TRANSFORMADAS DE LAPLACE ING.

RAÚL MORAN

VIII.- TRANSFORMADAS DE LAPLACE

DEF 8-1 𝑆𝐼: 𝐹(𝑡) 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒: 𝑡, 𝑙𝑎 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑡𝑎 𝑝𝑜𝑟: L
{𝐹(𝑡) } ; 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜

La transformada de Laplace se define como Integral Impropia de Primera Especie. Si la Integral es

Convergente para algún valor de: 𝑠 entonces la Transformada de Función: 𝐹(𝑡) existe.

Propiamente la Transformada de Laplace es una Transformación lineal, donde si el Operador Lineal

es: L se definirá con más precisión.

La notación usual de las transformadas de Laplace de las Funciones: 𝐹(𝑡) ; 𝐺(𝑡) ; 𝑌(𝑡)…
respectivamente son: 𝑓(𝑠) , 𝑔(𝑠) , 𝑦(𝑠) …

Las Transformaciones de Laplace permiten la resolución de las Ecuaciones Diferenciales, tal y como
si se tratara de Ecuaciones Algebraicas, como se verá posteriormente.
Ej. 8-1 Por la definición se calcula la Transformada de Laplace de una Función de Variable: 𝑡

𝑆𝑖: 𝐹(𝑡) = 𝑒 𝑎𝑡 Función de Variable: 𝑡 ; 𝑎 es una Constante.

∞
L{𝐹(𝑡) } = 𝑓(𝑠) = ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 𝐹(𝑡) 𝑑𝑡 Definición de la Transformada de Laplace.
∞
L{𝑒 𝑎𝑡 } = 𝑓(𝑠) = ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 𝑒 𝑎𝑡 𝑑𝑡 Reemplazando la Función en: 𝐹(𝑡)
∞
L{𝑒 𝑎𝑡 } = 𝑓(𝑠) = ∫0 𝑒 (𝑎−𝑠)𝑡 𝑑𝑡 Simplificando las exponenciales
Integrando por reglas de integración definida
𝑒 (𝑎−𝑠)𝑡
L{𝑒 𝑎𝑡 } = 𝑓(𝑠) = 𝑎−𝑠
∣∞
0 Reemplazando Extremos, el Primer Término es
cero, siempre y cuando: 𝑎 − 𝑠 < 0 → 𝑎 < 𝑆 , 𝑦𝑎
∞
𝑒 (𝑎−𝑠) 𝑒 (𝑎−𝑠)0
L{𝑒 𝑎𝑡 } = 𝑓(𝑠) = − 𝑞𝑢𝑒 𝑒 −∞ = 0
𝑎−𝑠 𝑎−𝑠
1 1
L{𝑒 𝑎𝑡 } = 𝑓(𝑠) = 0 − 𝑎−𝑠 = 𝑠−𝑎 Simplificando y ordenando, se obtiene la Transformada
de la función.
La Transformación de Laplace se define como una Integral Impropia, (Ya que uno de los Extremos
es infinito), para fines de cálculo se considera:

∞ 𝑃
∫0 𝑒 −𝑠𝑡 𝐹(𝑡) 𝑑𝑡 = lim ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 𝐹(𝑡) 𝑑𝑡 Si un Extremo es infinito, se debe considerar
𝑃→∞
Que el Extremo en el Límite tiende al infinito.
𝐺(𝑡) = lim [𝐺(𝑡) ∣𝑃0 ] = lim [𝐺(𝑃) ] − 𝐺(0) El resultado de la Integral es la Función: 𝐺(𝑡)
𝑃→∞ 𝑃→∞
Donde un Extremo es infinito, se considera
Que tal Extremo en el Límite tiende al Infinito.

En el Ejemplo 8-1 y en todo cálculo posterior se asumirá implícitamente que se aplique el límite.
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VIII-2 CONDICIONES DE EXISTENCIA

Para establecer las Condiciones bajo las cuales existe la Transformada de Laplace, se deben
considerar los siguientes conceptos:
CONTINUIDAD A TRAZOS
DEF 8-2 Una Función es Continua a trazos o seccionalmente continua, en el Intervalo:𝛼 ≤ 𝑡 ≤ 𝛽 ;
siempre y cuando sea posible subdividir el Intervalo en un número
finito Subintervalos, de tal manera sea Continua en cada uno de ellos, poseyendo Límites Laterales,
tanto Izquierda como Derecho.
En la Gráfica se aprecia una Función Continua Y
A trazos en el Intervalo: 𝛼 ≤ 𝑡 ≤ 𝛽 Y(c-)

Note que presenta dos Discontinuidades, pero

En ambos casos los Límites Laterales existen. Y(c+)

En la Discontinuidad: 𝑐 el Límite Lateral Y(β)

Izquierdo es: 𝑌(𝑐 −) el Lateral Derecho es:𝑌(𝑐 +) Y(α)
Y(c-)

)
Y(c-)
α c d β
En: 𝑐 se considera que la Función toma el valor ) α
α
1
de:𝑌(𝑐) = [𝑌(𝑐 −) + 𝑌(𝑐 + ) ] este es un valor promedio entre los límites Laterales.
2

FUNCIÓN DE ORDEN EXPONENCIAL

DEF 8-3 Una función:𝐹(𝑡) es el Orden Exponencial 𝛾, si existen las Constantes Reales: 𝑀 > 0, 𝛾;
Donde para todo:𝑡 > 𝑁 se cumple:
𝑡 𝑡
|𝑒 −𝛾 𝐹(𝑡) | < 𝑀 𝑜 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖é𝑛: |𝐹(𝑡) | < 𝑀𝑒 𝛾 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜: 𝑡 → ∞

Esto significa que la Función:𝐹(𝑡) debe estar limitada por una Función de tipo Exponencial, con
constantes a elección: 𝑀, 𝛾 para hacer cumplir la Desigualdad.
Ej. 8-2 se aprecian Funciones de Orden Exponencial
𝑡
𝐹(𝑡) = 𝑒 3𝑡 => 𝑒 3𝑡 < 𝑀𝑒 𝛾 De Orden Exponencial, basta: 𝑀 > 1 ; 𝛾 > 3
𝑡
𝐹(𝑡) = 𝑡 2 => 𝑡 2 < 𝑀𝑒 𝛾 Función de Orden Exponencial.
𝑒
𝐹(𝑡) = 𝑆𝑒𝑛 5𝑡 => 𝑆𝑒𝑛 5𝑡 < 𝑀𝑒 𝛾 Función de Orden Exponencial.
2 2 𝑡
𝐹(𝑡) = 𝑒 𝑡 => 𝑒 𝑡 < 𝑀𝑒 𝛾 No es de Orden Exponencial, ya que no existen
valore en 𝑀 , 𝛾
que cumplan la Desigualdad.

𝐹(𝑡) = 𝑡𝑡 => 𝑡𝑡 = 𝑒 𝑡𝐿𝑛𝑡 > 𝑀𝑒 𝛾𝑡 No es Función de Orden Exponencial.

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VIII-3 TRANSFORMADAS DE FUNCIONES

Las Transformadas de Laplace de algunas de las principales Funciones son:

𝐹(𝑡) 𝑓(𝑠) 𝐹(𝑡) 𝑓(𝑠)

L1 1 1 L2 𝑎 𝑎
;𝑠 > 0 ;𝑠 > 0
𝑠 𝑠
L3 𝑒 𝑎𝑡 1 L4 𝑎𝑡 1
;𝑠 > 𝑎 ; 𝑠 > 𝐿𝑛 𝑎
𝑠−𝑎 𝑠 − 𝐿𝑛 𝑎
L5 𝑡𝑛 𝑛! L6 𝑡𝑛 (𝑛 + 1)
𝑛+1
;𝑛 ∈ 𝑁 ;𝑛 > 0
𝑠 𝑠 𝑛+1
L7 sen 𝑎𝑡 𝑎 L8 𝑆𝑒𝑛ℎ 𝑡 𝑎
;𝑠 > 0 ; 𝑠 > |𝑎|
𝑠 + 𝑎2
2 𝑠 − 𝑎2
2
L9 cos 𝑎𝑡 𝑠 L10 𝐶𝑜𝑠ℎ 𝑡 𝑎
;𝑠 > 0 ; 𝑠 > |𝑎|
𝑠 2 + 𝑎2 𝑠 2 − 𝑎2

Todas las Fórmulas de esta Tabla, pueden demostrase por la definición. En el APÉNDICE C, se
presenta una extensa Tabla de Transformaciones.
Ej. 8-3 Se demuestra por la definición la Fórmula 1.2
𝑆𝐼: 𝐹(𝑡) = 𝑎 ; 𝑎 ∈ ℝ Si la Función es una Constante.
∞
L{𝐹(𝑡) } = 𝑓(𝑥) = ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 𝐹(𝑡) 𝑑𝑡 Definición de la Transformación de Laplace.

∞ 𝑒 −𝑠𝑡
𝑓𝑥 = ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 𝑎 𝑑𝑡 = 𝑎 ∣∞
0 Integrando. Al reemplazar los Extremos, se debe
−𝑠
considerar
que: 𝑠 > 0 ⟹ 𝑒 −𝑠∗∞ = 𝑒 −∞ = 0 Queda así demostrada la
𝑒 −𝑠∗∞ 𝑒 −𝑠∗0 𝑎 𝑎 𝑎
= 𝑎 −𝑠 − 𝑎 −𝑠 = 0− = −𝑠
= Fórmula 2, de la cual la fórmula L1 es un caso particular.
𝑠 −𝑠
𝑎 La Fórmula L3, se demostró en el Ej. 8-1;
𝑠
la fórmula l4 es la misma tomando: 𝑎 = 𝑒 (𝐿𝑛𝑎)𝑡
𝑡

Ej. 8-4 Se demuestra por la definición la Fórmula L5

La Función es
una potencia
𝑆𝑖: 𝐹(𝑡) = 𝑡 𝑛 ; 𝑛 ∊ ℕ
(n es Natural)
∞ ∞ 𝑒 −𝑠𝑡 ∞ ∞ 𝑒 −𝑠𝑡
L{𝐹(𝑡) } = 𝑓(𝑥) = ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 𝐹(𝑡) 𝑑𝑡 = ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 𝑡 ′′ 𝑑𝑡 = 𝑡 𝑛 −𝑠
∣ 0 − ∫0 −𝑠
𝑛𝑡 𝑛−1 𝑑𝑡
Reiterando pro-
𝑛 ∞ 𝑛−1 −𝑠𝑡 𝑛 𝑛−1 𝑒 −𝑠𝑡 ∞ ∞ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑛−2
= ∫ 𝑡 𝑒 𝑑𝑡 = [𝑡 ∣ 0 − ∫ (𝑛 − 1)𝑡 𝑑𝑡]
𝑠 0 𝑠 −𝑠 0 −𝑠
cedimiento, se
𝑛(𝑛−1) ∞ −𝑠𝑡 𝑛−2 𝑛(𝑛−1)(𝑛−2)…1 ∞ −𝑠𝑡
= 𝑠2
∫0 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 = ⋯ = 𝑡 𝑠𝑛
∫0 𝑒 𝑑 Obtiene una
𝑛(𝑛−1)(𝑛−2)…1 1 𝑛!
= = forma general
𝑠𝑛 𝑠 𝑠𝑛+1

En las Funciones del Tipo: 𝑡 𝑛 ;Para 𝑛 no Natural, pero positivo, se aplica la Función Gamma,
como se aprecia en la Fórmula L6
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Función Trigonométrica,
Ej. 8-5 Se demuestran las Fórmulas L7 y L10 por la definición
usando la Definición.
a) 𝑆𝑖: 𝐹𝑡 = 𝑆𝑒𝑛 𝑎𝑡 ; 𝑎 ∈ ℝ Integrando Por Partes
(Ignorando momentáneamente
∞
L{𝐹(𝑡) } = 𝑓(𝑠) = ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 𝐹(𝑡) 𝑑𝑡 a los extremos).
∞
𝐶𝑜𝑠 𝑎𝑡 𝑠 Volviendo a integrar.
𝑓(𝑠) = ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑆𝑒𝑛 𝑎𝑡 𝑑𝑡 = −𝑒 −𝑠𝑡 − ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 𝐶𝑜𝑠 𝑎𝑡 𝑑𝑡
0 𝑎 𝑎 Ordenando al obtener la misma
𝐶𝑜𝑠 𝑎𝑡 𝑠 −𝑠𝑡 𝑆𝑒𝑛 𝑎𝑡 𝑠 Integral Original, queda
= −𝑒 −𝑠𝑡 − [𝑒 + 2 ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑆𝑒𝑛 𝑎𝑡 𝑑𝑡] demostrada la Fórmula7.
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
𝑎𝐶𝑜𝑠 𝑎𝑡+𝑠𝑆𝑒𝑛 𝑎𝑡 ∞ 𝑎 𝑎 Función Hipotecaria, usando la
= −𝑒 −𝑠𝑡 ∣0 = −0 + 𝑠2 +𝑎2 = 𝑠2 +𝑎2 definición.
𝑠2 + 𝑎2

b) 𝑆𝑖: 𝐹(𝑡) = 𝐶𝑜𝑠ℎ 𝑎𝑡 ; 𝑎 ∈ ℝ Reemplazando la Función, por

∞ su definición en
L{𝐹(𝑡) } = 𝑓(𝑠) = ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 𝐹(𝑡) 𝑑𝑡 Exponenciales.
∞
𝐶𝑜𝑠 𝑎𝑡 𝑠 Simplificando e integrando.
𝑓(𝑠) = ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑆𝑒𝑛 𝑎𝑡 𝑑𝑡 = −𝑒 −𝑠𝑡 − ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 𝐶𝑜𝑠 𝑎𝑡 𝑑𝑡
0 𝑎 𝑎 Por el Primer y Segundo
Términos, respectivamente se
1 ∞ 1 𝑒 (𝑎−𝑠)𝑡 𝑒 −(𝑎+𝑠)𝑡 ∞
= ∫0 [𝑒 (𝑎−𝑠)𝑡 + 𝑒 −(𝑎+𝑠)𝑡 ]𝑑𝑡 = ⦋ + ⦌ ∣0 debe considerar:
2 2 𝑎−𝑠 −(𝑎+𝑠)

1
= ⦋(0 + 0) −
1
+
1
⦌ =
𝑠 𝑠 > 𝑎 ; 𝑠 > −𝑎 ⟹ 𝑠 > |𝑎|
2 𝑎−𝑠 𝑎+𝑠 𝑠2 −𝑎 2

Mediante la Tabla se determina las Transformadas de las Funciones más comunes:

