ANALISIS MATEMATICO III Tarea n01

TAREA N1

Tema: Integrales Dobles

1. Resolver los ejemplos desarrollados en clase, utilizando los mismos

mtodos. Usar el programa derive para graficar la regin R y para verificar
resultados.
a) Calcular la integral doble:

x.sen( xy)dA ; Donde:

R
R {( x; y ) / 0 x 1^0 y / 2}

1
II D 2 x.sen( xy)dydx
0
0

1
II D 2 sen( xy).xdydx
0
0

II D cos(xy)0 dx
1 /2
0

II D cos( / 2).x 1dx

1

II D (2 / ).sen( / 2).x x0
1

2(1) 2(0)
II D 1 0

2
II D

Ing. URTEAGA BECERRA, Horacio

ANALISIS MATEMATICO III Tarea n01

b) Calcular la integral doble:

senx.dA
4 sen y
R
2 ; Donde: R {( x; y ) / 0 x / 2^0 y x}

/2 yx senx
II D dydx
0 0 4 sen2 y

/2 x dy
II D sen.x
0 4 sen2 y
dx
0

Hagamos: Tan( y ) z y arc. tan( z )

1
dy dz
1 z2

2
z
1+ z z z
Tan( y ) Sen( y )
1
1 1 z2
1

1 zz 2 dz =
dy 2 dz 1 3dz
Sea: I
4 sen2 y
= 4 3z 2
=
3 2 ( 3z) 2
2
4
1 z2

1 1 z 3 1 3. tan( y )
I . .arctg arctan
3 2 2 2 3 2
x
/2 1 3. tan( y )
II D sen.x arctan dx
0
2 3 2 0

Ing. URTEAGA BECERRA, Horacio

ANALISIS MATEMATICO III Tarea n01

/2 1 3. tan( x)
II D sen.x arctan 0dx
0
2 3 2

1 /2 3 tan( x)
3
II D sen( x).arctan dx
2 2
0

c) Calcular la integral doble:

2 y 1
xR
2
1
. cos ydA ; Donde: R {( x; y ) / 2 x 2^0 y 4 x 2 }

2 y 4 x 2 2 y 1
II D . cos(y )dydx
2 0 x2 1

1 4 x 2
(2 y 1) cos(y)dydx
2
II D
2 x 2 1 0

Sea: u=2y-1 ^ dv=cos(y).dy

du=2dy ^ v=sen(y)

II D
2 1
2 x 2 1
( 2 y 1)
sen( y ) sen( y ) 2 dy
4 x 2

0
dx
1

2
II D
4 x 2
( 2 y 1) sen( y ) 2 cos( y ) dx
2 x 2 1 0

II D
2

2
1
x 12

(7 2 x 2 ) sen(4 x 2 ) 2 cos(4 x 2 ) 0 2 d x
(7 2 x 2 ) sen(4 x 2 ) cos(4 x 2 )
2 2 2
dx
II D 2 x 1
2
dx 2
2
x 1
2
dx 2 2
2
x 1

Ing. URTEAGA BECERRA, Horacio

ANALISIS MATEMATICO III Tarea n01

d) Calcular el volumen del slido que es la interseccin de las superficies:

x2+y2=16 ^ x2+z2=16 en el primer octante.
Solucin

Grafica

Si: x2+y2=16 cilindro de radio 4

Si: x2+z2=16 cilindro de radio 4

Ahora calculamos el volumen del slido (V)

4 y 16 x 2
Dv=zdA V= zdA
R
0
0
z.dydx

4 y 16 x 2
V 16 x 2 dydx
0 0

V
0
4
16 x 2 16 x 2
0 dx
4
V 16 x 2 dx
0

4
x3 64
V 16x 64 0 0
3 0 3

128 3
V u
3

Ing. URTEAGA BECERRA, Horacio

ANALISIS MATEMATICO III Tarea n01

2. Calcule las siguientes integrales dobles, graficando la regin R en forma previa

en el programa derive.
a) x
2
y 2 1 x 3 y 3 dA, donde R ( x, y) x 0, y 0 x3 y 3 1
R

