Universidad de las fuerzas armadas espe

Deber semanal

Operaciones con Matrices

2.4 Matrices partidas

Alexander Guerrero
Nicolas Jácome
Jefferson Albuja

supervised by
Ing.Richard Bérnis

28 de junio de 2016
2

Matrices partidas

2.4 EJERCICIOS
En los ejercicios 1 a 9, suponga que las matrices están partidas de manera adecuada para
la multiplicación por bloques. Encuentre los productos mostrados en los ejercicios 1 a 4.
     
I 0 A B E 0 A B
1. 2.
E I C D 0 F C D

     
I 0 A B 0 I W X
3. 4.
E I C D I 0 Y Z

1.Aplicar la regla fila-columna como si las entradas de la matriz eran números, pero para
cada producto siempre escribir la entrada del bloque de matriz de la izquierda a la izquierda.
      
I 0 A B IA + OC IB + 0D A B
= =
E I C D EA + IC EB + ID EA + C EB + D
2.Aplicar la regla fila-columna como si las entradas de la matriz eran números, pero para
cada producto siempre escribir la entrada del bloque de matriz de la izquierda a la izquierda.
      
E 0 A B EA + OC EB + 0D EA EB
= =
0 F C D 0A + F C 0B + F D FC FD
3.Aplicar la regla fila-columna como si las entradas de la matriz eran números, pero para
cada producto siempre escribir la entrada del bloque de matriz de la izquierda a la izquierda.
      
0 I W X 0W + IY 0X + IZ Y Z
= =
I 0 Y Z IW + 0Y IX + 0Z W X
4.Aplicar la regla fila-columna como si las entradas de la matriz eran números, pero para
cada producto siempre escribir la entrada del bloque de matriz de la izquierda a la izquierda.
      
I 0 A B IA + 0C IB + 0D A B
= =
−X I C D −XA + IC −XB + ID −XA + C −XB + D

En los ejercicios 5 a 8, encuentre fórmulas para X, Y y Z en términos de A, B y C, y justi-

fique sus cálculos. Para producir una fórmula, en algunos casos, puede ser necesario formular
suposiciones acerca del tamaño de una matriz. [Sugerencia: Calcule el producto de la izquierda
e iguálelo al miembro del lado derecho.]
    
A B I 0 0 I
5. =
C 0 X Y Z 0

    
X 0 A 0 I 0
6. =
Y Z B C 0 I
 3
 
  A Z  
X 0 0  I 0
7. 0 0 =

Y 0 I 0 I
B I
    
A B X Y Z I 0 0
8. =
0 I 0 0 I 0 0 I

5.Calcule el lado izquierdo de la ecuación:

    
A B I 0 AI + BX 0 A0 + BY
=
C 0 X Y CI + 0X 0 C0 + 0Y
Establecer esta igualdad al lado derecho de la ecuación:
   
AI + BX BY 0 I
= obtenemos
C 0 Z 0
AI + BX = 0 BY = I
C=Z 0=0

6. Calcular el lado izquierdo de la ecuación:

      
X 0 A 0 XA + 0B X0 + 0C XA 0
= =
Y 0 B C Y A + ZB Y 0 + ZC Y A + ZB ZC
Establecer este igual al lado derecho de la ecuación:
   
XA 0 I 0
= obtenemos
Y A + ZB ZC 0 I
XA = I 0 = 0
Y A + ZB = 0 ZC = I

7. Calcular el lado izquierdo de la ecuación:

 
  A Z  
X 0 0  XA + 0 + 0B XZ + 0 + 0I
0 0 =
Y 0 I Y A + 0 + IB Y Z + 0 + II
B I
Establecer este igual al lado derecho de la ecuación:
   
XA XZ I 0
= obtenemos
YA+B YZ +I 0 I
XA = I XZ = 0
YA+B =0 YZ +I =I

8. Calcular el lado izquierdo de la ecuación:

    
A 0 X Y Z AX + B0 AY + B0 AZ + BI
=
B I 0 0 I 0X + IO OY + I0 0Z + II
Establecer este igual al lado derecho de la ecuación:
4
   