Ej. 8-6 Se determina las Transformadas de Laplace de las siguientes Funciones:
a) 𝐹(𝑡) = 7 Usando la Fórmula L2 de la Tabla,
𝑎 7
𝑆𝑖: L{𝑎} = ⟹ L{7} = tomando 𝑎 = 7 ; válido para 𝑠 > 0
𝑠 𝑠

b) 𝐹(𝑡) = 𝑒 2𝑡 Usando la Fórmula L3 de la Tabla,

1 1
𝑆𝑖: L{𝑒 𝑎𝑡 } = 𝑠−𝑎
⟹ L{𝑒 2𝑡 } = 𝑠−2
tomando 𝑎 = 2 ; válido para 𝑠 > 2

c) 𝐹(𝑡) = 𝑒 −8𝑡 Usando la Fórmula L3 de la Tabla,

1 1
𝑆𝑖: L{𝑒 𝑎𝑡 }
= 𝑠−𝑎
⟹ L{𝑒 −8𝑡 }
= 𝑠+8
tomando 𝑎 = −8 ; válido para 𝑠 > −8

d) 𝐹(𝑡) = 3𝑡 = 𝑒 (𝐿𝑛3)𝑡 Usando la Fórmula L4 de la Tabla,

1 1 1)
𝑆𝑖: L{𝑎 𝑡}
= 𝑠−𝐿𝑛 𝑎
⟹ L{3 𝑡}
= 𝑠−𝐿𝑛 3
considerando que: 3𝑡 = 𝑒 𝐿𝑛(3 = 𝑒 𝑡𝐿𝑛3;
donde: 𝑎 = 3
e) 𝐹(𝑡) = 𝑡 3 Usando la Fórmula L5 de la Tabla,
𝑛! 3! 6
𝑆𝑖: L(𝑡 𝑛 ) = 𝑠𝑛+1 ⟹ L{𝑡 3 } = 𝑠3+1 = 𝑠4
tomando por potencia: 𝑛 = 3
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Ej. 8-7 Se determina las Transformaciones de Laplace de las siguientes Funciones:

a) 𝐹(𝑡) = 𝑆𝑒𝑛 4𝑡 Usando la Fórmula L7 de la Tabla,

𝑎 4
𝑆𝑖: L{𝑆𝑒𝑛 𝑎𝑡} = 𝑠2 +𝑎2 ⟹ L{𝑆𝑒𝑛 4𝑡} = 𝑠2 +42 tomando el valor. 𝑎 = 4

𝑏) 𝐹(𝑡) = 𝐶𝑜𝑠 5𝑡 Usando la Fórmula L9 de la Tabla,

𝑠 4
𝑆𝑖: L{𝐶𝑜𝑠 𝑎𝑡} = 𝑠2 +𝑎 2
⟹ L{𝐶𝑜𝑠 5𝑡} = 𝑠2 +52
tomando el valor. 𝑎 = 5

𝑐) 𝐹(𝑡) = 𝑆𝑒𝑛ℎ 8𝑡 Usando la Fórmula L8 de la Tabla,

𝑎 8
𝑆𝑖: L{𝑆𝑒𝑛ℎ 𝑎𝑡} = ⟹ L{𝑆𝑒𝑛ℎ 8𝑡} = tomando el valor. 𝑎 = 8
𝑠2 −𝑎 2 𝑠2 −82

𝑑) 𝐹(𝑡) = 𝐶𝑜𝑠ℎ 6𝑡 Usando la Fórmula L10 de la Tabla,

𝑠 𝑠
𝑆𝑖: L{𝐶𝑜𝑠ℎ 𝑎𝑡} = 𝑠2 −𝑎2
⟹ L{𝐶𝑜𝑠ℎ 6𝑡} = 𝑠2 −62
tomando el valor. 𝑎 = 5

LA FUNCIÓN GAMMA (Γ)

DEF 8-4 La Función Gamma (Γ), se define como:

De acuerdo a esta definición se verifican las siguientes propiedades:

T1) Γ(𝑛+1) = 𝑛Γ(𝑛) T4) Γ(1⁄2) = √𝜋

𝜋
T2) Γ(𝑛+1) = 𝑛! T5) Γ(𝑝) Γ(1−𝑝) = 𝑆𝑒𝑛 𝑝 𝜋 𝑜 < 𝑝 < 1

Γ(𝑛+1)
T3) Γ(𝑛) = 𝑛
;𝑛 < 0 T6) Γ(𝑛+1) ≈ √2𝜋𝑛𝑛𝑛 𝑒 −𝑛 ; 𝑛 𝐺𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒

Ej. 8-8 Ejemplificando las Propiedades de la Función Gamma:

Γ(4) = 3Γ(3) = 3 ∙ 2 ∙ 𝛤(2) = 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6 Por la Propiedad T1

Γ(4) 𝑆𝑖: Γ(𝑛+1) = 𝑛! ; Γ(4) = 3! = 6 El mismo cálculo por la Propiedad T2

5 5 3 1 15
Γ(7) = 2 Γ(5) = 2 2 2
Γ(1) = 8
√𝜋 Por las Propiedades T1 y T4
2 2 2

Ej. 8-9 Usando la Función Gamma, se calculan Transformadas de Laplace:

𝐹(𝑡) = √𝑡 5
Mediante tablas
Γ(𝑛+1) Γ(7⁄2) 15 1 3.32 o calculadoras,
𝑆𝑖: L{𝑡 𝑛 } = 𝑠𝑛+1
⟹ L{𝑡 5⁄2 } = 𝑠 7⁄2
= 8
√𝜋 𝑠7⁄2 = 𝑠 7⁄2 se calculan los
5 valores de
𝐹(𝑡) = √𝑡 3
Gamma, para 𝑛
Γ(𝑛+1) Γ(8⁄5) 0,8935 no entero.
𝑆𝑖: L{𝑡 𝑛 } = ⟹ L{𝑡 3⁄5 } = =
𝑠𝑛+1 𝑠 8⁄5 𝑠8⁄5
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VIII-4 PROPIEDADES DE TRANSFORMADAS

Asumiendo que las Funciones:𝐹1(𝑡) , 𝐹2(𝑡) satisfacen las Condiciones de Existencia de la
Transformada de Laplace, y que sus correspondientes Transformadas son: 𝐹1(𝑠) , 𝐹2(𝑠) ; Entonces se
verifican las siguientes Propiedades:
Propiedad de la Linealidad de la
P1) L{𝑐1 𝐹1(𝑡) + 𝑐2 𝐹2(𝑡) } = 𝑐1 L{𝐹1(𝑡) } + 𝑐2 L{𝐹2(𝑡) } = 𝑐1 𝑓1(𝑠) + 𝑐2 𝑓2(𝑠) Transformada

P2) L{𝐹(𝑡) } = 𝑓(𝑠) ⟹ L{𝑒 𝑎𝑡 𝐹𝑡 } = 𝑓(𝑠−𝑎) Primera propiedad de la Traslación

P3) L{𝐹(𝑡) } = 𝑓(𝑥) ⟹ 𝐺(𝑡) = [𝐹0(𝑡 − 𝑎) 𝑡>𝑎

𝑡<𝑎⟹ L{𝐺(𝑡) } = 𝑒 −𝑎𝑠 𝑓(𝑡) Segunda Propiedad de la Traslación

1
P4) L{𝐹(𝑡) } = 𝑓(𝑠) ⟹ L{𝐹𝑎𝑡 } = 𝑎 𝑓( 𝑠 ) Propiedad de cambio de Escala
𝑎

P5) L{𝐹(𝑡) } = 𝑓(𝑠) ⟹ L{𝐹′(𝑡) } = 𝑠𝑓(𝑠) − 𝐹(0) Propiedad de la Derivada 𝑆𝑖: 𝐹(0) no
es Continua, pero:lim 𝐹(𝑡) 𝐹(0`)
⟹ L{𝐹(𝑡) } = 𝑠𝑓(𝑠) − 𝐹(0`) 𝑡−0

𝑆𝑖: 𝐹(𝑡) no es Continua en: 𝑎

⟹ L{𝐹(𝑡) } = 𝑠𝑓(𝑠) − 𝐹(0) − 𝑒 −𝑎𝑠 [𝐹(𝑎+) − 𝐹(𝑎− ) ]
La Derivada de Orden: 𝑛
𝑛 𝑛−2
⟹ L{𝐹(𝑡) } 𝑛
= 𝑠 𝑓(𝑠) − 𝑠 𝑛−1
𝐹(0) − 𝑠 𝑛−2
𝐹(0) − ⋯ − 𝑠𝐹(0) − 𝑛−1
𝐹(0)
𝑡 𝑓(𝑠) Propiedad de la Integral
P6) L{𝐹(𝑡) } = 𝑓(𝑠) ⟹ L{∫0 𝐹(𝑢) 𝑑𝑢} =
𝑠

𝑑𝑛 Propiedad de la Multiplicación de
P7) L{𝐹(𝑡) } = 𝑓(𝑠) ⟹ L{𝑡 𝑛 𝐹(𝑡) } = (−1)𝑛 𝑓
𝑑𝑠𝑛 (𝑠) una Función 𝐹(𝑡) por: 𝑡 𝑛
𝐹(𝑡) ∞
P8) L{𝐹(𝑡) } = 𝑓(𝑠) ⟹ L{ 𝑡
} = ∫𝑠 𝑓(𝑢) 𝑑𝑢 Propiedad de la División entre: 𝑡

𝑇
∫0 𝑒 −𝑠𝑡 𝐹(𝑡) 𝑑𝑡 Propiedad de la Transformada de
P9) L{𝐹(𝑡) } = 𝐹(𝑡+𝑇) ⟹ L{𝐹(𝑡) } = 1−𝑒 −𝑠𝑇 Funciones Periódicas

P10) L{𝐹(𝑡) } = 𝑓(𝑠) ⟹ Lim 𝑓(𝑠) = 0 Comportamiento de la

𝑆−∞ Transformada; si, crece:
𝑠
P11) L{𝐹(𝑡) } = 𝑓(𝑠) ⟹ Lim 𝑓(𝑡) = Lim 𝑠𝑓(𝑠)
𝑡−0 𝑆−∞
Propiedad del Valor Final

P12) L{𝐹(𝑡) } = 𝑓(𝑠) ⟹ Lim 𝐹(𝑟) = Lim 𝑠𝑓(𝑠)

𝑡−∞ 𝑆−0
Propiedad del Valor Inicial

La demostración de todas estas propiedades, se efectúan usando la definición de la transformada de

Laplace, según se ejemplifica luego.
En el APÉNDICE C, se detalla una Tabla más amplia, que contempla estas y otras Propiedades de
las Transformaciones de Laplace
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Ej. 8-10 Se demuestran por la definición las Propiedades de la Transformación de Laplace:

a) 𝑆𝑖: L{𝐹1(𝑡) } = 𝑓1(𝑠) ; L{𝐹2(𝑡) } = 𝑓2(𝑠) Propiedad P1, o Propiedad de la

∞
L{𝑐1 𝐹1(𝑡) + 𝑐2 𝐹2(𝑡) } = ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 [𝑐1 𝐹1(𝑡) + 𝑐2 𝐹2(𝑡) ]𝑑𝑡 Linealidad.
∞ ∞
= ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 𝑐1 𝐹1(𝑡) 𝑑𝑡 + ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 𝑐2 𝐹2(𝑡) 𝑑𝑡 Usando la definición, y las
∞ ∞
Propiedades de la Integral de una
= 𝑐1 ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 𝐹1(𝑡) 𝑑𝑡 + 𝑐2 ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 𝐹2(𝑡) 𝑑𝑡 Suma y de Constante por Función.

Demostrada P1.
= 𝑐1 𝐹1(𝑠) + 𝑐2 𝐹2(𝑠)

b) L{𝑒 𝑎𝑡 𝐹(𝑡) } = 𝑓(𝑠−𝑎) Propiedad P2 de las Transformadas, o 1𝑒𝑟𝑎 Propiedad

de la Traslación.
∞
L{𝐹(𝑡) } = ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 𝐹(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑓(𝑠) Definición de la Transformada de Laplace.
∞ Reemplazando y simplificando, el resultado representa
L{𝑒 𝑎𝑡 𝐹(𝑡) } = ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 𝑒 𝑎𝑡 𝐹(𝑡) 𝑑𝑡 a una definición de Función en: 𝑠 − 𝑎
∞
= ∫0 𝑒 −(𝑠−𝑎)𝑡 𝐹(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑓(𝑠−𝑎)

c) L{𝐹(𝑡) } = 𝑓(𝑠) ; 𝐺(𝑡) = [𝐹

0
(𝑡 − 𝑎) 𝑡>𝑎 ⟹ L{𝐺
𝑡<𝑎 (𝑡) } = 𝑒
−𝑎𝑠
𝑓(𝑠) Propiedad P3

∞ 𝑎 ∞ Definiendo sobre la Función:𝐺(𝑡)

L{𝐺(𝑡) } = ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 𝐺(𝑡) 𝑑𝑡 = ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 𝐺(𝑡) 𝑑𝑡 + ∫𝑎 𝑒 −𝑠𝑡 𝐺(𝑡) 𝑑𝑡 descomponiendo por la Función
𝑎 ∞ 𝐺(𝑡)
L{𝐺(𝑡) } = ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 (0)𝑑𝑡 + ∫𝑎 𝑒 −𝑠𝑡 𝐹(𝑡−𝑎) 𝑑𝑡
Por un Cambio de Variable, queda
𝑆𝑖: 𝑢 = 𝑡 − 𝑎 demostrada P3
∞ ∞
L{𝐺(𝑡) } = 0 + ∫0 𝑒 −𝑠(𝑢+𝑎)𝑡 𝐹(𝑢) 𝑑𝑢 = 𝑒 −𝑎𝑠 ∫0 𝑒 −𝑠𝑢 𝐹(𝑢) 𝑑𝑢 = 𝑒 −𝑎𝑠 𝑓(𝑠)

Propiedad P5, de la Derivada de

𝐹(𝑡)
d) L{𝐹(𝑡) } = 𝑓(𝑠) ⟹ L{𝐹`(𝑡) } = 𝑠𝑓(𝑠) − 𝐹(0)
∞ ∞ Por la definición sobre una
∞
L{𝐹`(𝑡) } = ∫𝑎 𝑒 −𝑠𝑡 𝐹`(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑒 −𝑠𝑡 𝐹(𝑡) ∣0 + 𝑠 ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 𝐹(𝑡) 𝑑𝑡 derivada, integrando Por Partes.
Luego reemplazando Extremos.
∞
= 0 − 𝐹(0) + 𝑠 ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 𝐹(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑠𝑓(𝑠) − 𝐹(0)
𝑎

1 𝑓(𝑠)
e) L{𝐹(𝑡) } = 𝑓(𝑡) ⟹ L{∫0 𝐹(𝑢) 𝑑𝑢} = 𝑠 Propiedad P6, de la Integral de 𝐹(𝑡)
𝑡
𝑆𝑖: 𝐺(𝑡) = ∫ 𝐹(𝑢) 𝑑𝑢 ⟹ 𝐺 ′ (𝑡) = 𝐹(𝑡) ; 𝐺(0) = 0 Definiendo una Función 𝐺(𝑡)
9
Aplicando la Propiedad P5 sobre 𝐺(𝑡)
L{𝐺 ′ (𝑡) } = 𝑠 L{𝐺(𝑡) } − 𝐺(0) = 𝑠 L{𝐺(𝑡) } = 𝑓(𝑠)
Por tanto, despejando queda
𝑓(𝑠) 𝑓(𝑠)
L{𝐺(𝑡) } = 𝑠
⟹ L{∫ 𝐹(𝑢) 𝑑𝑢} = 𝑠
demostrada la Propiedad.
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Ej. 8-11 Se demuestran Propiedades de la Transformada de Laplace por la definición.

