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Teoría de Errores Por Juan Abanto Sáenz
Teoría de Errores Por Juan Abanto Sáenz
Teoría de Errores Por Juan Abanto Sáenz
FACULTAD DE CIENCIAS
TEORÍA DE ERRORES
Contenido
1. Introducción
1. Definiciones
2. Cifras significativas
3. Redondeo
4. Operaciones
2. Teoría de errores
1. Tipos de errores
3. Mediciones
1. Tipos de medidas
2. Error en suma y diferencia
3. Error en el producto y la división
4. Desviación
1. Desviación de la media
2. Desviación promedio
3. Desviación estándar
4. Ajuste de una recta por el método de mínimos cuadrados
5. Normas sobre la presentación de gráficas
6. Ejemplos
7. Bibliografía
INTRODUCCION
El objetivo del presente documento es exponer las bases de la teoría de errores y del
manejo de cifras significativas de la manera más sencilla posible, sin considerar
rigurosas demostraciones, cálculos pesados o aglomeración de material con el fin de que
el estudiante pueda utilizar estos conceptos de manera ágil y eficaz, para el mejor
manejo de los datos obtenidos experimentalmente. En el documento además figura un
apartado correspondiente al manejo de gráficas y en la penúltima parte del mismo se
proponen varios ejemplos de aplicación del material expuesto. Para los interesados en
profundizar en los temas tratados, al final del documento figura una lista de material
bibliográfico.
La medición es una técnica que se utiliza para determinar el valor numérico de una
propiedad física, comparándola con una cantidad patrón que se ha adoptado como
unidad.
Cuando realiza una medición, el físico o experimentador debe tener mucho cuidado y
producir la mínima perturbación posible en el sistema que tienen en estudio.
Además todas las mediciones poseen algún grado de error experimental debido a las
imperfecciones inevitables del dispositivo de medición. Las limitaciones impuestas por
nuestros sentidos (vista y oído) que registran la información, introducen también un
error experimental. Por tanto, la técnica de medición se diseña de modo que la
perturbación de la cantidad medida sea menor que el error experimental.
DEFINICIONES
Instrumento de medida: dispositivo empleado para determinar el valor o la magnitud de una cantidad o
variable.
Exactitud: la cercanía con la cual la lectura de un instrumento de medida se aproxima al valor verdadero
de la variable medida.
Precisión: una medida de la repetitividad de las mediciones. Dado un valor fijo de una variable, la
precisión es la medida del grado con el cual, mediciones sucesivas difieren una de la otra.
Incertidumbre: grado de exactitud, seguridad o confianza con que fue hecha la medición.
La diferencia entre exactitud y precisión puede aclararse con el siguiente ejemplo. Consideremos un reloj
que además de no marcar la hora oficial, cada hora se adelanta 3 minutos con relación a ésta. Este es un
instrumento que no es ni preciso ni exacto. Ahora, un reloj que ni se adelanta ni se atrasa, pero con
respecto a la hora oficial tiene una diferencia constante de 5 minutos. Este es un instrumento preciso pero
no es exacto. [¿?]
Por último consideremos un reloj que ni se atrasa ni se adelanta y además marca la hora oficial. Este es un
instrumento preciso y exacto.
Notación científica
Orden de magnitud
Se observa que el número 88 se encuentra más cerca de 102 que de 10, por lo tanto su
orden de magnitud es 102. Siendo los de los números 134 y 23 468, 102 y 104
respectivamente
CIFRAS SIGNIFICATIVAS
Muchos de los números que se manejan en la ciencia son el resultado de una medida
y por lo tanto sólo se conocen con cierta incertidumbre experimental. La magnitud de
esta incertidumbre depende de la habilidad del experimentador y del aparato utilizado,
y frecuentemente sólo puede estimarse. Se suele dar una indicación aproximada de la
incertidumbre de una medida mediante el número de dígitos que se utilizan. Por
ejemplo, si decimos que la longitud de una mesa es 2,50 m, queremos indicar que
probablemente su longitud se encuentre entre 2,495 m y 2,505 m; es decir,
conocemos su longitud con una exactitud aproximada de + 0,005 m = + 0,5 cm. Si
utilizamos un metro en el que se puede apreciar el milímetro y medimos esta misma
longitud de la mesa cuidadosamente, podemos estimar que hemos medido la longitud
con una precisión de + 0,5 mm, en lugar de + 0,5 cm. indicamos esta precisión
utilizando cuatro dígitos, como por, ejemplo, 2,503 m, para expresar la longitud recibe
el nombre de cifra significativa todo dígito cuyo valor se conoce con seguridad.
