Examenes Resueltos Analisis Matematico
Examenes Resueltos Analisis Matematico
Examenes Resueltos Analisis Matematico
tg
x dx
(1)
n 1
2n 4n 2 3
f ( x ) = sen x 2
g( x ) = 2 sen t 2 dt .
x
x2
Cul de las siguientes afirmaciones es correcta? a) La funcin f no es integrable y g no est definida. b) La funcin g es derivable y g '( x ) = 4 x sen x . c) La funcin f es integrable y g no es derivable en [0, 1].
4
2) Dada la funcin f ( x ) = x + 9
2
3 . b) c = 3 . c) c = 3 .
3) Sea f : a , b R una funcin continua en x0 ( a , b) . Cul de las siguientes afirmaciones es correcta? a) f es derivable en un entorno de x0 . b) Existe una sucesin (xn) de elementos de [a, b] para los cuales f ( xn ) f ( x 0 ) > 1 . c) Para toda sucesin (xn) de elementos de [a, b] que converge a x0 se tiene que lim f ( xn ) = f ( x0 )
n
[ ]
4) La serie
n 1
f ( x) =
x verifica: x 4x + 3
2
a) La recta y = x + 3 es asntota oblcua de la funcin f. b) Las rectas y = 1 e y = 3 son asntotas horizontales de la funcin f. c) Las rectas x = 1 y x = 3 son asntotas verticales de la funcin f. 6) La funcin
f ( x) =
x verifica: x 4x + 3
2
a) f es decreciente en c) f es creciente en
( , 3) (
3,0
3 ,+ .
) (
3,+ .
7) La ecuacin f(x) = P(x) tiene cuatro races reales unicamente, donde f es una funcin continua y P(x) es una funcin polinmica de cuarto grado. Cul de las siguientes afirmaciones es correcta? a) El polinomio P(x) no es un polinomio interpolador de la funcin f. b) P(x) es el polinomio interpolador de la funcin f correspondiente a los nodos constituidos por las races de la ecuacin. c) El polinomio interpolador de la funcin f correspondiente a los nodos constituidos por las races de la ecuacin es proporcional a P(x). 8) El polinomio de Taylor de grado 2 de la funcin
f ( x) =
a)
1 2 1 ( x 1) . 2 1 2 b) ( x 1) + ( x 1) . 2! 3 2 c) ( x 1) ( x 1) . 2
1
es:
a) . b) 0 . c)
3 . 2
(x
0
2) x 2 dx es:
2
a)
2 7 b) . 9 6 c) . 7
1 a x2 y h = lim 2 dx : a 0 2a a 1 + x
2.
1 , con x0 = 1. Desarrollar x0 por el polinomio de Taylor. x 2 3 4 A. A 10 x + Bx 5x + x donde A y B son nmeros naturales. 2 3 4 B. 3 + Ax + 4 x + Bx + x donde A y B son nmeros enteros.
Sea f ( x ) = C. Ninguna de las anteriores. Sea p: R R , tenemos f(-2) = -16, f(-1) = -5, f(0) = -2 y f(1) = -1 y el grado de f es menor de 4: A. p(2) = 4 . B. p(2) = -0.5 . C. Ninguna de las anteriores.
2
3.
4.
Sea f : R R , tenemos f ( x ) = p( x ) x A. f crece en el intervalo (-1,0) . B. f es cncava en el intervalo (3,5) . C. Ninguna de las anteriores.
y segn el ejercicio 3:
5.
Sea p:( a , b) R siendo discontinua en el intervalo (a,b): A. | f | es discontinua en el intervalo (a,b) . B. | f | puede ser derivable en el intervalo (a,b) . C. Ninguna de las anteriores. El segundo decimal de la nica raz de p(x) = 0 del ejercicio 3 es: A. 4 . B. 5 . C. Ninguna de las anteriores.
6.
7.
La serie
1 es: n +1
4
8.
Sea f : R R siendo f ( x ) = x , entonces: A. f posee una recta tangente para todo x que pertenece a R . B. f no posee una recta tangente para x igual a 0 . C. Ninguna de las anteriores.
5 2
9.
El valor de la integral
tg 3 x. dx :
10.
Si F(x) es la primitiva de f ( x ) = e + x , entonces: A. F(x) es convexa en R . B. F(x) es creciente en R . C. Ninguna de las anteriores.
x
Anlisis Matemtico
Examen de Febrero de 1997 (1 semana). Tipo A
Respuesta razonada:
f ( x) =
x2 1+ x2
es continua en toda la recta real por lo que su restriccin1 a todo intervalo cerrado y acotado es tambin continua. Esto permite asegurar que f ( x) es continua en el compacto [ 1,1] y tambin
a, a ] , donde a R . Por otro lado, toda funcin continua en un intervalo en todo compacto [
cerrado y acotado es integrable Riemann en dicho intervalo y, en consecuencia, la funcin
F (a ) =
1 a x2 dx a 1+ x2 2a
est bien definida para todo a perteneciente al intervalo [ 1,1] y distinto de cero. Ahora bien, cul es el valor de esta funcin? Basta hallar una primitiva de la funcin racional f ( x) = aplicar la regla de Barrow:
x2 y 1+ x2
1 a x2 1 a 1 1 a F (a ) = dx 1 dx = = a1dx 2 a 1 + x2 a 2a 2a 2a 1+ x
=
1+
a
1 1 a dx = [ x arctg x] a = 2 x 2a
La restriccin no es ms que una nueva funcin que tiene la misma frmula pero que acta en parte del dominio.
Examen de Anlisis. Febrero 97 1
Como la funcin arco tangente es impar (ver figura 1 de la pgina siguiente) resulta que
h = lim
2) Sea f ( x) = es:
a) A 10 x + Bx 2 5x 3 + x 4 , donde A y B son dos nmeros naturales. b) 3 + Ax + 4 x 2 + Bx 3 + x 4 , donde A y B son dos nmeros enteros. c) Ninguno de los apartados anteriores.
Respuesta razonada:
Recordemos el teorema de Taylor: Sea f una funcin que admita derivada n+1sima f (n+ 1) en todo el intervalo (a, b) y
x0 es un
[ a, b] distinto de
f ( x) = f ( x0 ) +
k =1
( n + 1) f (k )( x0 ) (x x0 )k + f ( x1 ) (x x0 )n+ 1 . k! n!
Es decir, el teorema de Taylor nos garantiza que toda funcin que admita derivadas continuas hasta el orden n en un intervalo cerrado y que tenga derivada n+1sima en el interior de ese intervalo cerrado, puede ser aproximada mediante el valor de un polinomio
f ( x0 ) +
k =1
f (k )( x0 ) (x x0 )k , k!
(llamado de Taylor) con coeficientes calculados por medio de la funcin y sus primeras n derivadas en un punto x0 , cometiendo un error medido a travs del valor de la n+1sima derivada en otro punto x1 : La funcin f ( x) =
derivable. Por ello, si tomamos un intervalo cerrado: [ 1 ,1 + ] , > 0 , que no contenga al origen, podemos asegurar que en dicho intervalo se dan las condiciones del teorema de Taylor (ver figura siguiente)
Para hallar el polinomio de Taylor de grado n-1 necesitamos conocer la expresin de las derivadas de f . Esto no resulta difcil si escribimos f ( x) = x 1 en lugar de f ( x) = f (0 )( x) = x 1 (la funcin)
1 . En efecto, x
f (1)( x) = ( 1)x 2 (primera derivada) f (2 )( x) = ( 2)( 1)x 3 (segunda derivada) f (3)( x) = ( 3)( 2)( 1)x 4 (tercera derivada) ...............................................
(derivada de orden n)
f ( x0 ) +
k =1
f (k )( x0 ) (x x0 )k = 1 + k! 1
( 1) k k!1 (k + 1) (x 1)k = 1 + k! k =1
n
2 3
( 1) (x 1) =
k k k =1
= 1 ( x 1)+ ( x 1) ( x 1) + .....
a) b) c)
Respuesta razonada:
Supongamos que el polinomio que buscamos es de la forma: p( x )= Ax 3 + Bx 2 + Cx + D . Esta suposicin es razonable ya que el grado de p es como mximo tres. Para hallar este polinomio (llamado de interpolacin) vamos a emplear el mtodo de las diferencias divididas. A continuacin explicamos tal mtodo. Consideremos una tabla donde se nos dan ciertos puntos xi , i = 0,1, 2,.., n y los valores de una funcin en tales puntos yi , i = 0,1, 2,.., n Tabla 1 x0 y0
x1 x2
x3 . xn
y1 y2
y3 . yn
yi xi
, i j.
Obsrvese que se trata de una especie de cociente incremental. Por ejemplo si tenemos la tabla de los valores de p
Tabla 2 xi -2 -1 0 1 yi -16 -5 -2 -1
[ = x0 , x1 ] [ = x1 , x2 ]
y1 y0 5 ( 16) 5 + 16 11 = = = = 11 , x1 x0 1 ( 2) 1 + 2 1 y2 y1 2 ( 5) 2 + 5 3 = = = = 3, x2 x1 0 ( 1) 1 1 y2 1 ( 2) 1 + 2 1 = = = = 1. x3 x2 1 0 1 1
y [ x2 , x3 ]= 3
Estas diferencias se suelen colocar en la tabla anterior de la siguiente forma: Tabla 3 xi -2 -1 0 1 yi -16 -5 -2 -1 11 3 1
[ x,x ]
i j
Las segundas diferencias divididas consecutivas se construyen a partir de las primeras utilizando la expresin:
[ x ,x ] x ,x ] [ [ x ,x ,x ] = ,i k. x x
j k i j i j k k i
[ [ x ,x ] x0 , x1 ] [ = 1 2 = x0 , x1 , x2 ]
x2 x0 x ,x ] x1 , x2 ] [ [ [ = 2 3 = x1 , x2 , x3 ] x3 x1
Estos resultados se aaden a la tabla anterior
8 3 11 = = 4, 0 ( 2) 2 1 3 2 = = 1. 1 ( 1) 2
Tabla 4 xi -2 -1 0 1 yi -16 -5 -2 -1 11 3 1
i
[ x,x ] [ x ,x ,x ]
j i j k
-4 -1
x ,x ,x ] x ,x ,x ] [ [ [ x ,x ,x ,x ] = , i t. x x
j k t i
[ [ x ,x ,x ] x0 , x1 , x2 ] 1 [ = x0 , x1 , x2 , x3 ]= 1 2 3
x3 x0
y este resultado se aade a la tabla 5:
( 4) 1 + 4 3 = = =1 1 ( 2) 1+ 2 3
xi -2 -1 0 1
yj
[ x,x ]
i j
Tabla 5
[ x ,x ,x ] [ x ,x ,x ,x ]
i j k i j k t
-16 -5 -2 -1 11 3 1 -4 -1 1
Una vez que hemos formado todas las diferencias divididas consecutivas posibles se puede demostrar que el polinomio de interpolacin es de la forma: p( x )= y0 + [ x0 , x1 ] (x x0 )+ [ x0 , x1 , x2 ] (x x0 )(x x1 )+ [ x0 , x1 , x2 , x3 ] (x x0 )(x x1 )(x x2 )+ ... En nuestro caso:
p(- 1)= ( 1) ( 1) + ( 1) 2 = 1 1 3 = 5
3 2
Como el lector puede comprobar coinciden perfectamente. Veamos lo que vale este polinomio en
x=2
p(2)= 23 22 + 2 2 = 8 4 + 2 2 = 4 . La respuesta correcta es a. Observacin: El mtodo de Newton para la bsqueda del polinomio interpolador es ms fcilmente aplicable a este problema pero slo puede usarse en el caso de que los argumentos estn equiespaciados (es decir, que las x conocidas estn a la misma distancia unas de otras como ocurre en este problema). Por el contrario, el mtodo de las diferencias divididas se puede
8 Examen de Anlisis. Febrero 97
aplicar aunque no se tengan argumentos equiespaciados y por ello nos ha parecido ms conveniente explicarlo para tener un mtodo de alcance general.
