40

CAPTULO 1

LAS FUNCIONES Y SUS GRFICAS

la perpendicular. Exprese la distancia d de la

aeronavea la torre de control como una funcin
de la distancia x que el avin ha recorrido sobre
la psta.

EJERCICIO60

60. Un cilindro circular recto de radio r y altura h

est inscrito en un cono de altura 12 y radio de
la base 4, como se ilustra en la figura.
.
(a) Exprese h como una funcin de r (Sugerencia: Use tringulos semejantes.)
(b) Exprese el volumen V del cilindro como una
funcin de r.

lB

OPERACIONES
CONLASFUNCIONES
En esta seccin se estudia la obtencin de nuevas funciones aplicando operaciones algebraicas como la suma y la multiplicacin a otras funciones. Esto permite con frecuencia obtener fcilmente las propiedades de las nuevas funciones. Consideramos primero
la funcin que se obtiene al sumar una constante e a todos los valores de una funcinf.
Sea f una funcin, e una constante y sea g la funcin definida por
g(x)

= f(x) + e

para todo x en el dominio de f. A veces se dice que g y f difieren por una constante.
Si c > O, la grfica de g se obtiene desplazando la de f una distancia c hacia arriba
y si e < O, hay que desplazar la grfica defuna distancia Icl hacia abajo. Este mtodo
se ilustra en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO1 Dada f(x)

= X2 + c, trazar la grfica defpara

=4

Ypara e = -2.

Solucin
Se dibujarn las dos grficas en el mismo sistema de coordenadas. La grfica de y = X2 se tiene en la Figura 1.20 y est representada en gris en la Figura 1.47. Para
encontrar la grfica de j =. X2 + 4, simplemente hay que sumar 4 a la ordenada de cada punto de la grfica de y = X2.
Esto equivale a desplazar la grfica de y = X2, 4 unidades hacia ar.riba, como se muestra en la figura. Para c = -2,
restamos 2 a las ordenadas, por lo que la grfica de y =
X.2- 2 se obtiene desplazando la de y = X2, 2 unidades hacia abajo. Cada una de las grficas es una parbola simtrica con respecto al eje y. Para verificar que la posicin de cada
grfica es correcta se suelen trazar algunos puntos.

FIGURA 1.47
y

Las grficas del ejemplo anterior son desplazamientos

verticales de la grfica de y = X2, y resultan ser casos especiales de las siguientes reglas generales.

41

1.5 Operaciones con las funciones

DESPLZAMI
ENTOS
VERTICALES
DE LAS
GRFICAS(e > O)

Para obtener la
grfica de:

se desplaza la grfica
de y = f(x):

y = f(x) - e

e unidades hacia abajo

e unidades hacia arriba

a + e

+ e

Es posible enunciar reglas semejantes para los desplazamientos horizontales. En efecto, si e > O, consideremos las
grficas de y = f(x) y y = f(x - e) dibujadas segn los
mismos ejes coordenados, como se ilustra en la Figura 1.48,
Como fea) = fea + e - e), se ve que el punto de la grfica de y = f(x) con abscisa a tiene la misma ordenada que
el punto de la grfica de y = f(x - e) con abscisa a + c.
Esto implica que la grfica de y = f(x - c) se obtiene
desplazando la de y = f(x), c unidades hacia la derecha.
Anlogamente, la grfica de y = f(x + c) se obtiene des.plazando la de f un valor de e unidades hacia la izquierda.
Estas reglas se resumen en el siguiente cuadro.

FIGURA 1.48

f(x)

I dcY

DESPLAZAMI
ENTOS
HORIZONTALESDE LAS
GRFICAS(e > O)

Para obtener la
grfica de
y = f(x

f(x

se desplaza la grfica
de y = f(x):
c unidades hacia la derecha

c)

c unidades hacia la izquierda

+ c)

FIGURA 1.49

EJEMPLO 2 -Trazar la grfica de f para f(x)

Y para f(x) = (x + 2)2.

