GUIA 5 (Cuarta Unidad)

Universidad Católica del Norte
Facultad de Ciencias, Departamento de Matemáticas
Lista de ejercicios de derivación

numérica
Autores:
Javier González - Pizarro
Mario Salas Garcı́a
Primer semestre 2023

U niversidad Católica del N orte Métodos Numéricos Departamento de M atemáticas
DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA.
1. Utiliza las fórmulas de diferencias divididas para determinar las aproximaciones que completen las
siguientes tablas:
x f (x) f ′ (x)
0.5 −0.909297
(a)
0.6 −0.973848
0.7 −0.999574
x f (x) f ′ (x)
0 0
(b)
0.2 0.741403
0.4 1.371825
x f (x) f ′ (x)
1 0
1.25 0.11134
(c)
1.5 0.20135
1.75 0.27617
2 0.33968
2. Los datos del ejercicio anterior son valores aproximados de las siguientes funciones:
√
(a) f (x) = sen(2x − 3). (b) f (x) = ex − 2x2 + 3x − 1. (c) f (x) = sen (ln ( x)).
Calcula los errores absolutos cometidos en el ejercicio 1 y obtenga las cotas de error mediante las
fórmulas de error de las diferencias divididas.
3. Calcula f ′ (x) para los valores de x indicados usando fórmulas de diferencias progresivas, regresivas y
centradas para el valor de h dado. Calcula el valor real y el error absoluto cometido y decide cuál de
las aproximaciones es mejor.
x
(a) f (x) = tan en x = 3 con h = 0.1.
3
2
3x − 1
(b) f (x) = en x = 1 con h = 0.1.
x2 + 3
1√ π2

1 π
(c) f (x) = sen x en x = con h = .
x 2 4 20
x
(d) f (x) = √ 3
en x = 2 con h = 0.05.
x2 + 4
(e) f (x) = xx en x = 1 con h = 0.1.
√
(f) f (x) = ln 3 1 − x4 en x = 0 con h = 0.05.
4. Se obtuvieron los siguientes datos de la distancia recorrida por un cohete (en metros) contra el tiempo
(en minutos):
t 0 1 2 3 4 5
f (t) 0 2 8 18 32 50
Utiliza diferenciación numérica para estimar la velocidad del cohete y la aceleración en cada momento
ti = i para i = 0, . . . , 5.
5. Usando la fórmula de Taylor para f (x + h), f (x − h), f (x + 2h) y f (x − 2h), deduce la fórmula de
diferencias centrada:
f (x + 2h) − 2f (x + h) + 2f (x − h) − f (x − 2h)
f ′′′ (x) ≈
2h3
y además, determina el error de truncamiento.
1
6. Utiliza la fórmula de 3 puntos más conveniente para determinar las aproximaciones que completen las
siguientes tablas.
x f (x) f ′ (x)
1.1 9.025013
(a) 1.2 11.02318
1.3 13.46374
1.4 16.44465
x f (x) f ′ (x)
8.1 16.94410
(b) 8.3 17.56492
8.5 18.19056
8.7 18.82091
x f (x) f ′ (x)
2.9 −4.827866
(c) 3 −4.240058
3.1 −3.496909
3.2 −2.596792
x f (x) f ′ (x)
2 3.6887983
(d) 2.1 3.6905701
2.2 3.6688192
2.3 3.6245909
7. Los datos del ejercicio 6 se tomaron de las siguientes funciones:
(a) f (x) = e2x .
(b) f (x) = x ln x.
(c) f (x) = x cos x − x2 sen x.
(d) f (x) = 2 ln2 x + 3 sen x.
Calcula los errores reales y obtén las cotas de error por medio de las fórmulas de error de las diferencias
divididas. Si se deseara que las aproximaciones tuvieran 5 cifras decimales de exactitud, ¿cuál es el
valor óptimo de h que deberı́a considerarse en cada caso para lograr dicha precisión?
8. En un circuito con un voltaje impreso v(t) y una inductancia L, la primera ley de Kirchoff nos da la
siguiente relación:
di
v(t) = L + Ri,
dt
donde R es la resistencia del circuito e i es la corriente. Si medimos la corriente con varios valores de
t obtenemos:
t 1 1.01 1.02 1.03 1.04

i(t) 3.1 3.12 3.14 3.18 3.24
donde t se mide en segundos, i en amperes, la inductancia L es una constante de 0.98 henrios, y la

resistencia es de 0.141 ohms. Aproxima el voltaje v(t) en los valores t = 1, 1.01, 1.02, 1.03 y t = 1.04.
9. Determina una fórmula de 4 puntos para aproximar f ′ (x0 ) y que utilice f (x0 − 2h), f (x0 − h), f (x0 )
y f (x0 + h) e indica su error de truncamiento.
10. Para los siguientes problemas con valores en la frontera (PVF) determina el sistema a resolver cuando
usamos diferencias finitas para el valor de h o n dado y calcula las aproximaciones de la solución en
los nodos xi asociados al problema.
2
 ′′ ′ π
 y = y + 2y + cos x, 0 ≤ x ≤ 2 ,

π
(a) y(0)
π= −0.3 , con h = .
 y

= −0.1 6
2
 (x + 3)y ′′ + x2 y ′ − 4xy = 6, 0 ≤ x ≤ 2,
 3
(b) y(0) = 0 , con n = 4.

y (2) = 4

 ′′
 y − 4y ′ + 4y = (x + 1)e2x , 0 ≤ x ≤ 1
(c) y(0) = 3 , con h = 0.25.
y (1) = 0


′′ π
 y + y = 0, 0 ≤ x ≤ 4


(d) y(0) = 1 , con n = 3.
 π
 y

=1
 ′′ 4 ′
 y − 2y = −y + xex − x, 0 ≤ x ≤ 2
(e) y(0) = 0 , con h = 0.4.
y (2) = −4

4 2 2

 y ′′ = − y ′ − 2 y + 2 ln x, 1 ≤ x ≤ 2

(f) x x x , con h = 0.2.
 y(1) = 0.5
y (2) = ln 2

11. Considera el PVF  ′′

 y = 4(y − x), 1 ≤ x ≤ 1
y(0) = 0
y (1) = 2

(a) Calcula su solución analı́tica.

(b) Utiliza las diferencias finitas para calcular aproximaciones de las soluciones en los puntos xi = 0.2i
para i = 1, 2, 3, 4.
(c) Calcula el error absoluto cometido en cada una de las aproximaciones calculadas.

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t 1 1.01 1.02 1.03 1.04

donde t se mide en segundos, i en amperes, la inductancia L es una constante de 0.98 henrios, y la

(b) y(0) = 0 , con n = 4.

11. Considera el PVF  ′′

(a) Calcula su solución analı́tica.

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