AX AY AZ + B I 0 0
= obtenemos
0 0 I 0 0 I
XA = I XZ = 0
YA+B =0 YZ +I =I

Para utilizar la igualdad de la (1,1) bloques, supongamos que A y X son cuadrados. Por
el IM T , la ecuación XA = I implica que A es invertible y X = A−1 . (Véase el comentario
en caja que sigue a la CMI. Puesto que y = 0, de la igualdad de la (1, 2) bloques, dada la
multiplicación por A−1 da A−1 AY = A−1 0 = 0, por lo que Y = 0 por último, a partir de la (1,
3) bloques, AZ = −B multiplicación por A−1 A−1 AZ = A−1(−B), y Z = −A−1 b, el orden de
los factores para Z es crucial.

9. Suponga que A11 es una matriz invertible. Encuentre matrices X y Y tales que el producto
mostrado a continuación tenga la forma indicada. También, calcule B22 . [Sugerencia: Calcule
el producto de la izquierda e iguálelo al miembro del lado derecho.]
    
I 0 0 A11 A12 B11 B12
X I 0 A21 A22  =  0 B22 
Y 0 I A31 A32 0 B32

9. Calcular el lado izquierdo de la ecuación:

    
I 0 0 A11 A12 IA11 + 0A21 + 0A31 IA12 + 0A22 + 0A32
X I 0 A21 A22  = XA11 + IA21 + 0A31 XA12 + IA22 + 0A32 
Y 0 I A31 A32 Y A11 + 0A21 + IA31 Y A12 + 0A22 + IA32
Establecer este igual al lado derecho de la ecuación:
   
A11 A12 B11 B12
XA11 + A21 XA12 + A22  =  0 B22 
Y A11 + A31 Y A12 + A32 0 B32

A11 = B11 A12 = B12

XA11 + A21 = 0 XA12 + A22 = B22
Y A11 + A31 = 0 Y A12 + A32 = B32

   
I 0 0 I 0 0
10. El inverso de C I 0 es  Z I 0 encuentre X, Y y Z en los ejercicios 11 y 12,
A B I X Y I
señale cada afirmación como verdadera o falsa. Justifique sus respuestas.

Dado que las dos matrices son inversas,

     
I 0 0 I 0 0 I 0 0
C I 0 es  Z I 0 = 0 I 0
A B I X Y I 0 0 I
 5

Calcule el lado izquierdo de la ecuación:

     
I 0 0 I 0 0 II + 0Z + 0X I0 + 0I + 0Y I0 + 00 + 0I
C I 0 es Z I 0 = CI + IZ + 0X C0 + II + 0Y
    C0 + I0 + 0I 
A B I X Y I AI + BZ + IX A0 + BI + IY A0 + B0 + II
Establecer este igual al lado derecho de la ecuación:
   
I 0 0 I 0 0
 C +Z I 0 = 0 I 0
A + BZ + X B + Y I 0 0 I

I=I 0=0 0=0

C +Z =0 I=I 0=0
A + BZ + X = 0 B+Y =0 I=I

11.a. Si A = [A1 A2 ] y B = [B1 B2 ] , teniendo A1 y A2 el mismo tamaño que B1 y B2 ,

respectivamente,
 entonces  A + B = [A1 + B1 A2 + B2 ].
A11 A12 B1
b. Si A = yB = entonces las particiones de A y B están conformadas
A21 A22 B2
para multiplicación por bloques.

a. Verdadero. Consulte la subsección La suma y la multiplicación escalar.

b. Falso. Ver el párrafo anterior al Ejemplo 3.

12. a. La definición del producto matriz-vector Ax es un caso especial de la multiplicación

por bloques.  
A1  
b. Si A1 , A2 , B1 y B2 son matrices de n × n, A = y B = B1 B2 entonces el producto
A2
BA está definido, pero AB no.

a. Cierto. Ver el párrafo anterior al Ejemplo 4.

b. Falso. Ver el párrafo anterior al Ejemplo 3.

