SISTEMAS DE ECUACIONES DE EXÁMENES

DE SELECTIVIDAD AÑOS 2000 – 2004

(SOLUCIONES)
 x  2 y  3
1.- Considera el sistema de ecuaciones   x  2z  1
3x  y  7 z   1


(a) [1 punto] Halla todos los valores del parámetro λ para los que el sistema correspondiente tiene
infinitas soluciones.

Para que tenga infinitas soluciones por el teorema de Rouché-Fröbenius, el

Rango (A) = Rango (A*) < 3 = nº de incógnitas.

 
 
 
 2 0 3   2 0

  1 0 2  1   A   1 0 2  12  22  14  2 2  6  7  0 
 
 3  1  7   1 3 1  7

 
  A
  

 A* 
 6  64 1
2  6  7  0    
2  7

Cuando   1 y   7 , Rango (A) = Rango (A*) = 3 = nº de incógnitas. Por teorema de Rouché-

Fröbenius SCD (sistema compatible determinado) Tiene una única solución.

 1

1 2 0 3 1 2 0 3  F2  1 2 0 3  1 2 0 3
  F2  F1   2   
1 0 2  1   0 2 2 2   0 1
F
1 1   0 1 1 1
 3  1  7 2  F3 3F1  0  7  7  7  73  0  1  1  1 F3  F2  0 0 0 0 
       

Rango (A) = Rango (A*) = 2 < nº de incógnitas. SCI (sistema compatible indeterminado) Tiene
infinitas soluciones. Por teorema de Rouché-Fröbenius

  7

 7 2 0 3   1 0 14 1  1 0 14 1 
    F3 3F1  
  1 0  14  1    7 2 0 3   0 2 98 10  
 3  1  7  6  (1)  3  1  7  6  F2  7 F1  0  1  49  9  ( 2 )
     

(1) Cambiamos la fila 2ª con la 1ª que hemos cambiado de signo

(2) Cambiamos la 2ª y 3ª filas cambiando esta última de signo.

1
  1 0 14 1   1 0 14 1 
   
 0 1 49 9    0 1 49 9 
( 2)
 0 2 98 10  F3  2 F2  0 0 0  8 
   

Rango (A) = 2 ≠ Rango (A*) = 3 Por teorema de Rouché-Fröbenius SI (sistema incompatible) No

tiene solución.

(b) [1 punto] Resuelve el sistema para los valores de λ en el apartado anterior.

Vamos a resolverlo en el caso compatible indeterminado.

λ=1

x  2 y  3 x  3  2 y  1  2z 
   x , y, z   1  2 t ,1  t , t 
y  z 1  y  1 z 

(c) [0’5 puntos] Discute el sistema para los restantes valores de λ.

Discutido todo en el apartado (a).

(Ejercicio 4, modelo 1, opción B, año 2000)

2.- Considera el sistema de ecuaciones

3x  2 y  5z  1

 4 x  y  2z  3
 2 x  3 y  az  b


(a) [1’5 puntos] Determina a y b sabiendo que el sistema tiene infinitas soluciones

 
 
 
3 2  5 1 3 2 5
 4 1  2 3   A  4 1  2  3a  8  60  10  18  8a  5a  44  0
 
 3 a b
 2 2 3 a

  A
 

 A* 

44
a
5

44
Si a  , Rango (A) = Rango (A*) = 3 = nº de incógnitas. Por teorema de Rouché-Fröbenius SCD
5
(sistema compatible determinado)

Tiene una única solución.

44
Si a 
5

2
    
 3 2  5 1  4 F 3 F  3 2 5 1  3 2  5 1 
 4 1  2 3    0 5  14  5    0 5  14
1 2  
5 
 44  2 F3  F2   7 F2 5 F3
0 0 0 10b  50 
98
2  3 b 0  7 2b  3  
 5   5 

Para que tenga infinitas soluciones por teorema de Rouché-Fröbenius:

Rango (A) = Rango (A*) = 2 < nº de incógnitas, entonces 10b – 50 = 0 → b = 5.

44
Solución a  y b  5.
5

(b) [1 punto] Resuelve el sistema resultante.

 3 2  5 1  3x  2 y  5z  1
   28
 0 5  14  5    14  3x  2  z  5z  1 
0 0 5 y  14z  5  y  1  z 5
 0 0   5

3 1
 3x  3  z  x  1  z
5 5

Solución: x, y, z   1  t ,1  14t,5t   t  R

(Ejercicio 4, modelo 2 (Septiembre), opción A, año 2000)

3.- Considera la matriz

1 2 1
 
A   1 0
0 1 
 

(a) [1 punto] Halla todos los valores de λ para los que la matriz A no tiene inversa

Para que no tenga inversa el determinante ha de ser cero.

1 2 1
  0
A   1 0      22  2  22  2 1     0   .
  1
0 1 

Son los valores para los que A no tiene inversa

3
 (b) [1’5 puntos] Tomando λ =1, resuelve el sistema escrito en forma matricial.

 x  0
   
A   y   0
 z  0
   
1 2 1  x  0
     
 1 1 0    y    0  , como es un sistema homogéneo tiene solución y como el Rango(A) = 2
0 1 1  z  0
     
tenemos por el teorema de Rouché-Fröbenius que tiene infinitas soluciones.

Tomamos dos filas linealmente independientes, la 2ª y la 3ª.