𝑑𝑛 Propiedad P7, o de Producto por𝑡 𝑛
a) L{𝐹(𝑡) } = 𝑓(𝑡) ⟹ L{𝑡𝑛 𝐹(𝑡) } = (−1)𝑛 𝑑𝑠𝑛 𝑓(𝑠)
∞ Por la definición de la Transformadas de
−𝑠𝑡 Laplace.
𝑓(𝑠) = ∫ 𝑒 𝐹(𝑡) 𝑑𝑢
0 Derivando ambos miembros (Aplicando la
𝑑𝑓 𝑑 ∞ ∞
a −𝑠𝑡 Regla de Leibnitz de Derivación bajo el
= ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 𝐹(𝑡) 𝑑𝑡 = ∫ 𝑒 𝐹(𝑡) 𝑑𝑡 signo integral)
𝑑𝑠 𝑑𝑠 0 0 a𝑠
∞ Reordenando.
= ∫ (−𝑡) 𝑒 −𝑠𝑡 𝐹(𝑡) 𝑑𝑡 = − ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 (𝑡𝐹(𝑡) ) 𝑑𝑡
0 Queda demostrado para el caso de: 𝑛 = 1 (
𝑑𝑓 Derivada de Primer Orden).
= − L{𝑡𝐹(𝑡) } ⟹ L{𝑡𝐹(𝑡) } = − 𝑑𝑠
Procediendo del mismo modo se generaliza
∞ 𝑑𝑛
L{𝑡 𝑛 𝐹(𝑡) } = ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 (𝑡 𝑛 𝐹(𝑡) ) 𝑑𝑡 = (−1)𝑛 𝑑𝑠𝑛 𝑓(𝑠) la Fórmula para Orden: 𝑛

𝐹(𝑡) ∞
b) L{𝐹(𝑡) } = 𝑓(𝑠) ⟹ L{ } = ∫𝑠 𝑓(𝑢) 𝑑𝑢 Propiedad P8,
𝑡
división por 𝑡
𝐹(𝑡) 𝑑
𝑆𝑖: 𝐺(𝑡) = ⟹ 𝐹(𝑡) = 𝑡𝐺(𝑡) ⟹ L{𝐹(𝑡) } = − L{𝐺(𝑡) } Definiendo la
𝑡 𝑑𝑠 Función 𝐺(𝑡) ,
∞ ∞
Despejando,
[L{𝐹(𝑡) }]𝑑𝑠 = −𝑑[L{𝐺(𝑡) }] ⟹ ∫ [L{𝐹(𝑡) }]𝑑𝑠 = ∫ −𝑑[L{𝐺(𝑡) }] aplicando la
𝑠 𝑠
Transformada,
𝐹(𝑡) por la Propiedad
∞
⟹ ∫𝑠 𝑓(𝑠) 𝑑𝑠 = 𝐺(𝑡) = L{ 𝑡
} P5

Reordenando, integrando ambos miembros, eligiendo Extremos, para obtener: 𝐺(𝑡)

Las propiedades de la Transformada de Laplace, permiten un uso más eficaz de la Tabla de

Transformadas de Funciones, generalizando en todos los casos.

Ej. 8-12 Usando Propiedades, se calculan las Transformadas de las siguientes Funciones:

a) 𝐹(𝑡) = 7𝑒 3𝑡 + 4 𝑆𝑒𝑛 9𝑡 Función a Transformar por Laplace

L{𝑐1 𝐹1(𝑡) + 𝑐2 𝐹2(𝑡) } = 𝑐1 L{𝐹1(𝑡) } + 𝑐2 L{𝐹2(𝑡) }
Por la Propiedad P1 de Linealidad

L{𝐹(𝑡) } = L{7𝑒 3𝑡 } + L{4𝑆𝑒𝑛 9𝑡} La Transformada de una Suma es la Suma

de Transformadas y la Transformada de
Constante por Función es igual a la
= 7 L{𝑒 3𝑡 } + 4 L{𝑆𝑒𝑛 9𝑡} Constante por la Transformada de la
Función.
1 9 7 36
= 7 𝑠−3 + 4 𝑠2 +92 = 𝑠−3 + 𝑠2 +92

b) 𝐹(𝑡) = 9𝑡 5 + 5 𝐶𝑜𝑠 4𝑡
L{𝑐1 𝐹1(𝑡) + 𝑐2 𝐹2(𝑡) } = 𝑐1 L{𝐹1(𝑡) } + 𝑐2 L{𝐹2(𝑡) }
Función a Transformar por Laplace

L{𝐹(𝑡) } = L{9𝑡 5}
+ L{5𝐶𝑜𝑠 4𝑡} Por la Propiedad P1 de Linealidad

Usando las Fórmulas de la Transformada

= 9 L{𝑡 5 } + 5 L{𝐶𝑜𝑠 4𝑡} de Laplace para las potencias y el Coseno.
5! 𝑠 1080 5𝑠
= 9 𝑠6 + 5 𝑠2 +42 = 𝑠6
+ 𝑠2 +42
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Ej. 8-13 Se calculan Transformadas de Funciones, usando Propiedades:

Función a Transformar
a) 𝐹(𝑡) = 𝑒 5𝑡+3 + 𝑆𝑒𝑛 (7𝑡 + 3)
Por la Propiedad P1 de Linealidad,
L{𝐹(𝑡) } = L{𝑒 3 𝑒 5𝑡 } + L{𝑆𝑒𝑛 7𝑡 𝐶𝑜𝑠3 + 𝑆𝑒𝑛3 𝐶𝑜𝑠7𝑡} desarrollando el exponencial y la
= 𝑒 3 L{𝑒 5𝑡 } + 𝐶𝑜𝑠3 L{𝑆𝑒𝑛7𝑡} + 𝑆𝑒𝑛3 L{𝐶𝑜𝑠7𝑡} Función Seno.
1 7 𝑠 Aplicando las Fórmulas.
= 𝑒3 + 𝐶𝑜𝑠 3 + 𝑆𝑒𝑛 3
𝑠−5 𝑠2 +72 𝑠2 +72

b) 𝐹(𝑡) = 10𝑡 + 𝑆𝑒𝑛2 𝑡 Función a Transformar por Laplace

1−𝐶𝑜𝑠 2𝑡 Por la Propiedad P1 de Linealidad, usando

L{𝐹(𝑡) } = L{10𝑡 } +L{ } una Identidad Trigonométrica.
2
Aplicando nuevamente la Propiedad P1 de
1 1
= L{10𝑡 } + L{2} − 2
L{𝐶𝑜𝑠 2𝑡} Linealidad

Usando las Fórmulas para una Constantes

1 1 1 𝑠 y el Coseno.
= + −
𝑠−𝐿𝑛 10 2𝑠 2 𝑠2 +22

c) 𝐹(𝑡) = 𝑡 2 − 6𝑡 + 5 Función a Transformar por Laplace

L{𝐹(𝑡) } = L{𝑡 2 } −L{6𝑡} + L{5} Por la Propiedad P1 de Linealidad,

generalizando a mas términos.

= L{𝑡 2 } + 6L{𝑡} +L{5} Aplicando la Fórmula 5, de las

Potencias y simplificando el
2! 1 5 2−6𝑠−5𝑠2 resultado.
= 𝑠3 − 6 𝑠2 + 𝑠 = 𝑠3

d) 𝐹(𝑡) = 𝑒 6𝑡 𝑆𝑒𝑛 3𝑡 Función a Transformar

3 Por la Propiedad P2 y la Fórmula de
L{𝐹(𝑡) } = 𝑓(𝑠) ⟹L{𝑒 𝑎𝑡 𝐹(𝑡) } = 𝑓(𝑠−𝑎) ; L{𝑆𝑒𝑛 3𝑡} = 𝑠2 +32 Transformada del Seno.
3 3 Reemplazando y desarrollando.
L{ 𝑒 6𝑡 𝑆𝑒𝑛 3𝑡} = (𝑠−6)2 +32 = 𝑠2 −12𝑠+45

e) 𝐹(𝑡) = 𝑒 −𝑡 𝐶𝑜𝑠 5𝑡 A Transformar.

𝑠
L{𝐹(𝑡) } = 𝑓(𝑠) ⟹L{𝑒 −𝑡 𝐹(𝑡) } = 𝑓(𝑠−𝑎) ; L{𝐶𝑜𝑠 5𝑡} = 𝑠2 +52 Por la Propiedad P2 y la Fórmula de
Transformada del Coseno.
𝑠+1 𝑠+1
L{ 𝑒 −𝑡 𝐶𝑜𝑠 5𝑡} = (𝑠+1)2 +52 = 𝑠2 +2𝑠+26 Reemplazando y desarrollando.

f) 𝐹(𝑡) = 𝑒 5𝑡 𝑡 2 Función a Transformar.

2!
L{𝐹(𝑡) } = 𝑓(𝑠) ⟹L{𝑒 𝐹(𝑡) } = 𝑓(𝑠−𝑎) ; L{𝑡
𝑎𝑡 2}
= 𝑠2+1 Por la Propiedad P2 y la Fórmula de
2! 2! Transformada de Potencias.
L{𝑒 𝑡5𝑡 2 }
= (𝑠−5)2+1
= (𝑠−5)3
Reemplazando.
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Ej. 8-14 Se determinan las Transformadas de Laplace de algunas Funciones, usando sus
Propiedades
Función a Transformar
a) 𝐹(𝑡) = 𝑆𝑒𝑛 𝑡 + 𝑆𝑒𝑛 5𝑡
1 1
L{𝐹(𝑎𝑡) } = 𝑓
𝑎 (𝑠⁄𝑎)
; L{𝑆𝑒𝑛 𝑡} = 𝑠2 +1 Por la Propiedad P4 de Cambio de
Escala.

L{𝐹(𝑡) } = L{𝑆𝑒𝑛 𝑡} + L{𝑆𝑒𝑛 5𝑡} Partiendo de la Transformada del

1° Término, aplicando la Propiedad
1 1 1 1 5 04 sobre el Sdo Término
= 𝑠2 +12 + 5 (𝑠⁄5)2 +12
= 𝑠2 +12 + 𝑠2 +52
.

b) 𝐹(𝑡) = 𝐶𝑜𝑠 𝑎𝑡 Función a Transformar por Laplace, en

𝑎 realidad demostramos su fórmula.
𝑆𝑖: L{𝑆𝑒𝑛 𝑎𝑡} = ; L{𝐹′ (𝑡) } = 𝑠𝑓(𝑠) − 𝐹(0)
𝑠2 +𝑎 2
Usando la Transformada del Seno y P5
𝑎
L{𝑎 𝐶𝑜𝑠 𝑎𝑡} = 𝑠 − 𝑆𝑒𝑛 0 ∙ 𝑎 Por la Propiedad P5 sobre:𝐹(𝑡) = 𝑆𝑒𝑛 𝑎𝑡, ya
𝑠2 +𝑎 2
𝑠 que: [𝑆𝑒𝑛 𝑎𝑡] = 𝑎 𝐶𝑜𝑠 𝑎𝑡
⟹ L{𝐶𝑜𝑠 𝑎𝑡} = 𝑠2 +𝑎2
.

Función a Transformar por Laplace,

c) 𝐹(𝑡) = 𝐶𝑜𝑠 𝑎𝑡 en realidad demostramos de otro
modo su Fórmula.
𝑆𝑖: L{𝐹 ′ ′ (𝑡) } = 𝑠 2 𝑓(𝑠) − 𝑠𝐹(0) − 𝐹 ′(0)
Por la Propiedad P5, de la Segunda
L{−𝑎2 𝐶𝑜𝑠 𝑎𝑡} = 𝑠 2 𝑓(𝑠) − 𝑠𝐶𝑜𝑠 𝑎 ∙ 0 − (−𝑎 𝑆𝑒𝑛𝑎 ∙ 0) Derivada.

𝑠
.
−𝑎2 𝑓(𝑠) = 𝑠 2 𝑓(𝑠) − 𝑠 ⟹ 𝑓(𝑠) = L{𝐶𝑜𝑠 𝑎𝑡} = 𝑠2 +𝑎2

𝑡
d) 𝐹(𝑡) = ∫0 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 Función a Transformar tras calculas la
Integral, queda una Función de Variable: 𝑡
𝑡 𝑓(𝑠)
𝑆𝑖: L{𝐹(𝑡) } = 𝑓(𝑠) ⟹ L{∫0 𝑓(𝑢) 𝑑𝑢} = 𝑠
Usando P6 o de la Transformada de una
Integral, y la Fórmula de transformada de la
1 Exponencial.
𝑆𝑖: L{𝑒 𝑡 } = 𝑠−1
Reemplazando.
𝑡 1⁄(𝑠−1) 1
L{∫0 𝑒 𝑢 𝑑𝑢} = 𝑠
= 𝑠(𝑠−1) .

𝑡
e) 𝐹(𝑡) = ∫0 𝐶𝑜𝑠 𝑎𝑢 𝑑𝑢 Función a Transformar
𝑡 𝑓(𝑠) 𝑠
𝑆𝑖: L{𝐹(𝑡) } = 𝑓(𝑠) ⟹ L{∫0 𝑓(𝑢) 𝑑𝑢} = 𝑠
; L{𝐶𝑜𝑠 𝑎𝑢} = 𝑠2 +𝑎2 Usando P6 y la
Transformada de Coseno.
𝑡 𝑠⁄(𝑠2 +𝑎 2 ) 1
L{∫0 𝐶𝑜𝑠 𝑎𝑢 𝑑𝑢} = = Al integrar directamente la
𝑠 𝑠2 +𝑎 2 Función, se llega al mismo
𝑡 1 resultado.
∫𝑜 𝐶𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑆𝑒𝑛 𝑡 ⟹ L{𝑆𝑒𝑛 𝑡} = 𝑠2 +1
.
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Ej. 8-15 Se determinan las Transformadas de algunas Funciones, usando sus Propiedades:
a) 𝐹(𝑡) = 𝑡𝑒 𝑡 Función a Transformar
𝑑 1
𝑆𝑖: L{𝐹(𝑡) } = 𝑓(𝑠) ⟹ L{𝑡𝐹(𝑡) } = 𝑑𝑠
; L{𝑒 𝑡 } = 𝑠−1
Usando P7, con 𝑛 = 1 y la
𝑑 1 1
Fórmula de Transformada
L{𝑡𝑒 𝑡 } = 𝑑𝑠 [𝑠−1] = (𝑠−1)2 de la Exponencial,
derivando.

b) 𝐹(𝑡) = 𝑡𝑒 𝑡 𝑒 5𝑡
Usando P7, con 𝑛=2 y
𝑆𝑖: L{𝐹(𝑡) } = 𝑓(𝑠) ⟹ L{𝑡 2 𝐹(𝑡)} = (−1)2 𝑑𝑠
𝑑
𝑓(𝑠) ; L{𝑒 𝑎𝑡 } = 𝑠−𝑎
1
Transformada de Exponencial,
2 compare P-8-13-c.
L{𝑡 2 𝑒 5𝑡 } = (−1)2 𝑑𝑠
𝑑
2
1 1
[𝑠−5] = (𝑠−1)2 = (𝑠−5)3
2

𝑆𝑒𝑛 𝑡
c) 𝐹(𝑡) = 𝑡

L{𝑆𝑒𝑛 𝑡} = 𝑠21+1
𝐹(𝑡) ∞
𝑆𝑖: L{𝐹(𝑡) } = 𝑓(𝑠) ⟹ L{ } = ∫𝑠 𝑓(𝑢) 𝑑𝑢 ;
𝑡 Usando P8, y la Fórmula de
L (
𝑆𝑒𝑛 𝑡
𝑡
) =
∞ 1
∫𝑠 𝑢2 +1 𝑑𝑢 = 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑢 ∣∞
𝜋
𝑠 = 2 − 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑠 = 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
1
𝑠
Transformada del Seno.