4) La funcin f : R R definida por f ( x) = p( x) x 2 , donde p(x ) es la funcin de la cuestin tercera. Entonces a) f crece en el intervalo. ( 1,0). b) f es cncava en el intervalo. (3,5). c) Ninguno de los dos apartados anteriores.
Respuesta razonada:
Sabemos que la funcin del apartado tres es el polinomio p( x )= x3 x 2 + x 2 , por lo que la funcin f tendr por valor f ( x) = x 3 x 2 + x 2 x 2 = x 3 2 x 2 + x 2 y ser tambin un polinomio. Para investigar su monotona y concavidad bastar hallar la primera y la segunda de sus derivadas. En efecto, su primera derivada f ( x) = 3 x 2 4 x + 1 se anula en los puntos
x= 4m
( 4)2
2 3
4 3 1
4 m 16 12 4 m 4 1 = = ,2 . 6 6 3
1 , 3
f ( x) = 3x 2 4 x + 1
1 ,1 3
Decreciente
(1,+ )
+ Creciente
+ Creciente
10
5) Sea f : (a, b ) R una funcin discontinua en todo punto del intervalo (a, b ), entonces: a) b) c)
f es una funcin discontinua en (a, b ) . f puede ser una funcin derivable en (a, b ).
Respuesta razonada:
Sea la funcin: 1 si x es racional f ( x) = - 1 si x es irracional definida en el intervalo (1,2). Esta funcin es discontinua en todo punto de dicho intervalo. En efecto, sea a un punto racional del intervalo (1,2). Su imagen es f (a )= 1 , pero si tomamos un entorno E(1; ) de 1 de radio 0 < < 1 , veremos que es imposible encontrar algn entorno E(a ) de a tal que para todo x perteneciente a dicho entorno, la imagen de x , f ( x) pertenece a
E(1; ). Esto es as, debido a que en dicho entorno de a , habr algn irracional x0 y la imagen de
tal irracional ser f ( x0 ) = 1 , valor que no pertenece a E(1; ) (ver figura 2 )
Figura 2 Un razonamiento anlogo se puede aplicar a todo punto b irracional del intervalo (1,2). En resumen, f es discontinua en todo punto de (1,2). Sin embargo, su valor absoluto es
11
1 si x es racional f ( x) = - 1 = 1 si x es irracional
lo que implica que se trata de una funcin constante f ( x) = 1 en el intervalo (1,2). Como sabemos todas las funciones constantes son continuas y derivables por lo que esta funcin es un ejemplo de funcin discontinua en todo punto de un intervalo y tal que su valor absoluto es continuo y derivable. As, la respuesta correcta es c.
12
Respuesta razonada:
Recordemos que el polinomio de la tercera pregunta result ser p( x )= x3 x 2 + x 2 , por lo que la ecuacin cuyas races buscamos es x3 x 2 + x 2 = 0 . Se trata de una ecuacin de tercer grado para la que existe una frmula (llamada generalmente de CardanoVita). Sin embargo, tal frmula es algo complicada y suele ser preferible una resolucin por aproximacin numrica. En primer lugar, probaremos que slo existe una raz para dicha ecuacin. En efecto,
0.8,2] (este intervalo se determina por podemos aplicar el Teorema de Bolzano al intervalo [
inspeccin de valores con cambios de signo que se encuentren bastante cerca uno de otro) ya que se trata de una funcin continua (como todo polinomio) y adems
p(2)= 4 > 0 ;
0.8,2] . Por otro lado, la derivada de esto garantiza que existe al menos una raz en el intervalo [ p(x ) es el polinomio q ( x )= 3x 2 2 x + 1 y este polinomio no tiene ceros pues su discriminante
Esto significa que la derivada siempre tiene el mismo signo (pues al ser continua si cambiara de signo habra pasado por cero alguna vez). En este caso el signo es positivo y la funcin p(x ) es siempre creciente lo que implica que si corta al eje de abscisas (como as ocurre) lo habr de hacer
2 una sola vez. Hemos probado pues que la ecuacin tiene una nica raz en el intervalo ,2. 3
Para hallar el valor de esta raz vamos a emplear el mtodo de NewtonRaphson. Este mtodo consiste en la construccin de una sucesin recurrente de la forma:
xn + 1 = xn
f ( xn ) n 0. ( xn ) f
Examen de Anlisis. Febrero 97 13
El trmino inicial x0 ha de elegirse adecuadamente. A este respecto, es conveniente recordar el siguiente teorema: Sea f dos veces diferenciable continuidad en un intervalo [ a, b] verificando las siguientes condiciones: 1. 2. 3.
La funcin p( x )= x3 x 2 + x 2 verifica las cuatro condiciones anteriores. 1. Es derivable indefinidamente con continuidad en [ 0.8,2](y por tanto, dos veces derivable con
x1 = 1 x3 = x4 =
26 p (26 / 19) = 36026/26619 = 1,353394192118 , 19 p (26 / 19) 36026 p (36026 / 26619) = 1.353209992 . 26619 p (36026 / 26619)
14
Obsrvese que al cabo de cuatro iteraciones hemos obtenido una cierta estabilidad en los dgitos del resultado. En efecto, la tercera y la cuarta iteracin comparten los dgitos 1,353 por lo que podemos asegurar que esos dgitos son exactos. As la respuesta correcta es b.
15
1 es n + 1
4
Respuesta razonada:
Sea
En este criterio se compara el trmino general de una serie de comportamiento conocido con la serie estudiada. Como a medida que n crece la expresin utilizaremos esta ltima para comparar. As tenemos que 1 n + 1 = lim 1 n2
4
1 es ms similar a n + 1
4
1 1 = 2 4 n n
lim
1 n + 1 = lim 1 n4
4
1 n4 n + 1 = lim = 1. 1 n4 + 1 n4
4
16
Respuesta razonada:
1
5
x3
1 = 0
obtenida como lmite de rectas secantes de pendiente negativa. Por otro lado, el lmite
2
1
5
x3
1 =+ 0+
se interpreta como la pendiente de la recta tangente por la derecha a la funcin en dicho punto. Se trata tambin de una recta vertical pero lmite de rectas secantes con pendiente positiva. No podemos asignar la misma pendiente por un lado que por otro y esto implica que en el origen la curva no tiene recta tangente. La respuesta correcta es b.
17
tg
4 0
xdx es:
Respuesta razonada:
Recordemos que tg x =
sen 3 x dx . cos 3 x
Por otro lado, sabemos que cos 2 x + sen 2 x = 1 , lo que permite cos 2 x = 1 sen 2 x y la integral resulta
sen 3 x sen x sen 2 x sen x 1 cos 2 x sen x sen x cos 2 x 4 4 4 dx = dx = dx = tg xdx = cos3 x dx = 0 0 0 cos 3 x cos 3 x cos 3 x 3 4 0 4 0
sen x dx = cos 3 x
4 0
4 0
cos x dx = .
4 0
sen x
Para resolver las dos integrales que nos quedan utilizaremos un mismo cambio de variable: u = cos x du = sen xdx dx = u = cos 0 = 1; u = cos 2 = 4 2 du sen x
(recordemos que en los cambios de variable de integrales definidas tambin han de cambiarse los extremos de integracin). Sustituyendo, queda
sen x cos 3 x dx
=
4 0
4 0
2 2
2 sen x du du 2 = 1 u sen x u3
2 2
du = u
2
2 2
u 3du +
2 2
2 2 2 u 2 2 du u 2 2 1 2 2 2 2 = + [ ln u ] = + [ ] = [ ] ln u + ln u 1 1 1 2 2u 2 u 2 1 1 1
18
1 1 + 2 12 2 2 2 2
2 1 ln = 1 + ln 1 + 2 2
1 1 22 1 1 1 2 ln 0 ln 2 = = ln 2 . = + 1 2 2 2 2
Como sabemos que ln 2 0.301030 es aproximadamente 0.301030, resulta que el valor de la integral es, tambin aproximadamente:
19
Respuesta razonada:
Una funcin F ( x) se dice que es una primitiva en R de otra funcin f ( x) si entre ambas se da la relacin
F ( x ) = f ( x)
en todo punto de R . Particularmente, esto nos permite investigar la monotona de F ( x) estudiando su derivada f ( x) . En este caso, la derivada es f ( x) = x + e x y tal derivada es continua y cambia de signo ( f ( 1) = 1 + e 1 = 1 +
1 < 0 , f (0) = 0 + e 0 = 1 ) . Por ello, la funcin e
es positiva) e intervalos de
F ( x) = f ( x) = x + e x = 1 + e x > 0
y la funcin primitiva F ha de ser convexa en toda la recta real al tener segunda derivada siempre positiva. La respuesta correcta es a.
20
2.- De una funcin polinmica de grado 3 se sabe que f(1) = 2, f(2) = 10, f(3) = 30 y f(4) = 68:
a) f es una funcin impar (simtrica respecto al origen). b) x f(x) NO es una funcin par (simtrica respecto al eje OY). c) Ningunos de los dos apartados anteriores.
( x x2 )2
sen 2 x
a) Si f(0) = 1, entonces f es una funcin continua en x = 0. b) f es una funcin discontinua en x = 0 para cualquier valor d c) Ningunos de los dos apartados anteriores.
( x x 2 )2
salvo
para x = 0.
a) f no puede ser una funcin derivable en x = 0. b) La derivada de f en x = 0 es 2. c) Ninguno de los dos apartados anteriores.