El número 2,50 tiene tres cifras significativas; 2,053 tiene cuatro. El número 0,001 03
tiene tres cifras significativas(los tres primeros no son cifras significativas ya que
simplemente sitúan la coma decimal, en notación científica, este número se escribiría
como 1,03x10-3.
La exactitud de los datos obtenidos en un experimento depende tanto de los instrumentos de medida como
de la calidad del experimentador. Por cuanto todo instrumento de medida tiene un límite de sensibilidad,
es lógico pensar que al medir, por ejemplo el tiempo, con un reloj de pulsera, es imposible obtener una
exactitud de milésimas o millonésimas de segundo. El correcto manejo de los datos obtenidos en un
experimento, en cuanto a su precisión se refiere, se trabaja con las cifras significativas.
Al afirmar que la medición de cierta longitud dio como resultado 15,4 cm, se quiere decir que sobre el
valor de 15 cm tenemos plena certeza, mientras que el 4 decimal es un tanto ambiguo y está afectado por
cierto error. Lo único que se puede decir con seguridad es que el valor obtenido está más cerca de 15 cm
que de 16 cm ó de 14 cm. Acerca de las centésimas no se dice nada. No sabemos si el resultado de la
medición es 15,42 cm ó 15,38 cm, pero sí que este valor se encuentra entre 15,35 cm y 15,45 cm,
presentándose entonces una incertidumbre total de 0,1 cm. Como vemos no es lo mismo escribir 15,4 cm
que escribir 15,40 cm ya que en este caso estamos afirmando que conocemos la longitud con una
exactitud de hasta una centésima, (que es diez veces más exacto que en el caso anterior) y así, la
incertidumbre es ya de una milésima de centímetro, es decir el valor de la longitud se encuentra entre
15,395 cm y 15,415 cm. Las dos cifras 15,4 cm y 15,40 cm implican métodos e instrumentos de medida
que pueden ser diferentes.
De esta manera:
Todo este bloque de cifras contiene la misma información desde el punto de vista experimental. Se dice
por lo tanto que todas ellas tienen el mismo número de cifras significativas que en este caso es de tres (3),
compuesta de dos dígitos ciertos (15) y uno afectado por la incertidumbre (el 4 decimal). Sin embargo el
número total de dígitos no representa necesariamente la precisión de la medición. Por ejemplo la
población de una ciudad se reporta con seis cifras como 260 000. Esto puede significar que el valor
verdadero de la población yace entre 259 999 y 260 001 los cuales tienen seis cifras significativas. En
realidad lo que significa es que la población está más cerca de 260 000 que de 250 000 ó de 270 000. En
notación decimal: ó .
Las cifras significativas de una cantidad, vienen dadas por todos los dígitos medidos
con certeza, más la primera cifra estimada o dígito dudoso. El número de cifras
significativas de una cantidad expresa su precisión.
Suma: La suma de dos o más medidas no debe ser más precisa que la menos precisa de
las medidas.
Cuando se suman o restan números, el número de lugares decimales del resultado debe
ser igual al número más pequeño de lugares decimales de cualquier término de la suma.
123 ,xx +
5,35
_______
128,xx
128,35 no es la respuesta correcta sino 128.