Integrando.

d) 𝐹(𝑡) = 𝐿𝑛 𝑡
∞ ∞
𝑆𝑖: Γ(𝑟) = ∫0 𝑢𝑟−1 𝑒 −𝑢 𝑑𝑢 ⟹ Γ(𝑟) = ∫0 𝑣 𝑟−1 𝑒 −𝑢 𝐿𝑛 𝑢 𝑑𝑢
Función 𝐿𝑛 𝑡
∞ ∞
Usando a Gamma
Γ(1) ` = ∫ 𝑒 −𝑢 𝐿𝑛 𝑢 𝑑𝑢 ⟹ 𝑆𝑖: 𝑢 = 𝑠𝑡 ⟹ Γ(1) ` = 𝑠 ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 [𝐿𝑛 𝑠 + 𝐿𝑛𝑡]𝑑𝑡 derivando para: 𝑟
0 0
Cambio de
L{𝐿𝑛 𝑡} = ∫0∞ 𝑒 −𝑠𝑡 𝐿𝑛 𝑡 𝑑𝑡 =
𝐹(𝑡) ∞
⟹ L{ 𝑡
} = Γ(1) ` − 𝐿𝑛𝑠 ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 Variable. 𝛾 es la
constante de Euler

L{𝐿𝑛 𝑡} = Γ(1) ` − 𝐿𝑛𝑠

𝑠
=−
𝛾+𝐿𝑛 𝑠
𝑠
; Γ(1) ` = 𝛾 = 0.5772156

e) 𝐹(𝑡) = 𝑆𝑒𝑛√𝑡
3 5 7
(√𝑡) (√𝑡) (√𝑡)
𝑆𝑖: 𝑆𝑒𝑛√𝑡 = √𝑡 − + − +⋯
3! 5! 7! Desarrollando por Serie
Mc-Laurin.
𝑡 3⁄2 𝑡 5⁄2 𝑡 7⁄2
𝑆𝑒𝑛 𝑡 1⁄2 = 𝑡 1⁄2 − + − +⋯ Ordenando la serie
3! 5! 7! obtenida.
⁄ ⁄ ⁄
𝑡3 2 𝑡5 2 𝑡7 2
L{𝑆𝑒𝑛√𝑡} = L{𝑡 1⁄2
− + − + ⋯} Aplicando la Transformada
sobre la Serie desarrollada.
3! 5! 7!
Usando la Propiedad de
Γ(3⁄2) Γ(5⁄2) Γ(7⁄2) Γ(9⁄2) Linealidad, se aplica la
= − + − +⋯ Transformación sobre cada
𝑠 3⁄2 𝑠 5⁄2 𝑠 7⁄2 𝑠 9⁄2
Término.

√𝑥 (1⁄22 𝑠) (1⁄22 𝑠)2 (1⁄22 𝑠)3

= [1 − − + − ⋯]
2𝑠 3⁄2 1! 2! 3!

√𝜋 2 √𝜋
= 3 ⁄2
𝑒 −1/2 𝑠 = 𝑒 −1/4𝑠
2𝑠 2𝑠 3/2
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VIII-5 ANTITRANSFORMADA DE LAPLACE

DEF 8-5 La Antitransformada o Transformada Inversa de Laplace de la Función:𝑓(𝑥) se denota
por: ℒ −1 {𝑓(𝑡) } ; es la Función: 𝐹(𝑡) ; se define:

Significa que si la Transformada de Laplace de 𝐹(𝑡) es 𝑓(𝑠) ; entonces la Antitransformación de 𝑓(𝑠)

es 𝐹(𝑡) . El Operador Antitransformada de Laplace es ℒ −1
Ej. 8-16 Se ejemplifica la definición de la Antitransformadas de Laplace:
1 La Transformada de Laplace de la Función 𝐹(𝑡) de Variable: 𝑡 es la Función:
ℒ{𝑒5𝑡 } =
𝑠−5 𝑓(𝑠) de Variable 𝑠

1 La Antitransformada de Laplace de una Transformada es la misma Función

ℒ −1 { } = 𝑒 5𝑡 original.
𝑠−5
TEO 8-2 𝑆𝑖: 𝐹(𝑡) 𝑒s una Función Continua a trazos en cada Intyervalo 0 ≤ 𝑡 𝑁siendo de Orden

Exponencial para 𝑡 > 𝑁 Entonces la Antitransformada de Laplace ℒ −1 {𝑓(𝑡) } = 𝐹(𝑡) es única.

Las Antitransformadas de las principales Funciones se resumen en la siguiente Tabla:

𝑓(𝑆) 𝐹(𝑡) 𝑓(𝑠) 𝐹(𝑡)

A1 1 1 A2 𝑎 𝑎
; 𝑎∊ℝ
𝑠 𝑠
A3 1 𝑒 𝑎𝑡 A4 1 𝑎𝑡
𝑠−𝑎 𝑠 − 𝐿𝑛 𝑎
A5 𝐼 𝑡 𝑛−1 A6 1 𝑡 𝑛−1
; 𝑛∈ℕ ; 𝑛>0 ;
𝑠𝑛 (𝑛 − 1)! 𝑠𝑛 𝛤(𝑛)
A7 1 𝑆𝑒𝑛 𝑎𝑡 A8 1 𝑆𝑒𝑛ℎ 𝑎𝑡
𝑠 + 𝑎2
2 𝑎 𝑠 𝑎2
2 𝑎
A9 𝑠 𝐶𝑜𝑠 𝑎𝑡 A10 𝑠 𝐶𝑜𝑠ℎ 𝑎𝑡
𝑠 2 + 𝑎2 𝑠 2 − 𝑎2

Todas las Fórmulas de esta Tabla, se basan en la Tabla de Fórmulas de Transformadas Laplace,
antes demostradas.
En el APÉNDICE C, se tiene una amplia tabla de Transformadas y Antitransformadas
Ej. 8-17 Se determinan algunas Antitransformadas de Laplace:
7 Aplicando la Fórmula 2, o
a) ℒ −1 {𝑠 } Antitransformada que determina
constantes, considerando que la
𝑎 7 constante es: 𝑎 = 7
ℒ −1 { 𝑠 } = 𝑎 ⟹ ℒ −1 {𝑠 } = 7
Aplicando la Fórmula 3, Fórmula
−1 1
b) ℒ {𝑠−4} que determina Exponenciales,
considerando que la constante es:
𝑎=4
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1 1
ℒ −1 {𝑠−𝑎} = 𝑒 𝑎𝑡 ⟹ ℒ −1 {𝑠−4} = 𝑒 4𝑡
1
c) ℒ −1 {𝑠+3}
Aplicando la Fórmula 3, Fórmula
−1 𝐼 𝑎𝑡 −1 1 −3𝑡 que determina Exponenciales,
ℒ {𝑠−𝑎} = 𝑒 ⟹ℒ {𝑠+3} = 𝑒 considerando que la constante es:
𝑎 = −3
1
d) ℒ −1 {𝑠−𝐿𝑛 4} Aplicando la Fórmula 3, Fórmula
que determina Exponenciales de
𝐼 1 base:𝑎 considerando que tal base es:
ℒ −1 {𝑠−𝐿𝑛𝑎} = 𝑎𝑡 ⟹ ℒ −1 {𝑠−𝐿𝑛 4} = 4𝑡
𝑎=4
1
e) ℒ −1 {𝑠4 }
Aplicando la Fórmula 5, válida para
−1 1 𝑡 𝑛−1 −1 1 𝑡 4−1 𝑡3 potencias: 𝑛 Enteras y positivas
ℒ {𝑠𝑛 } = (𝑛−1)!
⟹ℒ {𝑠4 } = = considerando que la potencia es: 𝑛 = 4
3! 6

1
f) ℒ −1 { 𝑠}
√
Aplicando la Fórmula 6, válida para
𝐼 𝑡 𝑛−1 1 𝑡 −1/2 𝑡 −1/2 potencias: 𝑛 no Enteras y positivas
ℒ −1 {𝑠𝑛 } = ⟹ ℒ −1 {𝑠1⁄2 } = 𝛤 = considerando que la potencia es: 𝑛 = 1⁄2
𝛤(𝑛) (1/2) √𝜋

1
g) ℒ −1 {𝑠2 +32 }
Aplicando la Fórmula 7
−1 1 𝑆𝑒𝑛 𝑎𝑡 −1 1 𝑆𝑒𝑛 3𝑡
ℒ {𝑠2 +𝑎2 } = ⟹ℒ {𝑠2 +32 } = Considerando que la constante es:
𝑎 3
𝑎=3
𝑠
h) ℒ −1 {𝑠2 +5}
Aplicando la Fórmula 9
𝑠 𝑠
ℒ −1 {𝑠2 +𝑎2 } = 𝐶𝑜𝑠 𝑎𝑡 ⟹ ℒ −1 { } = 𝐶𝑜𝑠√5𝑡 Ordenando la Constante, para que
𝑠2 +√52
tenga la forma de la Fórmula
𝑠
i) ℒ −1 {𝑠2 −1}
Aplicando la Fórmula 10
𝑠 1
ℒ −1 {𝑠2 −𝑎2 } = 𝐶𝑜𝑠ℎ ⟹ ℒ −1 {𝑠2 −1} = 𝐶𝑜𝑠ℎ 𝑡 Considerando que la constante es:
𝑎=1
Se han calculado las Antitransformadas, usando la Tabla anterior, sin embargo, para generalizar el
uso de la Tabla, es preciso contar con las Propiedades de la Antitransformada.
PROPIEDADES DE LA ANTITRANSFORMADA
Asumiendo que las Funciones: 𝐹𝐼(𝑡) , 𝐹2(𝑡) satisfacen las condiciones de existencia de la
Transformada de Laplace, se verifican las siguientes Propiedades:

P1) ℒ −1 {𝑐1 𝑓1(𝑠) + 𝑐2 𝑓2(𝑠) } = 𝑐1 ℒ −1 {𝑓1(𝑠) } + 𝑐2 ℒ −1 {𝑓2(𝑠) } = 𝑐1 𝐹1(𝑡) + 𝑐2 𝑓2(𝑡) Propiedad de la Linealidad

P2) ℒ −1 {𝑓(𝑠) } = 𝐹(𝑡) ⟹ ℒ −1 {𝑓(𝑠−𝑎) } = 𝑒 𝑎𝑡 𝐹(𝑡) 1𝑒𝑟𝑎 P. de Traslación

P3) ℒ −1 {𝑒 −𝑎𝑠 𝑓(𝑠) } = 𝐺(𝑡) = [𝐹0 (𝑡 − 𝑎) 𝑡>𝑎

𝑡<𝑎
2𝑒𝑟𝑎 P. de Traslación
Propiedad del Cambio de
Escala
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P4) ℒ −1 {𝑓(𝑠) } = 𝐹(𝑡) ⟹ ℒ −1 {𝑓( 𝑠 ) } = 𝑎𝐹(𝑎𝑡)

𝑎
Propiedad de la Derivada
−1 (𝑛) 𝑛 𝑛
P5) ℒ {𝑓(𝑠) } = (−1) 𝑡 𝐹(𝑡) de 𝑓/𝑠)

P6) ℒ −1 {𝑓(𝑠) } = 𝐹(𝑡) ⟹ ℒ −1 {𝑓(𝑆) } = 𝐹 ′(𝑡) 𝑆𝑖: 𝐹(0) = 0

Propiedad del producto
⟹ℒ −1
{𝑠𝑓(𝑠) } = 𝐹 ′(𝑡) + 𝐹(0) 𝛿(𝑡) 𝑆𝑖: 𝐹(0) ≠ 0 por: 𝑠 , 𝑠2 , 𝑠𝑛 que
determina Derivadas de
𝐹(𝑡)
⟹ℒ −1 {𝑠 2 𝑓(𝑠) } = 𝐹 ′′(𝑡) 𝑆𝑖: 𝐹(0) = 𝐹 ′(0) = 0
𝑛−2 𝑛−1 𝑛
⟹ℒ −1 {𝑠 𝑛 𝑓(𝑠) − 𝑠 𝑛−1 𝐹(0) − 𝑠 𝑛−2 𝐹(0) − ⋯ − 𝑠𝐹(0) − 𝐹(0) } = 𝐹(𝑡)
𝑡 𝐹(𝑡) Propiedad de la Integral
P7) ℒ −1 {𝑓(𝑠) } = 𝐹(𝑡) ⟹ ℒ −1 {∫0 𝑓(𝑢) 𝑑𝑢} = 𝑡
Propiedad de la división entre 𝑠 ,
−1 𝑓(𝑠) 𝑡
P8) ℒ {𝑓(𝑠) } = 𝐹(𝑡) ⟹ ℒ −1 { 𝑠 } = ∫0 𝑓(𝑢) 𝑑𝑢 determina una Integral.