5.- Sea f ( x ) = x
sen x
1 t 2 dt :
a) f posee un nico mximo local y un nico mnimo local. b) f posee infinitos puntos mximos locales e infinito puntos mnimos locales. c) Ninguno de los dos apartados anteriores.
6.- Sea f ( x) = x
sen x
1 t 2 dt :
a) f posee un nico punto de inflexin. b) f posee punto de inflexin en x = k para k Z. c) Ninguno de los dos apartados anteriores.
f (t )dt = 0 :
8.- La serie
(1)
n (n + 1) es: n5 1
a) Mayor que 1. b) Menor que 1/4. c) Ninguno de los dos apartados anteriores.
10.- Sea f la funcin primitiva de la funcin g(x) = x Ln x tal que f(1) = - 1/4 :
a) La grfica de f no corta al eje OX. b) La grfica de f corta al eje OX en un nico punto. c) Ninguno de los dos apartados anteriores.
Asignatura: ANALISIS MATEMATICO Fecha: 28 - Febrero - 1998 Tipo examen: A 1 - De la funcin polinmica P(x) se sabe que es la nica raz de su grado que cumple P(-1) = 0, P(0) 1 = A, P(1) = 0, P(2) = -A, P(3) = 0 y que P( x ) dx = 1
1
a) A =
1 3 3 b) A = 4
c) Ninguno de los dos apartados anteriores Como los nodos son equidistantes vamos a utilizar la frmula del polinomio interpolador en la forma de Newton-Gregory en diferencias progresivas:
Pn ( x ) =
k f ( x0 ) k 1 ( x x i ) k k !h i = 0 k =0
n
2f(-1) = -A A = -2A f(0) = 0 A= -A 3f(-1) = 0 (-2A) = 2A 2 x2 = 1 f(1) = 0 f(0) = -A (-A) = 0 4f(-1) = 2A 2A = 0 3 f(1) = -A 0 = -A f(0) = 2A -- 0 = 2A x3 = 2 f(2) = -A 2f(1) = A (-A) = 2A f(2) = 0 (-A) = A x4 = 3 f(3) = 0 Y aplicamos la frmula:
Pn ( x ) = 0 +
Calculamos la integral:
A A A A 4 A 3 x Ax 2 x + A dx = x 4 x 3 x 2 + Ax = A 1 3 12 3 6 3 3 1
1
A A A A 4A A 3 x Ax 2 x + A dx = x 4 x 3 x 2 + Ax = 1 3 12 3 6 3 3 1
1
Y la igualamos a 1:
4A 3 =1 A = 3 4 4 3 A =1 A = 3 4
2 - De la funcin polinmica P(x) se sabe que es la nica raz de su grado que cumple P(-1) = 0, P(0) 1 = A, P(1) = 0, P(2) = -A, P(3) = 0 y que P( x ) dx = 1
1
a) P(x) posee un mnimo relativo en x = 2 b) P(x) posee un mximo relativo en x = 1 c) Ninguno de los dos apartados anteriores La funcin polinmica la calculamos en el ejercicio anterior el cual es igual a
2 3 3
P (x ) =
P ( x ) =
4 2 8 4 x x 3 3 9
4 2 8 4 x x = 0 3x 2 6 x 1 = 0 3 3 9 2 2 6 ( 6 ) 4 3 ( 1) 1 + 3 3 = x= 2 23 1 3 3
Ahora solo falta averiguar si 1 polinomio:
P ( x ) =
x2
Ln( t ) dt en el punto x = 1
a) C = -2
9
Ln(x )dx . Para ello utilizaremos el mtodo de integracin por partes.
1 , y v = 1 v = x . x
u = Ln( x ) u =
u (x ) v(x )dx = u(x ) v(x ) u (x ) v(x )dx Ln(x ) 1dx = Ln(x )x x xdx = x(Ln(x ) 1)
1
El polinomio de Taylor es igual a:
Calculamos f(1):
12 1 1 1 1 1 f (1) = 1 Ln( x )dx = x(Ln( x ) 1) 1 = [1(Ln(1) 1)] Ln 1 = Ln(2 ) 2 2 2 2 2 2
Calculamos f(1):
f ( x ) = Ln x 2 2 x = 4 x Ln( x ) f (1) = 0
( )
( )
Calculamos f(1):
T3 ( x ) =
1 1 4 4 2 1 5 2 3 Ln(2) + 0 ( x 1) + ( x 1) + ( x 1) = x 3 2 x + Ln(2 ) + 2 2 2! 3! 3 2 6
Por lo tanto C = 2 .
x2
2
Ln( t ) dt en el punto x = 1
a) D =
1 5 Ln(2) + 2 6 4 b) D = 3
c) Ninguno de los dos apartados anteriores El polinomio de Taylor es el mismo al del ejercicio anterior:
T4 ( x ) =
2 3 1 5 x 2 x + Ln(2) + 2 6 3
1 5 Ln(2) + . 2 6
0 si
x0
a) f no es derivable en x = 0 b) f (0) = 0 c) Ninguno de los dos apartados anteriores Reconstruimos de nuevo la funcin f(x):
x3 f(x) = 2 x
Vemos si la funcin es continua en el punto 0:
x 0 x 0 +
si si
x 0
x0 x>0
Como la funcin es continua en el punto x=0 solo falta averiguar si es derivable en dicho punto y calcularla:
x 0 x 0 +
0 si
x0
a) f posee un mnimo relativo en x = 0 b) f posee un mximo relativo en x = 0 c) Ninguno de los dos apartados anteriores La funcin es la misma que la del ejercicio anterior:
9
si si x0 x>0 x0 x>0
x3 f (x ) = 2 x
Su derivada es:
3 x 2 f ( x ) = 2x
La igualamos a 0:
si si
3x 2 = 0 x = 0 2x = 0 x = 0
El punto x=0 es un posible candidato a ser un mximo o un mnimo relativo. Para averiguarlo vamos a calcular las derivadas sucesivas de la funcin hasta que el punto x=0 de un resultado diferente a 0:
6 x si f ( x ) = 2 si 3x = 0 x = 0 2>0
x0 x>0
El punto x=0 es un mnimo relativo a la derecha del punto (x>0) de la funcin. Pero an no sabemos nada sobre la izquierda del punto:
f (3 ) = 6 si 60
x0
En el punto x=0 no hay un punto mximo ni mnimo, por ser la derivada 3 en ese punto diferente de 0, y al ser el 3 un nmero impar. Para demostrar que el punto x=0 no es un mnimo ni un mximo relativo vasta coger el punto x=-1 y x=1:
f ( 1) = ( 1) = 1 < 0
3
f (1) = 12 = 1 > 0
( f ( x) g( x) )dx = 0 entonces f(x) = g(x) para todo x [0, 1] Si f ( x ) g( x ) dx = 0 entonces f(x) = g(x) para todo x [0, 1]
1 0 1 0
9
1
ax 3 bx 2
(ax
1 0
bx 2 dx = ax 3 bx 2 dx =
0
a 4 b 3 a b x x = 4 3 0 4 3
a b = 0 3a = 4b 4 3
Si ponemos a=4 y b=3, ya tenemos el contraejemplo.
2 n ( n + 1) 8 - Sea A la serie n!
a)
1<A<
b) A = c) Ninguno de los dos apartados anteriores Comparamos el trmino general con el trmino siguiente:
n
a) Existe b) Existe
lim g ( x ) = lim
x a
1 xa xa = lim = lim xa f ( x ) x a ( x a ) h( x ) x a h( x )
El lmite depende de h(x). Por lo tanto no se puede asegurar si tiene lmite, y si este es finito o infinito.
f ( x ) = 4 x 3 + Ax + B f ( x ) = 12 x 2 + A
12 x 2 + A = 0 x =
A 12
Viendo esto, podemos deducir que si A es menor que cero, entonces la derivada segunda de la funcin no tiene races, y por lo tanto tampoco punto de inflexin. Vamos a ver el caso de A=0. La funcin quedara de la forma:
f ( x ) = x 4 + Bx + C
f ( x ) = 4 x 3 + B f ( x ) = 12 x 2
12 x 2 = 0 x = 0
El punto x=0 es un candidato para ser un punto de inflexin. Para comprobarlo veremos si la derivada tercera en este punto da un resultado distinto de cero:
f (3 ) ( x ) = 12 x
f (3 ) (0 ) = 12 0 = 0
Al dar tambin cero, an no se puede asegurar si es un punto de inflexin, necesitamos seguir derivando. Si la derivada cuarta de la funcin en el punto x=0, da un resultado diferente a cero, entonces este punto no es de inflexin, porque el nmero de veces que se deriv la funcin es par:
f ( 4 ) ( x ) = 12
f ( 4 ) (0 ) = 12 0
Por lo tanto el punto x=0 no es de inflexin, y la funcin no tiene ningn otro.
Examen 1
2, 71 ; tg 4 1 2 n n! 4 es: 1. La serie 2n ! Convergente. Divergente. Ninguna de las anteriores respuestas.
(febrero 2000)
Nota: e
2. De la ecuacin e x x 0 : Podemos asegurar que tiene mas de una raz en el intervalo 1, 0 . Podemos asegurar que tiene una nica raz en el intervalo 1, 0 y que dicha raz se encuentra en 1, 1 . 2 Ninguna de las anteriores respuestas.
0, 3. Si f : R R es una funcin con derivada dcima continua en todo R, tal que f 1 f 1 1yf 0 0, entonces el valor aproximado de la derivada de la funcin f en el 2 punto x 1, calculado mediante interpolacin, es: 12. 5. Ninguna de las anteriores respuestas.
4. El valor de la integral
0
dx es: 1 cos x
6. Sea
R yf : R
x |x | x
si x
si x
Si 2 entonces la funcin f es continua en R. Si 0 entonces la funcin f es continua por la izquierda en x Ninguna de las anteriores respuestas.
0.
por f x xe x : 7. La funcin f definida en 0, Tiene una asntota oblicua de ecuacin y x 1 y una asntota vertical de ecuacin x Tiene un mximo relativo en el punto x 1. Ninguna de las anteriores respuestas.
0.
arc tg x 8. Sea f : 1, R la funcin definida por f x x 1. El valor de la derivada de la funcin f en x 2 es: 1. 2 0. Ninguna de las anteriores respuestas.
