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Tarea Sobre Lagrange y Taylor
Tarea Sobre Lagrange y Taylor
Tarea Sobre Lagrange y Taylor
POLINOMIO DE LAGRANGE
1. Determine en los siguientes casos, el polinomio interpolador de Lagrange para
aproximar la funcion f (x) = x3 .
a) El polinomio lineal P1 (x) para los nodos x0 = 1 y x1 = 0.
b) El polinomio cuadratico P2 (x) para los nodos x0 = 1, x1 = 0 y x2 = 1.
c) El polinomio c
ubico P3 (x) para los nodos x0 = 1, x1 = 0, x2 = 1 y x3 = 2.
d) El polinomio lineal Q1 (x) para los nodos x0 = 1 y x1 = 2.
e) El polinomio cuadratico Q2 (x) para los nodos xo = 0, x1 = 1 y x2 = 2.
2. Sea
2
x
Use el polinomio interpolador de Lagrange cuadratico con nodos
f (x) = x +
xo = 1, x1 = 2 y x2 = 2,5
para aproximar f (1,5) y f (1,2).
3. Escriba para las siguientes funciones f (x) el termino del error E3 (x) del polinomio
interpolador de Lagrange c
ubico con nodos
xo = 1, x1 = 0, x2 = 3 y x3 = 4
a) f (x) = 4x3 3x + 2
b) f (x) = x4 2x3
c) f (x) = x5 5x4
4. Sea f (x) = xx .
a) Determine el polinomio interpolador de lagrange cuadratico P2 (x) para los nodos
x0 = 1, x1 = 1,25 y x2 = 1,5
b) Use el polinomio calculado en el item a) para estimar el valor medio de f (x)
en el intervalo [1;1.5].
Nota: Si
g : [a, b] R
es integrable, se define el valor medio de g(x) en [a; b] como
b
g(x) dx
g(x) = a
ba
c) Use el teorema (4.4) del libro de Mathews, para hallar una cota del error que
se produce al aproximar f (x) mediante P2 (x)
5. Sea f (x) = 3xex 2ex .
a) Dados los puntos xo = 1, x1 = 1,05 y x2 = 1,1 Hallar el polinomio interpolador de Lagrange P2 (x).
b) Aproxime f (1,03) usando el polinomio interpolador de Lagrange P2 (x) obtenido en el item a).
c) Compare el error real E2 (1,03) con la cota obtenida usando el teorema (4.4)
del libro de Mathews
6. Dada f (x) = e2x cos(3x) y los puntos x0 = 0, x1 = 0,3, y x2 = 0,6. Si P2 (x) es el
polinomio de interpolacion de Lagrange de f , hallar una cota del error absoluto
de P2 (x) usando formula que aparece en el teorema (4.4) del libro de Mathews.
7. Dada f (x) = ln(x) y los puntos x0 = 0,25, x1 = 0,5, x2 = 0,75 y x3 = 1. Si P3 (x) es
el polinomio de interpolacion de Lagrange de f , hallar una cota del error absoluto
de P3 (x) usando formula que aparece en el teorema (4.4) del libro de Mathews.
8. Dada la funcion f (x) = ex/2 en el intervalo [1,2]. Use el teorema (4.4) para
determinar el tama
no de paso correspondiente h para el cual
(a) |E1 (x)| < 5 106 .
(b) |E2 (x)| < 5 106 .
(c) |E3 (x)| < 5 106 .
Siendo E1 (x), E2 (x) y E3 (x) los errores correspondientes a los polinomios de aproximacion de Lagrange P1 (x), P2 (x) y P3 (x)
POLINOMIO DE TAYLOR
9. Dada la funcion
f (x) = sen(x)
(a) Hallar el polinomio de Taylor P5 (x) de f (x) alrededor de x0 = 0
(b) Hallar el polinomio de Taylor P7 (x) de f (x) alrededor de x0 = 0
(c) Hallar el polinomio de Taylor P9 (x) de f (x) alrededor de x0 = 0
(d) Pruebe que si |x| 1, entonces la aproximacion
sen(x) x
tiene como cota de error |E9 (x)| <
x3 x5 x7 x9
+
+
3!
5!
7!
9!
1
10!
2,75574 107
(1)k1 (k1)!
(1+x)k
+ +
2
3
4
n
(c) Pruebe que el termino del error de Pn (x) es
En (x) =
(1)n xn+1
(n + 1)(1 + c)n+1
(d) Eval
ue P3 (0,5), P6 (0,5) y P9 (0,5) y compare estos valores con ln(1,5).
(e) Demuestre que si 0 x 0,5 entonces la aproximacion
ln(x) x
x2 x3
x7 x8 x9
+
+
+
2
3
7
8
9
p(p 1) (p n + 1)xn
p(p 1)x2
+ +
2!
n!
p(p 1) (p n)xn+1
(1 + c)n+1p (n + 1)!
(d) Para p = 1/2 calcule P2 (0,5), P4 (0,5) y P6 (0,5) y compare estos valores con
(1,5)1/2 .
(e) Demuestre que si 0 x 0,5 entonces la aproximacion
(1 + x)1/2 1 +
x x2 x3 5x4 7x5
+
2
8
16 128 256
(0,5)6 21
= 0,0003204...
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