2.4 Ejercicios
2.4 Ejercicios
2.4 Ejercicios
Deber semanal
Alexander Guerrero
Nicolas Jácome
Jefferson Albuja
supervised by
Ing.Richard Bérnis
28 de junio de 2016
2
Matrices partidas
2.4 EJERCICIOS
En los ejercicios 1 a 9, suponga que las matrices están partidas de manera adecuada para
la multiplicación por bloques. Encuentre los productos mostrados en los ejercicios 1 a 4.
I 0 A B E 0 A B
1. 2.
E I C D 0 F C D
I 0 A B 0 I W X
3. 4.
E I C D I 0 Y Z
1.Aplicar la regla fila-columna como si las entradas de la matriz eran números, pero para
cada producto siempre escribir la entrada del bloque de matriz de la izquierda a la izquierda.
I 0 A B IA + OC IB + 0D A B
= =
E I C D EA + IC EB + ID EA + C EB + D
2.Aplicar la regla fila-columna como si las entradas de la matriz eran números, pero para
cada producto siempre escribir la entrada del bloque de matriz de la izquierda a la izquierda.
E 0 A B EA + OC EB + 0D EA EB
= =
0 F C D 0A + F C 0B + F D FC FD
3.Aplicar la regla fila-columna como si las entradas de la matriz eran números, pero para
cada producto siempre escribir la entrada del bloque de matriz de la izquierda a la izquierda.
0 I W X 0W + IY 0X + IZ Y Z
= =
I 0 Y Z IW + 0Y IX + 0Z W X
4.Aplicar la regla fila-columna como si las entradas de la matriz eran números, pero para
cada producto siempre escribir la entrada del bloque de matriz de la izquierda a la izquierda.
I 0 A B IA + 0C IB + 0D A B
= =
−X I C D −XA + IC −XB + ID −XA + C −XB + D
X 0 A 0 I 0
6. =
Y Z B C 0 I
3
A Z
X 0 0 I 0
7. 0 0 =
Y 0 I 0 I
B I
A B X Y Z I 0 0
8. =
0 I 0 0 I 0 0 I
Para utilizar la igualdad de la (1,1) bloques, supongamos que A y X son cuadrados. Por
el IM T , la ecuación XA = I implica que A es invertible y X = A−1 . (Véase el comentario
en caja que sigue a la CMI. Puesto que y = 0, de la igualdad de la (1, 2) bloques, dada la
multiplicación por A−1 da A−1 AY = A−1 0 = 0, por lo que Y = 0 por último, a partir de la (1,
3) bloques, AZ = −B multiplicación por A−1 A−1 AZ = A−1(−B), y Z = −A−1 b, el orden de
los factores para Z es crucial.
9. Suponga que A11 es una matriz invertible. Encuentre matrices X y Y tales que el producto
mostrado a continuación tenga la forma indicada. También, calcule B22 . [Sugerencia: Calcule
el producto de la izquierda e iguálelo al miembro del lado derecho.]
I 0 0 A11 A12 B11 B12
X I 0 A21 A22 = 0 B22
Y 0 I A31 A32 0 B32
I 0 0 I 0 0
10. El inverso de C I 0 es Z I 0 encuentre X, Y y Z en los ejercicios 11 y 12,
A B I X Y I
señale cada afirmación como verdadera o falsa. Justifique sus respuestas.
B 0
13. Sea A = donde B y C son cuadradas. Demuestre que A es invertible si, y sólo
C 0
si, tanto B como C son invertibles.
B 0 B −1 0
−1 −1
B B 0 I 0
= =
0 C 0 C −1 0 C −1 C −1 0 I
Puesto que A es cuadrada, este cálculo y el IM T implican que A es invertible.
−1 −1
B 0 B 0 B B 0 I 0
= =
0 C −1 0 C 0 C −1 C 0 I
I −(A11 A−1 −1 −1
I −A12 A−1 −1
11 A12 A22 + A12 A22 ) 22 + A12 A22 ) I 0
= =
0 I 0 I 0 I
Puesto que A es cuadrada, este cálculo implican que A es invertible.
16. Suponga que la matriz de bloques A ubicada en el miembro izquierdo de (7) y A11 son
invertibles. Demuestre que el complemento de Schur S de A11 es invertible. [Indicación: Los
factores externos localizados en el miembro derecho de (7) siempre son invertibles. Verifique
esto.] Cuando A y A11 son ambos invertibles, (7) conduce a una fórmula para A−1 , utilizando
S −1 , A−1
11 , y las otras entradas de A.