= (x

4)2

Solucin
La grfica de y = X2 aparece en gris en la Figura 1.49. Segn las reglas para desplazamientos horizontales, al trasladar la grfica 4 unidades a la derecha obtenemos
la grfica de y = (x - 4i. Desplazndola 2 unidades a la izquierda, se tiene la grfica de y = (x + 2i. Se recomienda
a quienes no estn convencidos de la validez de 'este mtodo,
ubicar varios puntos de cada grfica.

Para obtener la grfica de y = cf(x) para algn nmero real e, pueden multiplicarse por e las ordenadas de los puntos de la grfica de y = f(x). Por ejemplo, si y =
2f(x),

t,

se duplican

las ordenadas

y si y

t f(x),

se multiplican

las ordenadas
= f(x).

Si c > O (y c t= 1), este proceso se llama ampliar la grfica de y

por

42

CAPTULO 1

EJEMPLO3

LAS FUNCIONESY SUS GRFICAS

Trazar las grficas de (a) y = 4X2 y (b) Y = iX2.

Solucin

= 4X2 comenzamos con la grfica de y = X2 (que aparece en gris en la Figura 1.50) y se multiplica por 4 las ordenadas de todos los puntos.
Esto da una parbola ms angosta, ms aguda en su vrtice, como se ilustra en la figura. Para llegar a la forma correcta, deben localizarse varios puntos como (O, O), ( t, 1)
Y (1, 4).
(a) Para trazar la grfica de y

FIGURA 1.50

FIGURA 1.51

."

.r

(b) La grfica de y

= i X2 se puede

puntos de la grfica de y

trazar multiplicando por

= X2. Esta grfica es una parbola

aplanada en su vrtice, como se muestra en la Figura 1.51.

FIGURA 1.52
y

las ordenadas de los

ms abierta que es ms

La grfica de y = -f(x) se obtiene multiplicando por -lla ordenada de cada punto de la grfica de y = f(x). As, cada punto (a, b) de la grfica de y = f(x) que
se encuentra arriba del eje x, determina un punto (a, -b) en la grfica de y = -f(x)
que se encuentra abajo del ejex. Anlogamente, si (e, d) estdebajodelejex(esdecir,d
< O), entonces (e, -d) se encuentra arriba del eje {C.La grfica de y = -f(x) es una
reflexin de la grfica de y = f(x), con respecto al eje x.

EJEMPLO4
.r

\--~J

Trazar la grfica de y = _X2.

Solucin
La grfica se puede obtener localizando puntos, pero como la grfica de y = X2 es bien conocida, se la
presenta en tono gris, como se ve en la Figura 1.52, y luego
multiplicamos por -llas ordenadas de todos sus puntos. Esto
da la reflexin con respecto al eje x que se indica en la
figura.

Las funciones suelen definirse en trminos de sumas, restas, productos y cocientes

de varias expresiones. Por ejemplo, si
? . ~

43

1.5 Operaciones con las funciones

puede considerarse a h(x) como la suma de los valores de dos funciones ms simples
f y 9 definidas por
f(x)

= X2

g(x)

= ~.

La funcin h se peno mina suma de f y g.

En general, supongamos que fy g son dos funciones cualesquiera. Sea 1 la interseccin de sus dominios, es decir, los nmeros que ambos dominios tienen en comn.
La suma de f y 9 es la funcin h definida por
h(x)

= f(x) + g(x)

para todo x en l.
Es conveniente denotar a h por el smbolo f + g. Como f y g son funciones y no
nmeros, el + entre f y 9 no significa suma de nmeros reales, sino que sirve para
indicar que el valor de f + 9 en x es f(x) + g(x), es decir,
(f + g)(x) = f(x) + g(x).
La resta (o diferencia) f
(f

9 y el producto fg de f y 9 se definen por

g)(x) = f(x) - g(x)

(fg)(x) = f(x)g(x)

para todo x en l. El cociente f / 9 de f entre 9 est dado por

(L)
9

para todo x en 1 y g(x) :f=O.