! # ! " $ # %
1
$
arc sen
x
$
1 para todo
9. El valor de lim
x 0
&
1 x
$
cos x sen x
es:
0. 1. 2 Ninguna de las anteriores respuestas. 10. Sean f : R R una funcin continua en R y G : R R la funcin definida por x Gx xf t dt para todo x R. La derivada de la funcin G en x 0 :
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EXAMEN DE ANLISIS MATEMTICO 1 semana Febrero 2001 Modelo A 1.- Sean f y g funciones derivables en y h: la funcin definida por h(x) = g(x) + 1 para todo x. Si g(1) = -1, f (0) = -1 y g(1) = 2, entonces la derivada (g(x)) 2 + 1 de la funcin compuesta f h en el punto x = 1 es: A) (f h)(1) = 1. B) (f h)(1) = -2. C) Ninguna de las anteriores respuestas. 2.- En x = 0 la funcin F(x) =
x2 0
(1 + t ) dt tiene:
1 3 2
A) Un mnimo relativo. B) Un mximo relativo. C) Ninguna de las anteriores respuestas. 3.- La serie 5n + 2 n 3 + 3 es: A) Divergente. B) Convergente. C) Ninguna de las anteriores respuestas.
5.- Sea P2 (x) el polinomio de segundo grado cuya grfica pasa por los puntos (-2,3), (0,0) y (1,-3). 5 A) La derivada de P2 (x) es P2 (x) = - x - . 2 B) P2 (-1) = -2. C) Ninguna de las anteriores respuestas. 6.- La ecuacin x4 + 2x 1 = 0: 1 como valor aproximado de 2 1 dicha raz, el error cometido es menor o igual que . 32 B) No posee ninguna raz en [0, 2]. C) Ninguna de las anteriores respuestas. A) Posee una nica raz en [0, 2] y si se toma x = 7.- La funcin f(x) = sen x : 2 + sen x
y es creciente en el intervalo , . 2 2 B) Tiene un mnimo relativo en x = - y es creciente en el intervalo 0 , . 2 2 A) Tiene un mximo relativo en x =
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Ln x dx es: x
A) 2 Ln 4. B) 4 + 4Ln4. C) Ninguna de las anteriores respuestas. 10.- Sea F : [0, 4] Una funcin continua tal que f(0) = -1, f(1) = -2, f(2) = 0, f(3) = 1 y f(4) = 3. Al calcular I =
A) I = 14. B) I = 7 C) Ninguna de las anteriores respuestas. NOTA: Ln a denota el logaritmo neperiano de a. Los exmenes Tipo B y C solo tienen las preguntas y las respuestas cambiadas de orden pero los ejercicios son los mismos. Soluciones:
EXAMEN TIPO A
1 C
2 A
3 A
4 B
5 A
6 A
7 B
8 B
9 B
10 C
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COMENTARIO A LAS SOLUCIONES DEL EXAMEN TIPO A 1.- Aplicando la Regla de la cadena, (f h)(1) = f (h(1)).h (1) = -1, luego la solucin es C g (x) (g(x)) 2 + 1 - [g(x) + 1]2g(x)g (x) h (x) = sustituyendo h `(1) = 1, h(1) = 0 y f 2 (g(x)) 2 + 1 (0) = -1
1/ 2
+ 2x
1/ 2 1 1 + x6 6x5 . F ( 0) = 2 > 0, 2
5n + 2 3.- Como lm 3 = , la serie es divergente (el lmite se calcula fcilmente n n + 3 cambiando n por x y aplicando tres veces la Regla de LHopital. 4.- Aplicando el criterio de la Raz, queda lm
n
n - 1 = 1 - 1 = 0 , luego es convergente.
x2 5 5 - x , y entonces P 2 (x) = - x 2 2 2
6.- Como f(0) = -1 < 0 y f(2) = 19 > 0 , por lo menos tiene una raz; adems f (x) = 4x3 + 2 tiene signo positivo en (0,2), por tanto, la raz es nica. Aplicando el Teorema 12 1 1.3 (pg. 291) sale fcilmente la acotacin . 32 7.- f (x) = 2 cos x , que es creciente en 0, , pues el coseno es positivo en el 2 (2 + sen x ) 2 cuarto cuadrante, y tiene un mnimo relativo en x = . 2
8.- Como los lmites laterales no coinciden (0 por la izquierda y 1 por la derecha) la funcin no puede ser continua en x =0. La respuesta es B. 4 Ln x 4 9.- = 2 x Ln x - 4 x 1 = 4Ln 4 - 4 . La integral se hace fcilmente por partes. 1 x
10.- Al aplicar el mtodo de los trapecios queda: 1.f(1) = -2 ; 2.f(2) = 0 ; 3.f(3) = 3 y 4 - 2 + 12 4.f(4) = 12 Luego x.f(x) dx = 1. + 0 + 3 = 8 . Entonces, la solucin es la 1 2 C.
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Examen 2
(Febrero 2000)
1. El valor de lim
x 0
cos 2x
cos 6x
es:
2. La serie
f4
6, f 1
1, f 2
4. La serie
5. El valor de la integral
x1
dx es: Lnx
x2
6. La funcin F x
t 3 dt para todo x
R,
x2 y g x
si x
0
|x
4| si x
0. 0.
Ninguna de las anteriores respuestas. x2 1 y g x 8. Sean f, g : 1, 2 R dos funciones definidas por f x Las grficas de las funciones f y g se cortan en dos puntos.
sen x, con x
!
1, 2 .
Las grficas de las funciones f y g tienen un nico punto de corte en el intervalo 3 , 2 . 2 Ninguna de las anteriores respuestas. 1 x2 1
9. Sea f : 1,
"
Ln cos arc tg
. Entonces:
f x
$
x
x f x
$
para todo x
%
1.
%
1
Corregir Examen 2
Examen 3
(septiembre 2000)
Nota: sen
cos
1. Sean f : 0, fx
R y F : 0,
x8
0 por
1 1 x2 1 es:
yF x
2. Sea f : R
1yf 1 R una funcin derivable en R tal que f 1 2 2 2 funcin definida por F x e f sen x para todo x R, entonces: F 2e. 4 F e. 4 Ninguna de las anteriores respuestas.
1. Si F : R
R es la
3. La serie
5. El valor de lim
x
3x 1
2x x
1
es:
1. 1, 1 .
7. Sea
x2
$ #
x3
$ &
x si x
%
1
'
x2
x3
si x
8. El polinomio interpolador de grado 2 de la funcin f x x1 0 y x2 : Es identicamente nulo. Tiene una raiz en el intervelo 0, 2 . Ninguna de las anteriores respuestas.
! " ( # # ( 0 )
&
9. La serie
n! es: 5 1 5 2 ... 5 n Absolutamente convergente. Condicionalmente convergente. Ninguna de las anteriores respuestas.
& 1 !
"
"
"
"
1, f 2 1yf 4 0, entonces el valor 10. Si f es una funcin derivable tal que f 0 aproximado de la derivada de la funcin f en el punto x 1, obtenido a partir de la derivada en x 1 del polinomio interpolador de segundo grado de la funcin f relativo a los nodos x 0 0, x 1 2, x 2 4, es: 1. 1. Ninguna de las anteriores respuestas.
& ! " # ! " # ! " # # # # # # &
Corregir Examen 3
Examen 4
Nota: ln a es el logaritmo neperiano de a.
(septiembre 2000)
1. La funcin f x
sen 2 x
si x
x ln 1
si x
Tiene un mnimo relativo en x 0. Tiene un mximo relativo en x 0. Ninguna de las anteriores respuestas.
ln 1 x 2 para todo x R, el polinomio de Taylor de grado menor o igual que tres 2. Si f x de la funcin f en el punto x 0 es: x2. x2 1 x3. 6 Ninguna de las anteriores respuestas.
3. La serie
n 1
4. Si P 4 es el polinomio interpolador de grado 4 de la funcin f x nodos distintos x 0 , x 1 , x 2, x 3 , x 4 , , entonces: 8 5 . |P 4 0 1| 15 5 P4 . 2 Ninguna de las anteriores respuestas.
sen x
cos x, relativo a 5
x
5. La derivada de la funcin F x
x 2
es:
1
x2
2x 2
1 es:
7. La ecuacin x sen x 5 0: Tiene al menos una solucin en ,0 . No tiene solucin en 0, . Ninguna de las anteriores respuestas.
8. El valor de la integral
"
3x 2
0
9. La serie
r sen 2 n , donde r es un nmero real, verifica: n2 2 Converge slo cuando 0 r 1. No convergente para r 1. Ninguna de las anteriores respuestas. 1
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'
3 2
(
Corregir Examen 4
Febrero 2001
Nota: Ln a denota el logaritmo neperiano de a.
3 sen x
si x
1. Dada la funcin f : R
R definida por f x
a sen x cos x
b si
2 x
con
si x
a, b R. A) f es continua en todo R, si a
3 . [correcta] 2 3. 2
x 1 es: A) P 2 x
Ln x en el punto x2
1 x 2 para todo x 1, 1 . La ecuacin de la tangente a la grfica de la 3. Sea f x 1 1 funcin f en el punto , es: 2 2 x 2 . [correcta] A) y
e2
4. El valor de la integral
x2
dx es: 3 Ln x
x
5. La derivada de la funcin F x
x2
t 2 dt en el punto x
2 es:
6. La serie
7. La serie
es: n 3 A) Condicionalmente convergente. [correcta] B) Absolutamente convergente. C) Ninguna de las anteriores respuestas.
8. La ecuacin x 4 2x 5 0: A) Posee una nica raz en el intervalo 0, 2 y no tiene ninguna raz en el intervalo 0, 1 . [correcta] B) Tiene al menos dos raices en el intervalo 0, 2 . C) Ninguna de las anteriores respuestas.
! " ! " ! "
1, f 4 1,f 2 1, 9. Si f : 0, R es una funcin continua tal que f 0 1yf 1, el valor de I f 34 f x cos xdx, calculado mediante las frmulas de
! # " $ % % # & % %
0, f 1 1,f 0 1y 10. Sea f : 2, 1 R una funcin continua en 2, 1 tal que f 2 1, y sea P 3 x el polinomio interpolador de tercer grado de la funcin f relativo a los f1 nodos x 0 2, x 1 1, x 2 0 y x 3 1. Entonces 3 11 . [correcta] A) P 3 2 16 7 . B) P 3 3 2 16 C) Ninguna de las anteriores respuestas.
! " $ ! "
Febrero 2001
Nota: ln a es el logaritmo neperiano de a. 1. El valor de lim
x
x2
2x 2
1 es:
2. La ecuacin x sen x 5 0: ,0 . A) Tiene al menos una solucin en . B) No tiene solucin en 0, C) Ninguna de las anteriores respuestas. [correcta]
3. La funcin f x
sen 2 x
si x
0
x ln 1
x
si x
A) Tiene un mnimo relativo en x 0. [correcta] B) Tiene un mximo relativo en x 0. C) Ninguna de las anteriores respuestas.
x
4. La derivada de la funcin F x
x 2
es:
5. El valor de la integral
3x 2
0
ln 1 x 2 para todo x R, el polinomio de Taylor de grado menor o igual que tres 6. Si f x de la funcin f en el punto x 0 es: A) x 2 . [correcta] B) x 2 1 x 3 . 6 C) Ninguna de las anteriores respuestas.