−1 −1
I 0 I Y
multiplicamos por encontramos :
X Y 0 I
−1 −1
A11 0 I 0 I Y
= A
0 S X Y 0 I
A11 0
Por lo tanto, según el teorema 6, la matriz es invertible como el producto de
0 S
matrices invertibles.
17. Cuando se lanza una sonda al espacio profundo, puede ser necesario efectuar correccio-
nes para colocarla en una trayectoria calculada con precisión. La telemetrı́a radial proporciona
una serie de vectores, x1 , . . . , xk , que dan información en diversos momentos acerca de la dife-
rencia entre la posición de la sonda y su trayectoria planeada. Sea Xk la matriz [x1 . . . xk ]. La
matriz Gk = Xk XkT se calcula conforme se analizan los datos del radar. Cuando llega xk+1 , se
debe calcular una nueva Gk+1 . Dado que los vectores de datos llegan a alta velocidad, la carga
computacional podrı́a ser severa. Sin embargo, la multiplicación de matrices proporciona una
ayuda muy grande. Determine los desarrollos columna-fi la de Gk y Gk+1 , y describa lo que se
debe calcular para actualizar Gk y formar Gk+1 .
T
Gk+1 = Xk+1 Xk+1
T T T
= col1 (Xk+1 )f ila1 Xk+1 + . . . + colk (Xk+1 )f ilak Xk+1 + colk+1 (Xk+1 )f ilak+1 Xk+1
T
= col1 (Xk )f ila1 XkT + . . . + colk (Xk+1 )f ilak XkT + colk+1 (Xk+1 )f ilak+1 Xk+1
Ya que W = [Xx
0] T
T
T X X X X T x0
W W = [Xx0 ] =
xT0 xT0 X xT0 x0
Mediante la aplicación de la fórmula de S de ejercicio 15, S puede ser calculada:
= xT0 M x0
19. Suponga que A − sIn es invertible y vea a (8) como un sistema de dos ecuaciones matri-
ciales. Resuelva la ecuación superior para x y sustitúyala en la ecuación inferior. El resultado
es una ecuación de la forma W (s)u = y, donde W (s) es una matriz que depende de s. W (s) se
denomina función de transferencia del sistema porque transforma la entrada u en la salida y.
Encuentre W (s) y describa óómo está relacionada con el sistema de matriz partida del miembro
9
(A − sIn )x + Bu = 0 y Cx + u = y
Es y = (Im − C(A − sIn )−1 B)u. Si W (s) = Im − C(A − sIn )1B, entonces y = W (s)u. La
matriz W (s) es el complemento de Schur de la matriz A − sIn en la matriz del sistema en la
ecuación (8)
20. Suponga que la función de transferencia W (s) del ejercicio 19 es invertible para alguna
s. Puede mostrarse que la función de transferencia inversa W (s)−1 , la cual transforma salidas
en entradas, es el complemento de Schur de A − BC − sIn para la matriz que se presenta a
continuación. Encuentre este complemento de Schur. Vea el ejercicio 15.
A − BC − sIn B
−C Im
Mediante la aplicación de la fórmula de S de ejercicio 15, S puede ser calculada:
2 1 3
21. a. Verifique que A = I cuando A =
0 −1
1 0 0 0
3 −1 0 0
b. Use matrices partidas para demostrar que M 2 = I cuando
1 0 −1 0
0 1 −3 1
1 0 1 0 1+0 0+0 1 0
a. A2 = = 2 =
3 −1 3 −1 3 − 3 0 + (−1) 0 1
2
2 A 0 A 0 A +0 0+0 I 0
b. M = = =
I −A I −A A − A 0 + (−A)2 0 I
22. Generalice
la idea del ejercicio 21(a) [no del 21(b)] al construir una matriz de 5 × 5
A 0
,M = tal que M 2 = I. Convierta a C en una matriz de 2 × 3 distinta de cero. Muestre
C D
10
Sea X cualquier
matriz no 2 × 3. Definir
nula
I3 0 I3 0 I3 + 0 0+0 I3 0
M= = =
C −I2 C −I2 CI3 − I2 C 0 + (−I2 )2 0 I2
23. Use matrices partidas para demostrar por inducción que el producto de dos matrices
triangulares inferiores es también triangular inferior. [Sugerencia: Una matriz A1 de (k + 1) ×
(k + 1) puede escribirse en la forma presentada a continuación, donde a es un escalar, v está
en Rk , y A es una matriz triangular inferior de k × k. [Vea la guı́a de estudio (Study Guide)
para obtener ayuda con la induccióón.]