𝑓(𝑠) 𝑡 𝑡 𝑡 (𝑡−𝑢)𝑛−1 Propiedad de la división

P9) ℒ −1 {𝑓(𝑠) } = 𝐹(𝑡) ⟹ ℒ −1 { 𝑠𝑛 } = ∫0 … . . ∫0 𝑓(𝑢) 𝑑𝑢𝑛 = ∫0 (𝑛−1)!
𝐹(𝑢) 𝑑𝑢 entre 𝑠 𝑛

1 𝑇 Propiedad de Funcione
P10) ℒ −1 {𝑓(𝑠) } = 𝐹(𝑡) ⟹ ℒ −1 {1−𝑒 𝑠𝑇 ∫0 𝑒 −𝑠𝑢 𝐹(𝑢) 𝑑𝑢} = 𝐹(𝑡) = 𝐹(𝑡+𝑇) Periódicas

P11) ℒ −1 {𝑓(𝑠) } = 𝐹(𝑡) ; ℒ −1 {𝑔(𝑠) } = 𝐺(𝑡) Propiedad del Producto que

determina la Convolución
𝑡
⟹ ℒ −1 {𝑓(𝑠) 𝑔(𝑠) } = ∫0 𝐹(𝑢) 𝐺(𝑡−𝑢) 𝑑𝑢 = 𝐹 ∗ 𝐺

La demostración de estas Propiedades, se efectúa usando la definición de la Antitransformada

de Laplace, en particular usando las Propiedades mismas de las Transformadas.
Usando la Tabla y las Propiedades, se determinan las Antitransformadas de las Funciones.
Ej. 8-18 Se determinan la Antitransformada de Laplace de la Función:
8 7𝑠
a) ℒ −1 { + 𝑠2 +52 } Para la Antitransformada,
𝑠−2
se usa la Propiedad de
ℒ −1 {𝑐1 𝐹1(𝑡) + 𝑐2 𝐹2(𝑡) } = 𝑐1 ℒ −1 {𝐹1(𝑡) } + 𝑐2 ℒ −1 {𝐹2(𝑡) } Linealidad (P1) y las
8 7𝑠 1 𝑠
ℒ −1 { + 2 2 } = 8ℒ −1 { } + 7ℒ −1 { 2 } Fórmulas 3 y 9 de la Tabla
𝑠−2 𝑠 +5 𝑠−2 𝑠 + 52 de Antitransformadas
= 8𝑒 2𝑡 + 7 𝐶𝑜𝑠 5𝑡 anterior.
Ej. 8-19 Se calculan las Antitransformadas de las siguientes Funciones:
𝑠−3 Por P2 (Primera de Traslación) y usando la
a) ℒ −1 {𝑠2 −6𝑠+13} Fórmula 9 de la Tabla de Antitransformadas.
𝑠
ℒ −1 {𝑓(𝑠−𝑎) } = 𝑒 𝑎𝑡 𝐹(𝑡) ; ℒ −1 { 2 } = 𝐶𝑜𝑠 𝑎𝑡 Completando Cuadrados en el Denominador
𝑠 + 𝑎2 para llegar a la forma de la Fórmula 9 (Del
𝑠−3 (𝑠 − 3)
ℒ −1 { 2 } = ℒ −1 { } Coseno) de Antitransformadas.
𝑠 − 6𝑠 + 13 (𝑠 − 3)2 + 22
= 𝑒 3𝑡 𝐶𝑜𝑠 2𝑡

Por P2
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7𝑠−17
b) ℒ −1 {𝑠2 −6𝑠+34}
𝑠 1 𝑆𝑒𝑛 𝑎𝑡
ℒ −1 {𝑓(𝑠−𝑎) } = 𝑒 𝑎𝑡 𝐹(𝑡) ; ℒ −1 { 2 } = 𝐶𝑜𝑠 𝑎𝑡; ℒ −1
{ } =
𝑠 + 𝑎2 𝑠 2 + 𝑎2 𝑎
7𝑠 − 17 7(𝑠 − 3) + 4 (𝑠 − 3) 1
ℒ −1 { } = ℒ −1 { } = ℒ −1 {7 +4 }
𝑠2 − 6𝑠 + 34 2
(𝑠 − 3) + 5 2 2
(𝑠 − 3) + 5 2 (𝑠 − 3)2 + 52
𝑆𝑒𝑛 5𝑡
= 7𝑒 3𝑡 𝐶𝑜𝑠 5𝑡 + 4𝑒 3𝑡 5

1
c) ℒ −1 {(𝑠−8)3 } Por la Propiedad P2 (Primera de
2 Traslación) y usando la fórmula 5 de la
1 𝑡 1
ℒ −1 { 3
} = 𝑒 8𝑡 = 𝑡 2 𝑒 8𝑡 Tabla de Antitransformadas.
(𝑠 − 8) 2! 2
𝑠 Por la P3 (Segunda de Traslación) y
d) ℒ −1 {𝑒 −5𝑡 𝑠2 +32 } usando la Fórmula 9 de la Tabla de
𝑆𝑖: ℒ −1 {𝑒 −𝑎𝑠 𝑓(𝑠) } = 𝐹(𝑡−𝑎) ; 𝑡 > 𝑎 Antitransformadas.

La validez es para: 𝑡 > 5; en otro

𝑠
ℒ −1 {𝑒 −5𝑡 𝑠2 +32 } = 𝐶𝑜𝑠 3(𝑡 − 5) = 𝐶𝑜𝑠 (3𝑡 − 15) ; 𝑡 > 5 caso es cero.

Por la Propiedad P4 del Cambio de Escala y la

−1 1 Fórmula 3 de la Tabla de Antitransformadas
e) ℒ {𝑠 }
−5 (De la Exponencial como resultado).
3
−1 −1 1
𝑆𝑖: ℒ {𝑓(𝑠 ) } = 𝑎 𝐹(𝑎𝑡) ; ℒ { } = 𝑒𝑎𝑡 Reemplazando Simplificando es posible hallar
𝑎 𝑠−𝑎 el resultado de un modo más directo.
1
ℒ −1 { 𝑠 } = 3𝑒 5(3𝑡) = 3𝑒 15𝑡
−5 Por P5 de Derivadas de
3
𝑓(𝑠)
1
f) ℒ −1 {(𝑠−𝑎)3 } La función 𝑓(𝑠) puede
expresarse como la
−1 −1 𝑑𝑛 Segunda Derivada de
𝑆𝑖: ℒ {𝑓(𝑠) } = 𝐹(𝑡) ; ℒ { 𝑛 𝑓(𝑡) } = (−1)𝑛 𝑡𝑛 𝐹(𝑡) otra Función.
𝑑𝑠
1 1 𝑑2 1 1 1
ℒ −1 { 3
} = ℒ −1
{ 2
} = (−1)2 𝑡 2 𝑒 𝑎𝑡 = 𝑡 2 𝑒 𝑎𝑡
(𝑠 − 𝑎) 2 𝑑𝑠 𝑠 − 𝑎 2 2

Ej. 8-20 Usando Propiedades de las Anti transformadas se calculan algunas:

𝑠 Por P6 de Derivadas de
a) ℒ −1 {𝑠2 +72 } 𝑓(𝑡)

−1 −1 𝑠 Calculando una
𝐷𝑒: ℒ {𝑠𝑓(𝑡) } = 𝐹 ′(𝑡) ; 𝑆𝑖: 𝐹(0) = 0 ; ℒ { 2
} = 𝑆𝑒𝑛 7𝑡 Antitransformada en
+7 𝑠2 base a otra Fórmula
𝑠 1 7 1 (La de su Derivada)
ℒ −1 { 2 } = ℒ −1 {𝑠 2 } = [7 𝐶𝑜𝑠 7𝑡] = 𝐶𝑜𝑠 7𝑡
𝑠 + 72 7 𝑠 + 72 7
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𝑠 Por P8 de división entre: 𝑠 y

b) ℒ −1 { } tomando la Antitransformada
𝑠(𝑠2 +12 )
𝑡 para Seno, que luego deberá
𝑓(𝑠) 1
𝑆𝑖: ℒ −1 { } = ∫ 𝐹(𝑢) 𝑑𝑢 ; ℒ −1 { 2 } = 𝑆𝑒𝑛 𝑡 Integrarse.
𝑠 0 𝑠 + 12
𝑡 Reemplazando e integrando.
1
ℒ −1 { 2 } = ∫ 𝑆𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = (−𝐶𝑜𝑠 𝑢) [𝑡0 = 1 − 𝐶𝑜𝑠 𝑡
𝑠(𝑠 + 12 ) 0
Por P8
−1 𝑠 Reordenando
c) ℒ {𝑠(𝑠2 +12 )} para aplicar la
𝑓(𝑠) 𝑡
1 Propiedad de
𝑆𝑖: ℒ −1 { } = ∫ 𝐹(𝑢) 𝑑𝑢 ; ℒ −1 { 2 } = 1 − 𝐶𝑜𝑠 𝑡 división entre la
𝑠 0 𝑠(𝑠 + 12 ) variable: 𝑠
𝑡
1 1
−1
ℒ { } = ∫ (1 − 𝐶𝑜𝑠 𝑢 )𝑑𝑢 = (𝑢 − 𝑆𝑒𝑛 𝑢) [𝑡0 = 𝑡 − 𝑆𝑒𝑛 𝑡
𝑠 𝑠(𝑠 2 + 12 0

5
d) ℒ −1 { }
𝑠(𝑠−𝑎) Por la Propiedad P10, llamada Propiedad
𝑡 de Convolución, que usualmente se
𝑆𝑖: ℒ −1 {𝑓(𝑠) 𝑔(𝑠) } = ∫ 𝐹(𝑢) 𝐺(𝑡−𝑢) 𝑑𝑢 = 𝐹(𝑡) ∗ 𝐺(𝑡) escribe: 𝐹(𝑡) ∗ 𝐺(𝑡) se aplica sobre
0 Productos.
5 1
𝑆𝑖: ℒ −1 { } = 5 ; 𝑆𝑖: ℒ −1 { } = 𝑒 𝑎𝑡 Tomando dos Fórmulas de
𝑠 𝑠−𝑎 Antitransformadas, de la Tabla (2y3).
𝑡
5 5 1
ℒ −1 { } = ℒ −1 { } = ∫ 5𝑒 2(𝑡−𝑢) 𝑑𝑢 Reemplazando sus Antitransformadas
𝑠(𝑠 − 𝑎) 𝑠𝑠−𝑎 0 en la Integral de Convolución.
𝑒 2(𝑡−𝑢) ∞ 5
=5 −2
∣0 = 2 (𝑒 2𝑡 − 1)

𝑠
e) ℒ −1 { }
(𝑠2 +𝑎2 )2 Por la Propiedad P10, llamada Propiedad
𝑡 de Convolución, que usualmente se
−1
𝑆𝑖: ℒ {𝑓(𝑠) ∙ 𝑔(𝑠) } = ∫ 𝐹(𝑢) 𝐺(𝑡−𝑢) 𝑑𝑢 = 𝐹(𝑡) ∗ 𝐺(𝑡) escribe: 𝐹(𝑡) ∗ 𝐺(𝑡) se aplica sobre
0 Productos.
−11 𝑆𝑒𝑛 𝑎𝑡 −1 𝑠
𝑆𝑖: ℒ { 2 } = ; ℒ { } = 𝐶𝑜𝑠 𝑎𝑡 Tomando dos Fórmulas de
𝑠 + 𝑎2 𝑎 𝑠2 + 𝑎2 Antitransformadas, de la Tabla (8 y 10).
𝑡
−1
𝑠 1 𝑆𝑒𝑛 𝑎 (𝑡 − 𝑢)
ℒ { 2 } = ∫ 𝐶𝑜𝑠 𝑎𝑢 𝑑𝑢
𝑠 + 𝑎2 𝑠 2 + 𝑎2 0 𝑎
1 𝑡 2 𝑡 𝑆𝑒𝑛 𝑎𝑡
= ∫ (𝑆𝑒𝑛 𝑎𝑡 𝐶𝑜𝑠 𝑎𝑢 − 𝐶𝑜𝑠 𝑎𝑡 𝑆𝑒𝑛 𝑎𝑢 𝐶𝑜𝑠 𝑎𝑢) 𝑑𝑢 =
𝑎 0 2𝑎
MÉTODOS DE LAS FRACCIONES PARCIALES
Este Método permite la determinación de la Antitransformada de Laplace, de Fracciones Algebraicas
Racionales en:𝑠. Consiste en la descomposición de la Fracción en una suma de Fracciones Parciales,
para así aplicar la Antitransformada sobre Fracciones mucho más simples.
Las reglas Generales de descomposición en Fracciones Parciales son las siguientes:
𝑃(𝑥) Si la Fracción es Propia
𝑄(𝑥) CASO1, los factores del Denominador
𝑃(𝑥) 𝐴 𝐵 𝑀 𝑍 son Lineales, hay tantas Fracciones
(𝑥−𝛼1 )(𝑥−𝛼2 )…(𝑥−𝛼𝑛 )
= 𝑥−𝛼 + 𝑥−𝛼 + ⋯ + 𝑥−𝛼 +…𝑥−𝛼 como Factores haya.
1 2 𝐾 𝑛

CASO2, donde los factores son Lineales

pero reiterados.

CASO3, donde los factores son

Cuadráticos, se usan dos constantes en
Numerador.
 TRANSFORMADAS DE LAPLACE ING. RAÚL MORAN

𝑃(𝑥) 𝐴 𝐵 𝑀 𝑁
(𝑥−𝛼1 )𝑛 …(𝑥−𝛼2 )
= 𝑥−𝛼 + 𝑥−𝛼 + ⋯ + (𝑥−𝛼 )
+
𝑛 𝑥−𝛼
1 2 1 2
𝑃(𝑥) 𝐴𝑥 + 𝐵 𝐶𝑥 + 𝐷 𝑍
+= + ⋯
(𝑥 2 + 𝛽12 )(𝑥 2
+ 𝛽22 ) … (𝑥 2 2
− 𝛼) 𝑥 2 + 𝛽1 (𝑥 2 + 𝛽2 )2 𝑥−𝛼
𝑃(𝑥) 𝐴𝑥 + 𝐵 𝐶𝑥 + 𝐷
= + +⋯
(𝑥 2 + 𝛽12 )𝑛 (𝑥 2 + 𝛽22 ) … 𝑥 2 + 𝛽12 (𝑥 2 + 𝛽12 )2
La denominación de las Constantes, se efectúa de diversos modos, uno de ellos es el algebraico,
consistente en la conformación de Sistemas de Ecuaciones.

Ej. 8-21 Se descompone en Fracciones Parciales una Fracción Racional

8𝑠 + 41
𝑠2 + 9𝑠 + 14 Fracción Racional Propia (Grado de
8𝑠 + 41 8𝑠 + 41 Numerador menor a Denominador).
=
𝑠 2 + 9𝑠 + 14 (𝑠 + 2)(𝑠 + 7) Factorizando el Denominador, se
𝐴 𝐵 obtienen dos factores Lineales
= + diferentes.
𝑠+2 𝑠+7

8𝑠 + 41 𝐴(𝑠 + 7) + 𝐵(𝑠 + 2) Descomponiendo en tantas

2
= Fracciones, como Factores hay en el
𝑠 + 9𝑠 + 14 (𝑠 + 2)(𝑠 + 7)
Denominador, por numerador a
⟹ 8𝑠 + 41 = 𝐴(𝑠 + 7) + 𝐵(𝑠 + 2) Constantes.
= (𝐴 + 𝐵)𝑠 + (7𝐴 + 2𝐵) Sumando la Fracciones Parciales.