El sistema a resolver será:

x  y  0 x   y
   Solución : x , y, z    t , t , t   t  R
y  z  0 z  y 

(Ejercicio 4, modelo 3 (Junio), opción B, año 2000)

4.- Considera el sistema de ecuaciones

 x   y    1z  1

 yz  1
 2x  y  z  3


(a) [1 punto] Halla todos los posibles valores del parámetro λ para los que el sistema correspondiente
tiene al menos dos soluciones distintas.

Nos piden cuando es compatible indeterminado.

1   1 1  1   1 1  1   1 1 
  F3  2 F1   F3 (1 2 ) F2  
0 1 1 1   0 1 1 1   0 1 1 1 
 2 1  1  3  0 1  2 1  2  5  0 0 0 2  6 
    

Entonces Rango A = Rango A* =2 < nº de incógnitas cuando 2λ – 6 = 0 → λ = 3.

Por teorema de Rouché-Fröbenius.

(b) [1 punto] Resuelve el sistema para los valores de λ en el apartado anterior.

Resolvamos el ejercicio pedido.

1 3 2 1
  x  3y  2z  1 x  1  3  3z  2z  x  z  2
0 1 1 1    
0 0 0 0 y  z 1  y  1 z  y  1 z
 

 ( x , y, z)  ( t  2,1  t , t ) es la solución.

4
 (c) [0’5 puntos] Discute el sistema para los restantes valores de λ.

Para λ ≠ 3 el sistema es compatible determinado. Por teorema de Rouché-Fröbenius

El Rango A = Rango A* = 3 = nº de incógnitas, una única solución.

(Ejercicio 4, modelo 4, opción B, año 2000)

 x  y  z  0
5.- [2’5 puntos] Discute y resuelve el siguiente sistema según los valores de λ: x  y  z  0
 x  y  z  0

1ª forma: Triangulando por Gauss

 1  1  F F  1  1  1  1 
  2 1  F3 (1  ) F2  
 1 1   F
 F
 0 1     1   0 1    1 
  1 1  3 1  0 1  2 1    0 0 2    2 
    

1 9   2
Sea 2    2  0     .
2   1

2ª forma: Calculando el determinante de la matriz de los coeficientes.

1  1

 1 1        1  1  3   3  3  2 
1 1 

Factoricemos por el método de Ruffini.

  1
3  3  2    1   2   0  
2

  2

Estudiemos para estos valores el sistema homogéneo.

Rango A = Rango A* = 2. Por el teorema de Rouché-Fröbenius. Sistema compatible indeterminado.

1 1 1
 
Sea λ = 1.  0 0 0   x  y  z  0  x , y, z    t  m, t , m   t , m  R
 0 0 0
 

1  2 1 
  x  2 y  z  0 x  y
Sea λ = –2.  0 3  3      ( x, y, z)  ( t , t , t )
0 0   3y  3z  0  yz
 0 

Para λ ≠ 1 y λ ≠ –2 el sistema es compatible determinado pues Rango A = Rango A* = 3 y la solución del

sistema es la trivial (x, y, z) = (0,0,0). Por el teorema de Rouché-Fröbenius.

(Ejercicio 3, modelo 5, opción A, año 2000)

5
 b 1 b  x    2
     
6.- Considera el sistema de ecuaciones escrito en forma matricial  0 b 1    y    0 .
1 b 1   z    2 


(a) [1’5 puntos] Discute el sistema según los valores del parámetro b.

 1 b 1  2 1 b 1 2 
  F3  bF1  
0 b 1 0   0 b 1 0  Sea 1 – b2 = 0 → b = ±1 Estudiemos el sistema para
 b 1 b  2 0 1 b2 0  2  2b 
  
esos valores.

b=1

1 1 1  2
  *
 0 1 1 0  Rango A = Rango A = 2 < nº de incógnitas. Compatible indeterminado.
0 0 0 0 
 

b = –1

1 1 1  2
  *
 0  1 1 0  Rango A = 2 ≠ Rango A = 3. Incompatible.
0 0 0  4
 

b ≠ 1 y b ≠ –1 Rango A = rango A* = 3. Compatible determinado.

(b) [1 punto] Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado.

1 1 1  2
  x  y  z  2 x  2
0 1 1 0      ( x , y, z)  (2, t , t )
0 0 0 0   y  z  0  y  z
 

(Ejercicio 4, modelo 6, opción A, año 2000)

6
7.- [2’5 puntos] Un mayorista de café dispone de tres tipos base, Moka, Brasil y Colombia, para preparar
tres tipos de mezcla, A, B y C, que envasa en sacos de 60 Kg. Con los siguientes contenidos en kilos y
precios del kilo en euros:

Mezcla A Mezcla B Mezcla C

Moka 15 30 12
Brasil 30 10 18
Colombia 15 20 30
Precio (cada Kg.) 4 4´5 4´7

Suponiendo que el preparado de las mezclas no supone coste alguno, cual es el precio de cada uno de los
tipos de café.

15M  30B  15C  60  4  : 15  M  2B  C  16   1 2 1 16 

    F2 3F1
30M  10B  20C  60  4´5  : 10  3M  B  2C  27    3 1 2 27  
F3  2 F1
12M  18B  30C  60  4´7  : 6  2M  3B  5C  47   2 3 5 47 

1 2 1 16   1 2 1 16   1 2 1 16 
    F3 5 F2  
  0  5  1  21   0  1 3 15    0  1 3 15 
 0  1 3 15   0 5 1 21  0 0 16 96 
     

M  2B  C  16 M  16  2·3  6  4 € 
 
 B  3C  15   B  3·6  15  3 €  El precio pedido.
16C  96  C6€ 
 

(Ejercicio 4, modelo 6, opción B, año 2000)

1  2  3  1 x
     
8.- Considera A   0 a 2 , B   0  y X   y
a 1 a  2 1 z
     

(a) [1 punto] Determina el rango de A en función del parámetro a.