 
B 0
13. Sea A = donde B y C son cuadradas. Demuestre que A es invertible si, y sólo
C 0
si, tanto B como C son invertibles.

Se le pide que establezca si y sólo si la declaración. En primer lugar, supongamos que A es

invertible, y dejar
 
−1 D E
A = entonces:
F G
6
      
B 0 D E BD BE I 0
A= = =
C 0 F G CF CG 0 I
Puesto que B es cuadrada, la ecuación BD = I implica que B es invertible, por el IM T .
Del mismo modo, CG = I implica que C es invertible. Además, la ecuación BE = 0 imples
que E = B −1 0 = 0. Del mismo modo F = 0. Por lo tanto
 −1    −1 
−1 B 0 D E B 0
A = = =
0 C E G 0 C −1
Esto demuestra que A es invertible sólo si B y Cson invertible. Para la parte ”si” de la de-
claración, supongamos que B y C son invertibles. Entonces proporciona un candidato probable
para A−1 que puede ser utilizado para mostrar que A es invertible. Calcular:

B 0 B −1 0
    −1 −1   
B B 0 I 0
= =
0 C 0 C −1 0 C −1 C −1 0 I
Puesto que A es cuadrada, este cálculo y el IM T implican que A es invertible.
 −1    −1   
B 0 B 0 B B 0 I 0
= =
0 C −1 0 C 0 C −1 C 0 I

14. Muestre que la matriz triangular superior en bloque A presentada en el ejemplo 5 es

invertible si, y sólo si, tanto A11 como A22 son invertibles. [Sugerencia: Si A11 y A22 son inverti-
bles, la fórmula para A−1 dada en el ejemplo 5 funciona realmente como el inverso de A.] Este
hecho acerca de A es una parte importante de varios algoritmos de computadora que estiman
valores propios de matrices. Los valores propios se analizan en el capı́tulo 5.

A11 A12 A−1 −A−1 −1

A11 A−1 −1 −1 −1
    
11 11 A12 A22 11 + A12 0 A11 (−A11 )A12 A22 + A12 A22
= =
0 A21 0 A−1
22 0A−1
11 + A22 0 0(−A−1 −1 −1
11 )A12 A22 + A22 A22

I −(A11 A−1 −1 −1
I −A12 A−1 −1
     
11 A12 A22 + A12 A22 ) 22 + A12 A22 ) I 0
= =
0 I 0 I 0 I
Puesto que A es cuadrada, este cálculo implican que A es invertible.

15. Suponga que A11 es invertible. Encuentre X y Y tales que:

     
A11 A12 I 0 A11 0 I Y
=
A21 A22 X I 0 S 0 I
Donde S = A22 − A21 A−1 11 A12 . La matriz S es el complemento de Schur de A11 . De igual
modo, si A22 es invertible, la matriz A11 − A12 A−122 A21 se denomina complemento de Schur de
A22 . Tales expresiones son comunes en la teorı́a de ingenierı́a de sistemas y en otras áreas.

Calcule el lado derecho de la ecuación:

        
I 0 A11 0 I Y A11 0 I Y A11 A11 Y
= =
X I 0 S 0 I XA11 S 0 I XA11 XA11 Y + S
Establecer esta igualdad al lado izquierdo de la ecuación:
 7
   
A11 A11 Y A11 A12
= tenemos
XA11 XA11 Y + S A21 XA22

A11 = A11 A11 Y = A12

XA11 = A21 XA11 Y + S = XA22

16. Suponga que la matriz de bloques A ubicada en el miembro izquierdo de (7) y A11 son
invertibles. Demuestre que el complemento de Schur S de A11 es invertible. [Indicación: Los
factores externos localizados en el miembro derecho de (7) siempre son invertibles. Verifique
esto.] Cuando A y A11 son ambos invertibles, (7) conduce a una fórmula para A−1 , utilizando
S −1 , A−1
11 , y las otras entradas de A.

