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    Máximos y Mínimos de Una Función

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    MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN

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    MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN

    Los máximos y mínimos en una función f son los valores más grandes (máximos) o más


    pequeños (mínimos) que toma la función, ya sea en una región (extremos relativos) o en todo
    su dominio (extremos absolutos).

    MÁXIMOS
    Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple:
    1. f'(a) = 0
    2. f''(a) < 0
    MÍNIMOS
    Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple:
    1. f'(a) = 0
    2. f''(a) > 0
    EJEMPLOS:
    dy
    =x 3−3 x+2=¿
    dx

    1.- Hallamos la primera derivada y calculamos sus raíces.


    dy
    =x 3−3 x+2 =
    dx
    dy
    =dx ( x3 ) −dx (3 x ) +dx ( 2 )=¿
    dx
    dy
    =3 x2 −3
    dx
    2- Igualamos a cero y resolvemos la ecuación.

    f ' (x)=3 x 2−3=0


    3
    f ' ( x )=3 x 2−3=0 f ' ( x )=3 x 2=3 f ' ( X ) =X 2= f ' ( x )=± √ 1 x 1=1
    3
    x 2=−1

    3.- Volvemos a derivar (obteniendo la segunda derivada).

    f ' ' ( x ) =3 x2−3

    f ' ' (x)=dx (3 x2 )−dx (3) f ' ' (x)=6 x

    4.- Sustituimos las soluciones.


    x 1=1 f ' ' ( 1 )=6 ( 1 )=6 Positivo, entonces es un mínimo.

    x 2=−1 f ' ' (−1 )=6 (−1 )=−6Negativo, entonces es un máximo.

    5.- obtenemos las coordenadas y.


    Para obtener las coordenadas en y tomamos la función inicial la que aún no hemos derivado y
    sustituimos los valores en x1 y x2.

    x 1=1 f ( x )=x 3−3 x +2 f ( x )=x 3−3 x +2


    x 2=−1 f ( 1 ) =( 1 )3−3 ( 1 )+ 2 f (−1 ) =(−1)3−3(−1)+2
    f ( 1 ) =1−3+2 f (−1 ) =−1+3+2
    f ( 1 ) =0 f (−1 ) =4
    ( 1,0 ) es un mínimo (−1,4 ) es un maximo
    UNIVERSIDAD LAICA ELOY ALFARO DE MANABI
    FACULTAD DE INGENIERIA
    Carrera de Ingeniería Civil

    EXPOSICIÓN DE MATEMÁTICAS
    GRUPO #1

    ASIGNATURA: MATEMÁTICAS
    CURSO: NIVEL – I B

    TEMA: MÍNIMOS Y MÁXIMOS DE UNA FUNCIÓN

    ESTUDIANTE: CEDEÑO MACIAS DANIEL MAURICIO.


    CHIPANTAXI IBAÑAS WALTER PATRICIO
    RUIZ CEDEÑO JUAN CARLOS
    ZAMBRANO ANDRADE LENIN ARGENIS

    DOCENTE: ING. ANGEL ESPINOZA

    Manta – Manabí - Ecuador


    2017 – 1
    CÁLCULO DE LA ECUACIÓN TANGENTE Y NORMAL DE UNA FUNCIÓN

    Ya sabemos que la derivada es la pendiente de la recta tangente

    A la gráfica de la función en el punto

    También sabemos que la ecuación de la recta tangente en el

    Punto es:

    Y de la recta normal:
    ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE

    Para determinar la ecuación de una línea recta, conocida la pendiente y un punto de la misma, se
    emplea la forma punto pendiente:

    1º Definir las coordenadas del punto de tangencia en el valor “x” dado.

    2º Calcular la pendiente empleando la derivada, ya que m= f´(x)

    3º Determinar la ecuación de la tangente utilizando la forma punto pendiente y-y1 = m(x-x1)

    ECUACIÓN DE LA RECTA NORMAL


    La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de la inversa de la pendiente de
    la recta tangente, por ser rectas perpendiculares entre sí.

    Es decir, es la opuesta de la inversa de la derivada de la función en dicho punto.

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