(x) = f(x)
g(x)

EJEMPLO5 Sean f(x) = -./4 - X2 y g(x) = 3x + 1. Encontrar la suma, la resta

y el producto de f y g y tambin el cociente de f y g.
Solucin
El dominio de f es el intervalo cerrado [-2, 2] Yel dominio de 9 es IR.
Ror lo tanto, la interseccin de sus dominios es [-2, 2] Ylas funciones que se requieren
estn dadas por

(f + g)(x) = ..)4-

+ (3x + 1),

-2::;; x::;; 2

(f - g)(x) = ..)4 - X2 - (3x + 1),

-2:s;; x:s;; 2

X2

(fg)(x) = ..)4 - x2(3x + 1),

(g)

..)4-

X2

(x) = 3x + 1 '

-2::;;x::;;2
-2 :s;;x ::;;2, x =1-t

Si 9 es una funcin constante tal que ,g(X)1= e para todo x y si f es cualquier funcin, entonces cf denota el producto de 9 y f, es decir, (cf}(x) = cf(x) para todo
xen el dominio de f. Por ejemplo, si les la funcin del Ejemplo 5, entonces (cf}(x) =
c-J4 - X2, -2 :5 x :5 2. Geomtricamente, la funcin cf es una ampliacin y una reflexin, o slo una reflexin, de la grfica de f (vanse las Figuras 1.50-1.52).
Las funciones que se presentan en el resto de esta seccin: polinomiales (polinomios), racionales, algepraicas, trascendentales y compuestas, son algunas de las funciones ms importantes de las matemticas.

44

CAPTULO 1

LAS FUNCIONESY SUS GRFICAS

DEFINICiN(1.i4)

Una funcin f es un poliIlomio si

f(x)

anxn + an-xn- + ...

+ ax + ao

donde los coeficientes ao, a, ..., (;(nsOn nmeros reales y los exponentes son enteros no negativos.

Se puede pensar en una funcin polinomial como una suma de funciones cuyos valores estn dados por akxk para algn nmero real ak Y un entero no negativo k.
La expresin en el lado derecho de la igualdad en la Definicin (1.24) es un polinomio en x (con coeficientes reales) y ~ada akxk es un trmino del polinomio. El nmero
ao es el trmino constante. Se llama polinomio tanto la expresin del lado derecho de
la igualdad como la funcin que dicha expresin define. Si an "*O, entonces an es el
coeficiente principal de f(x) y se dice que f (o que f(x) es de grado n.
Si un polinomio f es de grado O, entonces f(x) = c para c "* O Y por lo tanto,
f es una funcin constante. Si un coeficiente ak es cero, se abrevia la escritura de (1.24)
omitiendo el trmino akxk. Si todos los coeficientes de un polinomio son nulos, el polinomio se llama polinomio cero y se denota por O. A este polinomio cero 'ho se le asigna ningn grado.
Si algunos de los coeficientes son negativos, conviene usar signos menos entre los
trminos correspondientes. Por ejemplo, en vez de escribir 3X2 + (-5)x + (-7), se escribe 3X2 - 5x - 7 para este polinomio de grado 2. Tambin se pueden considerar polinomios en otras variables. Por ejemplo, ~Z2 - 3z 7 + 8 - {5z4 es un polinomio en
z de grado 7. Se acostumbra disponer los trminos de un polinomio en orden decreciente de potencias: -3z7 - {5z4 + ~Z2 + 8.
De acuerdo con la definicin de grado, si c es un nmero real diferente de cero,
entonces c es un polinomio de grado O. Estos polinomios Uunto con el polinomio
cero) se denominan polinomios constantes.
Si f(x) es un polinomio de grado 1, entonces f(x) = ax + b para a "*O. Sabemos por la Seccin 1.3 que la grfica de f es una recta y, de acuerdo con ello, se dice
que f es una funcin lineal.
Todo polinomio f(x) de grado 2 puede escribirse

f(x) = ax2 + bx + e
donde a "*O. En este caso, se dice que f es una funcin cuadrtica. La grfica de f,
o equivalentemente la de la ecuacin y = ax2 + bx + c, es una parbola.
En el Captulo 4 se presentan mtodos de clculo para estudiar las grficas de los
polinomios de grado mayor que 2.
Una funcin racional es el cociente de dos polinomios. Entonces q es racional si,
para todo x en su dominio,
f(x)
q(x) = h(x)
en donde f(x) y h(x) son polinomios. El dominio de un polinomio es IR,pero el dominio de una funcin racion9-1consta de todos los nmeros reales excepto los ceros del
nolinomio Que est en el denominador.