7. La serie
r sen 2 n , donde r es un nmero real, verifica: n2 2 A) Converge slo cuando 0 r 1. B) No convergente para r 1. C) Ninguna de las anteriores respuestas. [correcta] 1
8. La serie
1 es: 2n 1 A) Condicionalmente convergente. [correcta] B) Absolutamente convergente. C) Ninguna de las anteriores respuestas.
!
n 1
#
"
9. Si P 4 es el polinomio interpolador de grado 4 de la funcin f x nodos distintos x 0 , x 1 , x 2, x 3 , x 4 , , entonces: 8 5 . [correcta] A) |P 4 0 1| 15 5 . B) P 4 2 C) Ninguna de las anteriores respuestas.
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sen x
%
cos x, relativo a 5
3 2
2
Febrero 2001
Nota: sen
cos
4 3x x
1. El valor de lim
x
2x 1
es:
2. Sea
x3
x si x
1
si x
2. [correcta] A) Es continua en R, slo si 0. B) Es continua en R, para todo C) Ninguna de las anteriores respuestas.
3. La funcin f x
x : 1 x2 A) Es cncava en el intervalo 0, 3
y creciente en el intervalo
1, 1 . [correcta]
B) Tiene un mnimo relativo en x 1 y un mximo relativo en x C) Ninguna de las anteriores respuestas. 4. Sean f : 0,
1.
R y F : 0, R las funciones definidas para cada x 0 por x8 1 fx yF x f t dt respectivamente. El valor de la derivada de la funcin F 1 x2 2 0 en x 1 es: A) 2. [correcta] B) 3. C) Ninguna de las anteriores respuestas.
es: 5. El valor medio de la funcin cos 5 x en 0, 2 A) 8 . 15 B) 15 . 16 C) Ninguna de las anteriores respuestas. [correcta]
6. Sea f : R
1yf 1 R una funcin derivable en R tal que f 1 2 2 2 funcin definida por F x e f sen x para todo x R, entonces: e. [correcta] A) F 4 2e. B) F 4 C) Ninguna de las anteriores respuestas.
1. Si F : R
R es la
7. La serie
es: 1 n A) Condicionalmente convergente. [correcta] B) Absolutamente convergente. C) Ninguna de las anteriores respuestas.
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8. La serie
n! es: 5 1 5 2 ... 5 n A) Absolutamente convergente. [correcta] B) Condicionalmente convergente. C) Ninguna de las anteriores respuestas.
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"
9. El polinomio interpolador de grado 2 de la funcin f x : x1 0 y x2 A) Es identicamente nulo. [correcta] B) Tiene una raiz en el intervelo 0, 2 . C) Ninguna de las anteriores respuestas.
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&
'
1, f 2 1yf 4 0, entonces el valor 10. Si f es una funcin derivable tal que f 0 aproximado de la derivada de la funcin f en el punto x 1, obtenido a partir de la derivada en x 1 del polinomio interpolador de segundo grado de la funcin f relativo a los nodos x 0 0, x 1 2, x 2 4, es: A) 1. [correcta] B) 1. C) Ninguna de las anteriores respuestas.
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Febrero 2001
Nota: Ln a denota el logaritmo neperiano de a.
1. Sea
R. La funcin f : R
R definida por f x
ex 1 1 ex
si x
si x
A) La funcin f no es continua en x 0, cualquiera que sea el nmero real . [correcta] 1. B) La funcin f es continua en x 0 si C) Ninguna de las anteriores respuestas.
2. Sean f y g funciones derivables en R y h : R R la funcin definida por gx 1 hx para todo x R. Si g 1 1, f 0 1yg 1 2, entonces la gx 2 1 derivada de la funcin compuesta f h en el punto x 1 es: 1. A) f h 1 2. B) f h 1 C) Ninguna de las anteriores respuestas. [correcta]
3. La funcin f x
y es creciente en el intervalo 0,
2 .
. [correcta]
,
4. El valor de la integral
x2
5. En x
0 la funcin F x
t3
1 2
dt tiene:
A) Un mnimo relativo. [correcta] B) Un mximo relativo. C) Ninguna de las anteriores respuestas. 6. La serie 5 n 2 es: n3 3 A) Divergente. [correcta] B) Convergente. C) Ninguna de las anteriores respuestas.
B) Divergente. C) Ninguna de las anteriores respuestas. 8. La ecuacin x 4 2x 1 0: 1 como valor aproximado de dicha raz, A) Posee una nica raz en 0, 2 y si se toma x 2 el error cometido es menor o igual que 1 . [correcta] 32 B) No posee ninguna raz en 0, 2 . C) Ninguna de las anteriores respuestas.
9. Sea f : 0, 4
1, f 1
!
2,f 2
!
0, f 3
!
1y
f4
!
3. Al calcular I
4
"
10. Sea P 2 x el polinomio de segundo grado cuya grfica pasa por los puntos 1, 3 . x 5 . [correcta] A) La derivada de P 2 x es P 2 x 2 2. B) P 2 1 C) Ninguna de las anteriores respuestas.
! ! ! ! # !
2, 3 , 0, 0 y
! !
Septiembre 2001
3, 1416; e
2, 71; sen
3 ; 2
A) Existe c
1, e 2 tal que f c
. [correcta]
tg nx n tg x n sen x sen nx
es:
3. Sea f : R R una funcin con derivada tercera en x 0, cuyo polinomio de Taylor de grado menor o igual que 2 en x 0 es P 2 x 1 x 3x 2 . El polinomio de Taylor de grado menor o igual que 2 de la funcin g x sen f x 1 en x 0 es: A ) x 6x 2 . B ) x 3x 2 . C) Ninguna de las anteriores respuestas. [correcta]
4. El valor de
0
x2
5. La derivada de F x
x2
x 2 sen t 2 dt es:
x2
A) F x
4x 3 sen x 4
x2
4x 3 sen x 4 . B) F x C) Ninguna de las anteriores respuestas. 6. La serie n! 2 4 n es: 2n ! A) Divergente. [correcta] B) Convergente. C) Ninguna de las anteriores respuestas.
7. La serie
cos n es: n 1 A) Condicionalmente convergente. [correcta] B) Absolutamente convergente. C) Ninguna de las anteriores respuestas.
8. La ecuacin x
sen x
,
. [correcta]
,0 . B) Tiene una raz en C) Ninguna de las anteriores respuestas. sen 2 x cos 2 x dx, a partir de los nodos x 0 9. Al calcular I 0 4 , empleando las frmulas de Simpson, se obtiene: x4 3 7 . [correcta] A) I 48 7 . B) I 16 C) Ninguna de las anteriores respuestas.
$
4 3
%
0, x 1
, x2
2 ,x 3 3
2 cos x para todo x , y P 3 x el polinomio interpolador de tercer grado 10. Sean f x 2 de la funcin f correspondiente a cuatro nodos distintos x0 x1 x2 x3 . 2 2 3 4 para todo x , . [correcta] A) |P 3 x 2 cos x | 4! 2 0 y P3 x 3 2. B) P 3 x 0 C) Ninguna de las anteriores respuestas.
& ' ( & ' ) ) ) 1 & ' ! ( 0 & ' & '
Septiembre 2001
NOTA: Ln a denota el logaritmo neperiano de a; e 2, 71. 1. El valor de lim x 2 x 3 Ln 1 13 es: x x A) 1. B) 0. C) Ninguna de las anteriores respuestas. [correcta]
Ln x , para x 0. El polinomio de Taylor de grado menor o igual que 2 de f en el 2. Sea f x x punto 1 es: 3 x 1 2 . [correcta] x 1 A) P 2 x 2 3 x 1 2. x 1 B) P 2 x 2 C) Ninguna de las anteriores respuestas.
2x
1 si x
1 x
3. La funcin f : R
R definida por f x
si
1
cos x
si x
4. Sean f :
1, 5
1, 5 , e I
5
f x dx.
2 para todo x 1, 5 , entonces I A) Si f x x para todo x 1, 5 , entonces I B) Si f x C) Ninguna de las anteriores respuestas.
7. [correcta] 10.
5. Sea F x
,2 .
!
6. La serie
rn n n2 2 A) Converge para r
"
x 5 5x r. 8. Sea f : 0, 1 R definida por f x 0, no tiene dos races en el intervalo 0, 1 para todo A) La ecuacin f x r R. [correcta] B) f es creciente en 0, 1 para algn r R. C) Ninguna de las anteriores respuestas.
' ( ) ' ( $ # ' ( ' ( # % ' ( %
2, 0 , 0, 0 , 1, 1 , el
0 ( ' ( ' (
valor de I
#
1
1 2
P 2 x dx es:
' (
sen x cos x para todo x 0, y P 2 x el polinomio interpolador de segundo 10. Sean f x grado de f correspondiente a tres nodos distintos 0 x 0 x 1 x 2 , entonces: 1 3 sen cos . [correcta] A) P 2 7 7 7 3 son equidistantes entonces P 2 x 1 1. B) Si los nodos x 0 0, x 1 , x 2 C) Ninguna de las anteriores respuestas.
' ( $ % 3 4 5 ' ( # 4 # # 6 6 4 4 4 0 0 ' ( 4 7 0 4 ' ( # # #
Septiembre 2001
Nota: Ln a denota el logaritmo neperiano de a.
3 sen x
si x
1. Dada la funcin f : R
R definida por f x
a sen x cos x
b si
2 x
con
si x
a, b R. A) f es continua en todo R, si a
3 . [correcta] 2 3. 2
x 1 es: A) P 2 x
Ln x en el punto x2
1 x 2 para todo x 1, 1 . La ecuacin de la tangente a la grfica de la 3. Sea f x 1 1 funcin f en el punto , es: 2 2 x 2 . [correcta] A) y
e2
4. El valor de la integral
x2
dx es: 3 Ln x
x
5. La derivada de la funcin F x
x2
t 2 dt
6. La serie
1.
C) Ninguna de las anteriores respuestas. [correcta] 7. La serie es: n 3 A) Condicionalmente convergente. [correcta] B) Absolutamente convergente. C) Ninguna de las anteriores respuestas.
8. La ecuacin x 4 2x 5 0: A) Posee una nica raz en el intervalo 0, 2 y no tiene ninguna raz en el intervalo 0, 1 . [correcta] B) Tiene al menos dos raices en el intervalo 0, 2 . C) Ninguna de las anteriores respuestas.