Supongamos que A y A11 es invertible.

    
I 0 I 0 I 0
= Y
X Y −X Y 0 I
    
I Y I −Y I 0
= Puesto que las matrices
0 I 0 I 0 I
   
I 0 I Y
Y son cuadradas
X Y 0 I

 −1  −1
I 0 I Y
multiplicamos por encontramos :
X Y 0 I

   −1  −1
A11 0 I 0 I Y
= A
0 S X Y 0 I
 
A11 0
Por lo tanto, según el teorema 6, la matriz es invertible como el producto de
0 S
matrices invertibles.

17. Cuando se lanza una sonda al espacio profundo, puede ser necesario efectuar correccio-
nes para colocarla en una trayectoria calculada con precisión. La telemetrı́a radial proporciona
una serie de vectores, x1 , . . . , xk , que dan información en diversos momentos acerca de la dife-
rencia entre la posición de la sonda y su trayectoria planeada. Sea Xk la matriz [x1 . . . xk ]. La
matriz Gk = Xk XkT se calcula conforme se analizan los datos del radar. Cuando llega xk+1 , se
debe calcular una nueva Gk+1 . Dado que los vectores de datos llegan a alta velocidad, la carga
computacional podrı́a ser severa. Sin embargo, la multiplicación de matrices proporciona una
ayuda muy grande. Determine los desarrollos columna-fi la de Gk y Gk+1 , y describa lo que se
debe calcular para actualizar Gk y formar Gk+1 .

Las expansiones de la columna de la fila de Gk y Gk+1 son los siguientes:

8

Gk = Xk XkT = col1 (Xk )f il1 (XkT ) + . . . + colk (Xk )f ilk (XkT )

T
Gk+1 = Xk+1 Xk+1

T T T
= col1 (Xk+1 )f ila1 Xk+1 + . . . + colk (Xk+1 )f ilak Xk+1 + colk+1 (Xk+1 )f ilak+1 Xk+1

T
= col1 (Xk )f ila1 XkT + . . . + colk (Xk+1 )f ilak XkT + colk+1 (Xk+1 )f ilak+1 Xk+1

= Gk + colk+1 (Xk+1 )f ilak+1 (XkT )

18. Sea X una matriz de datos de m × n tal que X T X es invertible, y sea M = Im −

X(X T X)−1 X T . Añada una columna x0 a los datos y forme W = [Xx0 ].

Calcule W T W . La entrada (1, 1) es X T X. Muestre que el complemento de Schur (ejerci-

cio 15) de X T X puede escribirse en la forma xT0 M x0 . Se puede demostrar que la cantidad
(xT0 M x0 )−1 es la entrada (2, 2) de (W T W )−l . Esta entrada tiene una interpretación estadı́stica
útil, bajo las hipótesis apropiadas.

En el estudio de ingenierı́a de control de sistemas fı́sicos, un conjunto estándar de ecuaciones

diferenciales se convierte en el siguiente sistema de ecuaciones lineales por medio de transfor-
madas de Laplace:
    
A − sIn B x 0
=
C Im u y
donde A es de n × n, B de n × m, C de m × n, y s una variable. El vector u en Rm es la
“entrada” del sistema, y en Rm es la “salida” del sistema, yx en Rn es el vector de “estado”.
(De hecho, los vectores x, u e y son funciones de s, pero este hecho se omite porque no afecta
los cálculos algebraicos de los ejercicios 19 y 20.)