45

1.5 Operaciones con las funciones

Una funcin algebraica es una funcin que puede expresarse en trminos de sumas,
restas, productos, cocientes y races de polinomios. Por ejemplo, si

d::

X(X2

f(x) = 5X4 - 2{x +

X3

+ 5)
+ Jx '

entonces I es una funcin algebraica. Las funciones que no son algebraicas se llaman
trascendentales (o trascendentes). Las funciones trigonomtricas, la exponencial y la
logartmica que se estudian ms adelante, son ejemplos de funciones trascendentales.
Concluimos esta seccin con la descripcin de un mtodo importante para definir
una funcin usando otras dos funciones Iy g. Sean D, E YK tres conjuntos de nmeros
reales. Sealuna funcin de D a E y sea 9 una funcin de E a K. Esto se puede expresar
como
D ~ E !!..K.
Es posible usar I y 9 para definir una funcin de D a K.
Para todo x en D, el nmero I(x) est en E. Como el
dominio de g es E, entonces puede determinarse el nmero
g(j(x) y tal nmero est en K. Asociando x a g(j(x) se
obtiene una fmlcin de D a K que se llama composicin de
9 conf. Esto se ilustra en la Figura 1.53, en donde la flecha
gris indica la correspondencia definida de D a K.
A veces se usa un smbolo de operador o y se denota la
composicin como 9 o l. La siguiente definicin resume lo

FIGURA 1.53

,,

-.
x.2'

D
~'

!I(f(x

.-"

anterior.

DEFINICIN(1.25)

Sea

una funcin de D a E y sea 9 una de E a K. La

funcin composicin gol es la funcin de D a K definida por

(g o f)(x) = g(f(x.
para todo x en D. A gol
compuesta de 9 ~on f.

se la llama tambin

funcin

(A veces 9 o f se lee "1 seguida de y".)

Si el dominio de 9 es un subconjunto E' de E, entonces el dominio de gol

de todos los x en D tales que I(x) est en E'.

EJEMPLO6
({J o I)(x)

Solucin

Sean

y el dominio

y 9 dadas por I{x)

de {J o

= x - 2 Y g(x) = 5x + {X. Encontrar

l.

Sustituyendo formalmente obtenemos:

(g o f)(x)

= g(f(xH
- _1-

consta

")\

46

CAPTULO 1

LAS FUNCIONES Y SUS GRFICAS

El dominio de j es R, pero la ltima igualdad implica que (g o j)( x) es un nmero

real slo si x ~ 2. Por lo tanto, el dominio de la composicin g o j es el intervalo

[2,00). .

Dadas jy g, tambin puede considerarse (jo g)(x) = j(g(x), como se expone

en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO7
(g o j)(x).
Solucin

Sean jex) =

X2

1 Y g(x) = 3x + 5. Encontrar

(j

g)(x) y

Procedemos como sigue:

(f

g)(x) = f(g(x)) = f(3x + 5)

= (3x + W - 1
= 9X2

Anlogamente,

+ 30x + 24

(g oJ)(x) = g(f(x)) = g(X2 - 1)

= 3(X2 - 1) + 5
= 3X2 + 2

Ntese que en el Ejemplo 7, j(g(x) y g(j(x) no son iguales, es decir, f o g* g o j.

En algunas aplicaciones hay que expresar una cantidad y como funcin del tiempo
l. A veces es ms fcil introducir primero otra variable x y expresar x como funcin
de 1, es decir, x = g(t); despus expresar y como funcin de x, -es decir, y = j(x)-,
y finalmente expresar y como la composicin de las funciones jy y, o sea, y = j(x) =
j(g(t). Esta situacin se plantea en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO
8 Un globo esfrico de juguete se infla con helio. El radio del globo aumenta
a razn de 1.5 cm/s, expresar el volumen V del globo como una funcin del tiempo
t (en segundos, s).
Solucin
Sea x el radio del globo. Suponiendo que al comenzar el radio es O, entonces a los t segundos

x = 1.51

(radio del globo a los t segundos).