𝐴+𝐵 =8 ⟹ 𝐴=5 Igualando Coeficientes de 2𝑑𝑜 y 𝑟

Miembro, se presenta un Sistema.
7𝐴 + 2𝐵 = 41 ⟹ 𝐵=3
Resolviendo se obtienen los valores
8𝑠 + 41 5 3 de las Constantes en los Numeradores.
= +
𝑠 2 + 9𝑠 + 14 𝑠 + 2 𝑠 + 7
Aplicando la Antitransformada, sobre
8𝑠 + 41 5 3 las fracciones Parciales.
ℒ −1 { 2 } = ℒ −1 { } + ℒ −1 { }
𝑠 + 9𝑠 + 14 𝑠+2 𝑠+7
= 5𝑒 −2𝑡 + 3𝑒 −7𝑡
Generalizando el Método para fracciones con Denominador compuesto por Factores
Cuadráticos, Repetidos, etc. Es posible descomponer a toda la Fracción Racional.
Ej. 8-22 Se descompone en Fracciones Racionales, en fracciones Simples: Fracción Racional
Propia
7𝑠2 −𝑠−6
a)ℒ −1 {(𝑠2 +1)(𝑠−2)} Por el Factor
Cuadrático, se toman
7𝑠 2 − 𝑠 − 6 𝐴𝑠 + 𝐵 𝐶 (𝐴𝑠 + 𝐵)(𝑠 − 2) + 𝐶(𝑠 2 + 1) dos Constantes.
= + =
(𝑠 2 + 1)(𝑠 − 2) 𝑠 2 + 1 𝑠 − 2 (𝑠 2 + 1)(𝑠 − 2) Tras sumar
2 2 Fracciones, se igualan
⟹7𝑠 − 𝑠 − 6 = (𝐴𝑠 + 𝐵)(𝑠 − 2) + 𝐶(𝑠 + 1)
los Numeradores.
7𝑠 2 − 𝑠 − 6 = (𝐴 + 𝐶)𝑠 2 + (−2𝐴 + 𝐵)𝑠 + (−2𝐵 + 𝐶)
𝐴+𝐶 =7 𝐴=3 Igualando los
Coeficientes.Por la
Antitransformada.
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−2𝐴 + 𝐵 = −1 ⟹ 𝐵 = 5
−2𝐵 + 𝐶 = −6 𝐶=4
−1
7𝑠2 − 𝑠 − 6 3𝑠 + 5 4
ℒ { } = ℒ −1 { + }
(𝑠2 + 1)(𝑠 − 2) 𝑠2 + 1 𝑠 − 2
𝑠 1 1
3ℒ −1 { } + 5ℒ −1 { 2 } + 4ℒ −1 { } = 3𝐶𝑜𝑠𝑡 + 5𝑆𝑒𝑛𝑡 + 4𝑒 2𝑡
𝑠2 +1 𝑠 +1 𝑠−2

8𝑠 3 − 42𝑠 2 + 77𝑠 − 46
𝑏) ℒ −1 { }
(𝑠 − 2)3 (𝑠 − 1)

8𝑠 3 − 42𝑠 2 + 77𝑠 − 46 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷
3
= + 2
+ 3
+
(𝑠 − 2) (𝑠 − 1) 𝑠 − 2 (𝑠 − 2) (𝑠 − 2) 𝑠−1

8𝑠 3 − 42𝑠 2 + 77𝑠 − 46 = 𝐴(𝑠 − 2)2 (𝑠 − 1) + 𝐵(𝑠 − 2)(𝑠 − 1) + 𝐶(𝑠 − 1) + 𝐷(𝑠 − 2)3

𝐴+𝐷 =8 𝐴=5
Hay factores
−5𝐴 + 𝐵 − 6𝐷 = −42 ⟹ 𝐵 = 1
reiterados.
8𝐴 − 3𝐵 + 𝐶 + 112𝐷 = 77 𝐶=4
−4𝐴 + 2𝐵 − 𝐶 − 8𝐷 = −46 𝐷=3 Antitransformada,
usando la P2
8𝑠 3 − 42𝑠 2 + 77𝑠 − 46 5 1 4 3
ℒ −1 { 3
} = ℒ −1 { + 2
+ 3
+ }
(𝑠 − 2) (𝑠 − 1) 𝑠 − 2 (𝑠 − 2) (𝑠 − 2) 𝑠−1
4 2 2𝑡
= 5𝑒 2𝑡 + 𝑡𝑒 2𝑡 + 𝑡 𝑒 + 3𝑒 𝑡
2!
𝑠4 +2𝑠3 +3𝑠2 −𝑠−1
c)ℒ −1 { (𝑠2 +1)2 (𝑠−1)
}
Conformando
𝑠4 +2𝑠3 +3𝑠2 −𝑠−1 𝐴𝑠+𝐵 𝐶𝑠+𝐷 𝐸 el Sistema y
(𝑠2 +1)2 (𝑠−1)
= + + 𝑠−1
𝑠2 +1 (𝑠2 +1)2 resolviendo.

𝑠 4 + 2𝑠 3 + 3𝑠 2 − 𝑠 − 1 = (𝐴𝑠 + 𝐵)(𝑠 2 + 1)(𝑠 − 1) + (𝐶𝑠 + 𝐷)(𝑠 − 1) + 𝐸(𝑠 2 + 1)2 Antitransform

ada, usando la
𝐴+𝐸 =1 𝐴=0 −𝐴 + 𝐵 − 𝐶 + 𝐷 = −1 𝐷=0 Propiedad P2.
−𝐴 + 𝐵 = 2 𝐵=2 −𝐵 − 𝐷 + 𝐸 = −1 𝐸=1
𝐴 − 𝐵 + 𝐶 + 2𝐸 = 3 𝐶=3 Usando el
𝑠 4 − 2𝑠 2 + 5𝑠 − 4 2 3𝑠 1 resultado del
ℒ −1 { 2 2
} = ℒ −1 { 2 + 2 2
+ } Ej. 8-20-e
(𝑆 + 1) (𝑠 − 1) 𝑠 + 1 (𝑠 + 1) 𝑠−1

𝑡 𝑆𝑒𝑛𝑡
= 2𝑆𝑒𝑛𝑡 + 3 + 𝑒𝑡
2
FORMULA DEL DESARROLLO DE HEAVISIDE
Es un método que permite descomponer una Fracción Racional en Fracciones Parciales, de
una manera más rápida, pero requiere de un buen manejo de los Límites y los Números
Complejos. La fórmula del desarrollo de Heaviside puede expresarse como:

𝑛
𝑃(𝑠) 𝐴1 𝐴2 𝐴𝑘 𝐴𝑛 𝐴𝑘
𝑖∶ = + + ⋯+ +⋯+ =∑
𝑄(𝑠) 𝑠 − 𝛼1 𝑠 − 𝛼1 𝑠 − 𝛼𝑘 𝑠 − 𝛼𝑛 𝑠 − 𝛼𝑘
𝑘=1
𝑛
𝑃(𝑠) 𝑃(𝛼1 ) 𝑎 𝑡 𝑃(𝛼2 ) 𝑎 𝑡 𝑃(𝛼𝑘 ) 𝑎 𝑡 𝑃(𝛼𝑛 ) 𝑎 𝑡 𝑃(𝛼𝑘 ) 𝑎
−1 { = 𝑒 1 + 𝑒 2 + ⋯+ 𝑒 𝑘 + ⋯+ 𝑒 𝑛 =∑ 𝑒 𝑘}
𝑄(𝑠) 𝑄 ́(𝑎1 ) 𝑄 ́(𝑎2 ) ́
𝑄(𝑎𝑘 ) ́
𝑄(𝑎𝑛 ) 𝑄́(𝑎𝑘 )
𝑘=1
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Donde los: 𝑎𝑘 son los Ceros (Factores del Denominador), que pueden ser Reales o
Complejos.
𝑛 Descomponie
𝑃(𝑠) 𝐴1 𝐴2 𝐴𝑘 𝐴𝑛 𝐴𝑘
𝑆𝑖: = + + ⋯+ + ⋯+ =∑ ndo.
𝑄(𝑠) 𝑠 − 𝛼1 𝑠 − 𝛼1 𝑠 − 𝛼𝑘 𝑠 − 𝛼𝑛 𝑠 − 𝛼𝑘
𝑘=1 Multiplicand
𝑃(𝑠) 𝐴1 𝐴2 𝐴𝑘 𝐴𝑛 o ambos
Lim (𝑠 − 𝛼𝑘 ) = Lim [ + + ⋯+ + ⋯+ ] (𝑠 − 𝑎𝑘 )
𝑠−𝛼𝑘 𝑄(𝑠) 𝑠−𝛼𝑘 𝑠 − 𝛼1 𝑠 − 𝛼1 𝑠 − 𝛼𝑘 𝑠 − 𝛼𝑛 miembros
𝑃(𝑠) por: 𝑠 − 𝛼𝑘
Lim (𝑠 − 𝛼𝑘 ) = 0 + 0 + ⋯ + 𝐴𝑘 + ⋯ + 0
𝑠−𝛼𝑘 𝑄(𝑠) Calculando
(𝑠 − 𝛼𝑘 ) (𝑠 − 𝛼𝑘 ) 1 𝑃(𝛼𝑘) Límites y por
⇒ 𝐴𝑘 = Lim 𝑃(𝑠) = 𝐿𝑖𝑚 𝑃(𝑠) 𝐿𝑖𝑚 = 𝑃(𝑎𝑘 ) = L' Hospital en
𝑠−𝛼𝑘 𝑄(𝑠) 𝑠−𝛼𝑘 𝑠−𝛼𝑘 𝑄(𝑠) 𝑄́(𝑎𝑘 ) 𝑄́(𝑎𝑘) el Límite.
𝑃(𝑠) 𝑃(𝛼1 ) 1 𝑃(𝛼2 ) 1 𝑃(𝛼𝑘 ) 1 𝑃(𝛼𝑛) 1
= + + ⋯+ +⋯+ Antitransfor-
𝑄(𝑠) 𝑄 (́ 𝑎1 ) 𝑠 − 𝛼1 𝑄 (́ 𝑎2 ) 𝑠 − 𝛼2 𝑄 (́ 𝑎𝑘) 𝑠 − 𝛼2 𝑄 (́ 𝑎𝑛) 𝑠 − 𝛼𝑛 mada.
𝑛
−1
𝑃(𝑠) 𝑃(𝛼1) 𝑎 𝑡 𝑃(𝛼2) 𝑎 𝑡 𝑃(𝛼𝑘 ) 𝑎 𝑡 𝑃(𝛼𝑛 ) 𝑎 𝑡 𝑃(𝛼𝑘) 𝑎 𝑡
ℒ { }= 𝑒 1 + 𝑒 2 + ⋯+ 𝑒 𝑘 + ⋯+ 𝑒 𝑛 =∑ 𝑒 𝑘
𝑄(𝑠) 𝑄 ́(𝑎1 ) 𝑄 ́(𝑎2) 𝑄 ′(𝑎𝑘 ) 𝑄 (́ 𝑎𝑛 ) 𝑄 ′(𝑎𝑘 )
𝑘=1

Ej. 8-23 Se aplica la Fórmula del Desarrollo de Heaviside:

7𝑠 − 13 Antitransformada de
ℒ −1 { 2 } una Fracción
𝑠 − 2𝑠 − 3
Racional.
𝑃(𝑠) 7𝑠 − 13 7𝑠 − 13
= 2 = ⟹ 𝛼1 = −1 ; 𝛼2 = 3 Hallando Ceros de la
𝑄(𝑠) 𝑠 − 2𝑠 − 3 (𝑠 + 1)(𝑠 − 3)
Fracción (𝑎1 𝑎2 )
𝑃(𝑥) = 7𝑠 − 13 ; 𝑄(𝑠) = 𝑠2 − 2𝑠 − 3 ; 𝑄 ′(𝑠) = 2𝑠 − 2
𝑃(𝑠) 𝑃(𝛼1) 1 𝑃(𝛼2) 1 𝑃(𝛼𝑘) 1 Derivando y
= + +⋯+ +⋯ obteniendo 𝑄 ′
𝑄(𝑠) 𝑄 ́(𝑎 ) 𝑠 − 𝛼1 𝑄 ́(𝑎 ) 𝑠 − 𝛼2 𝑄 ́(𝑎 ) 𝑠 − 𝛼2
1 2 𝑘
𝑃(𝑠) −20 1 8 1 1 1 Por desarrollo de
= + =5 +2
𝑄(𝑠) −4 𝑠 + 1 4 𝑠 − 3 𝑠+1 𝑠−3 Heaviside
𝑃(𝑠) Reemplazando los
ℒ −1 { } = 5𝑒 −𝑡 + 2𝑒 3𝑡
𝑄(𝑠) Ceros en 𝑃, 𝑄′
simplificando.
Ej. 8-24 Aplicando el Método de Heaviside, se determinan Anti transformadas de Laplace.
7𝑠2 −𝑠−6
a)ℒ −1 {𝑠3 −2𝑠2 +𝑠−2} Antitransformada de
una Fracción Racional.
𝑃(𝑠) 7𝑠2 − 𝑠 − 6 7𝑠2 − 𝑠 − 6 7𝑠2 − 𝑠 − 6 Determinando los
= = =
𝑄(𝑠) 𝑠3 − 2𝑠2 + 𝑠 − 2 (𝑠2 + 1)(𝑠 − 2) (𝑠 + 𝑖)(𝑠 − 𝑖)(𝑠 − 2) Ceros de la Fracción
⟹𝛼1 = −𝑖 ; 𝛼2 = 𝑖 ; 𝛼3 = 2 (𝛼1, 𝛼2, 𝛼3 ), algunos
𝑃(𝑠) = 7𝑠 2 − 𝑠 − 6 ; 𝑄(𝑠) = 𝑠 3 − 2𝑠 2 + 𝑠 − 2 ; 𝑄 ′ (𝑠) = 3𝑠 2 − 4𝑠 + 1 son Complejos.

𝑃(𝑠) 𝑃(𝛼1) 1 𝑃(𝛼2) 1 𝑃(𝛼𝑘) 1 Derivando (𝑄 ′)

= + +⋯+ +⋯
𝑄(𝑠) 𝑄 ́(𝑎 ) 𝑠 − 𝛼1 𝑄 ́(𝑎 ) 𝑠 − 𝛼2 𝑄 ́(𝑎𝑘 ) 𝑠 − 𝛼2 Por la Fórmula del
1 2
𝑃(𝑠) −13 + 𝑖 1 −13 − 𝑖 1 20 1 desarrollo de
= + +
𝑄(𝑠) −2 + 4𝑖 𝑠 + 𝑖 −2 − 4𝑖 𝑠 − 𝑖 5 𝑠−2 Heaviside.
Reemplazando los
Ceros en 𝑃, 𝑄 ′
Simplificando los
cocientes.
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𝑃(𝑠) 3 5 1 3 5 1 1
= ( + 𝑖) + ( − 𝑖) +4
𝑄(𝑠) 2 2 𝑠+𝑖 2 2 𝑠−𝑖 𝑠−2

𝑃(𝑠) 3 5 3 5
ℒ −1 { } = ( + 𝑖) 𝑒 −𝑖𝑡 + ( − 𝑖) 𝑒 𝑖𝑡 + 4𝑒 2𝑡
𝑄(𝑠) 2 2 2 2

𝑃(𝑠) 3 5 3 5
ℒ −1 { } = ( + 𝑖) (𝐶𝑜𝑠𝑡𝑡 − 𝑖𝑆𝑒𝑛𝑡) + ( − 𝑖) (𝐶𝑜𝑠𝑡 + 𝑖𝑆𝑒𝑛𝑡) + 4𝑒 2𝑡
𝑄(𝑠) 2 2 2 2

𝑃(𝑠)
ℒ −1 { } = 3𝐶𝑜𝑠𝑡 + 5𝑆𝑒𝑛𝑡 + 4𝑒 2𝑡
𝑄(𝑠)

−1 8𝑠2 −52𝑠+105
b) ℒ { } Determinando los
𝑠3 −12𝑠2 +45𝑠−54
Ceros de la Fracción
𝑃(𝑠) 8𝑠 2 −52𝑠+105 8𝑠 2 −52𝑠+105 (𝛼1, 𝛼2, 𝛼3 ), todos son
= =
𝑄(𝑠) 𝑠 3 −12𝑠 2 +45𝑠−54 (𝑠−3)(𝑠−3)(𝑠−6) Reales pero uno
repetido.
⟹𝛼1 = 3 ; 𝛼2 = 3 ; 𝛼3 = 6 ; 𝑃(𝑠) = 8𝑠 2 − 52𝑠 + 105 Derivando (𝑄 ′)
2 2
𝑄(𝑠) = 𝑠3 − 12𝑠 + 45𝑠 − 54 ; 𝑄 ′ (𝑠) = 3𝑠 − 24𝑠 + 45 Por la Fórmula del
𝑃(𝑠) 𝑃(𝛼 ) 1 𝑃(𝛼 ) 1 𝑃(𝛼 ) 1 desarrollo de
𝑄(𝑠)
= 1
𝑄 ́(𝑎 ) 𝑠−𝛼1
+ 2
𝑄 ́(𝑎 ) 𝑠−𝛼2
+ 3
𝑄 ́(𝑎 ) 𝑠−𝛼3 Heaviside.
1 2 3
Reemplazando los
𝑃(𝑠) 21 1 21 1 81 1 Ceros en 𝑃, 𝑄 ′
= + + =? ?
𝑄(𝑠) 0 𝑠−3 0 𝑠−3 9 𝑠−6 Se observa divisiones
entre cero. Por tanto, el
8𝑠 2 − 52𝑠 + 105 𝐴 𝐵 𝐶
= + + Método no es
(𝑠 − 3)(𝑠 − 3)(𝑠 − 6) 𝑠 − 3 (𝑠 − 3)2 𝑠−6 aplicable.
8𝑠 2 − 52𝑠 + 105 7 5 1 Para descomponer en
ℒ −1 { } = ℒ −1 { + 2
+ }
(𝑠 − 3)(𝑠 − 3)(𝑠 − 6) 𝑠 − 3 (𝑠 − 3) 𝑠−6 Fracciones Simples, se
debe aplicar el clásico
8𝑠 2 − 52𝑠 + 105 método algebraico.
ℒ −1 { } = 7𝑒 3𝑡 + 5𝑡𝑒 3𝑡 + 𝑒 6𝑡
(𝑠 − 3)(𝑠 − 3)(𝑠 − 6)

VIII-5 ECUACIONES DIFERENCIALES POR TRANSFORMADA DE LAPLACE

La transformada de Laplace permite resolver Ecuaciones Diferenciales, constituyéndose en un
adecuado Método, en particular, para ciertas Ecuaciones.El procedimiento consiste en aplicar la
Transformada sobre la Ecuación Diferencial toda, tal y como esté planteada, para luego despejar la
variable Dependiente, sobre éste se aplicará la Antitransformada, obteniendo así la Solución.