Ejemplo: Se tienen que sumar las siguientes medidas: 2,361 m; 8,16 m 3,1 m.
Matemáticamente hablando, podríamos sumarlas de la siguiente manera,
Resta: La diferencia de dos medidas no debe ser más precisa que la menos precisa de
las mismas.
Ejemplo: Dadas las siguientes medidas 56,38 cm y 5,2 cm, encontrar su diferencia.
Producto: El producto de dos o más medidas no debe tener más cifras significativas
que la medida que tiene el menor número de ellas.
Una regla general valida cuando se manejan diferentes números en una operación de
multiplicación o división es: El número de cifras significativas del resultado de una
multiplicación o división no debe ser mayor que el menor número de cifras
significativas de cualquiera de los factores.
Ejemplo: Calcular la superficie de una pieza rectangular de 4,34 m de largo por 1,2 m
de ancho.
Ejemplo: Una pieza cuadrada tiene una superficie de 2,38 mm2 .Determinar la longitud
de sus lados.
REDONDEO
Reglas de redondeo de números
Hemos visto en los ejemplos anteriores, la necesidad de eliminar dígitos que carecen de
sentido. Esto se conoce con el nombre de redondeo de números, y se aplica según las
siguientes reglas:
También se utiliza la siguiente regla: si la cifra a eliminar es menor que 5, la última cifra
retenida se queda igual. Si la cifra a eliminar es 5 o mayor que 5 entonces se aumenta en
una unidad la última cifra retenida.
Las calculadoras al redondear utilizan este método. Compruébalo.
A continuación se exponen las normas para redondear un número cualquiera a un número dado de cifras
significativas.
retenido descartado
Ejemplo:
REDONDEO A DOS
NUMERO ORIGINAL OBSERVACIONES
CIFRAS
1,86 1,9
1,869 1,9 1,87 (a tres cifras)
1,96 2,0
1,960 2,0
9,96 10
Ejemplo:
Ejemplo:
REDONDEO A DOS
NUMERO ORIGINAL
CIFRAS
1,35 1,4
1,350 1,4
1,55 1,6
REDONDEO A TRES
NUMERO ORIGINAL
CIFRAS
1,9451 1,95
1,94510 1,95
1,94501 1,95
OPERACIONES
Ejemplo:
Conociendo los lados de un rectángulo a=23,975 cm y b=17,03 cm queremos calcular
su área A.
según la calculadora:
Pero si la exactitud con que conocemos el valor del lado es de una milésima de
centímetro y del lado es de una centésima de centímetro, es evidente que el resultado
no puede tener una exactitud de una cien milésima. Por lo tanto la notación correcta,
ateniéndonos a la regla expuesta sería:
2) Al sumar o restar el redondeo debe realizarse de tal manera que el resultado no tenga
más decimales (no cifras significativas) que el número con menor cantidad de
decimales.
Ejemplo:
(según la calculadora)
TEORIA DE ERRORES
El resultado de toda medición siempre tiene cierto grado de incertidumbre. Esto se debe
a las limitaciones de los instrumentos de medida, a las condiciones en que se realiza la
medición, así como también, a las capacidades del experimentador. Es por ello que para
tener una idea correcta de la magnitud con la que se está trabajando, es indispensable
establecer los límites entre los cuales se encuentra el valor real de dicha magnitud. La
teoría de errores establece estos límites.
TIPOS DE ERRORES
El error total es igual a la suma de estos tres tipos de errores. Aun cuando el error
total se pueda minimizar, es imposible eliminarlo del todo debido a que el error de
escala siempre está presente. Por lo tanto, el error total no tiende a cero sino a cierto
valor constante.