Despus de 1 s el radio es 1.5 cm, a los 2 s el radio es 3.0 cm, a los 3 s es 4.5 cm, etctera.
Ahora escribimos

v = !nx3

(volumen de una esfera de radio x).

Esto da una relacin de composicin de funciones en la que V es una funcin de x,

y x es una funcin de t. Por sustitucin,
V = 1nx3 = !n(1.5t)3 = !n(~t)3 = 1nCZb3).
Simplificando llegamos a la siguiente frmula para V como funcin de t:
T/= ~'7Tt3-

1.5 Operaciones con las funciones

EJERCICIOS
1.5
Ejercicios 1-10: Trace las grficas de f para los tres
valores de e en un mismo sistema coordenado (utilice
desplazamientos verticales, desplazamientos horizontales, ampliaciones (o reducciones) y reflexiones).

Ejercicios 13-18: Determine la suma, la resta, el pl

dueto y el cociente de f y g.
13. f(x) = 3X2, g(x) = 1/(2x

3)

L f(x) = 3x + c; c = O,c = 2, c = - 1

14. f(x) = ~,

2. f(x) = -2x+c;

15. f(x) = x + (l/x), g(x)= x - (l/x)

c=O,c=

3. f(X)=X3+C;

1,c=-3

16. f(x) = X3 + 3x, g(x) = 3X2 + 1

c=0,c=1,c=-2

7. f(x) = 2x3 - x + 5, g(x) = x2 + x + 2

4. f(x) = - x3 + c; c = O,c = 2, c = -1

5. f(x) =

g(x) = ..rx + 3

18. f(x) = 7X4 + X2 - 1, g(x) = 7X4 - X3 + 4x

X2

+ c; c = O,c = 4, c =

6. f(x) = c - x c = O,c = 5, c =
1

1;

3
Ejercicios 19-32: Determine (.f o g)(x) I y (g o .f)(x)

7. f(x)

= 3(x - c); c = O,c = 2, e = 3

8. f(x) = - 2(x - C)2; C = o. C = 3, c = 1

19. f(x) = 2X2 + 5, g(x) = 4 - 7x

20. f(x) = 1/(3x + 1), g(x) = 2/X2

9. f(x) = (x + C)3;C= O,c = 2, c =

21. f(x) = X3, g(x) = x + 1

10. f(x) = c.J9

- X2; c

22. f(x) = .JX2 + 4, g(x) = 7x2 + 1

= O,c = 2, c = 3

11. En la figura se muestra la grfica de una funcin

f con dominio O :::;x :::;4. Trace las grficas de
las siguientes ecuaciones:
(b) Y =
(d) Y =
(f) Y =
(h) y =

(a) y = f(x + 2)
(e) y = f(x) + 2
(e) y

2f(x)

(g) y = - 2f(x)
EJERCICIO 11

f(x - 2)
f(x) - 2
tf(x)
f(x - 3) + 1

24. f(x) = 7, g(x) = 4

25. f(x) = ~,

g(x) = x2 + 3

26. f(x) = 6x - 12, g(x) = tx + 2

27. f(x) = Ixl, g(x) = -5
28. f(x) = ~X2 + 1, g(x) = X3 + 1
29. f(x) = X2, g(x) = 1/x2

30. f(x) = l/(x + 1), g(x) = x + 1

31. f(x) = 2x - 3, g(x) = (x + 3)/2

32. f(x) = X3 -

12. En la figura se muestra la grfica de una funcin

f con dominio O :::;x :::;4. Trace las grficas de
las siguientes ecuaciones:
(a) y = f(x - 1)
(e) y = f(x) - 2
(e) y = 3f(x)

(g)y = f(x + 2) - 2
EJERCICIO 12

23. f(x) = 3x2 + 2, g(x) = 1/(3x2 + 2)

(b) Y =
(d) Y =
(f) Y =
(h) y =

f(x + 3}
f(x) + 1
H(x)
f(2x)

1,g(x)= ~x + 1

3~. Demuestre que si f es una funcin lineal y 9

una funcin cuadrtica, entonces f o 9 y 9 e
son funciones cuadrticas.

