Este documento presenta ejercicios sobre integrales triples y su aplicación para calcular volúmenes. Incluye problemas sobre integrales triples, cambio de variables, coordenadas polares, cilíndricas y esféricas. El objetivo es que los estudiantes practiquen el cálculo de volúmenes y áreas utilizando diferentes sistemas de coordenadas y métodos como integrales triples y cambio de variables.
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ANÁLISIS MATEMÁTICO II (Ingeniería)
Segundo Cuatrimestre 2005
TRABAJO PRÁCTICO Nro 10
Integrales Triples y sus aplicaciones
1. Calcular las siguientes integrales triples:
1
∫ ∫ ∫ xyz + x y z dxdydz 2 1 2 2 2 a) 0 −3 −1 p p y ∫ ∫ ∫ z 2 2p xz b) cos dydx dz (Rta. : − 1) 0 z 2 0
2. Dibujar el sólido cuyo volumen representa la integral triple y reescribir ésta en el orden de integración que se especifica.
4− x (12−3x −6y) 4
∫ ∫ ∫ 2 4 a) dz dydx Reescribir usando el orden dydxdz. 0 0 0
1− y2
∫∫∫ 1 1 b) dzdxdy Reescribir usando el orden dzdydx. 0 y 0
3.- Usar integrales triples para calcular el volumen del sólido limitado por las gráficas de las ecuaciones dadas: z = 4 – x2 , y = 4 – x2 (1º octante.) (Rta.: 256/15 u.v.)
CAMBIO DE VARIABLES 4.- Calcular el área D , D = { ( x , y) ∈ R 2 / x + y = 2 } usando el cambio de variables 1 1 (x,y) = (u + v), (u − v) . 2 2 5.- Calcular la siguiente integral proponiendo una transformación adecuada
∫∫ e D (x −y) ( x+ y) dx dy con D descripto por x + y < 2, x ≥ 0 , y ≥ 0.
COORDENADAS POLARES
6.- Calcular las siguientes integrales cambiando a coordenadas polares:
a2 −x2
∫ ∫ ∫ ∫ (x a 2 x 1 a) −a y dy dx 0 b) 1 0 2 + y2)dy dx
c) ∫∫ e x 2 + y2 { dx dy siendo R = ( x , y) ∈ R 2 / 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 } R d) ∫∫ { x 2 + y 2 dx dy siendo R = ( x , y) ∈ R 2 / x 2 + y 2 ≤ 1 , y ≥ x } R
7.- Hallar las siguientes áreas:
a) La región limitada por r = 2 cos f b) La región comprendida entre la circunferencia r = 2 y r cosϕ = 1, y no contiene al origen. c) La región exterior a r = 2 e interior a r = 2 + 2 cos ϕ d) La región descripta por x 2 + y 2 ≤ 4 , x 2 + y 2 ≥ 2 x
8.- Calcular los siguientes volúmenes en coordenadas polares:
a) Volumen limitado por la superficie z = 4 - x 2 + y 2 y el plano z = 0
b) Volumen del sólido que está fuera del cilindro x2 + y2 = 9 y dentro de la esfera x2 + y2 +z2 = 25. c) Calcular el volumen del sólido acotado por el paraboloide z = 4 r2 , el cilindro r = 3 senϕ y el plano z = 0
COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS
9.- Escribir las siguientes ecuaciones en coordenadas cilíndricas y en coordenadas esféricas.
Graficar. a) x 2 + y 2 + z 2 − 2z = 0 b) x 2 + y 2 = 25 c) x 2 + y 2 + z 2 = 16 d) 4 x 2 + 4 y 2 = z 2 e) x 2 + y 2 = z f) z = 2
10) a) Hallar la ecuación en coordenadas rectangulares de las regiones del espacio dadas en coordenadas cilíndricas. Graficar. i) r ≤ 1 ii) z 2 ≥ 2r 2 iii) r = 2 cos θ
b) Hallar la ecuación en coordenadas rectangulares de las regiones del espacio dadas en
11.- Utilizando los 3 sistemas de coordenadas plantear las integrales triples que permiten calcular el volumen V limitado por el cono cuya ecuación dada en coordenadas esféricas π es φ = y una esfera de radio 2 cuyo centro está en el vértice del cono. 3
12. Usando las coordenadas más apropiadas en cada caso calcular el volumen de los siguientes sólidos: p a) La parte inferior de la esfera x 2 + y 2 + z 2 ≤ x . (Rta.: ) 12 b) El volumen exterior al cono z2 = x 2 + y2 e interior al paraboloide π z = x 2 + y 2 . (Rta.: ) 6 c) El sólido limitado por las superficies x 2 + y 2 + z 2 = 2az y x 2 + y 2 = z 2 que contiene el punto (0,0,a) . (Rta: πa 3 )
d) El sólido limitado superiormente por la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 25 e inferiormente por
el plano z=4. (Rta: 14/3 π) z2 e) La región sólida limitada por x + y = 2 2 y los planos z = 1 y z = 3. 3 (Rta: ) 27 f) El sólido limitado por z = 4 – x2 –y2, z = 1, z = -2. (Rta.: π) 2 g) El sólido limitado inferiormente por z = 0 lateralmente por la porción de cilindro 56 x 2 + y 2 = 4 y superiormente por el cono z = 6 − x 2 + y 2 . (Rta.: π) 3 h) El sólido comprendido entre las esferas x 2 + y 2 + z 2 = 9 y x 2 + y 2 + z 2 = 25 e interior al semicono x 2 + y2 = z .
12. Para los siguientes sólidos calcular la masa del cuerpo su centro de masa.
a) El sólido limitado por z + y + z = 1 en el primer octante cuya densidad se supone
constante.
b) Un sólido en forma de cilindro circular recto de altura h y base circular de radio a, con densidad proporcional a la distancia a su base inferior en cualquier punto.
c) El sólido acotado por el cilindro x 2 + y 2 = 2 x y el cono x 2 + y 2 = z 2 si la densidad es