El rango es máximo si el determinante de la matriz es distinto de cero.

1 2 3
A  0 a  
2  a a  2   4a  3a 2  2  4a 2  6a  2  2 2a 2  3a  1  0
a 1 a  2
1
3 1 
Resolvamos la ecuación de segundo grado: 2a 2  3a  1  0  a   1
4  2
1
Si a  1 y a  Rango (A) = 3
2

7
 1  2  3 
1  
Si a  1 o a  : A   0 a 2   Existe un menor complementario de orden 2 cuyo
2 a 1 a  2
 
1 2 1
determinante es distinto de cero, este es:  a .Entonces si a  1 o a  Rango (A) = 2.
0 a 2

(b) [0’75 puntos] Discute en función de a el sistema, dado en forma matricial, AX = B.

1  2  3   x  1
     
AX   0 a 2    y  B  0
a 1 a  2  z  1
     

1  2  3 1
 
A  0 a
*
2 0  , es la matriz ampliada.
a 1 a  2 1
 

1
Si a  1 y a  Rango (A) = Rango (A*) = 3 = nº de incógnitas. SCD (sistema compatible
2
determinado) Tiene una única solución. Por teorema de Rouché-Fröbenius

Si a = 1:

1  2  3 1 1  2  3 1 1  2  3 1
     
A  0 1
*
2 0  0 1 2 0  0 1 2 0
F F F F
 1  1  1 1  3 1 0 1 2 0  3 2 0 0 0 0 
    

Como en primer apartado dijimos que Rango (A) es 2, tenemos que:

Rango A = Rango A* = 2 < nº de incógnitas. SCD Sistema compatible indeterminado. Infinitas

soluciones. Por teorema de Rouché-Fröbenius

1
Si a  :
2

 
 
1 2  3 1 1  2  3 1
2 F2  
1
A 0
*
2 0  0 1 4 0
 2  2 F3  F1 
1 3  0 0 0 1 
 1  1
2 2 

Como en primer apartado dijimos que Rango (A) es 2, tenemos que:

Rango A = 2 ≠ Rango A* = 3. SI (Sistema incompatible) No tiene solución. Por teorema de Rouché-

Fröbenius

8
 (c) [0’75 puntos] Resuelve AX = B en los casos en que sea compatible indeterminado.

1  2  3 1
   x  2 y  3z  1
0 1 2 0    x  1 z
0 0   y  2 z  0  y  2 z
 0 0

Solución: (x, y, z) = (1 – t, –2t, t)  t  R .

(Ejercicio 3, modelo 1, opción B, año 2001)

9.- [2´5 puntos] Resuelve el sistema de ecuaciones, dado en forma matricial, AX = –AX + B siendo

 1 0 2 1 x
     
A    1 1 1 , B   4  y X   y .
 3 1 4 1 z
     

Primero juntemos las X: AX + AX = B → 2AX = B, la mejor forma de resolverlo es calculando la matriz

inversa de A:

1 1 1 1
2AX = B → AX  B  A 1 AX  A 1 B  IX  A 1 B  X  A 1 B .
2 2 2 2

Primero veamos si A tiene inversa para ello su determinante ha de ser distinto de cero:

1 0 2
A   1 1 1  4  2  6  1  5 , calculemos la matriz inversa de A por el método de los adjuntos.
3 1 4

1 1 1 1 1 1 1
A 1  Adj(A) t  A 11   3, A 12    7, A 13   4,
A 1 4 3 4 3 1

0 2 1 2 1 0
A 21    2, A 22   2, A 23    1
1 4 3 4 3 1

0 2 1 2 1 0
A 31   2, A 32    3, A 33  1
1 1 1 1 1 1

 3 2  2
1 1  
A   7  2  3
5 
 4 1 1 
 9 
 
 3 2  2 1  9   10 
1 1 1     1    2 
X  A 1 B    7  2  3   4     4  
2 2 5    10   5 
 4 1 1  1  7  7 
 
 10 
9
  9 2 7
Entones la solución del sistema es: ( x , y, z )    , , 
 10 5 10 

(Ejercicio 3, modelo 5, opción A, año 2001)

10.-
(a) [1´5 puntos] Clasifica el siguiente sistema según los valores del parámetro m:

2 x  my  0

 x  mz  m
 x  y  3z  1

 
 
 
2 m 0 0  2 m 0
1 0 m m  A  1 0 m  m 2  2m  3m  m 2  5m  0  m m  5   0
 
 1
1 3 1
 
1 1 3
  A
 


 A* 

m  0

m  5

Si m ≠ 0 y m ≠ 5 Rango (A) = Rango (A*) = 3 = nº de incógnitas. SCD (sistema compatible

determinado) Tiene una única solución. Por teorema de Rouché-Fröbenius

Sea m = 0:

 
 
  0 0 0 0
 2 0 0 0  
1 0 0 0  1 0 0 0
  F1  2 F2  
 1 1 3 1
  1 1 3 1
  A
 

 A* 

Rango A = Rango A* = 2 < nº de incógnitas. SCD Sistema compatible indeterminado. Infinitas

soluciones. Por teorema de Rouché-Fröbenius

Sea m = 5:

 2 5 0 0 0 3  6  2  0 0 0 10 
  F1  2 F3     *
 1 0 5 5    0  1 2 4    0  1 2 4  Rango A = 2 ≠ Rango A = 3. SI
 1 1 3 1  F2  F3  1 1 3 1 
F1  3 F2
1 1 3 1 
    

(Sistema incompatible) No tiene solución. Por teorema de Rouché-Fröbenius

10
 (b) [1 punto] Resuelve el sistema anterior para m = 6.

