Sesión 1 - Cal 3

CLCULO 3
Funciones de varias variables

Modelacin Matemtica
Departamento de Ciencias
Con las dimensiones mostradas del siguiente
slido, calcula:
x y
El rea de la base inferior: El volumen del slido:

A=x.y V=x.y.z
Variable dependiente: A Variable dependiente: V
Variables independientes: x ; y Variables independientes: x , y ; z
Existen muchas situaciones prcticas en las que una cantidad

de inters depende de los valores de dos o ms variables.
Responda las siguientes preguntas:
Qu es una funcin real de variable real?
Cmo es el dominio de una funcin real de una variable real?
En qu espacio est la grfica de una funcin real de una

variable real?
Para una funcin real de dos variables: Cmo es su dominio y

su grfica?
Qu es un modelo matemtico?
Suponga que la funcin z=f(x,y)=(x2+3y2)exp(1-x2-y2), grficamente
representa a la superficie de una montaa, donde las lneas curvas paralelas
a la superficie representan las marcas en tierra cuando sube el agua en una
inundacin:
Cmo se le Cmo se le
llama a las llama al conjunto
curvas que deja de curvas
el nivel del proyectadas
agua en la sobre el plano de
superficie de la la base?
montaa?
Qu
criterios
se utilizan
para
graficar las
curvas de
nivel?
Curvas de Nivel Mapa de contorno

Vibracin de una cuerda
Cuando se pulsa una cuerda esta empieza a vibrar, la interferencia causada por la
vibracin en el campo magntico de una pastilla generar un cambi en el flujo de
energa pasando a travs de la pastilla misma. La energa se transmitir de la guitarra al
amplificador y posteriormente a los altavoces que emitirn el sonido hasta nuestros
odos.
Cmo obtener modelos matemticos, para qu sirven?

LOGRO DE SESIN
Al trmino de la sesin, el estudiante

resuelve ejercicios y problemas sobre
funciones de varias variables,
determinando su dominio, grfica;
modelacin matemtica, utilizando
definiciones y propiedades, de acuerdo
a las caractersticas de la ecuacin
obtenida, realizando los procedimientos
de forma ordenada y coherentemente.
TEMARIO
Vistas Isomtricas de un punto sobre el espacio

Funciones reales de dos variables reales.
Dominio y Rango de una Funcin de Varias Variables
lgebra de Funciones Reales de varias variables
Grfica de Funciones Reales de dos Variables:
Trazas sobre los planos coordenados.
Modelacin Matemtica.
1. VISTAS ISOMTRICAS DE UN PUNTO SOBRE ESPACIO
El planos XYZ es un espacio que tiene ocho partes llamadas octantes
(0,y,z) (x,0,z)
2. FUNCIONES REALES DE DOS VARIABLES REALES
Una funcin f de dos variables es una regla que asigna a cada par
ordenado de nmeros reales (x,y) de un conjunto D, un nmero real
nico denotado por f(x,y).
El conjunto D es el Conjunto de Partida de f y su imagen es el
conjunto de valores que toma f
D PROCESO
x
1 entrada Funcin z = f(x,y)
f 1 salida
y
2 entrada
Al conjunto de entradas se llama dominio de f y se denota por

Dom(f). Al conjunto de nmeros de salida se llama rango de f
y se denota por Rang(f)
2.1 Funciones Reales de Varias Variables :
1) Una funcin de la forma:
f :D RR
x y f ( x) x 2
se llama funcin real de 1 variable real.

f : D R2 R
x, y z f x, y x2 y 2
se llama funcin real de 2 variables reales.

f : D R3 R
x, y, z w f x, y , z 2 x 5 y z
se llama funcin real de 3 variables reales.

f : D Rn R
x1 , x2 ,..., xn z f x1 , x2 ,..., xn (con n 2 )
,
se llama funcin real de varias variables.

3. DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIN DE VARIAS VARIABLES
Los conceptos conocidos para funciones de una variable

tienen su equivalente para funciones de n variables:
Llamaremos dominio de una funcin al conjunto de puntos para

los que la funcin tiene sentido.
Llamaremos recorrido o imagen de una funcin al conjunto de
valores que toma la funcin.
Nuestro estudio se centrar fundamentalmente en funciones de
dos variables, escribindose entonces:
Dominio:

Dom ( f ) ( x, y) R 2 / f ( x, y)
Imagen:
Im( f ) f ( x, y ) / ( x, y ) D
3.1 Representacin grfica del Dominio e imagen
Im( f )
(x,y)
http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/3D-Web/Figura9.html
3.2 Ejercicios resueltos
Ejemplo 1: Hallar el dominio de la funcin:
( x 2)2 ( y 3)2
z f ( x, y ) 3 1
4 9
Solucin
Grficamente:
La funcin est bien definida si:
( x 2)2 ( y 3)2
1 0
4 9
Entonces el domino de la
funcin es:
2 ( x 2)
2
( y 3) 2
Dom( f ) ( x, y) R / 1
4 9
http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/3D-Web/dominio1.html
Ejemplo 2: Hallar el dominio de la funcin:
1
z f ( x, y)
x y2
2
Solucin
La funcin no est definida en (0,0),
Entonces el domino de esta funcin es el conjunto: Dom( f ) R2 (0,0)
Grficamente:
http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/3D-Web/dominio2.html
4. LGEBRA DE FUNCIONES REALES DE 2 VARIAS VARIABLES
Si f y g son funciones de dos variables con dominio D R ,

2
entonces:
Suma o diferencia: ( f g )( x, y ) f ( x, y ) g ( x, y )
Producto: f . g ( x, y ) f ( x, y ).g ( x, y )
f f ( x, y )
Cociente: ( x , y ) , g ( x, y ) 0
g g ( x, y )
No se puede formar la composicin de dos funciones de varias variables.
Sin embargo, si h es una funcin de varias variables y g en una funcin

de una sola variable, puede formarse la funcin compuesta (g o h)(x,y)
como sigue:
Composicin: g h ( x, y) g h( x, y)
El dominio de esta funcin compuesta consta de todo (x,y) en el dominio
de h tal que h(x,y) est en el dominio de g.
5. Grfica de Funciones Reales de 2 Varias Variables
La grfica de la funcin de dos variables f , se entiende como el conjunto

de puntos de la forma (x, y, z), donde z = f(x, y) y (x, y) pertenece al
dominio de f. Es decir,

Graf ( f ) ( x, y, z) R3 / z f ( x, y) ; ( x, y) D
Dicha grfica se interpreta geomtricamente como una superficie en el espacio,
y se dice que z = f(x, y) es la ecuacin en forma explcita de dicha superficie.
Funcin f restringida a un rectngulo D = [1, 3]x[1, 3]

http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/3D-Web/Figura9.html
5.1 Ejemplo
Estudiemos la grfica de f ( x, y ) 49 - x 2 - y 2
Solucin:
Haciendo
z f ( x, y ) z 49 - x 2 - y 2 z 2 49 - x 2 - y 2 x 2 y 2 z 2 49
( x - 0)2 ( y - 0)2 ( z - 0)2 7
, que representa el conjunto de los puntos
del espacio cuya distancia al origen vale 7, es decir se trata de la
esfera de centro el origen y radio7.
Como la funcin considerada es positiva : z 0 , su grfica es la
semiesfera, con z positiva, centro el origen y radio 7.
6. Cmo obtener las curvas de nivel?
Las curvas de nivel se obtienen cortando la grfica con planos
horizontales situados a distintas alturas. En la siguiente figura se
muestra una grafica (la del ejemplo previo) cortada con dos planos
horizontales a distintas alturas.
Definicin. La curva de nivel c de la funcin z = f(x; y) es el conjunto

de puntos (x; y) del plano que cumplen
f(x; y) = c
Es decir, es el conjunto de puntos en los que f vale c.

