Algebra A PDF

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MAR DEL PLATA
FACULTAD DE INGENIERA
1.-
CARRERAS: TODAS PLAN: 2003

ASIGNATURA: LGEBRA A PROGRAMA ANALTICO
(A partir del Ciclo Lectivo 2010)
UNIDAD 1: LGICA
Nociones de lgica. Proposiciones. Conectivos lgicos y notaciones. Operaciones lgicas: negacin,
conjuncin, disyuncin, implicacin y equivalencia. Tablas de verdad. Condiciones necesarias y
condiciones suficientes. Tautologas, contradicciones., contingencias. Implicaciones asociadas a una
dada. Leyes lgicas. Demostraciones. Regla de inferencia. Equivalencia lgica. Razonamientos
deductivos vlidos. Aplicaciones a la Matemtica: mtodos de demostracin de implicaciones (directo,
indirecto, demostraciones por el absurdo). Mtodo de demostracin de equivalencias. Funciones
proposicionales de una o ms variables. Cuantificadores: universal y existencial. Negacin de
funciones proposicionales cuantificadas.
UNIDAD 2: INDUCCIN Y COMBINATORIA.

Principio de Induccin Completa. Definiciones y demostraciones por induccin. Induccin
generalizada.
Anlisis combinatorio simple y con repeticin. Variaciones, combinaciones y permutaciones simples
y con repeticin. Definiciones y frmulas correspondientes. Permutaciones con grupos de elementos
iguales. Nmero combinatorio. Definicin y propiedades. Tringulo de Tartaglia (o de Pascal).
Frmula del Binomio de Newton. Su demostracin por induccin.
UNIDAD 3: EL CUERPO DE LOS NMEROS COMPLEJOS

El conjunto C de los nmeros complejos. Definicin axiomtica. Forma binmica. Operaciones. El
plano complejo. Caracterizacin de C como Cuerpo no ordenado. Conjugados y sus propiedades.
Mdulo de un complejo y sus propiedades. Argumento de un complejo. Forma polar y forma
trigonomtrica. Multiplicacin y divisin en forma polar. Propiedades del argumento del producto y
del cociente. Potencias de base compleja y exponente entero: definicin. . Potencias de la unidad
imaginaria. Clculo de potencias de exponente natural en forma binmica, usando el Binomio de
Newton. Clculo de potencias de exponente entero en forma polar: Frmula de De Moivre. Propiedad
del argumento de la potencia. Races ensimas de un complejo: definicin. Clculo de las mismas en
forma polar: frmula de De Moivre para las races. Demostracin. Representacin grfica de las races
ensimas.
UNIDAD 4: EL ANILLO DE LOS POLINOMIOS.

Definicin de polinomio con coeficientes en un cuerpo K. Igualdad y grado: definiciones.
Operaciones en K [x] . Caracterizacin de K [x] como anillo conmutativo. Algoritmo de la divisin
con resto. Divisibilidad en K [x] . Propiedades. Polinomios primos. Polinomios primos entre s.
Especializacin: definicin. Teoremas relativos a la divisibilidad de un polinomio P(x) por un binomio
de la forma x-k. Regla de Ruffini y teorema del Resto. Races simples y mltiples: definicin.
Polinomio derivado: su definicin algebraica. Teorema sobre la multiplicidad de una raz. Su
corolario. Teorema fundamental del lgebra. Descomposicin de un polinomio en factores. Teorema
relativo a las races complejas de los polinomios de coeficientes reales. Su corolario. Races
irracionales de los polinomios de coeficientes racionales. Races racionales de los polinomios de
coeficientes enteros: teorema de Gauss. Relaciones entre coeficientes y races de un polinomio:
frmulas de Vieta. Clculo de las races de un polinomio de segundo grado en C [x] (obtencin de las
races en forma binmica).
2-.
UNIDAD 5: MATRICES Y DETERMINANTES.

Matriz sobre un cuerpo K: definicin. Notacin. Matrices cuadradas, rectangulares. Igualdad. Matriz
nula. Matrices cuadradas especiales: diagonal, escalar, triangular, simtrica, antisimtrica,
Operaciones: suma resta y producto por un escalar. Definicin y propiedades. Multiplicacin entre
matrices: definicin y propiedades. Multiplicacin en K nxn . Matriz inversible. Definicin.
Caracterizacin de K nxn como anillo no conmutativo con divisores de cero. Matriz traspuesta:
definicin y propiedades. Caracterizacin de las matrices simtricas y antisimtricas mediante la
matriz traspuesta. Operaciones elementales sobre las filas de una matriz. Matrices equivalentes por
filas. Matrices elementales. Teorema: clculo de la inversa por operaciones elementales sobre las filas
de una matriz. Determinante de una matriz cuadrada. Regla de Sarrus. Propiedades de los
determinantes. Menor complementario y adjunto de un elemento de una matriz cuadrada. Desarrollo
de un determinante por una fila o columna: Regla de Laplace. Matriz singular. Rango de una matriz.
Matriz adjunta de una matriz cuadrada. Teorema: clculo de la inversa de una matriz cuadrada no
singular por el mtodo cannico.
UNIDAD 6: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Sistemas de ecuaciones lineales. Solucin de un sistema. Sistemas compatibles e incompatibles.
Sistemas compatibles determinados e indeterminados. Expresin matricial de un sistema. Matriz de los
coeficientes y matriz orlada. Aplicacin de la matriz inversa para la resolucin de sistemas. Regla de
Cramer. Sistemas equivalentes. Ecuaciones dependientes e independientes. Teorema de Rouch-
Frbenius. Mtodo de triangulacin de Gauss para el anlisis y la resolucin de sistemas. Sistemas
homogneos: anlisis y resolucin. Sistemas homogneos de de n ecuaciones con n incgnitas:
anlisis de su compatibilidad mediante el determinante de la matriz de los coeficientes.
BIBLIOGRAFA
1) Cotlar, Sadosky, introduccin al lgebra, Ed EUDEBA, Buenos Aires.
2) Kurosh, A, Curso de lgebra Superior, Ed Mir, Mosc
3) Rojo, Armando, lgebra I, Ed El Ateneo, Bs.As.
4) Gentile, Enzo, Notas de lgebra, Ed EUDEBA, Buenos Aires.
5) Golovina, lgebra Lineal y algunas de sus aplicaciones, Ed Mir, Mosc.
6) Apstol, Calculus, Ed. Revert
7) Pettofrezzo, A, Matrices y transformadas, Ed EUDEBA, Buenos Aires.
8) Kolman, B, lgebra Lineal, fondo educativo sudamericano, Bogot.
9) Rojo, A,lgebra II, Ed El Ateneo, Bs.As.
10) Larson-Edwards, Introduccin al lgebra Lineal
11) Zill y Dejar, lgebra y Trigonometra, Ed Mc Graw, Bs.As.
12) Boleas de Cur, Maquieira, Vasallo, lgebra, Ed Alfafi, Bs.As.
13) Trejo, C., Matemtica Elemental Moderna, Ed EUDEBA, Bs.As.

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UNIDAD 4: EL ANILLO DE LOS POLINOMIOS.

UNIDAD 5: MATRICES Y DETERMINANTES.

UNIDAD 6: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

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