Tablas de Contingencia Bidimensional
Tablas de Contingencia Bidimensional
Tablas de Contingencia Bidimensional
Y
X B1 B2 . Bj Br Total
A1 f 11 f 12 . f1 j . f 1r
f1
A2 f 21 f 22 . f2 j . f 2r
f 2
.. . .. . . .
Ai f i1 f i2 . f ij . f ir f i
. . . . . .
Ak f k1 fk2 . f kj . f kr
f k
Total f 1 f 2 . f j . f r
n
donde:
f ij
, es el nmero de elementos con las modalidades A i y Bj, denominadas
frecuencias absolutas conjuntas,
f i
, es el nmero de elementos con la modalidad A i denominada i-sima
frecuencia marginal,
f j
, es el nmero de elementos con la modalidad Bj denominada j-sima
frecuencia marginal,
Eligiendo X como variable fila e Y como variable columna, se cumplen las
siguientes propiedades:
f
k
f
i 1
ij
f j
,
ij
f i
(4.1)
j 1
k r k r
f f f
i 1 j 1
ij
i 1
i
j 1
j
n .
Y
X B1 B2 . Bj Br Total
A1 h11 h12 . h1 j . h1r
h1
A2 h21 h22 . h2 j . h2 r
h2
.. . .. . . .
Ai hi1 hi 2 . hij . hir
hi
. . . . . .
Ak hk 1 hk 2 . hkj . hkr
hk
Total h1 h 2 . h j . h r
n
donde:
f ij
hij , es la frecuencia relativa conjunta correspondiente a las modalidades A i y
n
Bj.
f i f j
hi h j es la frecuencia relativa marginal de las
n n
modalidades Ai y Bj respectivamente.
Ejemplo 4.1
Tenemos las variables sexo y estado civil de los participantes en un programa de
capacitacin. Se tabular la informacin en una tabla de doble entrada donde la
variable sexo est representada en las filas y el estado civil en las columnas.
Solucin
Son 7 docentes solteras y 6 casadas del sexo femenino. De los estudiantes del sexo
masculino 9 son solteros y 2 son casados.
Ejemplo 4.2
Con la base DATOS2-matemticas y usando los comandos de la pgina se
presentarn las frecuencias absolutas en la tabla de doble entrada entre la variable sexo
como fila y escuelas profesionales como variable columna.
Solucin
Se encuentran las siguientes frecuencias absolutas conjuntas en la tabla
bidimensional proporcionada por el SPSS:
Count
Escuelas acadmico profesionales-
FACULTAD DE MATEMATICAS
investigacin
matematica estadstica operativa Total
Sexo de los FEMENINO 21 33 47 101
estudiantes-
FACULTAD DE MASCULINO
37 35 27 99
MATEMATICAS
Total 58 68 74 200
Cuadro n0 4.2 Distribucin de los estudiantes de la Facultad de Ciencias Matematicas segn sexo
y
escuelas profesionales. Censo universitario- UNMSM. Lima - 2002
Se observa que 21 estudiantes del sexo femenino y 37 del sexo masculino estudian
matemticas; 33 estudiantes del sexo femenino y 35 del sexo masculino estudian
estadstica; 47 estudiantes del sexo femenino y 27 del sexo masculino estudian
investigacin operativa.
Ejemplo 4.3
Usando la base de DATOS2-matemticas se obtienen los porcentajes de la tabla de
doble entrada considerando escuelas profesionales como variable columna y sexo como
variable fila.
Solucin:
Usando los comandos de la pgina se encuentran las frecuencias relativas conjuntas
multiplicas por 100, es decir los porcentajes conjuntos presentados en la siguiente tabla
bidimensional:
% of Total
escuelas acadmico profesionales-
FACULTAD DE MATEMATICAS
investigacin
matematicas Estadstica operativa Total
sexo de los FEMENINO 10.5% 16.5% 23.5% 50.5%
estudiantes-
FACULTAD DE MASCULINO
18.5% 17.5% 13.5% 49.5%
MATEMATICAS
Total 29.0% 34.0% 37.0% 100.0%
Ejemplo 4.4.