Solucin

1. Grafica

: x3 y 3 1

Para x=0 entonces y=1

Para y=0, entonces x=1

2. Calculo de la integral

1
1 1 y
3 3 3 1 y 3
1
ID x y 2 23
1 x y dxdy 3x 2 y 2 3 1 x 3 y 3 dx dy
3 3

3 0
0 0 0

3
1 y 3

1
ID
y 2 1 y
3 3
1
1 x 3 y 3 3x 2 dx dy
1/3 y 2
1 x 3
y
3 4/3

dy
3 0 3 4

0
0
3 0
1 2 3 1 2
1 4/3 1
y 3 1 0 y y 1 y 3 dx
3

3 4/3 4/3
ID y 1 1 y 3
dy
4 0 4 0

1 3
1
7/3
1 1
I D y 2 1 y 3 dx 1 y 3 3 y 2 dy 1 y3
1 11

4/3 4/3

40 430
12 7 0
1 3
1 1 1 0 * u 2
3 1 3 1
ID
7/3 7/3

12 7 7 12 7 28

Ing. URTEAGA BECERRA, Horacio

ANALISIS MATEMATICO III Tarea n01

2 cos()
b. ; : 2 20 4 2

SOLUCIN:

i) Primero dibujamos en Derive las funciones:

2 2

0 4 2

Ing. URTEAGA BECERRA, Horacio

ANALISIS MATEMATICO III Tarea n01

2 20 4 2

2 cos()
: ; =

2 4 2
2 cos()
=

2 0

= [2 [ ( 2 4) cos( 3 4 ) + 0.5 ( 6 8 4 + 16 2 2)
2
4 2
( 3 4)]]0

= 7.7

Ing. URTEAGA BECERRA, Horacio

ANALISIS MATEMATICO III Tarea n01

c) x 2
1
y2 1

dA, donde R ( x, y) / x 2 y 2 36
R

solucin

1. Grafica

: x 2 y 2 36 y 36 x 2

2. Calculo de la integral
Pasamos a coordenadas polares

: x 2 y 2 36 x 2 y 2 r 2
2 6
1 1 rdrd
R x 2 y 2 1dA R x 2 y 2 1dydx r
0 0
2
1
2 2
1 6
6
r 1
ID
0
2
0
2
2
r 1
dr

d
2 0
ln(r 2 1) d
0
2 2
1 1
ID
2 0 ln(37) ln(1)d 2 ln(37)d
0

ln(37) 2 ln(37)
ID 0 2 0
2 2
I D ln(37)u 2

dA , donde R ( x, y) / x 2 y 2 36 es ln(37)u 2
1
3.
R
x y2 1
2

Ing. URTEAGA BECERRA, Horacio

ANALISIS MATEMATICO III Tarea n01

3. Problema 3: Calcule el volumen del solido acotado por las superficies

x 0, x y, z y , z 2 y , y 98 graficar el slido en AutoCAD 3D

Solucin

1 Grafica

2 Calculo del volumen del solido

98 x 98 y x
V dA zdA 2 y y dydx

R 0 0 0 0
x
1 1
98 x 98
y2
V ydydx
0
1 dx
0 0 1
2 0
98
3 98
2 2 32
3 0 3 0
V y 2
dx x dx

98
3 1 98
2 x2 2* 2 52
V x
3 3 1 3*5 0
2 0

V 98 2 u 3
4 5

15

4 52 3
3 el volumen es 98 u
15

Ing. URTEAGA BECERRA, Horacio

ANALISIS MATEMATICO III Tarea n01

4. PROBLEMA 4: Expresar como una integral doble y como una integral iterada la
medida del volumen del solido que esta sobre el plano X, Y acotado por el
paraboloide elptico z x 2 4 y 2 y el cilindro x 2 4 y 2 4 . Luego calcular la
integral iterada, que determina el volumen de dicho slido. Dibuje el slido en
AutoCAD 3D.