34. Demuestre que si fy 9 son polinomios de grad

m y n, respectivamente, entonces f o ges un
linomio de grado mn.

Ejercicios 35-40: Use el mtodo del Ejemplo 8 pa

resolverlos.

35. Un incendio comienza en un campo abierto y !

co, y se extiende en forma de crculo. El rad
de tal crculo aumenta a razn de 6 m/min. E
prese el rea con. fuego como una funcin e
tiempo t.
36. Un cable de 30 m de largo y 10 cm de dimet
est sumergido en el mar. Debido a la corrosi

48

CAPTULO 1

LAS FUNCIONES Y SUS GRFICAS

el rea de la superficie del cable disminuye a razn de 4685 cm2 por ao. Exprese el dimetro
del cable como una funcin del tiempo. (Desprecie la corrosin en los extremos del cable.)
37. Un globo de aire caliente se eleva en forma vertical a medida que una cuerda atada a su base
se va soltando a razn de 5 pie/s. La polea por
la que pasa la cuerda al soltarse est a 20 pie de
distancia de la plataforma donde los pasajeros
abordan el globo (vase la figura). Exprese la altura del globo como una funcin del tiempo.
EJERCICIO37

I
1
1
I
I
I
1
I
I

"' ...
I
I

20'

39. Consulte el Ejercicio 59 de la Seccin lA. Cuando el avin ha recorrido 500 pie por la pista, ha
alcanzado una velocidad de 150 pie/s (alrededor
de 100 mi/h o 160 km/h), que mantendr hasta
que despegue. Exprese la distancia d del avin
a la torre de control como una funcin del tiempo t (en segundos). (Sugerencia: En el Ejercicio 59 de la Seccin lA, escriba primero x como
una funcin de l.)
40. Consulte el Ejercicio 56 de la Seccin lA. El equilibrista camina por el alambre hacia arriba a razn de 30 cm/s. El cable est atado al post' a
10 m del suelo. Exprese la altura h del alambrista sobre el suelo como una funcin del tiempo.
(Sugerencia: Denote por d la distancia total que
ha recorrido sobre el cable. Exprese primero d
como una funcin de t y luego h como una funcin de d.)

-- .

--tf!T

- ~
Jf

ID

38. El dimetro d de un cubo es la distancia entre

dos de sus vrtices opuestos. Exprese d como una
funcin del lado x del cubo. (Sugerencia: Primero
exprese la diagonal y de una cara como una funcin de x.)

REPASO

Defina o discuta lo siguiente.

1. Nmeros racionales e irracionales.

15. Grfica de una ecuacin en x y y.

2. Recta coordenada.

16. Criterios de simetra.

3. Un nmero real a es mayor que un nmero real b.

17. Ecuacin de la circunferencia.

4. Desigualdades.

18. Pendiente de una recta.

5. El valor absoluto de un nmero real.

19. Ecuacin de la recta dados un punto y la pendiente.

6. Desigualdad del Tringulo.

7. La notacin de conjuntos.

20. Ecuacin de la recta dadas la pendiente y laordenada en el origen.

8. Variable.

21. Funcin.

9. Intervalos (abierto, cerrado, semiabierto, infinito).

10. Par ordenado.

22. Dominio de una funcin.

11. Sistema coordenado rectangular en un plano.

24. Funcin constante.

12. Abscisa y ordenada de un punto.

25. Funciones pares e impares.

13. Frmula de la Distancia.

23. Contradominio

de una funcin.

26. Funcin biunvoca.

/

14. Frmula del Punto Medio.

27. Grfica de una funcin.

1.6

49

Repaso

28. Funcin definida parte por parte.

31. Suma, resta, producto y cociente de dos funciones.

29. Desplazamientos verticales y horizontales de las

grficas.

32, Polinomios.

30. Ampliaciones y reflexiones de las grficas.

34. Composicin de dos funcions.

33. Funciones racionales.

EJERCICIOS
1.6
Ejercicios 1-8: Resuelva la desigualdad y exprese la solucin en trminos de intervalos.