6.1 Ejemplo
Ejemplo 1. Dada la funcin z f x, y x 2 y 2
Cules son sus curvas de nivel?
Solucin:
Se trata de estudiar los conjuntos:

zc ( x, y) R 2 / x 2 y 2 c
Y como puede verse, son circunferencias centradas en el origen, de radio c.
En este ejemplo, si subimos cada
curva de nivel a la correspondiente
altura c se obtiene esta figura:
Mapa de contorno
7. TRAZAS O SOBRE LOS PLANOS COORDENADOS
Con el fin de realizar el dibujo de una superficie S de ecuacin

explcita z = f (x, y) o de ecuacin implcita F(x, y, z) = 0, procedemos
a realizar cortes o intersecciones a esta superficie con planos paralelos
a los planos coordenados, es decir, de la forma x = a, y = b, z = c
siendo a, b, c nmeros reales arbitrarios.
Las intersecciones anteriores son llamadas trazas o cortes de la
superficie en el plano considerado.
Para describir las trazas por ecuaciones se procede de la siguiente manera:

Si la traza resulta de la interseccin de la superficie S con el plano x = a,
entonces su ecuacin es z = f (a, y); x = a o F(a, y, z) = 0; x = a, y se
representa en el plano x = a.
Si la traza resulta de la interseccin de la superficie S con el plano y = b,
entonces su ecuacin es z = f (x,b); y = b o F(x,b, z) = 0; y = b, y se
representa en el plano y = b.
Si la traza resulta de la interseccin de la superficie S con el plano z = c,
entonces su ecuacin es c = f (x, y), z = c o F(x, y,c) = 0, z = c y se
representa en el plano z = c.
8. MODELACIN MATEMTICA
Rentas de automvil
Una compaa de renta de automviles cobra $40 al da y 15 centavos de
dlar por milla recorrida, por automvil.
a) Escriba una frmula para hallar el costo, C, de rentar un automvil
como funcin del nmero de das, d, y del nmero de millas
recorridas, m.
b) Si C=f(d,m), encuentre f(5; 300) e interprtela.
BIBLIOGRAFA
# CDIGO AUTOR TTULO EDITORIAL

515
Calculo en Varias
1 THOM 973-974
THOMAS Variables
2007
515 CLA CLAUDIO

2 Clculo Vectorial 111-112
PITA PITA.
2009
515
LARSON,
3 LARS Clculo II 895-896
RON
2008

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Funciones de varias variables

El rea de la base inferior: El volumen del slido:

Existen muchas situaciones prcticas en las que una cantidad

Cmo es el dominio de una funcin real de una variable real?

En qu espacio est la grfica de una funcin real de una

Para una funcin real de dos variables: Cmo es su dominio y

Curvas de Nivel Mapa de contorno

Cmo obtener modelos matemticos, para qu sirven?

Al trmino de la sesin, el estudiante

Vistas Isomtricas de un punto sobre el espacio

El planos XYZ es un espacio que tiene ocho partes llamadas octantes

Al conjunto de entradas se llama dominio de f y se denota por

2) Una funcin de la forma:

3) Una funcin de la forma:

4) Una funcin de la forma:

se llama funcin real de varias variables.

Los conceptos conocidos para funciones de una variable

Llamaremos dominio de una funcin al conjunto de puntos para

La funcin no est definida en (0,0),

Entonces el domino de esta funcin es el conjunto: Dom( f ) R2 (0,0)

Si f y g son funciones de dos variables con dominio D R ,

No se puede formar la composicin de dos funciones de varias variables.

Sin embargo, si h es una funcin de varias variables y g en una funcin

La grfica de la funcin de dos variables f , se entiende como el conjunto

Funcin f restringida a un rectngulo D = [1, 3]x[1, 3]

Definicin. La curva de nivel c de la funcin z = f(x; y) es el conjunto

Es decir, es el conjunto de puntos en los que f vale c.

Con el fin de realizar el dibujo de una superficie S de ecuacin

Para describir las trazas por ecuaciones se procede de la siguiente manera:

# CDIGO AUTOR TTULO EDITORIAL

515 CLA CLAUDIO

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