Cuando la medición se realiza una sola vez el error está dado por:
A la par con los mencionados existen otros tipos de errores como son por ejemplo los
errores estáticos y los errores dinámicos. Los errores estáticos se originan debido a las
limitaciones de los instrumentos de medida o por las leyes físicas que gobiernan su
comportamiento. En un micrómetro se introduce un error estático cuando se aplica al eje
una fuerza excesiva. Los errores dinámicos se originan debido a que el instrumento de
medida no responde lo suficientemente rápido para seguir los cambios de la variable
medida. Pero cualquier tipo adicional de error se puede clasificar en uno de los grupos
mencionados anteriormente.
MEDICIONES
TIPOS DE MEDIDAS
Medidas directas: cuando la magnitud física a medir es cuantificable con el propio instrumento de
medida (temperatura, longitud, etc.)
Medidas indirectas: cuando para obtener el valor de la magnitud física es indispensable valerse de otros
parámetros medibles (energía cinética, potencia, etc.)
Donde:
la media aritmética
mediciones experimentales
número de mediciones
Aun cuando las mediciones se realizaron con el mismo instrumento cada medición experimental tiene
su error con respecto a .
Si definimos como el máximo error posible entre todos los valores , entonces la forma correcta
de escribir el valor de la magnitud física medida es:
Definimos como:
donde:
mayor lectura
menor lectura
Ejemplo:
Se mide el tiempo de caída de un cuerpo desde cierta altura. Los resultados de las 4 mediciones realizadas
con un cronómetro son:
Redondeando obtenemos:
El error se expresa:
Cuando se divide por la media aritmética entonces la cantidad se denomina error relativo y
no tiene unidades o se expresa en tanto por ciento (%).
Entonces, si
Entonces, si
El error relativo del producto o la división de magnitudes experimentalmente obtenidas, es igual a la suma
de los errores relativos de cada una de esas magnitudes.
Un caso general que cabe destacar es cuando la magnitud a determinar tiene la forma:
Cuando el resultado consiste en elevar la medida experimental a la enésima potencia el error relativo en
este caso es multiplicar el error relativo de la medida experimental n veces.
En el caso más general, supóngase que es una función de las variables independientes
; por tanto
Desviación
DESVIACION DE LA MEDIA (x) o Desviación (discrepancia) o error de cada
determinación:
La desviación es el alejamiento de una lectura dada de la media aritmética del grupo de lecturas. Si es
la desviación de la primera lectura y es para la segunda lectura entonces la desviación de la
media se puede expresar como:
, ,…
Observe que el valor de las desviaciones de la media puede tener valores tanto positivos como negativos y
que la suma algebraica de todas las desviaciones debe ser cero.
Anteriormente vimos que cuando se determina el valor de una magnitud a partir de una
sola medida, el error introducido está asociado a la apreciación de la escala del
instrumento, si se trata por ejemplo de reglas, cintas métricas, transportadores de
ángulos, balanzas, amperímetros y voltímetros analógicos, etc. Recordemos que estos
últimos también llevan asociado una serie de pequeños errores sistemáticos que por sus
características son tratados como aleatorios y los cuales son indicados por el fabricante
mediante el índice de clase del instrumento. Por su parte, si el instrumento es digital
,como amperímetros, voltímetros, termómetros, frecuencímetros, etc., el error lo
considerábamos a partir de la precisión del instrumento, el cual, también viene señalado
por el fabricante.
x=x±δx
El tiempo de caída más probable con su correspondiente error absoluto vendrá dado por
La desviación promedio es una indicación de la precisión de los instrumentos empleados al hacer las
mediciones. Instrumentos altamente precisos darán una desviación promedio baja. Por definición la
desviación promedio es la suma de los valores absolutos de las desviaciones dividida por el número de
lecturas.
bolsillo.
Por definición la desviación estándar de un número finito de datos está dada por:
Si por ejemplo, un gran número de resistencias de 100 de valor nominal se miden y se encuentra que su
valor medio es 100,00 con una desviación estándar . Esto significa que en promedio el 68% de
todas las resistencias tienen valores que yacen entre los límites de 0,20 de la media. Si extendemos el
valor de la desviación hasta el límite de (en este caso 0,20 ), esto incluye ahora el 95% de todos los
casos.