2 x  6 y  0  2 6 0 0 0 4  6  2  0 0 6 18 
   F1  2 F3    
x  6z  6  1 0 6 6  0 1 3 5   0 1 3 5 
F F
 x  y  3z  1  1 1 3 1  2 3  1 1 3 1  F1  4 F2  1 1 3 1 
      
6z  18 z  3 z  3
  
Nos queda resolver:  y  3z  5   y  9  5   y  4
x  y  3z  1 x  y  9  1 x  12
  

(Ejercicio 3, modelo 6, opción B, año 2001)

11.- [2´5 puntos] En el sector de las aceitunas sin hueso, tres empresas A, B y C, se encuentran en
competencia. Calcula el precio por unidad dado por cada empresa sabiendo que verifican las siguientes
relaciones:

- El precio de la empresa A es 0´6 euros menos que la media de los precios establecidos por B y C.

- El precio dado por B es la media de los precios de A y C.

2 1
- El precio de la empresa C es igual a 2 euros más del precio dado por A más del precio
5 3
dado por B.

BC 
A  0´6  
2
 2A  B  C  1´2 
AC  
B   A  2B  C  0   Si la matriz de los coeficientes tiene un determinante
2  6A  5B  15C  30
2 1  
C  2  A  B
5 3 

distinto de cero lo resolveremos por el método de Cramer:

2 1 1 
 
M   1  2 1  , es la matriz de los coeficientes:
 6 5  15 
 

M  60  6  5  12  10  15  12

Calculemos A, B y C.

1´2 1 1
0 2 1
 30 5  15 36  30  60  6 120
A    10 €
M 12 12

11
 2 1´2 1
1 0 1
6  30  15 7´2  30  60  18 115´2
B    9´6 €
M 12 12

2 1 1´2
1 2 0
6 5  30 120  6  14´4  30 110´4
C    9´2 €
M 12 12

Solución: Precio por unidad de la empresa A: 10 €. Precio por unidad de la empresa B: 9´6 €. Precio por
unidad de la empresa C: 9´2 €

(Ejercicio 3, modelo 1, opción A, año 2002)

12.- [2´5 puntos] Sean:

 1 1    1 0  1   1   2 x
         
A  1 3 2 , B   1  1 2 , b    5 , c   5 , X   y 
 2 1   3  0   0   3   0  z
        
Determina α, si es posible, para que los sistemas de ecuaciones (dados en forma matricial)
AX = b, BX = c
Tengan infinitas soluciones (cada uno de ellos).

Para que tengan infinitas soluciones el rango de A y B deben ser menor que 3 e igual que el de la matriz
ampliada con b y c respectivamente.

 1 1
  0
A  1 3 2  9  4    1  6  3  2  1  2 2  8  2  4  0  
2 1  3   4

Probemos que pasa con la matriz ampliada de A para estos valores:

 1 1  1
 
Sea A    1
*
3 2  5
 2 1  3 3 
 

Con α = 0 tenemos:

 0 1 1  1  0 1 1 1  0 1 1  1
     
  1 3 2  5     1 3 2  5     1 3 2  5  . SCI (infinitas soluciones). Por teorema de
 2 1 3 3  F3  2 F2  0 7 7  7  F3 7 F1  0 0 0 0 
     
Rouché-Fröbenius

Con α = –4 tenemos:
12
  4 1 1  1  0  11  7 19   0  11  7 19 
  F1  4 F2    
  1 3 2  5    1 3 2  5   1 3 2  5  . SI (no tiene solución). Por teorema
 2 5 3 3  F3  2 F2  0 11 7  7  F3  F1  0 0 0 12 
    
de Rouché-Fröbenius

En el caso del sistema AX = b el valor de α es cero.

Veamos ahora con BX = c.

 1 0 1   0

B 1  1 2    2  1  1  2  2  0   1

0  0  2
 1 0 1  2
 
Sea B   1
*
1 2 5 
 0   0 0 


Con α = 0 tenemos:

 1 0 1  2  1 0 1  2
   
 1  1 2 5    0  1 1 3  . SCI (infinitas soluciones). Por teorema de Rouché-Fröbenius
 0 0 0 0  F1  F2  0 0 0 0 
   

1
Con α = tenemos:
2

 1  0 1 0 1
 0 1  2   0 1 0 1 
 1  1 2 5    1  1 2 5  . SI (no tiene solución). Por teorema de
 2 
 1  1 2 5 
 2 F1  F2   2 F3  F1 
 0 1 0 0   0 
1
0 0  0 0 0  1
 2   2  
 
Rouché-Fröbenius

En el caso del sistema BX = c el valor de α es cero.

(Ejercicio 4, modelo 2, opción A, año 2002)

13
13.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones:

x  3y  z  3

2 x  my  z  m
3x  5 y  mz  5 

(a) [1 punto] Determina, si es posible, un valor de m para que el correspondiente sistema tenga una y
sólo una solución.

El sistema debe ser compatible determinado por tanto el determinante de la matriz de los
coeficientes debe ser distinto de cero.

1 3 1
 
A  2 m 1   A  0  m 2  9  10  3m  5  6m  0  m 2  9 m  14  0
3 5 m 


Veamos cuando es cero:

9  25 7
m 2  9m  14  0  m  
2 2

Un valor válido puede ser m = 0.

Ya que m debe ser distinto de 2 y 7.