Considerando que la mayoría de aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales, resolubles por

Laplace, poseen por variable el Tiempo: 𝑡 , se consideran Funciones de la forma: 𝑌 = 𝑌(𝑡) ; la
correspondiente Transformada de Laplace es: ℒ{𝑌(𝑡) } = 𝑦(𝑠)
Ej. 8-25 Se resuelven Ecuaciones Diferenciales, usando Transformadas de Laplace.
𝑑𝑌
a) + 2𝑌 = 6 𝑆𝑖: 𝑌(0) = 0
𝑑𝑡
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𝑑𝑌 Ecuación Diferencial de Primer Orden, Primer

ℒ { 𝑑𝑡 + 2𝑌} = ℒ{6}
Grado, con una Condición Inicial. Aplicando la
6 Transformada de Laplace a ambos miembros de la
[𝑠𝑦(𝑠) − 𝑌(0) ] + [2𝑦(𝑠) ] = [𝑠 ]
Ecuación. Simplificando y aplicando la condición
6
𝑠𝑦(𝑠) − 2𝑦(𝑠) = inicialmente planteada. Despejando
𝑠 𝑦(𝑠) .Aplicando la Antitransformada sobre 𝑦(𝑠)
6
⇒ 𝑦(𝑠) =
𝑠(𝑠+2) Descomponiendo la Fracción en Fracciones
−1 −1 6 Parciales, para luego aplicar la
𝑌(𝑡) = ℒ {𝑦(𝑠) } = ℒ {𝑠(𝑠+2)}
Antitransformada sobre cada una de ellas.
3 3
𝑌(𝑡) = ℒ −1 {𝑠 − 𝑠+2} = 3 − 3𝑒 −2𝑡

𝑑2 𝑌
b) + 9𝑌 = 𝐶𝑜𝑠 2𝑡 𝑆𝑖: 𝑌΄(0) = 1 ; 𝑌(0) = 0
𝑑𝑡 2
𝑑2 𝑌
ℒ { 𝑑𝑡 2 + 9𝑌} = ℒ{𝐶𝑜𝑠 2𝑡} Ecuación Diferencial de Segundo
𝑠 Orden, Lineal de Coeficientes
[𝑠 2 𝑦(𝑠) − 𝑠𝑌΄(0) − 𝑌(0) ] + [9𝑦(𝑠) ] = [ 2 ] Constantes, con dos Condiciones
𝑠 + 22
𝑠 iniciales.
𝑠 2 𝑦(𝑠) − 𝑠 + 9𝑦(𝑠) = 2
𝑠 + 22 Transformada de Laplace por ambos
𝑠 𝑠
⇒ 𝑦(𝑠) = 2 + 2 miembros. Por Tablas de las
𝑠 +3 2 (𝑠 + 2 )(𝑠 2 + 32 )
2
Transformadas y usando condiciones
𝑠 𝑠 iniciales.
𝑌(𝑡) = ℒ −1 {𝑦(𝑠) } = ℒ −1 {𝑠2 +32 + (𝑠2 +22 )(𝑠2 +32 )}
Despejando 𝑦(𝑠) . Aplicando
𝑠 (1⁄5)𝑠 (−1⁄5)𝑠 Antitransformada sobre 𝑦(𝑠)
= ℒ −1 { + 2 + }
𝑠2 +3 2 𝑠 + 22 𝑠 2 + 32 Fracciones Parciales, para luego aplicar
1 1 4 1 la Antitransformada.
= 𝐶𝑜𝑠 3𝑡 + 5 𝐶𝑜𝑠 2𝑡 − 5 𝐶𝑜𝑠 3𝑡 = 𝐶𝑜𝑠 3𝑡 + 5 𝐶𝑜𝑠 2𝑡
5

Ej. 8-26 Se resuelven una Ecuación Diferencial Lineal; de Orden dos, de Coeficientes Variables,
por la Transformada de Laplace, con dos Condiciones iniciales.
𝑑2 𝑌 𝑑𝑌
+ 𝑡 𝑑𝑇 − 𝑌 = 0 𝑆𝑖: 𝑌(0) = 0 ; 𝑌΄(0) = 1
𝑑𝑡 2
𝑑2 𝑌 𝑑𝑌
ℒ { 𝑑𝑡 2 + 𝑡 𝑑𝑇 − 𝑌} = 0
𝑑
[𝑠 2 𝑦(𝑠) − 𝑠𝑌(0) − 𝑌΄(0) ] − 𝑑𝑠 [ 𝑠𝑦(𝑠) − 𝑌(0) ] − 𝑦(𝑠) = 0
𝑑
[𝑠 2 𝑦(𝑠) − 𝑠 ∙ 0 − 1] − [ 𝑠𝑦(𝑠) − 0] − 𝑦(𝑠) = 0
𝑑𝑠
𝑑𝑦
[𝑠 2 𝑦(𝑠) − 1] − [ 𝑦(𝑠) − 𝑠 𝑑𝑠 ] − 𝑦(𝑠) = 0
𝑑𝑦 2 1
+ (𝑠 − 𝑠) 𝑦 = − 𝑠
𝑑𝑠

𝑆𝑖: 𝑦 = [∫ 𝑄(𝑥) 𝑒 ∫ 𝑃(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶] 𝑒 − ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥

1 2
−𝑠)𝑑𝑠 −
2
−𝑠)𝑑𝑠
𝑦(𝑠) = [∫ (− ) 𝑒 ∫(𝑠 𝑑𝑠 + 𝐶] 𝑒 ∫(𝑠
𝑠
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1 𝑠2 𝑠2
𝑦(𝑠) = [∫ (− ) 𝑒 2𝐿𝑛𝑠− 2 𝑑𝑠 + 𝐶] 𝑒 −2𝐿𝑛𝑠+ 2 Aplicando la Transformada de Laplace.
𝑠
Usando Tablas de las Transformadas, tomando:
1 2 −𝑠2 1 𝑠2 𝑑𝑌 𝑑 𝑑𝑌
ℒ {𝑡 } = − ℒ { }
𝑦(𝑠) = [∫ (− ) 𝑠 𝑒 𝑑𝑠 + 𝐶] 2 𝑒 2
2 𝑑𝑡 𝑑𝑠 𝑑𝑡
𝑠 𝑠
Reemplazando las condiciones iniciales. Derivando,
𝑠2 𝑠2
usando la Regla del Producto. Queda una Ecuación
1 −
𝑦(𝑠) = [− ∫ 𝑠𝑒 − 2 𝑑𝑠 + 𝐶] 𝑒 2 Diferencial de Primer Orden, respecto de: 𝑠
𝑠2
Resolviendo por la Fórmula de Ecuaciones de Primer
𝑠2 𝑠2 𝑠2 Orden Primer Grado. Adaptando al caso de Variable:𝑠
1 1 1
𝑦(𝑠) = [𝑒 − 2 + 𝐶] 𝑒2 = +𝐶 2 𝑒2
𝑠2 𝑠 2 𝑠 Calculando las Integrales de Exponente.

Simplificando y considerando que: 𝑒 𝐿𝑛 𝑢 = 𝑢

−1 −1
1 1 𝑠2
𝑌(𝑖) = ℒ {𝑦(𝑠) } = ℒ { 2+𝐶 2𝑒2} Ordenando y simplificando. Integrando, la Integral que
𝑠 𝑠
queda se resuelve por un Método de Integración. (Por
Sustitución).Simplificando finalmente se obtiene la
1 1 𝑠 2 /2 (𝑠 2 /2)2 (𝑠 2 /2)3 correspondiente Transformada de Laplace 𝑦(𝑠)
𝑌(𝑡) = ℒ −1 { + 𝐶 [1 + + + … ]}
𝑠2 𝑠2 1! 2! 3!
Aplicando la Antitransformada Desarrollando por su
2 4 Serie a la Expresión Exponencial. Simplificando y
1+𝐶 𝐶 𝐶𝑠 𝐶𝑠
𝑌(𝑡) = ℒ −1 { 2
+ + + + ⋯} ordenando
𝑠 2 ∙ 1! 4 ∙ 2! 8 ∙ 3!

𝑌(𝑡) = (1 + 𝐶)𝑡 + 0 + 0 + ⋯ = 𝐶1 𝑡

𝑌΄(0) = 1 ⇒ 1 = 𝐶1 ⇒ 𝑌(𝑡) = 𝑡

Determinando las Antitransformadas, considerando además que: ℒ −1 {𝑠 𝑘 } = 0 𝑆𝑖: 𝑘 = 0,1,2,3, …

Para hallar la Constante, se aplica la Segunda Condición inicial (LA Primera no puede determinarla)

Ej. 8-27 Se resuelven diversas Ecuaciones Diferenciales por Transformadas de Laplace:

𝑑2 𝑌 𝑑𝑌
a) 𝑡 𝑑𝑡 2 + (1 − 2𝑡) 𝑑𝑡 − 2𝑌 = 0 𝑆𝑖: 𝑌(0) = 1 ; 𝑌΄(0) = 2
Aplicando
𝑑2 𝑌 𝑑𝑌
ℒ {𝑡 2 + (1 − 2𝑡) − 2𝑌} = 0 Transformada de
𝑑𝑡 𝑑𝑡 Laplace a ambos
miembros de la
𝑑 2 𝑑
− [𝑠 𝑦(𝑠) − 𝑠𝑌(0) − 𝑌΄(0) ] + [𝑠𝑦(𝑠) − 𝑌(0) ] + 2 [𝑠𝑦(𝑠) − 𝑌(0) ] − 2𝑦(𝑠) = 0 Ecuación.
𝑑𝑠 𝑑𝑠
Por Tablas de las
𝑑 𝑑 Transformadas y
− [𝑠 2 𝑦(𝑠) − 𝑠 ∙ 1 − 2] + [𝑠𝑦(𝑠) − 1] + 2 [𝑠𝑦(𝑠) − 1] − 2𝑦(𝑠) = 0
𝑑𝑠 𝑑𝑠 usando las
condiciones
𝑑𝑦 𝑑𝑦 iniciales.
[−2𝑠𝑦(𝑠) − 𝑠 2 + 1] + [𝑠𝑦(𝑠) − 1] + 2 [𝑦(𝑠) + 𝑠 ] − 2𝑦(𝑠) = 0
𝑑𝑠 𝑑𝑠
Queda una
𝑑𝑦 Ecuación
(𝑠 2 − 2𝑠) + 𝑠𝑦 = 0 Diferencial de
𝑑𝑠
Primer Orden,
𝑑𝑦 1 respecto de: 𝑠
=− 𝑑𝑠 ⇒ 𝐿𝑛 𝑦 = −𝐿𝑛(𝑠 − 2) + 𝐶 = −𝐿𝑛(𝑠 − 2) + 𝐿𝑛 𝐶1
𝑦 𝑠−2
Resolviendo por
Separación de
Variables.
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𝐶1 𝐶1
𝐿𝑛 𝑦 = 𝐿𝑛 ⇒ 𝑦=
𝑠−2 𝑠−2
𝐶1
𝑌(𝑡) = ℒ−1 {𝑦(𝑠) } = ℒ−1 { } = 𝐶1 𝑒2𝑡
𝑠−2
𝑌(0) = 1 = 𝐶1 𝑒 2∙0 ⇒ 𝐶1 = 1 ⇒ 𝑌(𝑡) = 𝑒 2𝑡
Despejando 𝑦(𝑠) ; Aplicando la Antitransformada sobre 𝑦(𝑠) ; Calculando 𝐶1

𝑑2 𝑌 𝑑𝑌
b) − 𝑑𝑡 − 6𝑌 = 0 𝑆𝑖: 𝑌(0) = 2 ; 𝑌΄(0) = −1 Ecuación Diferencial Lineal
𝑑𝑡 2
de Segundo Orden, de
𝑑2 𝑌 𝑑𝑌 Coeficiente Constantes, con
ℒ {𝑡 − − 6𝑌} = 0
𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 dos Condiciones iniciales.