Solucin

1. Grafico del solido

s1 : z x2 4 y 2 .. paraboloide elptico

x2 y 2
s2 : x 4 y 4
2 2
1
4 1

2. Calculamos el volumen del solido

dv z * dA v dA
R

1 2 1 y
2

v ( x 4 y )dA 4
2 2
( x 2 4 y 2 )dxdy
R 0 0
1
x3
v 4 ( 4 y 2 x) 02 1 y 2
dy
0
3
8 (1 y 2 )3
1
v 4 ( 8 y 2 1 y 2 )dy
0
3

Ing. URTEAGA BECERRA, Horacio

ANALISIS MATEMATICO III Tarea n01

Hagamos:

y sen( ) dy cos( )d

para : y 0 0 para : y 1
2

2
8 (1 sen 2 ( ))3
v 4 8sen 2 ( ) (1 sen 2 ( )) cos( ) d
0
3

2
8cos3 ( )
v 4 ( 8sen 2 ( ) cos( )) cos( ) d
0
3

2
8cos3 ( )
v 4 ( 8sen 2 ( ) cos 2 ( ))d
0
3

Por ngulo doble:

2
8 1 cos(2 ) 2 8sen 2 (2 )
v 4 ( ) d
0
3 2 4

2
2 cos(4 ) 4 cos(4 )
v 4 (1 cos(2 ) 1 ) 2( ) d
0
3 2 2

2
2 sen(4 ) sen(4 )
v 4 ( sen(2 ) ) d
0 3 2 2 2
Re emplazando :
v 4 u 3

Ing. URTEAGA BECERRA, Horacio

ANALISIS MATEMATICO III Tarea n01

5. PROBLEMA 5: Calcule el volumen del solido acotado por las superficies

z 2 x 2 y 2 z 8 x 2 2 y 2 , dentro del cilindro x 2 y 2 1 , dibuje el slido en
AutoCAD 3D

SOLUCION

1. Grafico del solido

s1 : z 2 x2 y 2 ... paraboloide elptico de vrtice (0,0,0), se abre hacia arriba

s2 : z 8 x2 2 y 2 paraboloide elptico de vrtice (0,0,8), se abre hacia abajo

c1 : x2 y 2 1

2. Volumen del slido v

El volumen total consta de la suma de tres volmenes.

v1 volumen del paraboloide hasta el plano z=3

v2 volumen del cilindro recto entre los planos z 1 z 3

v3 volumen del paraboloide superior desde el plano z 5

Calculo del volumen 1

Ing. URTEAGA BECERRA, Horacio

ANALISIS MATEMATICO III Tarea n01

1 1 2 x2

v1 4 (2 x 2 y 2 )
0 0
1
y 3 1 x2
v1 4 (2 x 2 y )0 dx
0 3
3
1
1 x2
v1 4 (2 x 2
1 x 2
) dx
0 3
hagamos : x sen ( ) dx cos( ) d