Ya que W = [Xx
 0]  T 
T
T X X X X T x0
W W = [Xx0 ] =
xT0 xT0 X xT0 x0
Mediante la aplicación de la fórmula de S de ejercicio 15, S puede ser calculada:

S = xT0 x0 − xT0 X(X T X)−1 X T x0

= xT0 (Im − X(X T X)−1 X T )x0

= xT0 M x0

19. Suponga que A − sIn es invertible y vea a (8) como un sistema de dos ecuaciones matri-
ciales. Resuelva la ecuación superior para x y sustitúyala en la ecuación inferior. El resultado
es una ecuación de la forma W (s)u = y, donde W (s) es una matriz que depende de s. W (s) se
denomina función de transferencia del sistema porque transforma la entrada u en la salida y.
Encuentre W (s) y describa óómo está relacionada con el sistema de matriz partida del miembro
 9

izquierdo de (8). Vea el ejercicio 15.

La ecuación de la matriz (8) en el texto es equivalente a

(A − sIn )x + Bu = 0 y Cx + u = y

Vuelva a escribir la primera ecuación como (A − sIn )x = −Bu.Donde A − sIn es invertible,

x = (A − sIn )−1 (−Bu) = −(A − sIn )−1Bu

Sustituir esta fórmula para x en la segunda ecuación anterior:

C(−(A − sIn )−1 − Bu) + u = y obtenemos Im u − C(A − sIn )−1 Bu = y

Es y = (Im − C(A − sIn )−1 B)u. Si W (s) = Im − C(A − sIn )1B, entonces y = W (s)u. La
matriz W (s) es el complemento de Schur de la matriz A − sIn en la matriz del sistema en la
ecuación (8)

20. Suponga que la función de transferencia W (s) del ejercicio 19 es invertible para alguna
s. Puede mostrarse que la función de transferencia inversa W (s)−1 , la cual transforma salidas
en entradas, es el complemento de Schur de A − BC − sIn para la matriz que se presenta a
continuación. Encuentre este complemento de Schur. Vea el ejercicio 15.
 
A − BC − sIn B
−C Im
Mediante la aplicación de la fórmula de S de ejercicio 15, S puede ser calculada:

S = Im − (−C)(A − BC − sIm )−1 B

= Im + C(A − BC − sIm )−1 B



2 1 3
21. a. Verifique que A = I cuando A =
0 −1
 
1 0 0 0
3 −1 0 0
b. Use matrices partidas para demostrar que M 2 = I cuando  
1 0 −1 0
0 1 −3 1
      
1 0 1 0 1+0 0+0 1 0
a. A2 = = 2 =
3 −1 3 −1 3 − 3 0 + (−1) 0 1
    2   
2 A 0 A 0 A +0 0+0 I 0
b. M = = =
I −A I −A A − A 0 + (−A)2 0 I

22. Generalice
 la idea del ejercicio 21(a) [no del 21(b)] al construir una matriz de 5 × 5
A 0
,M = tal que M 2 = I. Convierta a C en una matriz de 2 × 3 distinta de cero. Muestre
C D
10

que su estructura funciona.

Sea X cualquier
 matriz no  2 × 3. Definir
 nula   
I3 0 I3 0 I3 + 0 0+0 I3 0
M= = =
C −I2 C −I2 CI3 − I2 C 0 + (−I2 )2 0 I2

23. Use matrices partidas para demostrar por inducción que el producto de dos matrices
triangulares inferiores es también triangular inferior. [Sugerencia: Una matriz A1 de (k + 1) ×
(k + 1) puede escribirse en la forma presentada a continuación, donde a es un escalar, v está
en Rk , y A es una matriz triangular inferior de k × k. [Vea la guı́a de estudio (Study Guide)
para obtener ayuda con la induccióón.]
 
a 0T
A1 =
v A
El producto de dos matrices 1 × 1 ”triangular inferior.es ”triangular inferior.”Supongamos
que para n = k, el producto de dos k × k menor matrices triangulares es triangular inferior, y
se planteará cualquier (k + 1) × (k + 1) matrices A1 y B1 . Partición estas matrices como
   
a 0T b 0T
A1 = ,
v A w B
donde A y B son matrices k × k , v y w están en Rk , y a y b son escalares. Desde A1 y B1
son triangular inferior, por lo que son A y B. A continuación,
      
a 0T b 0T ab + 0T w a0T + 0T B ab 0T
A1 B1 = = =
v A w B vb + Aw v0T + AB bv + Aw AB
Dado que A y B son k × k, AB es triangular inferior. La forma de A1 B1 muestra que,
también, es triangular inferior. Ası́, la declaración acerca de matrices triangulares inferiores es
cierto para n = k + 1, si bien es cierto para n = k. Por el principio de inducción, la afirmación
es cierta para todo n > 1.