22 >

19, Centro C(-4, -3), es tangente a la recta con

ecuacin x = 5.
20. Pasa por los tres puntos A(-2,
C(-2, -1).

3), B(4, 3) Y

1. 4 - 3x > 7 + 2x

2.

3. 12x- 71~ 0.01

4.16x-71>1
2X2 - 3x - 20
().
<0
x+3

1.1. Encuentre el centro y el radio de la circunferencia con ecuacin

8. x2 + 4 2: 4x

Ejercicios 22-26: Dados los puntos A (-4, 2), B(3, 6)

Y C(2, -5), resuelva los problemas.

5. 2X2 < 5x - 3
1
7 -<. 3x - 1

2
x + 5

1 - 4x >
5
2

9. Si se tienen los tres puntos A(2, 1), B(-I, 4) Y

C(-2, -3).
(a) demuestre que A, By C son los vrtices de
un tringulo rectngulo y calcule su rea.
(b) encuentre las coordenadas del punto medio
deAB.
(c) calcule la pendiente de la recta que pasa por
By C.

x2 + y2 - IOx + 14y - 7 = O.

22. Encuentre la ecuacin de la recta que pasa por

B y es paralela a la que pasa por A y C.
2.3. Encuentre la ecuacin de la recta que pasa por
B y es perpendicular a la que pasa por A y C.
1.4. Encuentre la ecuacin de la recta que pasa por
C y por el punto medio del segmento AB.

U.

'
'
Obtenga la ecuacin
.
. ..
. de la recta que pasa por A
EjerCIClos 10 13: Trace la gra f lca d e 1a ecuaClOny d 1S- .
o
..
y es para l ela al eje y.
cuta su S1metna con respecto al eje x, al eje y y al
origen.
2(j, Obtenga la ecuacin de la recta que pasa por C
. y es perpendicular a la recta con ecuacin 3x -

-.

10. 3x - 5y = 10

U.

12. x = y3

n.

x2
1

+y=4

= O.

lOy + 7

x+ y = 1
1

Ejercicios 27-30: Halle el dominio de f.

Ejercicios 14-17: Trace la grfica del conjunto W.
1.7. f(x) =
14. W = {(x, y): x> O}

2x - 3
--X2 -

1.3. f(x) = .)16 - X2

1

1
15. W = {(x, y): y> x}

7h. f(x) = .)x

,31. Sea f(x)

= 1/ ~.

1(j. W = {(x, y): x2 +- y2 < 1}

l7. W = {(x, y): Ix - 41 < 1, Iy+- 31 < 2}

5.)7 - x

(a) f(l)
Ejercicios 18-20: Encuentre la ecuacin de una circunferencia que satisfaga las condiciones dadas.
"

(d) f(.fi

18. Centro C(4, -7), pasa por el origen.

(g) f(X2)

1)

30. f(x) = ,J;(x - 2)

Encuentre Jo siguiente.

(b) f(3)

(c) f(O)

(e) f(-x)

(f) -f(x)

(h) (f(X2

50

CAPTULO 1

LAS FUNCIONES Y SUS GRFICAS

Ejercicios 32-36: Trace la grfica de f.

32. f(x)

=1-

34. f(x) =

Xl
36. f(x) =

4Xl

33.

l/(x + 1)

f(x)

= 100

35. f(x) = Ix + 51

si x < O

3x si O::; x < 2
{ 6 six2:2

37. Trace la grfica de cada ecuacin usando desplazamientos, ampliaciones (o reducciones) o reflexiones:

(a) y = Fx
(e)y = Fx + 4
(e) y = iFx

(b) Y = -.Ix+ 4
(d) Y = 4Fx
(f) Y = -Fx

38. Det~rminesifes p,
ni impar:

(a)f(x) = ~X3 + 4x
(e)f(x) = ~X4 + 3x
(d)f(x) = O
39. Sea f(x)
nvoea.

= 5

Ejercicios 40-42: Detern

(fg)(x), (f/ g)(x), (f o

40. f(x) = Xl + 3x + 1
41. f(x) = Xl + 4, g(x)

42. f(x) = 5x + 2, g(x)