[𝑠 2 𝑦(𝑠) − 𝑠𝑌(0) − 𝑌΄(0) ] − [𝑠𝑦(𝑠) − 𝑌(0) ] − 6𝑦(𝑠) = 0 Aplicando la Transformada

de Laplace a ambos
[𝑠 2 𝑦(𝑠) − 2𝑠 + 1] − [𝑠𝑦(𝑠) − 2] − 6𝑦(𝑠) = 0 miembros de la Ecuación.
Por Tablas de las
(𝑠 2 − 𝑠 − 6)𝑦(𝑠) − 2𝑠 + 3 = 0 Transformadas y usando las
condiciones iniciales.
2𝑠−3
𝑦(𝑠) = Ordenando queda por
𝑠 2 −𝑠−6 determinar la
2𝑠 − 3 Antitransformada de una
𝑌(𝑡) = ℒ−1 {𝑦(𝑠) } = ℒ−1 { } Fracción.Descomponiendo
𝑠2 −𝑠−6 la Fracción por Heaviside o
3/5 7/5 3 7 por otros Métodos.
𝑌(𝑖) = ℒ−1 { + } = 5 𝑒 3𝑡 + 5 𝑒 −2𝑡
𝑠−3 𝑠+2
Aplicando la
Antitransformada sobre 𝑦(𝑠)
o sobre la fracción.
VIII.- PROBLEMAS PROPUESTOS
8-1 Por definición hallar las Transformadas de Laplace de las siguientes Funciones:
𝐹(𝑡) = 3 𝐹(𝑡) = 3 𝑡 3⁄𝑠 ; 1⁄(𝑠 − 𝐿𝑛 3)
2
𝐹(𝑡) = 𝑡 2 𝐹(𝑡) = 𝑒 𝑡 2⁄𝑠 3 ; ∄
𝐹(𝑡) = 𝐶𝑜𝑠 𝑎𝑡 𝐹(𝑡) = 𝑆𝑒𝑛ℎ 𝑎𝑡 𝑠⁄(𝑠 2 + 𝑎2 ); 𝑎⁄(𝑠 2 − 𝑎2 )

8-2 Por Tablas hallar las Transformadas de Laplace, de las siguientes Funciones:

𝐹(𝑡) = −5 𝐹(𝑡) = 𝜋 −5/𝑠 ; 𝜋/𝑠

𝐹(𝑡) = 𝑒 5𝑡 𝐹(𝑡) = 𝑒 𝑡/2 1/(𝑠 − 5); 2𝑠/(2𝑠 − 1)
𝐹(𝑡) = 𝑒 −2𝑡 𝐹(𝑡) = 5−𝑡 1/(𝑠 + 2); 1/(𝑠 + 𝐿𝑛5)
𝐹(𝑡) = 𝑡4 𝐹(𝑡) = √𝑡 7 24/𝑠 5 ; 105√𝜋/16 ∙ 𝑠 9/2
1
3
𝐹(𝑡) = 𝑡 −1⁄2 𝐹(𝑡) = √𝑡 4 √𝜋/𝑠 2 ; 𝛤(7) /𝑠 7/3
3
𝐹(𝑡) = 𝐶𝑜𝑠 5𝑡 𝐹(𝑡) = 𝑆𝑒𝑛 3𝑡/2 𝑠/(𝑠 2 + 52 ) ; 6/(4𝑠 2 + 9)
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𝐹(𝑡) = 𝑆𝑒𝑛ℎ5𝑡 𝐹(𝑡) = 𝐶𝑜𝑠ℎ 2𝑡/3 5/(𝑠 2 − 52 ) ; 9𝑠/(9𝑠 2 − 4)

8-3 Usando las Propiedades adecuadas, hallar las Transformaciones de Laplace de la Funciones.
8 3 2 1
𝐹(𝑡) = −8 + 3𝑡 + 2𝑒 6𝑡 𝐹(𝑡) = 𝑒 3𝑡+2 − 𝑠 + 𝑠2 + 𝑠−6 ; 𝑒 2 𝑠−1
6 6 15 𝐶𝑜𝑠 4
𝐹(𝑡) = 6 𝑆𝑒𝑛𝑡 + 3𝑆𝑒𝑛𝑡 2𝑡 𝐹(𝑡) = 𝐶𝑜𝑠4 𝐶𝑜𝑠 5𝑡 𝑠2 +1
+ 𝑠2 +22 ; 𝑠2 +52

1 2 1 24 2
𝐹(𝑡) = (𝑒 𝑡 + 𝑒 −𝑡 )2 𝐹(𝑡) = 𝑆𝑒𝑛3 𝑡 − 𝑠 + 𝑠−2 ; 𝑠5 + 𝑠3 + −
𝑠−2
1 𝑠 24
𝐹(𝑡) = 𝐶𝑜𝑠 2 𝑡 𝐹(𝑡) = 3𝑆𝑒𝑛𝑡 − 𝑆𝑒𝑛3𝑡 2𝑠
+ 2(𝑠2 +22 ) ; (𝑠2 +1)(𝑠2 +32 )

6 𝑠−2
𝐹(𝑡) = 𝑒 𝑡 𝑡 3 𝐹(𝑡) = 𝑒 2𝑡 𝐶𝑜𝑠 3𝑡 ;
(𝑠−1)4 (𝑠−2)2 +32

120 4
𝐹(𝑡) = 𝑒 3𝑡 𝑡 5 𝐹(𝑡) = 𝑒 5𝑡 𝑆𝑒𝑛 4𝑡 ;
(𝑠−3) (𝑠−5)2 +42
6

6 30𝑠2 −250
𝐹(𝑡) = 𝑡 3 𝑒 7𝑡 𝐹(𝑡) = 𝑡 2 𝑆𝑒𝑛 5𝑡 (𝑠−7)4
; (𝑠2 +52 )3

𝑠−4 6𝑠4 −36𝑠2 +6

𝐹(𝑡) = 𝑒 4𝑡 𝐶𝑜𝑠ℎ 5𝑡 𝐹(𝑡) = 𝑡 3 𝐶𝑜𝑠 𝑡 ;
𝑠2 −8𝑠−9 (𝑠2 +1)4

𝑡 ∞ 𝐶𝑜𝑠 𝑢 𝑎 𝐿𝑛(𝑠2 +1)

𝐹(𝑡) = ∫0 𝑆𝑒𝑛 𝑎𝑢 𝑑𝑢 𝐹(𝑡) = ∫𝑡 𝑑𝑢 ;
𝑢 𝑠(𝑠2 +𝑎2 ) 2𝑠

𝑡 𝑆𝑒𝑛 𝑢 𝑒 𝑡 −𝑒 −3𝑡 1 1 𝑠+3

𝐹(𝑡) = ∫0 𝑢
𝑑𝑢 𝐹(𝑡) = 𝑡 𝑠
𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑠 ; 𝐿𝑛 (𝑠+1)

𝑆𝑒𝑛ℎ 𝑡 𝐶𝑜𝑠√𝑡 1 𝑠+3 √𝜋

𝐹(𝑡) = 𝐹(𝑡) = 𝐿𝑛 (𝑠+1) ; 𝑠1⁄2 𝑒 −1/4
𝑡 √𝑡 2

8-4 Por Tablas, hallar las Antitransformadas de Laplace de las siguientes Funciones:
2 3
𝐹(𝑠) = 𝐹(𝑠) = 2 ; 3𝑒 9𝑡
𝑠 𝑠−9
1 𝑠 𝑡2
𝐹(𝑠) = 𝐹(𝑠) = ; 𝐶𝑜𝑠 5𝑡
𝑠3 𝑠 2 +52 2
5 1 5 𝑆𝑒𝑛 8𝑡
𝐹(𝑠) = 𝐹(𝑠) = 𝑡4 ;
𝑠5 𝑠 2 +82 24 8

1 𝑠 𝑡
𝐹(𝑠) = 𝐹(𝑠) = √ ; 𝐶𝑜𝑠ℎ 4𝑡
𝑠 3⁄2 𝑠 2 −4 2 𝜋

1 1 16𝑡 7⁄2 𝑆𝑒𝑛ℎ 7𝑡

𝐹(𝑠) = 𝐹(𝑠) = ;
𝑠 9⁄2 𝑠 2 −72 105√𝜋 7
8-5 Usando Propiedades adecuadas, hallar las Antitransformadas de las siguientes Funciones:
2 6 1 𝑆𝑒𝑛 3𝑡
𝑓(𝑠) = 𝑠−7 − 𝑠+1 𝑓(𝑠) = 𝑠2 −4𝑠+13 2𝑒 7𝑡 − 6𝑒 −𝑡 ; 𝑒 2𝑡 3
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1 1 1 𝑠 𝑡5 𝑡2
𝑓(𝑠) = 𝑠6 + 𝑠3 − 𝑠 𝑓(𝑠) = 𝑠2 −10𝑠+26 + − 1; 𝑒 4𝑡 𝐶𝑜𝑠
120 2

1 4 𝑡3
𝑓(𝑠) = (𝑠−5)4 𝑓(𝑠) = 𝑠2 −4𝑠+4 𝑒 5𝑡 ; 4𝑡 𝑒 2𝑡
6

1 2𝑠−7 1−𝐶𝑜𝑠 3𝑡 𝑆𝑒𝑛 5𝑡

𝑓(𝑠) = 𝑠(𝑠2 +32 ) 𝑓(𝑠) = 𝑠2 −6𝑠+34 ; 𝑒 3𝑡 (2 𝐶𝑜𝑠 5𝑡 − )
9 5

5𝑠−1 1 𝑡 𝑆𝑒𝑛 3𝑡
𝑓(𝑠) = 𝑠2 −4𝑠−5 𝑓(𝑠) = 𝑠2 (𝑠2 +32 ) 𝑒 2𝑡 (5 𝐶𝑜𝑠ℎ 3𝑡 ∗ 3 𝑆𝑒𝑛ℎ 3𝑡); 9 − 27

3 𝑠+1 3 𝑒 −𝑡/2 √3𝑡 √3𝑡

𝑓(𝑠) = 2𝑠−4 𝑓(𝑠) = 𝑠2 −𝑠+1 𝑒 2𝑡 ; [√3𝐶𝑜𝑠 + 𝑆𝑒𝑛 ]
2 √3 2 2

1 1 4𝑡 3/2 𝑒 −4𝑡
𝑓(𝑠) = 𝑠2 +4𝑠+4 𝑓(𝑠) = (𝑠+4)5/2 𝑡𝑒 −2𝑡 ; 3√𝑡

3𝑠+5 1 7 2(1−𝐶𝑜𝑠𝑡)
𝑓(𝑠) = 𝑠2 −6𝑠+25 𝑓(𝑠) = 𝐿𝑛(1 + 𝑠2 ) 𝑒 3𝑡 [3𝐶𝑜𝑠 4𝑡 + 2 𝑆𝑒𝑛 4𝑡] ; 𝑡

8-6 Por Fracciones Parciales, hallar las Antitransformadas de las siguientes Funciones:
13𝑠2 −69𝑠+86 1 1−𝐶𝑜𝑠 5𝑡
𝑓(𝑠) = 𝑠3 −8𝑠2 +19𝑠−12 𝑓(𝑠) = 𝑠(𝑠2 +52 ) 2𝑒 3𝑡 − 5𝑒 𝑡 + 6𝑒 4𝑡 ; 25

𝑠2 1 𝑎𝑆𝑒𝑛 𝑎𝑡−𝑏𝑆𝑒𝑛 𝑏𝑡 1 𝑆𝑒𝑛 2𝑡

𝑓(𝑠) = (𝑠2 +𝑎2 )(𝑠2 +𝑏2 ) 𝑓(𝑠) = 𝑠2 (𝑠2 +22 ) ; 4 (𝑡 − )
𝑎2 −𝑏2 2

15𝑠2 −58𝑠+51 1 𝑡2
𝑓(𝑠) = 𝑠3 −6𝑠2 +11𝑠−6 𝑓(𝑠) = 𝑠3 (1−𝑠) 4𝑒 𝑡 − 5𝑒 2𝑡 + 6𝑒 3𝑡 ; + 𝑡 + 1 − 𝑒𝑡
2

8-7 Por Transformadas de Laplace, resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales de Coeficientes

Constantes, con las condiciones iniciales indicadas:

1)𝑌ˊˊ + 𝑌 = 𝑡 𝑡 + 𝐶𝑜𝑠 𝑡 − 3 𝑆𝑒𝑛 𝑡

𝑌(0) = 1; 𝑌(0)ˊ = −2

2)𝑌ˊˊ − 3𝑌ˊ + 2𝑌 = 4𝑒 2𝑡 −7𝑒 𝑡 + 4𝑒 2𝑡 + 4𝑡𝑒 2𝑡

𝑌(0) = −3; 𝑌(0)ˊ = 5

3)𝑌ˊˊ − 6𝑌ˊ + 8𝑌 = 𝑒 3𝑡 1 2𝑡 1 4𝑡
𝑒 + 𝑒 − 𝑒 3𝑡
𝑌(0) = 0; 𝑌(0)ˊ = 2 2 2
5 1
4)𝑌ˊˊ + 9𝑌 = 𝑆𝑒𝑛 𝑡 𝐶𝑜𝑠 3𝑡 + 𝑆𝑒𝑛 3𝑡 + 𝑆𝑒𝑛
𝑌(0) = 1; 𝑌(0)ˊ = 2 8 8

1 𝑡
5)𝑌ˊˊˊ − 𝑌ˊ = 𝑡 (𝑒 + 𝑒 −𝑡 − 2 − 𝑡 2 )
2
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𝑌(0) = 0; 𝑌(0)ˊ = 0; 𝑌(0) ˊˊ = 0

1 𝑡 𝑆𝑒𝑛3𝑡
6)𝑌 𝑖𝑣 − 13𝑌ˊ ˊ + 36𝑌 = 𝑒 𝑡 (𝑒 − 2 𝐶𝑜𝑠2𝑡 − 𝑆𝑒𝑛2𝑡 + 𝐶𝑜𝑠3𝑡 + )
50 3
𝑌(0) = 𝑌ˊ(0) = 𝑌ˊˊ(0) = 𝑌ˊˊˊ(0) = 0

3 𝑆𝑒𝑛 2𝑡 𝑆𝑒𝑛 3𝑡
7)𝑌ˊˊ + 4𝑌 = 𝑆𝑒𝑛 3𝑡 ; 𝑌(0) = 0 ; 𝑌(0) ˊ = 0 −
10 5

8)𝑌ˊˊ + 4𝑌 = 0 ; 𝑌(0) = 5 ; 𝑌(0) ˊ = 0 5 𝐶𝑜𝑠 2𝑡

2 2𝑡 2
9)𝑌ˊˊ − 𝑌ˊ − 2𝑌 = 0 ; 𝑌(0) = 0 ; 𝑌(0) ˊ = 2 3
𝑒 − 3 𝑒 −𝑡

2 1
10)𝑌ˊˊ + 𝑌 = 𝑆𝑒𝑛𝑡 2𝑡 ; 𝑌(0) = 0 ; 𝑌(0) ˊ = 0 3
𝑆𝑒𝑛 𝑡 − 3 𝑆𝑒𝑛 2

9 1
11)𝑌ˊˊ + 𝑌 = 𝐶𝑜𝑠 3𝑡 ; 𝑌(0) = 1 ; 𝑌(0) ˊ = 0 𝐶𝑜𝑠𝑡 − 8 𝐶𝑜𝑠3
8

1 1 1
12)𝑌ˊˊ + 4𝑌ˊ + 3𝑌 = 1 ; 𝑌(0) = 𝑌(0) ˊ = 0 𝑒 −3𝑡 − 2 𝑒 −𝑡 + 3
6

8-8 Por Transformadas de Laplace, resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales de Coeficientes
variables, de acuerdo a las condiciones iniciales indicadas:

1)𝑌ˊˊ − 𝑡𝑌 + 𝑌 = 1 ; 𝑌(0) = 1 ; 𝑌(0) ˊ = 2 1 + 2𝑡

2)𝑡𝑌ˊˊ − (3𝑡 − 1)𝑌ˊ − 3𝑌 = 0 ; 𝑌(0) = 4 ; 𝑌(0) ˊ = 12 4𝑒 3𝑡
3)𝑡𝑌ˊˊ + (𝑡 − 1)𝑌ˊ − 𝑌 = 0 ; 𝑌(0) = 5 ; 𝑌(0) ˊ = 0 5𝑒 −1
4)𝑡𝑌ˊˊ + (1 + 5𝑡)𝑌ˊ + 5𝑌 = 0 ; 𝑌(0) = 3 ; 𝑌(0) ˊ = −15 3𝑒 −5𝑡