Para la base de DATOS4-ciudadana y usando el SPSS se encuentra la tabla de doble
entrada con las frecuencias absolutas conjuntas para las variables, lugar de procedencia
y el nmero de organizaciones sociales a la que pertenecen los ciudadanos.
En el marco del curso de Herramientas de Analisis Cuantitativo de la Maestra en
Poltica Social , un grupo de maestristas, se interes en encontrar los factores que
posibilitan y/o impiden la participacin ciudadana en el marco del desarrollo local. El
estudio se desarroll en los distritos rurales Limatambo(Cuzco), Lauricocha(Ayacucho),
Izcuchaca(Huancavelica) y Vilca(Huancavelica), en las que se evaluaron algunas
variables tales como el nmero de organizaciones sociales a la que pertenecen los
pobladores de cada una de dichas zonas rurales. Usando los comandos del SPSS
presentados en la pgina se encuentra la siguiente tabla bidimensional.
Count
NMERO ORGANIZACIONES
SOCIALES A LAS QUE PERTENECE
0 1 2 Total
DISTRITOS DE LIMATAMBO 7 17 1 25
LA ENCUESTA LAURICOCHA 0 8 17 25
IZCUCHACA 8 13 4 25
VILCA 9 9 7 25
Total 24 47 29 100
LIMATAMBO 7 17 1 25
0 8 17 25
LAURICOCHA
8 13 4 25
IZCUCHACA
9 9 7 25
VILCA
Total 24 47 29 100
Fuente: Base de DATOS4-ciudadana
Ejemplo 4.5
De la base de DATOS1-maestra se seleccionan las variables coeficiente de inteligencia
y nota de ingreso a la maestra y construiremos una tabla bidimensional con las
frecuencias absolutas.
As, supongamos que se desea presentar los coeficientes de inteligencia en dos
intervalos. En el primer intervalo los coeficientes de inteligencia inferiores a 102
puntos y el resto en el segundo intervalo.
De igual manera, la variable notas de ingreso a la maestra se desea presentarla en tres
intervalos 45 - 55 , 56 - 66 y 67 - 77 . Entonces:
a) Para la variable coeficiente de inteligencia:
Xmin= 93 puntos Xmx= 120 puntos
se crea el intervalo 1 donde se colocan los puntajes inferiores a 102, y se
rotulan como coeficientes de inteligencia medios. En el intervalo 2 se colocan
los puntajes 102 y se rotulan como coeficientes de inteligencia altos. Se
crea la variable ficticia COEFI1 donde se guardan todos los datos originales
etiquetados de acuerdo a la clasificacin mencionada. Por ejemplo, el coeficiente
de inteligencia 100 de un maestrista se etiqueta como coeficiente de inteligencia
medio.
c) Se usan los comandos de la pgina para construir la tabla bidimensional con las variables
ficticias: COEFI1 e INGRE1 y como respuesta se tiene la siguiente tabla bidimensional con las
frecuencias conjuntas.
ingre1 * coefi1 Crosstabulation
coefi1
medio Alto Total
ingre1 baja 7 3 10
media 17 17 34
alta 18 8 26
Total 42 28 70
COEFICIENTE DE
NOTAS DE INGRESO INTELIGENCIA Total
Medio Alto
Baja 7 3 10
Media 17 17 34
Alta 18 8 26
Total 42 28 70
As, se tiene que 7 estudiantes con coeficiente de inteligencia medio y 3 con coeficiente
de inteligencia alto ingresaron con notas bajas a la maestra; 18 estudiantes con
coeficiente de inteligencia medio y 8 estudiantes con coeficientes de inteligencia alto
ingresaron con notas altas.
0
1
C o un t
0
2
0
3
o p e ra ti va
i n
ve stig a c i
n
0
4 ma
e ts em s a
d tic a
s
AT
M E MA T IC
AS
p C
A
F Uf L
ro Tsi A
e a D
n
o
D le E
s-
0
5 c a
a m
d i co
s cu
e e las
Asimismo, usando los mismos comando pero si se selecciona como variable fila la
0
0
1
s c
e Fu
a te m
m
e
A lC a
s
Ua
a tic a
s
Lc
Aa
T d
DDmE icMo
e sta d
Ap T ro
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E fe
MsA io
TnIC a
o p
v e
in
lA e
Ss -
e ra tiva
s tig a
c in
0
2
0
3
0
4 MASCUL IN O
FEME N I N O
FA
M T
CEUM TA
L T
D IC
DS
A E
e stu d
i a
n te s-
0
5 s e
x o d e lo
s
siguiente grfico.