! " ! " ! "
1, f 4 1,f 2 1, 9. Si f : 0, R es una funcin continua tal que f 0 3 1yf 1, el valor de I f 4 f x cos xdx, calculado mediante las frmulas de
! # " $ % % # & % %
0, f 1 1,f 0 1y 10. Sea f : 2, 1 R una funcin continua en 2, 1 tal que f 2 1, y sea P 3 x el polinomio interpolador de tercer grado de la funcin f relativo a los f1 nodos x 0 2, x 1 1, x 2 0 y x 3 1. Entonces 3 11 . [correcta] A) P 3 2 16 7 . B) P 3 3 2 16 C) Ninguna de las anteriores respuestas.
! " $ ! "
Septiembre 2001
Nota: Ln a denota el logaritmo neperiano de a; e 2, 71. 1 cos x sen x es: 1. El valor de lim x3 x 0 A) 1 . 2 5 . B) 6 C) Ninguna de las anteriores respuestas. [correcta]
2. La ecuacin 3 x x: A) Tiene una nica solucin real en el intervalo 2, 2 . [correcta] B) Tiene una solucin real en el intervalo 1 , 1 . 2 2 C) Ninguna de las anteriores respuestas.
3. Sea f :
2 2 A) La funcin inversa f
x3
tg x para todo x
4. El valor de la integral
5 4
dx 4x
es:
x
5. La funcin F x
0:
A) Un punto de inflexin. B) Un mximo relativo. C) Ninguna de las anteriores respuestas. [correcta] 6. La serie 1 n , con r 0, n A) Converge si r 1. B) Diverge si r 1. C) Ninguna de las anteriores respuestas. [correcta]
7. Sea
cos x
:
, 2 2 C) Ninguna de las anteriores respuestas. 1, f 0 1yf 2 9. Sea f : 2, 3 R una funcin continua tal que f 1 el polinomio interpolador de grado 2 de la funcin f relativo a los nodos x 0
! " # " # " #
2 .
,
. [correcta]
x2
2, el valor de I
0. Si P 2 x es 1, x 1 0 y
" #
P 2 x dx es:
" #
A) 13 . [correcta] 9 B) 7 . 6 C) Ninguna de las anteriores respuestas. 10. Sea P 100 x el polinomio de Taylor de grado menor o igual que 100 de la funcin e 2x en el punto x 0. 100 . [correcta] A) El coeficiente de x 100 en P 100 x es 2 100 ! 1 . B) El coeficiente de x 100 en P 100 x es 100 ! C) Ninguna de las anteriores respuestas.
" # " # " # " # " #
x 1 1.- El valor de lim es: x 1 x 1 ln x A) 2 B) 1 C) Ninguna de las anteriores La respuesta es C. x x ln x x + 1 1 0 ln x = ( ) = lim = = lim = lim x 1 x 1 x 1 ( x 1) ln x x 1 ln x 0 R. Hpital. x 1 ln x + x ln x + 1 1 x ln x 0 = lim = = = lim x 1 x ln x + x 1 0 R. H . x 1 ln x + 1 + 1 2
2.- El nmero de races de la ecuacin x 5 16 x + 9 = 0 es: A) 5 B) 1 C) Ninguna de las anteriores La respuesta es C. La funcin f ( x) = x 5 16 x + 9 es continua en todo . 4 16 x2 = f ( x ) = 5 x 4 16 = 0 x 4 = Las nicas soluciones reales de 5 5 2 5 x 4 16 = 0 son x = 4 . Como la derivada de la funcin f se anula en dos puntos, la 5 funcin f a lo sumo se anular en tres puntos (Consecuencia del Teorema de Rolle (T.5-3.1 pg. 96)) Por otra parte : f (3) < 0 ; f (0) > 0; f (1) < 0 ; f (2) > 0 . Teniendo en cuenta el Teorema de Bolzano (T. 4-2.6 pg. 76) la funcin tiene al menos un cero en cada uno de los siguientes intervalos: [-3,0], [0,1] y [1,2] con lo que queda demostrado que la ecuacin tiene exactamente tres races reales. 3.- La ecuacin de la recta tangente a la grfica de la funcin f ( x ) = arctg
!"#
senx 1 + cos x
en
el punto x = 0 es: 1 A) y = x C) Ninguna de las anteriores B) y = x 2 La respuesta es A. La ecuacin de la recta tangente ser y f (0) = f (0)( x 0) . En este caso f (0) = 0 y
&
f ( x ) =
1
&
senx 1+ 1 + cos x
'() %
2
$
senx 1 + cos x
'() %
/
$
1
&
senx 1+ 1 + cos x
'() %
2
$
( x 2 1)e x dx es:
B) e
1
La respuesta es A.
1
( x 2 1)e x dx
(( x
1)e x
1 0
2 xe x dx
= 1 2e + 2e x
( ]
n
4
1 2 xe x
1 0
1 0
2e x dx =
= 1 2e + 2e 2 = 1
5.- La serie
1 3+ 3n n 5
A)Divergente La respuesta es B.
1 3+ 3n n 5
. Aplicando el
1 1 n n n 4 3 + 3 + n 3 3n 3n = lim lim n x n = lim = < 1 por tanto convergente. n n n n 5 5 5 Nota: Aplicando el Criterio de Cauchy para el clculo de lmites queda: n +1 lim n n = lim =1 n n n
6.- Si a 2 x 2 + a1 x + a 0 es el polinomio de grado 2 cuya grfica pasa por los puntos (-2,6), (0,2), (1,-3) entonces: A) a1 = 4 B) a 2 = 1 C) Ninguna de las anteriores La respuesta es B. P ( x) = a 2 x 2 + a1 x + a 0 cumple P(2) = 6 ; P(0) = 2 ; P(1) = 3
"$# !
6 = 4a 2 2a1 + a 0 2 = a0
a0 = 2; a1 = 4; a 2 = 1
x 0
sent 2 dt en x = 0 es:
A) 2 x 3 + x La respuesta es B.
B)
1 3 x 3
f (0) = 0
teniendo en cuenta el Primer Teorema Fundamental del Clculo (T.8-1.3 pag. 168): f (0) = 0 f ( x ) = senx 2
2 FEBRERO 2001-02
f (0) = 0 f (0) = 2
x3 P3 ( x ) = 3
2x a
si
x 1 x0
senx + bx si
en todo : A) a = 1 y b = 0 B) a = 1 y b = 1 C) Ninguna de las anteriores La respuesta es B. Si x 1 y x 0 es inmediato que la funcin es continua y derivable. En x = 1 : Para que f sea derivable, en primer lugar tiene que ser continua, por tanto f (1) = 2 a = lim f ( x) = lim+ f ( x) = 1 por tanto a = 1.
x 1 x 1
En este caso ya queda tambin derivable en x = 1 pues f (1+ ) = f (1 ) = 2 En x = 0 : f es continua en x = 0 para cualquier valor de b pues: f (0) = 0 = lim f ( x) = lim+ f ( x ) = 0
x 0
x 0
B) Convergente
Criterio del Cociente queda: (2n + 2)! x (2n + 2)(2n + 1) (n + 2)!(n + 1)! lim n+1 = lim = lim = 4 > 1 por tanto divergente. n n n x (2n)! (n + 2)(n + 1) n (n + 1)!n!
10.- Sea f : [ 1,3] una funcin continua tal que f (1) = 2, f (0) = 1 , f (1) = 1 ,
3 1
x 0 = 1, x1 = 0, x 2 = 1, x3 = 2 y x 4 = 3 empleando la frmula de Simpson el valor obtenido es: 2 2 B) I = C) Ninguna de las anteriores A) I = 3 3 La respuesta es A. Teniendo en cuenta la Frmula de Simpson (Th. 14-2.2 ) queda: 3 1 2 h f ( x)dx ( f (1) + 4 f (0) + 2 f (1) + 4 f (2) + f (3)) = ( 2 4 + 2 + 0 + 2 ) = 1 3 3 3 En este caso las distancia entre los nodos es 1, es decir h = 1
FEBRERO 2001-02
@ !
EXAMEN TIPO F
1.- Para que valores de a y b la funcin: f(x) = A) a = 4 , b = 3 , es derivable en R? b sen x + 5 si x > 0 B) a = 3 , b = 4 C) Ninguna de las anteriores
egf 1 - x + ae d
si x 0
Como la funcin debe ser derivable sus derivadas por la derecha y por la izquierda han de coincidir: ' f+ (0) = bcos 0 = b ; f -' (0) = - 1 + ae 0 = - 1 + a h b = a 1 (1) . Por ser derivable ha de ser continua y por tanto los lmites laterales en x = 0 tambin han de ser iguales: lim+ f(x) = b.sen 0 + 5 = 5 ; lim- f(x) = 1 - 0 + ae 0 = 1 + a i 5 = 1 + a (2)
x0 x 0
stu - 1 p 1 1 1 1 1 1 q = 4 , f(0)= 1 , ] R una funcin contnua en [ , ] y derivable en ( , ), tal que f 2.- Sea f : [ 2 2 2 2 2 2 2 y 1 x v 1 1 1 1 , ] R es la funcin definida por h(x) = xf(x), para todo x [ , ] y P2 ( x ) y f w = 2 . Si h : [ 2 2 2 2 2 -1 1 es el polinomio interpolador de la funcin h relativo a los nodos x 0 = , x 1 = 0 , x 2 = , entonces: 2 2 1 1 =-3 C) Ninguna de las anteriores A) P2' B) P2' (0 ) = 4 3 - 1 Tenemos que h =
2
+ b
1 ~
2
}|
' 2
+ c = -1 y
1 =-3
3
y la Sol: A)
3.- La serie
1 + cos 2 n n3 + 4 A) Divergente
es:
B) Convergente C) Ninguna de las anteriores
1 + cos 2 n 2 2 1 Como 3 < 3 y es una p-serie con p = 3 > 1 convergente (si 0 p 1 es 3 n +4 n +4 n n3 divergente); la serie dada es convergente. Sol: B)
4.- Sean h y g : R dos funciones derivables y f la funcin dada por f(x) = h[g(x) ln x] para todo x > 0, entonces: A) f
'
Aplicando la Regla de la Cadena para derivar funciones compuestas, es claro que la Sol: B)
H8 HIRQT HISU H80 HI5 H8VW HI$ HI(0 H8) HI H8$3 HIHI H8$" HI)1H8 P X #THI YHI `"H8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HI aUHI H8 QcHI bH
@ !