(b) [1 punto] Determina, si es posible, un valor de m para que el correspondiente sistema tenga al
menos dos soluciones.

Significa compatible indeterminado, es decir que el rango de la matriz ampliada debe ser menor que
el número de incógnitas pero igual al de A, partimos entonces de los dos valores que hemos obtenido
en el apartado anterior.

1 3 1 3 
 
A   2 m 1 m  , es la matriz ampliada.
*

3 5 m 5 
 

Estudiemos el caso: m = 2.

1 3 1 3 1 3 1 3  1 3 1 3 
  F2  2 F1    
A   2 2 1 2  0  4 1  4  0  4 1  4
*

 3 5 2 5  F3 3F1  0  4  1  4  F3  F2  0 0 0 0 
    

Este es válido ya que Rango (A) = Rango (A*) = 2. Por el teorema de Rouché-Fröbenius.

14
 (c) [0´5 puntos] Determina, si es posible, un valor de m para que el correspondiente sistema no tenga
solución.

Veamos que ocurre con el caso que queda por estudiar, m = 7.

1 3 1 3 1 3 1 3  1 3 1 3
  F2  2 F1    
2 7 1 7  0 1 1 1   0 1 1 1
 3 5 7 5  F3 3F1  0  4 4  4  F3  4 F2  0 0 0 0 
     

Que también valdría para el apartado anterior, por tanto no existe ningún m que haga incompatible el
sistema, es decir, sin solución.

(Ejercicio 3, modelo 3 (Septiembre), opción B, año 2002)

m 1 1  x  2
     
14.- Considera A   2 1  m , X   y  y C  1
3 2  2  z 1
    

(a) [1 punto] ¿Para qué valores de m tiene inversa la matriz A?

Para que exista el determinante de A ha de ser distinto de cero.

m 1 1
A  2 1  m  2 m  3m  4  3  2 m 2  4  2 m 2  m  3  0 , resolvamos la ecuación de
3 2 2
1
 1  25 
segundo grado: 2m 2  m  3  0  m   3
4  2
3
La matriz A tiene inversa para m  1 y m  .
2

(b) [1’5 puntos] Resuelve, para m = 2, el sistema de ecuaciones AX = C.

Como A tiene inversa lo haremos con ella:

AX  C  A 1 AX  A 1C  IX  A 1C  X  A 1C

A  24 23  7.

Calculemos la matriz inversa por el método de los adjuntos:

2 1 1 
 
La matriz A queda: A   2 1  2 
 3 2  2
 

1 1 2 2 2 2 1
A 1  Adj(A) t  A 11   2, A 12    2, A 13   1,
A 2 2 3 2 3 2
15
 1 1 2 1 2 1
A 21    0, A 22   7, A 23    7
2 2 3 2 3 2

1 1 2 1 2 1
A 31   1, A 32    6, A 33  4
1 2 2 2 2 1

 2 0 1  2 0 1 2  5 
1 1  1    1 
A    2  7 6  X  A C    2  7 6    1     5
1

7  7    7  1
 1  7 4  1  7 4 1  

5 5 1
La solución del sistema es, por tanto: x , y, z    , , 
7 7 7

(Ejercicio 3, modelo 5, opción A, año 2002)

15.- Considera el siguiente sistema

x  my  z  1 

xyz  m  2
x  y  mz  4 

(a) [1´5 puntos] Clasifícalo según los valores del parámetro m.

 
 
 
1  m 1 1  1 m 1
1 1 1 m  2  A  1 1 1  m  m  1  1  1  m 2  m 2  1  0  m  1
 
1
1

m 4  1 1 m
 A
  

 A *


Si m ≠ ±1 Rango (A) = Rango (A*) = 3 = nº de incógnitas. SCD (sistema compatible determinado)

Tiene una única solución. Por teorema de Rouché-Fröbenius

Estudiemos m = 1:

1  1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1
  F3  F1    
1 1 1 3    0 2 0 2    0 2 0 2 
1 1 1 4  F2  F1  0 2 0 3  F3  F2  0 0 0 1 
     

Rango (A) = 2 ≠ Rango (A*) = 3 SI (sistema incompatible) No tiene solución. Por teorema de
Rouché-Fröbenius

16
 Ahora m = –1.

1 1 1 1  1 1 1 1
  F3  F1  
1 1 1 1    0 0 0 0 
1 1  1 4  F2  F1  0 0  2 3 
   

Rango (A) = Rango (A*) = 2 < nº de incógnitas. SCI (sistema compatible indeterminado) Tiene
infinitas soluciones. Por teorema de Rouché-Fröbenius

(b) [1 punto] Resuélvelo cuando sea compatible indeterminado.

1 1 1 1
  x  y  z  1 3 3 5
0 0 0 0    z    x  y  1 y   x
0 0  2 3  2 z  3 2 2 2
 

 5 3
Solución: x , y, z    t ,  t ,   t  R .
 2 2

(Ejercicio 3, modelo 6, opción A, año 2002)

16.- [2’5 puntos] Determina razonadamente los valores de m para los que el sistema de ecuaciones

2x  y  z  mx 

x  2y  z  my 
x  2 y  4z  mz 
Tiene más de una solución.

2x  y  z  mx  2  m x  y  z  0  2  m 1 1 
   
x  2y  z  my   x  2  m y  z  0   A   1 2m 1  , para que tenga más de
x  2 y  4z  mz  x  2 y  4  m z  0   1
 2 4  m 

una solución el determinante de A debe ser cero.

