Taller de Métodos Numéricos Con MATLAB - Sesión 5
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Los métodos de interpolación se utilizan cuando se tiene datos definidos por puntos y se quiere
estimar otros valores que correspondan a la misma función. Los métodos de interpolación
realizan la estimación de puntos intermedios a los datos que se tienen, mediante modelos que
coinciden de manera exacta con los puntos conocidos
x x0 x1 x2 … xn-2 xn-1 xn
y f(x0) f(x1) f(x2) … f(xn-2) f(xn-1) f(xn)
yn
yn-1
yn-2
y2
y1 y = fn(x)
y0
x
x0 x1 x2 xn-2 xn-1 xn
= + − , + − − , , + ⋯
+ − − ⋯ − , , ⋯ , , Ec. 5.1.1
−
, = Ec. 5.1.2
−
, − ,
, , =
−
, ,⋯, − , ,⋯,
, ,⋯, , =
−
, ,⋯, − , ,⋯,
, ,⋯, , = Ec. 5.1.3
−
x0 f(x0)
,
x1 f(x1) , ,
, , , ,
x2 f(x2) , ,
,
x3 f(x3)
xn-2 f(xn-2)
,
xn-1 f(xn-1) , ,
,
xn f(xn)
end
n x y 1er orden 2do orden 3er orden 4to orden 5to orden
0 1 0.50000
1 2 0.33333 f[2, 1]
-0.1667
2 4 0.20000 f[4, 2] f[4, 2, 1]
-0.0667 0.0333
3 5 0.16667 f[5, 4] f[5, 4, 2] f[5, 4, 2, 1]
DD =
-0.1667
DD =
-0.0667
DD =
-0.0016
DD =
-8.8151e-05
for k = 1 : n
Paso <5> factor = factor * (x - X(k));
y = y + factor * difDivFin(X, Y, k, k);%Los términos parciales a sumar
Pasos
%se multiplican por las
<6> y <7>
%diferencias finitas
%correspondientes y se
%actualiza la aproximación.
end
end
x y x y
1 0.50000 1 0.00000
2 0.33333 4 1.38629
4 0.20000 6 1.79176
5 0.16667 5 1.60944
6 0.14286 3 1.09861
8 0.11111 1.5 0.40546
10 0.09091 2.5 0.91629
11 0.08333 3.5 1.25276
Tabla 1. Tabla 2.
a) Para los valores de la tabla 1, calcula el valor y = f(3) por medio de interpolación de Newton
con un polinomio de grado n = 5.
b) Para los valores de la tabla 1, calcula el valor y = f(3) por medio de interpolación de Newton
con un polinomio de grado n = 6.
c) Para los valores de la tabla 1, calcula el valor y = f(7) por medio de interpolación de Newton
con un polinomio de grado n = 7.
d) Para los valores de la tabla 1, calcula el valor y = f(9) por medio de interpolación de Newton
con un polinomio de grado n = 7.
e) Para los valores de la tabla 2, calcula el valor y = f(2) por medio de interpolación de Newton
con un polinomio de grado n = 7.
f) Para los valores de la tabla 2, calcula el valor y = f(4.5) por medio de interpolación de
Newton con un polinomio de grado n = 7.
Se utiliza para calcular el valor intermedio y = f(x) entre un par de puntos conocidos ( x1, f(x1) )
y ( x2, f(x2) ) trazando una línea recta entre ellos.
− −
=
− −
−
= − + Ec. 5.2.1
−
Ejercicio 5.2.1: Escribe una función de MATLAB que aplique el método de interpolación de
Lagrange de 1er orden, para calcular el valor de y = f(x) a partir de un conjunto valores
conocidos.
Ejercicio 5.2.2: A partir de los datos mostrados en las tablas 3 y 4 resuelve lo solicitado en los
siguientes incisos.
x y x y
4 1 1 2
6 2 2 1
Tabla 3. Tabla 4.
a) Para los valores de la tabla 3, calcula el valor y = f(5) por medio de interpolación de
Lagrange de 1er orden.
b) Para los valores de la tabla 4, calcula el valor y = f(1.2) por medio de interpolación de
Lagrange de 1er orden
= + + ⋯ + + Ec. 5.3.1
x x0 x1 x2 … xn-2 xn-1 xn
y y0 y1 y2 … yn-2 yn-1 yn
Los datos conocidos se pueden sustituir en la (Ec. 5.3.1) para formar un sistema de n x n
ecuaciones lineales, donde las incógnitas son los coeficientes:
+ + ⋯+ + =
+ + ⋯+ + =
+ +⋯+ + =
Una vez que se plantea el sistema de ecuaciones lineales, este se resuelve con cualquiera de los
métodos vistos para encontrar los valores de los coeficientes. Finalmente, estos coeficientes se
sustituyen en la (Ec. 5.3.1) para establecer el polinomio y utilizarlo para calcular cualquier valor
f(x).
Ejercicio 5.3.1: A partir de los datos mostrados en las tabla 5 utiliza el método de interpolación
de polinomios para que determines el polinomio y encuentres el valor correspondiente de f(2.7).
x y
1 -4
2 -3
3 0
Tabla 5.
Referencias.