5
C o un t
0
1
5
1
2
1
0
UEP
Q ERTE NE CE
0
2 RO
O
S G IA
C NLAS
IZ
E CANE
IO
L S
A
ME
N RO
Figura 4.3
5
C o un t
0
1
Figura 4.4
5
1 V IL
CA
IL Z
C
RU
U C
I H
A
CC
O A
H
0
2 ENCL U
E
IM S
T
AAMBO
D IS R
T IT
OS D ELA
Ejemplo:
Los siguientes datos corresponden a un grupo de docentes de Educacin Secundaria
participantes de un programa de capacitacin en la Facultad de Ciencias Matemticas
de la UNMSM.
P: participante X: edad en aos cumplidos Y: tiempo de servicio en la docencia
P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y
1 35 14 11 40 16 21 37 17 31 33 13 41 36 16
2 35 14 12 34 14 22 37 17 32 31 11 42 36 16
3 36 16 13 34 12 23 31 11 33 37 17 43 34 14
4 33 13 14 37 11 24 38 18 34 34 14 44 36 13
5 30 10 15 37 18 25 34 11 35 33 13 45 38 13
6 37 15 16 33 13 26 36 16 36 33 13 46 35 15
7 37 17 17 39 16 27 35 15 37 31 11 47 36 13
8 36 12 18 36 16 28 32 12 38 34 14 48 34 14
9 33 13 19 34 14 29 37 14 39 31 11 49 31 11
10 34 14 20 35 15 30 34 14 40 32 12 50 32 12
EJERCICIO
Los siguientes datos se refieren a calificaciones de aptitud verbal (X) y comprensin
cientfica (Y) de 228 alumnos de una escuela tcnica.
X/Y 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100
f i
10-20 1 1
20-30 2 4 2 1 9
30-40 3 5 20 5 5 38
40-50 1 1 1 10 25 2 1 41
50-60 10 25 19 3 57
60-70 3 12 14 10 3 42
70-80 1 5 19 3 1 1 30
80-90 2 1 3 2 2 10
f j
1 4 8 48 77 60 20 7 3 228
X
X i' f i
10-20 15 1
20-30 25 9
30-40 35 38
40-50 45 41
50-60 55 57
60-70 65 42
70-80 75 30
80-90 85 10
228
X 54,30 puntos
( )
k 2
x 2
i i f -n X
S X2 i 1
n -1
Y
Yi' f j
10-20 15 1
20-30 25 4
30-40 35 8
40-50 45 48
50-60 55 77
60-70 65 60
70-80 75 20
80-90 85 7
90-100 95 3
228
Y 57,32 puntos
( )
r 2
y
j 1
2
j fj -n Y
SY2
n -1
S 2 163, 295 puntos2
Covarianza
r k
( x - X )( y i j -Y ) f i , j
Cov ( X , Y ) j 1 i 1
n
r k
x y i j
Cov ( X , Y ) j 1 i 1
- xy
n
X/Y=50-60 Marca f i5
de clase
10-20 15 1
20-30 25 2
30-40 35 5
40-50 45 25
50-60 55 25
60-70 65 12
70-80 75 5
80-90 85 2
77
X / Y ( 50 - 60 ) 52.792
Y/X=(60-70) Marca de f 6j
clase
10-20 15 0
20-30 25 0
30-40 35 0
40-50 45 3
50-60 55 12
60-70 65 14
70-80 75 10
80-90 85 3
90-100 95 0
Y / X ( 60 - 70 ) 64.524
Varianza Condicional de la variable X dado la variable Y
( )
k 2
x 2
f - f. j X / Y
i ij
S 2 X /Y i 1
f. j - 1
Varianza Condicional de la variable Y dado la variable X
( )
r 2
y
j 1
2
f - fi . Y / X
j ij
S 2Y / X
fi. - 1