a 0T
A1 =
v A
El producto de dos matrices 1 × 1 ”triangular inferior.es ”triangular inferior.”Supongamos
que para n = k, el producto de dos k × k menor matrices triangulares es triangular inferior, y
se planteará cualquier (k + 1) × (k + 1) matrices A1 y B1 . Partición estas matrices como
a 0T b 0T
A1 = ,
v A w B
donde A y B son matrices k × k , v y w están en Rk , y a y b son escalares. Desde A1 y B1
son triangular inferior, por lo que son A y B. A continuación,
a 0T b 0T ab + 0T w a0T + 0T B ab 0T
A1 B1 = = =
v A w B vb + Aw v0T + AB bv + Aw AB
Dado que A y B son k × k, AB es triangular inferior. La forma de A1 B1 muestra que,
también, es triangular inferior. Ası́, la declaración acerca de matrices triangulares inferiores es
cierto para n = k + 1, si bien es cierto para n = k. Por el principio de inducción, la afirmación
es cierta para todo n > 1.
24. Use matrices partidas para demostrar por inducción que para n = 2, 3, . . . , la matriz A
de n × n presentada a continuación es invertible y que B es su inverso.
1 0 0 ... 0
1 1 0 0
1 1 1 0
A=
.. . .
. .
1 1 ... 1
1 0 0 ... 0
−1 1 0 0
0 −1 1 0
B=
.. .. ..
. . .
0 . . . −1 1
Para el paso de inducción, suponga que A y B son matrices de (k + 1) × (k + 1) , y parta
A y B de una manera similar a la desplegada en el ejercicio 23.
11
1 0 0 ... 0 1 0 0 ... 0
−1
1 1 0 0
1 0 0
A = 1 1 1
0 , B = 0 −1 1
0
.. ... .. ... ...
. .
1 1 ... 1 0 . . . −1 1
Por cálculo directo A2 B2 = I2 . Supongamos que para n = k, la matriz es Ak Bk es Ik , y
escribir
1 0T 1 0T
Ak+1 = y Bk+1 =
v Ak w Bk
donde v y w están en Rk , v T = [11 . . . 1] , y wT = [−10 . . . 0]. Entonces
1 0T 1 0T 1 + 0T w 0T + 0T Bk 1 0T
Ak+1 Bk+1 = = = = Ik+1
v Ak w Bk v + Ak w v0T + Ak Bk 0 Ik
26. [M ] Para las operaciones de bloque, podrı́a ser necesario introducir o recurrir a subma-
trices de una matriz grande. Describa las funciones o comandos de un programa de matrices
12
que realizan las siguientes tareas. Suponga que A es una matriz de 20 × 30.
Matematica:
Para [i = 10, i <= 14, i + +,
Para[j = 20, j <= 29, J + +, [[i, j]] = B[[I − 9, J − 19]]]]; Colón suprime la salida.
A 0
c.Crear B = con MATLAB, construir B de cada cuatro bloques:
0 AT
B = [cerosA(30, 20)ceros(20, 30)A];
Otro método: antes introduce B = A; y luego ampliar B con el comando B(2150, 3150) = A;
Esto coloca en el AT (2, 2) el bloque más grande de la B y se llena en el (1, 2) y (2, 1)
bloquea con ceros.
Para arce:
B = matriz(50, 50, 0): copyinto (A, B, 1, 1): copyinto (transposición (A), B, 21, 31):
Para Matemática:
B = BlockMatrix [A, ZeroMatrix [30, 20], ZeroMatrix [20, 30], Transponer [A]]
a. [M] construir una de cuatro bloques, por ejemplo C11 ,C12 , C21 , y C22 , por ejemplo C11
con una matriz de 30 × 30 y C22 una matriz de 20 × 20.
MATLAB:
Los comandos en Maple y Mathematica son análogas, pero con una sintaxis diferente. El
primero los comandos son:
Arce: C11 : = submatriz (A, 1.,30, 1.,30) + submatriz (B, 1.,30, 1.,30)
Matematica: C11 : = participe [0, (1, 30), (1, 30)] + Tome [B, (1, 30), (1, 30)]