24. Use matrices partidas para demostrar por inducción que para n = 2, 3, . . . , la matriz A
de n × n presentada a continuación es invertible y que B es su inverso.
 
1 0 0 ... 0
1 1 0 0
 
1 1 1 0
A=


 .. . . 
. . 
1 1 ... 1
 
1 0 0 ... 0
−1 1 0 0
 
 0 −1 1 0
B= 
 .. .. .. 
 . . . 
0 . . . −1 1
Para el paso de inducción, suponga que A y B son matrices de (k + 1) × (k + 1) , y parta
A y B de una manera similar a la desplegada en el ejercicio 23.
 11
   
1 0 0 ... 0 1 0 0 ... 0
−1
1 1 0 0
  1 0 0
 
A = 1 1 1
 0 , B =  0 −1 1
  0
 .. ...   .. ... ... 
.   . 
1 1 ... 1 0 . . . −1 1
Por cálculo directo A2 B2 = I2 . Supongamos que para n = k, la matriz es Ak Bk es Ik , y
escribir
   
1 0T 1 0T
Ak+1 = y Bk+1 =
v Ak w Bk
donde v y w están en Rk , v T = [11 . . . 1] , y wT = [−10 . . . 0]. Entonces
      
1 0T 1 0T 1 + 0T w 0T + 0T Bk 1 0T
Ak+1 Bk+1 = = = = Ik+1
v Ak w Bk v + Ak w v0T + Ak Bk 0 Ik

25. Sin utilizar reducción por filas, encuentre el inverso de.

 
1 2 0 0 0
3 5 0 0 0
 
A= 0 0 2 0 0 

0 0 0 7 8
0 0 0 5 6
En primer lugar, visualizar una partición de A como una matriz diagonal por bloques 2 × 2,
como abajo, y luego visualizar la (2,2) Bloque a sı́ misma como una matriz diagonal por blo-
ques. Es decir
 
1 2 0 0 0  
 3 5 0 0 0    2 0 0  
  A 11 0 2 0
A=   0 0 2 0 0 =
 donde A22 =  0 7 8  =
 0 0 0 7 8  0 A 22 0 B
0 5 6
0 0 0 5 6
 
−1 3 −4
Obsérvese que B es invertible y B = tenemos que :
−2,5 3,5
   
0,5 0 0,5 0 0
A−1
22
 0 3 −4 = 0 3 −4
0 −2,5 3,5 0 −2,5 3,5
 
−5 2
A continuación, señala que un 11 también es invertible, con la inversa
3 −1
   
−5 2 0 0 0 −5 2 0 0 0
 −1   3 −1 0 0 0   3 −1 0 0 0
−1 A11 0    
A = −1 = 
 0 0 0,5 0 0  =  0
  0 0,5 0 0
0 A22 
 0 0 0 3 −4   0 0 0 3 −4
0 0 0 − 2,5 3,5 0 0 0 −2,5 3,5

26. [M ] Para las operaciones de bloque, podrı́a ser necesario introducir o recurrir a subma-
trices de una matriz grande. Describa las funciones o comandos de un programa de matrices
12

que realizan las siguientes tareas. Suponga que A es una matriz de 20 × 30.

a. Desplegar la submatriz de A desde las filas 15 a 20 y las columnas 5 a 10.

b. Insertar en A una matriz B de 5 × 10, comenzando en la fila 10 y la columna 20.

 
A 0
c. Crear una matriz de 50 × 50 de la forma B =
0 AT

a. Mostrar la submatriz de A obtenida de las filas 15 a 20 y las columnas 5 a 10.