La varianza es una cantidad conveniente en muchos cómputos por cuanto tiene la propiedad aditiva. La
desviación estándar, sin embargo, tiene la ventaja de tener las mismas unidades de la variable haciendo
fácil la comparación de magnitudes.
Ejemplo:
Los valores de 10 mediciones de una resistencia son: 101,2 ; 101,7 ; 101,3 ; 101,0 ; 101,5 ; 101,3 ; 101,2 ;
101,4 ; 101,3 y 101,1 . Calcular la media aritmética y la desviación estándar.
Construyamos una tabla con los valores de la lectura del instrumento, la desviación y la desviación al
cuadrado:
Lecturas Desviación
x d d2
101,2 -0,1 0,01
101,7 0,4 0,16
101,3 0,0 0,00
101,0 -0,3 0,09
101,5 0,2 0,04
101,3 0,0 0,00
101,2 -0,1 0,01
101,4 0,1 0,01
101,3 0,0 0,00
101,2 -0,2 0,04
La media aritmética
La desviación estándar
Una vez representados en el papel los resultados experimentales (puntos ) hay que
ver si los puntos obtenidos obedecen a alguna ley que relacione entre sí las magnitudes
medidas. Si los puntos representados muestran una clara distribución en torno a una
línea recta debemos proceder a trazar la recta. La pregunta es: qué criterio usar para el
trazo? La respuesta la suministra el llamado método de regresión lineal o de mínimos
cuadrados, el cual establece la mejor recta que se ajusta a los datos y minimiza las
discrepancias entre los datos experimentales y la recta.
3) Deben tener en cada uno de los ejes el símbolo de la magnitud representada y las correspondientes
unidades.
5) Deben elegirse escalas adecuadas, para ello, la relación entre la unidad de la magnitud representada y
la unidad de la escala del papel milimetrado deben ser un factor entero sencillo (1, 2, 5, 10 n, donde n es
cualquier número entero)
6) Sobre los ejes dibujados sólo se indican los valores correspondientes a divisiones enteras y
suficientemente espaciadas de la escala elegida; no se escriben los valores de las medidas tomadas.
7) Las escalas de ambos ejes no necesariamente deben ser iguales. Debe buscarse que la escala de cada
eje ocupe todo el papel disponible y cubra tan sólo los intervalos dentro de los cuales se encuentran las
medidas tomadas. Esto quiere decir que en algunos casos, el cero de la escala no coincidirá con el origen
de coordenadas. De esta forma se consigue que la gráfica ocupe todo el papel.
longitud igual a .
9) La línea representativa de la función cuyos puntos se han representado, debe ser continua y debe
promediar todos los puntos experimentales.
EJEMPLOS
1) La base y la altura de un triángulo son respectivamente 20 cm y 30 cm , medidos con una exactitud de
1 mm . Calcular con que exactitud se conoce el área del triángulo y estimar el error absoluto en la medida
de esta área.
2) Calcular el valor de la aceleración de la gravedad y la precisión con que se determina al dejar caer un
cuerpo en un pozo de profundidad 495,210 m 0,005 m . La duración de la caída es de 10,05 s 0,01 s .
, o sea:
aquí hemos despreciado frente a
y así:
3) La resistencia que un conductor metálico presenta al paso de la corriente eléctrica, varía con la
temperatura de dicho conductor. Para rangos de temperatura no muy elevados, esta variación tiene la
forma:
Tenemos que
= 0,001 ,
Cálculo del error sistemático:
= 0,02 ; = 2,009
°C-1
4) La relación que describe el gasto de aire a bajas velocidades a través de un medidor de flujo es:
(datos de calibración)
(medida directamente)
BIBLIOGRAFIA
1) Guía de Laboratorio. Departamento de Física. Universidad Nacional de Ingeniería. 2004
3) http://newton.javeriana.edu.co/articulos/cifra/cifra.htm