5.- Si P3(x) es el polinomio de grado 3 cuya grfica pasa por los puntos (-2,1), (0,-1), (2, -2) y (4,0), entonces: A) P3 (1) =
-7 4
B) P3 (1) =
9 4
Aplicando el Mtodo de Newton, o resolviendo el sistema que determina P3(x) = ax3 +bx2 + cx + d al imponer 1 3 1 2 11 que P3 (-2) = 1, P3 (0) = -1, P3 (2) = -2 y P3 (4) = 0 , sale P3 (x) = x + x - x - 1 , y sustituyendo en 24 8 12 7 , luego la Sol: A) P3(1) = 4
6.- Sea la funcin F(x) = 1 d + 2
17
( x - 2 )2
B) Tiene un mximo en x = 2
4
F(x) = -2(x-2) e (x 2 ) ; se anula para x = 2 y F(x) = -2 e (x 2 ) -2(x-2) e (x 2 ) [-4 (x-2)3] = = -2 e (x 2 ) [1 - 4 (x-2)4] y F(2) = -2 < 0 luego tiene un mximo en x = 2 y la Sol: B)
4
7.- La ecuacin 8x11 + 4x + 10 = 0 verifica: A) No tiene solucin en R B) Tiene dos soluciones en R C) Ninguna de las anteriores
Sea f(x) = 8x11 + 4x + 10 f(x) es continua y derivable en todo R. Tiene al menos una raz en [-1,0] , pues f(-1) = -2 < 0 y f(0) = 10 > 0 (T. de Bolzano) y, como f(x) = 88x10 + 4 es siempre positiva, la funcin es creciente en todo R y no tiene ms races reales, luego Sol: C)
8.- El valor de la integral definida
e 1
x 2 ln x dx es:
e3 A) 3
2e 3 + 1 B) 9 x3 1 dx ; dv = x2 ; v = x 3
x3 9 y
Luego I =
e 1
x ln x dx
x 3 ln x 3
x3 9
e 1
9.- La serie
n 2 n 2 n +1
H8 HIRQT HISU H80 HI5 H8VW HI$ HI(0 H8) HI H8$3 HIHI H8$" HI)1H8 P X #THI YHI `"H8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HI aUHI H8 QcHI bH
@ !
Nota: lm
10.- Sea P(x) = x3 3x + 3 el polinomio de Taylor de grado 3 en a = 1 de la funcin f . Sobre f podemos afirmar: A) f tiene un mnimo local en x = 1 B) f tiene un mximo local en x = 1 C) Ninguna de las anteriores Como P(x) = 3x2 3 , se anula para x = 1 y como P(x) = 6x P(1) = 6 > 0 luego tiene un mnimo local en x = 1 y por tanto, Sol: A) Zamora, a 15 de febrero de 2.002
H8 HIRQT HISU H80 HI5 H8VW HI$ HI(0 H8) HI H8$3 HIHI H8$" HI)1H8 P X #THI YHI `"H8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HIHIH8HIH8HI aUHI H8 QcHI bH
Ejercicio 2
ex +1
0 2x
dx =
1 +1
1 t2
4
SOL: B)
Ejercicio 3
x0
lim
3x
tg t dt sen 2 x
3 2 0 3tg 3 x 3tg 3 x 0 9 9 x cos 3 = = lim = lim = = lim = lim = 2 0 x0 2 senx cos x x0 sen 2 x 0 x0 2 cos 2 x x0 2 cos 2 x cos 3 x 2
Ejercicio 4
Se aplica la Frmula de Newton-Cotes para 2n+1 nodos (pg. 356); en nuestro caso, 4 nodos:
x3
f ( x)dx =
x0
3h [ f ( x0 ) + 3 f ( x1) + 3 f ( x2 ) + f ( x3 )] = 8
SOL: A)
Ejercicio 5
Se compara la serie
n+ n con la p-serie 2n 3 + 1
convergente.
SOL: A)
Ejercicio 6
3 3 3 2 f ( x) = lim x + sen = + sen = lim x 1 x 1 2 x 2 2 2 x2 x 1 0 4x 1 3 f x = = = lim = b) Lmite por la derecha: lim ( ) lim 2 + + + x 1 x 1 x 1 0 x 1 2 x 2 Luego el lmite existe, pero no es cero, luego la solucin es la c)
a) Lmite por la izquierda:
SOL: C)
P(0) = y P(1) = - 6 . Para que la funcin P(x) tenga una raz en el intervalo [0, 1], tiene que cambiar de signo en los extremos; P(0)P(1) < 0 ; P(0)P(1) = ( -6) = 2- 6 . Si se dibuja la parbola y = 2- 6 , corta al eje de abscisas en los puntos 0 y 6 y es negativa en (0, 6) SOL: A)
Ejercicio 7
Ejercicio 8
2 1 1 , luego la serie: ( 2 )
( 1)
2
n+2 n+2
n+2
n+2
n+2
Ejercicio 9
Se aplica la Regla de la Cadena para derivar la funcin compuesta f(x): 1 1 f '( x) = 3 g 2 arctg x 1 g ' arctg x 1 2 1+ x 1 2 x
)) (
))
f '(1) = 3g 2 arctg
1 1 g ' arctg
)) (
1 1 1+
))
1 1
1 2 1
Por otro lado el signo de la primera derivada es el de ( x + 1) , que es positivo para x > 1 y negativo para x < 1 , luego en x = 1 tiene un mnimo relativo (pasa de ser decreciente a ser creciente) y en x = 0 tiene un punto de inflexin pues, aunque f '(0) = 0 , la funcin siempre es creciente (tanto a la derecha como a la izquierda de x = 0 ). SOL: A)
Zamora, 10 de Septiembre de 2.002
________________________________________________________________________________ Examen de Anlisis Mat. Mod A - 29-Enero 2003 -1Miguel Sobrino Morchn
Ejercicio 2
Sol: C)
f ( x) = g ( x)cos x . Hay que derivar logartmicamente: ln [ f ( x)] = ln g ( x)cos x = cos xln ( g ( x) ) f '( x) g '( x) g '( x) = senx ln ( g ( x) ) + cos x luego f '( x) = senx ln ( g ( x) ) + cos x g ( x)cos x f ( x) g ( x) g ( x)
g '(0) g '(0) 2 f '(0) = sen ( 0 ) ln ( g (0) ) + cos ( 0 ) g (0)cos(0) = g (0)cos(0) = 11 = 2 g (0) g (0) 1
Sol: A)
Ejercicio 3
2 2 x3/ 2 x5/ 2 4 2 1/ 2 3/ 2 8 32 = ( 2 x ) xdx = 2 x x dx = 2 3 5 = 5 0 0 3 2 2 0 2 8 40 24 16 4 8 8 8 = 2 2 4 2 = 2 2 = 2 = 2= 2 5 5 15 15 3 3 3 5
2
Sol: A)
Como f ( x) = senx + cos x , calculamos: 3 3 3 f ( ) = sen ( ) + cos ( ) = 1 ; f = sen + cos = 1 2 2 2 5 5 5 f (2 ) = sen ( 2 ) + cos ( 2 ) = 1 ; f = sen + cos = 1 2 2 2 Aplicamos el Mtodo de Newton para calcular el polinomio interpolador
x
Ejercicio 4
3
2 2 5 2
y y 2 y 3 y 0 1 2 2 1 1 1 0 2 2 h=
P ( x ) = 1 +
x ) 2 x ) x ( 2 ( 2! 2 1 2 4
3 2
________________________________________________________________________________ Examen de Anlisis Mat. Mod A - 29-Enero 2003 -2Miguel Sobrino Morchn
x2 +
14
x 11 ; P '( x) =
x+
14
; P '( ) =
14
3 ; P ' 2 6
12 14 2 = + =
Luego la solucion es B)
Sol: B)
Ejercicio 5
Como f (2) = 22 + 22 + 2 = 4 + 4 + 2 = 2 ,
x 2+
lim f ( x) = lim ( x + 1) = 3 .
x 2+
f ( x) no es continua en x = 2 y por tanto, tampoco es derivable (toda funcin derivable es continua), luego la solucin es la c) Ninguna de las anteriores respuestas.
Ejercicio 6
La serie
3n es convergente. Si aplicamos el criterio del cociente tenemos: n! 3n+1 a ( n + 1)! = lim 3n+1 n ! = lim 3 = 0 < 1 por tanto Convergente lim n+1 = lim n an n 3n n 3n ( n + 1) ! n n + 1
S o l: C )
Sol: A)
Ejercicio 7
F ( x) =
n!
x3 3 x
f (t )dt F '( x) = 3 x 2 3 f x3 3 x
) (
F '( x) es igual al signo de 3x 2 3 , que es negativo en (-1, 1) y por tanto F ( x) es decreciente en (1, 1)
Sol: B)
Ejercicio 8
La serie
( 1)n+1
n+2
es condicionalmente convergente, ya que la serie alternada converge por n n = 0 ), pero la serie de es decreciente y adems lim n+2 n n + 2 n 1 es divergente, pus si la comparamos con , que es n+2 n
n + 2 tambin es divergente.
n
S o l: A )
________________________________________________________________________________ Examen de Anlisis Mat. Mod A - 29-Enero 2003 -3Miguel Sobrino Morchn
Ejercicio 10
El lim e + x
x x0+
1 x
Si y = lim e + x
x x0+
1 x
ln y = ln lim e x + x x0
+
1 x
= lim ln e x + x x0
+
1 x=
ln e + x = lim x x 0
x
+
) = lim
x0
ex +1
+
x 0 e x + x = lim e + 1 = e + 1 = 1 + 1 = 2 1 1 x0 e x + x e0 + 0
+
y = e2
Sol: A)
________________________________________________________________________________ Examen de Anlisis Mat. Mod A - 29-Enero 2003 -4Miguel Sobrino Morchn
( x0
1 x
Si y = lim e + x
x x0+
1 x
ln y = ln lim e x + x x0
+
1 x
= lim ln e x + x x0
+
1 x=
ln e x + x = lim x x 0
+
ex +1 x 0 = lim e x + x = lim e + 1 = e + 1 = 1 + 1 = 2 x0 1 1 x0 e x + x e0 + 0
+ +
y = e2
Sol: A)
Ejercicio 2
F ( x) =
x3 3 x
f (t )dt F '( x) = 3 x 2 3 f x3 3 x
) (
F '( x) es igual al signo de 3x 2 3 , que es negativo en (-1, 1) y por tanto F ( x) es decreciente en (1, 1) Sol: B)
Ejercicio 3
3 f (3) = sen 2
+ cos ( 3 ) = ( 1) + (1) = 2
el polinomio P2 ( x) = ax 2 + bx + c pasa por los puntos (1, 0) (2, 1) y (3, -2), luego aplicando el
a+b+c = 0 Mtodo de Newton, o resolviendo el sistema: 4a + 2b + c = 1 a = 2 ; b = 7 ; c = 5 9a + 3b + c = 2 1 7 1 1 1 Se tiene que P2 ( x) = 2 x + 7 x 5 y P2 = 2 + 7 5 = + 5 = 2 2 2 2 2 2
2 2
Sol: B)
Ejercicio 4
La serie
( 1)n+1
n+2
es condicionalmente convergente, ya que la serie alternada converge por n n es decreciente y adems lim = 0 ), pero la serie de n+2 n n + 2
1 , que es n
n + 2 tambin es divergente.