2m 1 1
1  2  m  4  m   1  2  m  2  2m  2   m  4 
2
A  1 2m
1 2 4m

 
 4  4 m  m 2 4  m   4 m  7  9  16 m  8m 2  m 3  0 , factoricemos:

m  1
2 3
 2 
9  16 m  8m  m  m  1  m  7 m  9  0     7  13 7  13
m  
 2 2
17
Estos valores son los que hacen que el sistema homogéneo tenga infinitas soluciones.

(Ejercicio 3, modelo 2, opción A, año 2003)

17.- Considera el sistema de ecuaciones:

x  my  z   2  2 my 

mx  y  4 z  5  2z 
6 x  10 y  z   1 

(a) [1’5 puntos] Discute las soluciones del sistema según los valores de m.

x  my  z   2  2my  x  my  z  2 
 
mx  y  4z  5  2 z   mx  y  2 z  5 
6 x  10 y  z   1  6 x  10 y  z  1

 
 
 
 1  m 1  2 1 m 1
m 1 2 5   A  m 1 2  1  12 m  10 m  6  20  m 2 
 
6  10  1  1  6  10  1
 
  A
   

 A* 
2  64  5
  m 2  2m  15  0  m  
2 3

Si m ≠ 3 y m ≠ –5 Rango (A) = Rango (A*) = 3 = nº de incógnitas. SCD (sistema compatible

determinado) Tiene una única solución. Por teorema de Rouché-Fröbenius

Sea m = 3:

 1  3  1  2  F 3 F  1  3  1  2  1  3 1  2
  2 1   
3 1 2 5   0 8
F 2F
5 11    0 8
F F
5 11 
 6  10  1  1  3 2  0  8  5  11  3 2  0 0 0 0 
    

Rango (A) = Rango (A*) = 2 < nº de incógnitas. SCI (sistema compatible indeterminado) Tiene
infinitas soluciones. Por teorema de Rouché-Fröbenius

Sea m = –5:

 1 5 1  2 1 5 1  2 1  3 1  2
  F2  5 F1    
 5 1 2 5    0 24  3  5    0 24  3  5 
F 6 F 3F 5F
 6  10  1  1  3 1  0  40 5 11  3 2  0 0 0 8 
    

Rango (A) = 2 ≠ Rango (A*) = 3 SI (sistema incompatible) No tiene solución. Por teorema de
Rouché-Fröbenius

18
 (b) [1 punto] Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado.

1  3 1  2  33  15z 17  7 z
 x  3 y  z  2  x   z  2  x 
   8 8
0 8 5 11   
0 0 0 0  8 y  5z  11  y  11  5z
  8

 17  7 t 11  5 t 
Solución: x , y, z    , ,t  t  R
 8 8 

(Ejercicio 3, modelo 5, opción A, año 2003)

18.- Considera las matrices

1 0 1   1  x
     
A  0 m 3 , B    1  y X   y
4 1  m   3 z
    

(a) [0’75 puntos] ¿Para qué valores de m existe la matriz A-1?

Para que exista inversa el determinante de la matriz debe ser distinto de cero.

1 0 1
 4  4 1
A  0 m 3   m 2  4m  3  0  m  
2 3
4 1 m

La matriz A tiene inversa si m ≠ 1 y m ≠ 3.

(b) [1 punto] Siendo m = 2, calcula A-1 y resuelve el sistema A·X = B.

1 0 1
 
Para m = 2 A es: A   0 2 3   A 1 AX  A 1 B  IX  A 1 B  X  A 1 B
 4 1  2
 

Para este valor A  4  8  3  1 .

1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0
     F2  2 F3  
 0 2 3 0 1 0  0 2 3 0 1 0  0 1 2  4 0 1
 4 1  2 0 0 1  F3  4 F1  0 1 2  4 0 1  (1)  0 0 1  8  1 2 
     

(1) Cambiamos de orden las filas segunda y tercera.

1 0 0  7 1 2   7 1 2 
F1  F3   1
 
  0 1 0 12 2  3   A   12 2  3 
F2  2 F3
0 0 1  8 1 2    8 1 2 
   

19
  7 1 2   1   0 
1
     
X  A B   12 2  3     1   1 
  8  1 2   3    1
     

(c) [0’75 puntos] Resuelve el sistema A·X = B para m = 1.

Con m = 1, como el rango de la matriz A es 2, quitamos la tercera ecuación ya que la primera y la

segunda no son proporcionales, la tercera es 4 veces la primera más la segunda.

 1 0  1  x   1 
      x  z  1 x  1  z
 0 1 3    y     1    
 4 1  1  z   3   y  3 z   1  y   1  3 z
     

Solución: x , y, z   1  t ,1  3t , t   t  R

(Ejercicio 3, modelo 6, opción A, año 2003)

19.- [2’5 puntos] Una empresa cinematográfica dispone de tres salas, A, B y C. Los precios de entrada a
estas salas son de 3, 4 y 5 euros, respectivamente. Un día la recaudación conjunta de las tres salas fue de 720
euros y el número total de espectadores fue de 200. Si los espectadores de la sala A hubieran asistido a la
sala B y los de la sala B a la sala A, se hubiese obtenido una recaudación de 20 euros más. Calcula el
número de espectadores que acudió a cada una de las salas.