MATLAB: A (15:20, 05:10)

Arce: submatriz (A, 15..20, 5..10)

Mathematica: Tome [A, 15,20, 5,10]

b.Insertar una matriz 5 × 10 B en filas 10 a 14 y las columnas 20 a 29 de la matriz A:

MATLAB: A (10:14, 20:29) = B; El punto y coma suprime la visualización de salida.

Arce: copyinto (B, A, 10, 20): El colon suprime pantalla de salida.

Matematica:
Para [i = 10, i <= 14, i + +,
Para[j = 20, j <= 29, J + +, [[i, j]] = B[[I − 9, J − 19]]]]; Colón suprime la salida.

 
A 0
c.Crear B = con MATLAB, construir B de cada cuatro bloques:
0 AT
B = [cerosA(30, 20)ceros(20, 30)A];
Otro método: antes introduce B = A; y luego ampliar B con el comando B(2150, 3150) = A;
Esto coloca en el AT (2, 2) el bloque más grande de la B y se llena en el (1, 2) y (2, 1)
bloquea con ceros.

Para arce:

B = matriz(50, 50, 0): copyinto (A, B, 1, 1): copyinto (transposición (A), B, 21, 31):

Para Matemática:

B = BlockMatrix [A, ZeroMatrix [30, 20], ZeroMatrix [20, 30], Transponer [A]]

27. [M ] Suponga que debido a restricciones de memoria o tamaño su programa de matrices

no puede trabajar con matrices de más de 32 filas y 32 columnas, y suponga que algún proyecto
requiere las matrices A y B de 50 × 50. Describa los comandos u operaciones de su programa
para matrices que realizan las siguientes tareas.
 13

a. Calcular A + B. b. Calcular AB c. Resolver Ax = b para algún vector b en R5 0, suponien-

do que A se puede partir en una matriz de bloque de 2 × 2[Aij ], siendo A11 una matriz invertible
de 20 × 20, A22 una matriz invertible de 30 × 30, y A12 una matriz cero. [Sugerencia:Describa
sistemas apropiados más pequeños que puedan resolverse sin usar inversos de matrices.]

a. [M] construir una de cuatro bloques, por ejemplo C11 ,C12 , C21 , y C22 , por ejemplo C11
con una matriz de 30 × 30 y C22 una matriz de 20 × 20.

MATLAB:

C11 = A(1 : 30, 1 : 30) + B(1 : 30, 1 : 30)

C12 = A(1 : 30, 31 : 50) + B(1 : 30, 31 : 50)
C21 = A(31 : 50, 01 : 30) + B(31 : 50, 01 : 30)
C22 = A(31 : 50, 31 : 50) + B(31 : 50, 31 : 50)
C = [C11 C12 ; C21 C22 ]

Los comandos en Maple y Mathematica son análogas, pero con una sintaxis diferente. El
primero los comandos son:

Arce: C11 : = submatriz (A, 1.,30, 1.,30) + submatriz (B, 1.,30, 1.,30)
Matematica: C11 : = participe [0, (1, 30), (1, 30)] + Tome [B, (1, 30), (1, 30)]

b. El álgebra necesaria proviene de la multiplicación de matrices de bloques:

    
A11 A12 B11 B12 A11 B11 + A12 B21 A11 B12 + A12 B22
AB = =
A21 A22 B21 B22 A21 B11 + A22 B21 A21 B12 + A22 B22
c. El álgebra necesaria proviene de la ecuación de la matriz de bloques
    
A11 0 x1 b
= = 1
A21 A22 x2 b2
donde x1 y b1 están en R30 y x2 y b2 están en R20 . Entonces A11 x1 = b1 , que se pueden resolver
para producir x1 . Una vez que x1 es encontrado, vuelva a escribir la ecuación A21 x1 +b2 = A22 x2
como A22 x2 = c, donde c = b2 − A21 x1 , y resolver A22 x2 = c por x2 .