para : y 0 0 y 1
2

3
2
1 sen 2 ( )
v1 4 (2 sen ( ) 1 sen ( )
2 2
) cos( ) d
0 3

2
cos( )3
v1 4 (2 sen 2 ( ) cos( ) ) cos( ) d
0 3

2
cos( ) 4
v1 4 (2 sen 2 ( ) cos 2 ( ) ) d
0 3

1 cos(2 ) 1 cos(2 )
2
v1 4 [( )( )] (cos( ) 2 ) 2 d
0 2 2

2
1 cos 2 (2 ) 1 cos( ) 2
v1 4 [( )] ( ) d
0 4 2

1
2
1
v1 4 [ (1 cos 2 (2 )] [ (1 cos(2 )) 2 d
0 4 4

2
1 1 cos(4 ) 1
v1 4 [ (1 ( )] [ (1 cos(2 )) 2 d
0 4 2 4

2
1 1 cos(4 ) 1
v1 4 [ (1 ( )] [ (1 2 cos(2 ) cos(2 ) 2 d
0 4 2 2 4


1 1 sen(4 ) 2 1 2
1 1 cos(4 )
v1 4[ ( (
4 2 2 4
)]0
4 [ 4 (1 2 cos(2 )
0 2
]d

1 1 sen(4 ) 2 1 2
1 3 cos(4 )
v1 4[ ( (
4 2 2 4
)]0
4 [ 4 ( 2 2 cos(2 )
0 2
]d

1 1 sen(4 ) 2 1 3 sen(2 ) sen(4 ) 1 2
v1 4[ ( ( )]0 4[ ( 2 ( ) ]0
4 2 2 4 4 2 2 4 2

cos(4 ) 2 3 sen(4 ) 2
v1 [( ( )]0 [( sen(2 ) ]0
2 8 2 8
reemplazando :
v1 u 3

Ing. URTEAGA BECERRA, Horacio

ANALISIS MATEMATICO III Tarea n01

Calculo del volumen 2

Como es una circunferencia de radio 1

v2 *12 *(5 3) 2 u3

Calculo del volumen 3

1 1 x 2
v3 4 (8 x 2 2 y 2 )dydx
0 0
1
2 y 3 1 x2
v3 4 (8 y x 2 y ) 0 dx
0
3
3
2 1 x 2 1 x2
1
v3 4 (8 1 x x 2 2
1 x
2
) 0 dx
0
3
hacemos : x sen( ) dx cos( )d

cuando : x 0 0 x 1
2

3
2
2 1 sen 2 ( )
v3 4 (8 1 sen ( ) sen ( ) 1 sen ( )
2 2 2
) cos( ) d
0
3

2
2 cos( )3
v3 4 (8cos( ) sen 2 ( ) cos( ) ) cos( ) d
0
3

2
2 cos( ) 4
v3 4 (8cos 2 ( ) sen 2 ( ) cos 2 ( ) ) d
0
3

2
1 cos(2 ) 1 cos(2 ) 1 cos(2 ) 2 1 cos(2 ) 2
v3 4 {[(8( )] [( )( )] [ ( ) ]}d
0
2 2 2 3 2

2
1 cos 2 (2 ) 2 1 2 cos(2 ) cos 2 (2 )
v3 4 {[(4 4 cos(2 ))] [( )] [ ( )]}d
0
4 3 4

2
1 cos 2 (2 ) 1 cos(2 ) cos 2 (2 )
v3 4 {[(4 4 cos(2 ))] [( )] [ ]}d
0
4 6 3 6



4 sen(2 ) 2 2
1 cos (2 )
2 2
1 cos(2 ) 1 cos(4 )
v3 4 [4 ]0 ( ) d ( ) d
2 0
4 4 0
6 3 12




4 sen (2 ) 2
1 1 cos(4 ) 2
1 cos(2 ) 1 cos(4 )
v3 4 [4 ]0 (
2
) d ( ) d
2 0
4 8 0
6 3 12

Ing. URTEAGA BECERRA, Horacio

ANALISIS MATEMATICO III Tarea n01

4 sen(2 ) 2 2
1 1 cos(4 ) 2
1 cos(2 ) 1 cos(4 )
v3 4 [4 ]0 ( ) d ( ) d
2 0
4 8 8 0
6 3 12 12




4 sen (2 ) 2
1 cos(4 ) 2
1 cos(2 ) cos(4 )
v3 4 [4 ]0 (
2
) d ( ) d
2 0
8 8 0
12 3 12

sen(4 ) 2 sen(2 ) sen(4 ) 2
v3 4 [4( ) 0] [ ]0 [ ]0
2 8 32 12 6 48

v3 4 [4( ) 0] [( ) 0] [( ) 0]
2 8 12

v3 4 2
8 12
43 3
v3 u
6

Ahora para hallar el volumen total sumaos los 3 volmenes anteriormente encontrados

vtotal v1 v2 v3
43 u 3
vtotal u 3 2 u 3
6
61 u 3
vtotal
6

Ing. URTEAGA BECERRA, Horacio