22.4) proporciona una forma de combinar dos aplicaciones de la regla del
trapecio con un error O(h2), para calcular una tercera estimación con un error O(h4). Este
procedimiento es un subconjunto de un método más general para combinar inte- grales y
obtener mejores estimaciones. Así, en el ejemplo 22.1, calculamos dos integra- les
mejoradas de O(h4) con base en tres estimaciones con la regla del trapecio. Estos dos
cálculos mejorados pueden, a su vez, combinarse para generar un valor aún mejor con
O(h6). En el caso especial donde las estimaciones originales con la regla del trapecio se
basan en la división sucesiva de la mitad del tamaño de paso, la ecuación usada para una
exactitud O(h6) es
Observe que los coeficientes en cada una de las ecuaciones de extrapolación [ecuaciones
(22.5), (22.6) y (22.7)] suman 1. De esta manera, representan factores de ponderación
que, conforme aumenta la exactitud, dan un peso relativamente mayor a la mejor esti-
mación de la integral. Estas formulaciones se expresan en una forma general muy ade-
cuada para la implementación en computadora:
donde Ij+1,k–1 e Ij,k–1 = las integrales más y menos exactas, respectivamente; e Ij,k =
la in- tegral mejorada. El subíndice k significa el nivel de la integración, donde k = 1
corres- ponde a la estimación original con la regla del trapecio, k = 2 corresponde a
O(h4), k = 3 a O(h6 ), y así sucesivamente. El subíndice j se usa para distinguir entre las
estimacio- nes más (j + 1) y menos (j) exactas. Por ejemplo, con k = 2 y j = 1, la ecuación
(22.8) se convierte en
Por ejemplo, la primera iteración (figura 22.3a) consiste en calcular las estimaciones con
la regla del trapecio para uno y dos segmentos (I1,1, e I2,1). La ecuación (22.8) se utiliza
después para calcular el elemento I1,2 = 1.367467, el cual tiene un error de O(h4). Ahora,
debemos verificar y establecer si este resultado es adecuado a nuestras ne- cesidades.
Como en los otros métodos aproximados de este libro, se requiere un criterio de paro, o
de terminación, para evaluar la exactitud de los resultados. Un método que es para el
propósito actual es [ecuación (3.5)]
donde a = una estimación del error relativo porcentual. De esta manera, como sucedió
en los anteriores procesos iterativos, se compara la nueva estimación con un valor ante-
rior. Cuando la diferencia entre los valores anteriores y nuevos representada por a está
por debajo de un criterio de error preespecificado s, termina el cálculo. En la figura
22.3a, esta evaluación indica 87.4% de cambio con respecto a la primera iteración.
El objetivo de la segunda iteración (figura 22.3b) es obtener la estimación O(h6), I1,3.
Para hacerlo, se determina una estimación más con la regla del trapecio, I3,1 = 1.4848.
Después, ésta se combina con I2,1 usando la ecuación (22.8) para generar I2,2 =
1.623467. El resultado se combina, a su vez, con I1,2 para obtener I1,3 = 1.640533. Se
aplica la ecua- ción (22.9) para determinar que este resultado representa un cambio del
22.6% cuando se compara con el resultado previo, I1,2
La tercera iteración (figura 22.3c) continúa con el proceso de la misma forma. En tal
caso, la estimación del trapecio se suma a la primera columna y, después, se aplica la
ecuación (22.8) para calcular en forma sucesiva integrales más exactas a lo largo de la
diagonal inferior. Después de sólo tres iteraciones, debido a que se evalúa un polino-
mio de quinto grado, el resultado (I1,4 = 1.640533) es exacto.
La integración de Romberg es más eficiente que las reglas del trapecio y de Simpson
analizadas en el capítulo 21. Por ejemplo, para la determinación de una integral como la
de la figura 22.1, la regla de Simpson 1/3 requeriría una aplicación con 256 segmentos
para dar un estimado de 1.640533. Aproximaciones más finas no serán posibles debido
al error de redondeo.