3A  4 B  5C  720 

A  B  C  200  Resolvamos, si es posible el sistema por Cramer, para ello det (M) ≠ 0.
3B  4 A  5C  740 

3 4 5
M  1 1 1  15  16  15  20  9  20  3
4 3 5

720 4 5
200 1 1
740 3 5 3600  2960  3000  3700  2160  4000  300
A    100 espectador es
M 3 3

3 720 5
1 200 1
4 740 5 3000  2880  3700  4000  2220  3600  240
B    80 espectador es
M 3 3

3 4 720
1 1 200
4 3 740 2220  3200  2160  2880  1800  2960  60
C    20 espectador es
M 3 3
(Ejercicio 3, modelo 6, opción B, año 2003)
20
20.- Se sabe que el sistema de ecuaciones
x  y  1 

x  z  1 
y  z   
tiene una única solución.

(a) [1'25 puntos] Prueba que α ≠ 0.

El determinante de la matriz de los coeficientes ha de ser distinto de cero veamos que es cero cuando
α = 0.

x  1

x  1   1, t , t   t  R , infinitas soluciones.
yz  0

1  0
1 0       2  0 si   0
0 1 1

(b) [1'25 puntos] Halla la solución del sistema.

Utilicemos el método de Gauss

1  0 1  1  0 1  1  0 1  x  y  1
      
1 0  1   0    0   0 0 2     2 z   2
2

 0 1 1   F2  F1  0 1 1   F2  F3  0 1 1   y  z  
     

 
z  2

    2  2   
 y      Solución : x , y , z    , ,     0
 2 2  2 2 2
  2
2 2

x  1  
 2 2

(Ejercicio 3, modelo 1, opción A, año 2004)

21
21.- [2'5 puntos] Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones

x  3y  z  1

 x  y  2z   1
ax  by  z  4 
tiene al menos dos soluciones distintas.

Estudiemos el sistema y veamos cuando es compatible indeterminado, es decir, cuando los rangos sean
iguales pero menores que 3. Rango A = Rango A*< 3.

1 3 1 1 1 3 1 1  1 3 1 1 
  F2  F1    
  1 1 2  1   0 4 3 0   0 4 3 0 
 a b 1 4  F3 aF1  0 b  3a 1  a 4  a  b 3a F2  4 F3  0 0 3b  5a  4  8  4a 
     

Para que sea compatible indeterminado se debe cumplir al mismo tiempo:

3b  5a  4  0 3b  20  4  0
 b8
 8  4a  0  a  4 

(Ejercicio 3, modelo 2 (Septiembre), opción A, año 2004)

22.-
 3 2 1 
 
(a) [1 punto] Sabiendo que la matriz A   1  4  2  tiene rango 2, ¿cuál es el valor de a?
1 a 1 a 
 

3 2
El determinante de A debe ser cero, ya que:  12  2  10  0
1 4
3 2 1
A  1 4  2  12a  4  a  1  4  6(a  1)  2a  3a  15  0  a  5
1 a 1 a

(b) [1'5 puntos] Resuelve el sistema de ecuaciones

 3 2 1  x  1 
     
1  4  2   y   0 
  1 a  1 a   z    1
     

 3 2 1 1   1 4 2 0  1  4  2 0 
    F2 3F1  
 1  4  2 0    3  2 1 1    0 10 7 1
  1  6  5  1   1  6  5  1 F3  F1  0  10  7  1 F3  F2
     

22
 1  4  2 0  2  14z 2  4z
  x  4 y  2z  0 x  5  2z  0  x  5
  0 10 7 1    
10 y  7 z  1 y  1  7z
0 0  
F3  F2
0 0
  10
 2  4t 1  7 t 
Solución: x , y, z    , , t   t  R.
 5 10 

(Ejercicio 3, modelo 2 (Septiembre), opción B, año 2004)

23.- Considera el sistema de ecuaciones

x  y   

 x  y    1z  1 
x  y  2   

(a) [1'5 puntos] Clasifica el sistema según los valores del parámetro λ.

 
 
 
1  0   1  0
  1   1 1   A   1   1  2   1    1    1 2  1   
 
 1

0   2  1 0
  A
  

 A* 
  1
   1   1  0  
2

  1

Si λ ≠ 1 y λ ≠ –1. Rango (A) = Rango (A*) = 3 = nº de incógnitas. SCD (sistema compatible

determinado) Tiene una única solución. Por teorema de Rouché-Fröbenius

Sea λ = 1:

1 1 0 1  1 1 0 1
  F2  F1  
1 1 0 1    0 0 0 0 
1 1 0 3  F3  F1  0 0 0 2 
   

Rango (A) = 1 ≠ Rango (A*) = 2 SI (sistema incompatible) No tiene solución. Por teorema de
Rouché-Fröbenius

Sea λ = –1:

 1  1 0  1  1  1 0  1
  F2  F1  
1 1  2 1   0 0  2 0 
1 1 0 1  F3  F1  0 0 0 0 
  

Rango (A) = Rango (A*) = 2 < nº de incógnitas. SCI (sistema compatible indeterminado) Tiene
infinitas soluciones. Por teorema de Rouché-Fröbenius

23
 (b) [1 punto] Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado.

 1  1 0  1
   x  y  1
0 0  2 0     x  1  y
0 0    2z  0  z  0
 0 0

Solución: (x, y, z) = (t – 1, t, 0)  tR .

(Ejercicio 3, modelo 3, opción A, año 2004)

24.- Un tendero dispone de tres tipos de zumo en botellas que llamaremos A, B y C. El mencionado tendero
observa que si vende a 1 € las botellas del tipo A, a 3 € las del tipo B y a 4 € las del tipo C, entonces obtiene
un total de 20 €. Pero si vende a 1 € las del tipo A, a 3 € las del B y a 6 € las del C, entonces obtiene un total
de 25 €.
(a) [0'75 puntos] Plantea el sistema de ecuaciones que relaciona el número de botellas de cada tipo
que posee el tendero.
A  3B  4C  20 

A  3B  6C  25 
(b) [1 punto] Resuelve dicho sistema.