( )
S o l: B )
Ejercicio 5
Como f (2) = 22 + 22 + 2 = 4 + 4 + 2 = 2 , pero lim f ( x) = lim x 2 + 2 x + 2 = 2 y
x 2+
x 2 x 2
lim f ( x) = lim ( x + 1) = 3 .
x 2+
x 2+ x 2
Entonces lim f ( x) lim f ( x) , el lmite de la funcin, cuando x tiende a 2 no existe. La funcin f ( x) no es continua en x = 2 y por tanto, tampoco es derivable (toda funcin derivable es continua), luego la solucin es la c) Ninguna de las anteriores respuestas.
Ejercicio 6
3/ 2 5/ 2 2 2 x x 4 2 8 32 = ( 2 x ) xdx = 2 x1/ 2 x3/ 2 dx = 2 3 5 = 5 0 0 3 2 0 2 2 8 40 24 16 4 8 8 8 = 2 2 4 2 = 2 2 = 2 = 2= 2 5 5 15 15 3 3 3 5
2
S o l: C )
Sol: A)
Ejercicio 7
Sea f ( x) = x5 5 x + 1 ; como f (1) = 5 > 0 y f (1) = 3 < 0 , el Teorema de Bolzano nos asegura que hay al menos una raz en [-1, 1]. Como f '( x) = 5 x 4 5 es siempre negativa en [-1, 1] , el teorema 12-1.2 (pg. 290), nos asegura que slo hay una solucin de la ecuacin en [-1, 1], luego la solucion es la c) Ninguna de las anteriores respuestas. Sol: C)
3n es convergente. Si aplicamos el criterio del cociente tenemos: n! 3n+1 a ( n + 1)! = lim 3n+1 n ! = lim 3 = 0 < 1 por tanto Convergente lim n+1 = lim n an n 3n n 3n ( n + 1) ! n n + 1
Ejercicio 8
La serie
Ejercicio 9
n!
f ( x) = g ( x)cos x . Hay que derivar logartmicamente: ln [ f ( x)] = ln g ( x)cos x = cos xln ( g ( x) ) f '( x) g '( x) g '( x) cos x = senx ln ( g ( x) ) + cos x luego f '( x) = senx ln ( g ( x) ) + cos x g ( x ) g ( x ) f ( x) g ( x)
Sol: A)
Ejercicio 10
Sea f ( x) = ax3 + bx 2 + cx + d . Esta funcin tiene que pasar por los puntos (0, 0) y (2, 2) y, adems, ha de anularse su derivada para x = 0 y para x = 2. f '( x) = 3ax 2 + 2bx + c . 8a + 4b = 2 1 3 Como f (0) = d = 0 y f '(0) = c = 0 se reduce a resolver el sistema: a = ;b = 12a + 4b = 0 2 2 1 3 Luego f ( x) = x3 + x 2 , pero esta funcin tiene un mnimo relativo en (0, 0), y un mximo 2 2 relativo en (2, 2), ya que f "( x) = 3x + 3, f "(0) = 3 > 0 y f "(2) = 3 < 0 Luego la solucin es la
Sol: C)
________________________________________________________________________________ Examen de Anlisis Mat. Mod F - 15 -Feb 2003 -1Miguel Sobrino Morchn
________________________________________________________________________________ Examen de Anlisis Mat. Mod F - 15 -Feb 2003 -2Miguel Sobrino Morchn
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________________________________________________________________________________ Examen de Anlisis Mat. Mod F - 15 -Feb 2003 -5Miguel Sobrino Morchn
n=1
n2 ( 2 ) n!
n=1
n 2 2n n!
lim
( n + 1) 2 2n+1 ( n + 1) !
= lim
2n + 2
= 0 <1
por
tanto
Ejercicio 2
Aplicamos el Criterio de la Raz:
n
Sol: C)
Sol: A)
Ejercicio 3
Construimos T3 ( x ) :
f ( x ) = 3sen ( x ) sen ( 3x )
; ; ;
f (0) = 0
f "( 0 ) = 0
Ejercicio 4
Sol: B)
f "( x ) =
2 x 2 + 1 + 2 x2 x 2 + 1 2 x
( x2 + 1)
2 x 2 2 + 8 x 2
( x2 + 1)
( x2 + 1)
6 x2 2
3
Ejercicio 5
lim
x0
= lim = lim
( 2tg ( x ) ) (1 + tg 2 ( x ) ) + sen ( x )
6x 2 1 + tg 2 ( x )
1 + tg 2 ( x ) cos ( x ) 0 0 = = lim = = = 0 x0 0 3 x2 = 0 = 0
x0
+ 4tg 2 ( x ) 1 + tg 2 ( x ) + cos ( x )
2 +1 1 = 6 2
Ejercicio 6
2 sen ( x ) si x 0 La funcin f ( x ) = es contnua en x = 0 (se comprueba viendo que xLn (1 + x ) si x > 0
Sol: A)
f ( 0 ) = 0 y que los lmites por la derecha y por la izquierda valen cero. Calculamos ahora la primera y la segunda derivada en el origen (por la derecha y por la izquierda): f ' ( 0 ) = lim ( 2sen ( x ) cos ( x ) ) = lim ( sen ( 2 x ) ) = 0 x0 x0 x f '+ ( 0 ) = lim+ Ln (1 + x ) + = 0 1+ x x0
f " ( 0) = lim ( 2cos ( 2 x ) ) = 2
x0
1 1+ x x f "+ ( 0 ) = lim + = 1 + 1 = 2 1+ x x0 + (1 + x )
Luego tiene derivada segunda en x = 0 y vale 2. La solucin es la A)
Ejercicio 7
Sol: A)
Este ejercicio es muy simple, pues al ser f ( x ) una funcin polinmica, P3 ( x ) = f ( x ) , y por tanto,
P3 (1) = f (1) = 13 + 12 1 = 1
Sol: A)
cos ( a + b ) = cos ( a ) cos ( b ) sen ( a ) sen ( b )
Ejercicio 8
Teniendo en cuenta las frmulas:
, sumando y
cos ( a + b ) + cos ( a b ) 2
cos ( 2 x ) cos ( 3 x ) dx =
sen ( 5 ) sen ( ) = + 10 2
sen 5 sen 2 2 = 0+ 0 1 1 = 3 10 2 10 2 5
Ejercicio 9
Construimos el polinomio interpolador aplicando el mtodo de Newton: x 2 0 2 4 y y 2 y 1 1 -1 2 0 5 2 5 7 3 y 6 donde h = 2
Sol: B)
Ejercicio 10
F (x) =
Sol: B)
2x x 2
xsen ( t ) dt = x
2x x 2
producto:
F ' ( x ) = 1
F ' ( ) =
2x
x 2 2
Sol: A)
Soluciones no oficiales del examen de Anlisis Matemtico correspondiente a la primera semana de Febrero de 2.004
1 A A
2 A C
3 A A
4 C B
5 A A
6 B C
7 C A
8 C A
9 C C
10 B C
________________________________________________________________________________ Anlisis Matemtico-2 sem Feb 2004 mod B -1Miguel Sobrino Morchn
( 1)n
n5 + 1
1 , que es n2
SOL: B)
Ejercicio 2
Para calcular los extremos de la funcin F ( x ) = derivada de F ( x ) . F ' ( x ) =
Ln ( x ) x2
x 1 2
Ln ( t ) t2
dt , calculamos la primera
1 2 x 2 xLn ( x ) 1 2 Ln x ( ) x = Ahora calculamos la segunda derivada: F '' ( x ) = 4 3 x x 1 2 Ln (1) = 1 > 0 , F ( x ) tiene un mnimo local en x = 1 Y como F '' (1) = 1
SOL: A)
Ejercicio 3
La integral
Luego
Ln ( x ) dx = x Ln ( x ) 1 +C
Ln ( x ) dx = x Ln ( x ) 1 1 = 2 Ln ( 2 ) 1 Ln (1) 1 = 2 Ln ( 2 ) 1
1
SOL: C)
Ejercicio 4
________________________________________________________________________________ Anlisis Matemtico-2 sem Feb 2004 mod B -2Miguel Sobrino Morchn
Ejercicio 5
Sean x el radio de la base e y la altura. El volumen del cono es: 1 1 V = x 2 y = 100 y 2 y = 100 y y 3 . Tngase en cuenta que x 2 + y 2 = 100 3 3 3 10 V ' = 100 3 y 2 y al igualar a cero sale y = 3 3 V '' = ( 6 y ) = 2y , que al dar el valor de y positivo, sale menor que cero y por tanto 3 10 100 200 10 2 10 6 , sale x = 100 y 2 = 100 mximo. Para y = = = = 3 3 3 3 3 SOL: A)
( )
Ejercicio 6
x +
lim
( (
x +
( 9 x + 1 ) = lim
2
x +
9 x 2 + 3x 1 9 x 2 + 1
)(
9 x 2 + 3x 1 + 9 x 2 + 1
9 x 2 + 3x 1 + 9 x 2 + 1 3x 10 =
)=
3 3 1 = = x + 9+ 9 6 2 9 x 2 + 3x 1 + 9 x 2 + 1 x 9 x 2 + 3 x 1 + 9 x 2 + 1 Para quitar esta ltima indeterminacin se divide numerador y denominador por x. = lim = lim
SOL: C)
9 x 2 + 3x 1 9 x 2 9
Ejercicio 7
Sea f ( x ) =
(
n i =1
x ai ) . Derivamos: f ' ( x ) = 2
2
n i =1
nx ( x ai ) = 2
n i =1
ai
ai
i =1
ai
SOL: A)
i =1
________________________________________________________________________________ Anlisis Matemtico-2 sem Feb 2004 mod B -3Miguel Sobrino Morchn
Luego
1 dx = arctan ( x ) + C , es inmediata. 1 + x2
________________________________________________________________________________ Anlisis Matemtico-2 sem Feb 2004 mod B -4Miguel Sobrino Morchn
Soluciones no oficiales del examen de Anlisis Matemtico correspondiente a la segunda semana de Febrero de 2.004
1 B C
2 A B
3 C A
4 C B
5 A B
6 C A
7 A A
8 A C
9 A A
10 A C
________________________________________________________________________________ Anlisis Matemtico-2 sem Feb 2004 mod B -5Miguel Sobrino Morchn