5
Si restamos la segunda menos la primera obtengo: 2C = 5, de donde C 
2

Queda entonces: A + 3B +10 = 20 → A = 10 – 3B, entonces la solución será:

A , B, C   10  3t , t , 5 
 tR
 2
(c) [0'75 puntos] ¿Puede determinarse el número de botellas de cada tipo de que dispone el tendero?
(Ten en cuenta que el número de botellas debe ser entero y positivo).
5
El problema es absurdo y no real, puesto que el número de botellas del tipo C es que no es un
2
número entero y positivo, sino racional. Por esto en el apartado (b) no hemos puesto el parámetro t
como número entero positivo sino como número real.

(Ejercicio 3, modelo 3, opción B, año 2004)

25.- Considera el sistema de ecuaciones

mx  2 y  z  2

x  my  m
2 x  mz  0 

(a) [0'5 puntos] Determina los valores de m para los que x = 0, y = 1 y z = 0 es solución del sistema.

Sustituimos esos valores en las tres ecuaciones y comprobamos si se puede encontrar ese m.

m  0  2 1  0  2  2  2
 
0  m 1  m  m  m  Para cualquier m es válida esa solución.
20  m0  0  0  0

24
 (b) [1 punto] Determina los valores de m para los que el sistema es incompatible.

Para que sea incompatible el rango de la matriz de los coeficientes y la ampliada deben ser
diferentes.

m 2 1
m  0
1 m  
0  m 3  2m  2m  m m 2  4  0  
2 0 m m  2

Estudiemos el sistema para esos valores: Los tenemos en el apartado c porque ninguno es
incompatible y todos son compatibles indeterminados.

(c) [1 punto] Determina los valores de m para los que el sistema tiene infinitas soluciones.

Para m = 0:

2y  z  2
 x  0
x  0    x , y, z   0, t ,2  2 t   t  R
  z  2  2y
2x  0

Rango (A) = Rango (A*) = 2 < nº de incógnitas. SCI (sistema compatible indeterminado) Tiene
infinitas soluciones. Por teorema de Rouché-Fröbenius

Sea m = 2:

2 x  2  x  x  2  2  2
2x  2 y  z  2 
 x 
x  2y  2  y  1    x , y, z   2 t ,1  t ,2 t   t  R
2
2 x  2z  0  
z  x 

Rango (A) = Rango (A*) = 2 < nº de incógnitas. SCI (sistema compatible indeterminado) Tiene
infinitas soluciones. Por teorema de Rouché-Fröbenius

Para m = –2:

 2 x  x  2  x  2  2  2
 2x  2 y  z  2  
 y 
x  2y   2  2 y  x  2  y  1    x , y, z   2 t ,1  t ,2 t   t  R
2
2 x  2z  0  
xz 

Rango (A) = Rango (A*) = 2 < nº de incógnitas. SCI (sistema compatible indeterminado) Tiene
infinitas soluciones. Por teorema de Rouché-Fröbenius

(Ejercicio 3, modelo 4, opción B, año 2004)

25
26.- [2'5 puntos] Considera el sistema de ecuaciones

x  3y  z  0

2 x  13 y  2 z  0
a  2 x  12 y  12 z  0 

Determina el valor a para que tenga soluciones distintas de la solución trivial y resuélvelo para dicho valor
de a.

Como es homogéneo siempre es compatible pero será indeterminado cuando la matriz de los coeficientes
tenga un determinante igual a cero.

1 3 1
2  13 2  156  6a  2   24  13a  2   24  72  19a  190  0  a  10
a  2  12 12
x  3y  z  0 x  3y  z  0 
 
2 x  13 y  2 z  0   2 x  13 y  2z  0   4 y  0  y  0  x  z  0  x   z
F3 F F
12 x  12 y  12 z  0  12 x  y  z  0 1 3


Solución: (x, y, z) = (t, 0, –t)  tR

(Ejercicio 3, modelo 5, opción A, año 2004)

27.- Considera el sistema de ecuaciones

mx  y  1 

x  my  2 m  1

(a) [1'5 puntos] Clasifica el sistema según los valores de m.

x  my  2m  1  1  m 2m  1 1  m 2m  1 
     
 F2  mF1  0 m  1 1  2m 2  m 
mx  y  1  m  1 1  
2


Sea m 2  1  0  m  1

Si m ≠ ±1 Rango (A) = Rango (A*) = 3 = nº de incógnitas. SCD (sistema compatible determinado)

Tiene una única solución. Por teorema de Rouché-Fröbenius

Si m  1

1 1 1 
 
 0 0  2   RangoA  1  rangoA  2  Incompatible.
*

 

Si m  1

 1 1  3
 
 0 0 0   RangoA  1  rangoA  Compatible indeterminado.
*

 

x  y  3  x  3  y  x, y   3  t , t 
26
 (b) [1 punto] Calcula los valores de m para los que el sistema tiene una solución en la que x = 3.

x  my  2m  1 3  my  2m  1  my  2m  4  m3m  1  2m  4
   
mx  y  1  3m  y  1  y  3m  1  y  3m  1 

1
 3m 2  m  2m  4  0  1  1  48 
  3m  m  4  0  m   8
2
4
y  3m  1  6  6   3

Para m  1  y  2  x, y   3,2

4
m  y  5  x , y   3,5
3

(Ejercicio 3, modelo 6 (Junio), opción A, año 2004)

27