Tarea del Segundo Parcial

TEORIA ELECTROMAGNETICA
II
Benjamin Medina Carrillo
20 de octubre de 2014
CAPITULO 15
15.6. Una bobina toroidal de N vueltas esta enrollada sobre una seccion circular de radio b. Si el radio
del eje central es a, es decir, que esta es la distancia del centro 0 al centro de la seccion, encontrar la
relacion b/a que se requiere para que la desviacion total de B en la seccion no sea mayor del 2 % de su
valor en el centro.
Nombremos 2 campos B1 y B2
Tal que:
B1 =

0 IN
2a

y B2 =

IN
2(ab)

Tambien sabemos que B2 > B1

Ademas podemos decir que:
B2
= 1 02
B1
entonces podemos hacer lo siguiente:
0 IN
2(ab)
0 IN
2a

= 1 02

Prosiguiendo con el algebra:

a
= 1 02
ab
Entonces:
ab
= 0 98
a
1 ab = 0 98
Luego
b
= 1 0 98 0 02
a
15.7. Considerense los conductores cilndricos coaxiales infinitamente largos de la figura 6-12. El
conductor interior lleva una corriente total I en la direccion zb, mientras que el conductor exterior lleva
la misma corriente I pero en direccion b
z . Supongase que las corrientes se encuentran distribuidas
uniformemente sobre sus respectivas secciones. Encontrar B en todo lugar y graficar los resultados en
funcion de .

Figura del ejercicio 15.7

Para resolver este problema y encontrar la induccion magnetica en todo lugar, se debe encontrar en 4
regiones diferentes, en relacion a la figura.
Para < a

B .ds = 0 Ienc

Z
C1

Como el vector de la induccion y el vector de campo son perpendiculares entre si:

BS = 0 Ienc
Donde S:
S = (2)

Por lo tanto la induccion magnetica B queda:

B=

0 Ienc
2

Pero tomando en cuenta que la Ienc :

2

Ienc = I( a
2 ) = I( a2 )

La respuesta es:
B=

0 I
2a2

Para a < < b

B .ds = 0 Ienc

Z
C2

Como el vector de la induccion y el vector de campo son perpendiculares entre si:

BS = 0 Ienc
Donde S:
S = (2)

Por lo tanto la induccion magnetica B queda:

B=

0 Ienc
2

Pero tomando en cuenta que la Ienc :

Ienc = I
La respuesta es:
B=

0 I
2

Para b < < c

B .ds = 0 Ienc

Z
C3

Como el vector de la induccion y el vector de campo son perpendiculares entre si:

BS = 0 Ienc
Donde S:
S = (2)

Por lo tanto la induccion magnetica B queda:

B=

0 Ienc
2

Pero tomando en cuenta que la Ienc :

2

)
)
Ienc = I( (c
) = I( (c
)
(c2 b2 )
(c2 b2 )

La respuesta es:
B=

0 I (c2 2 )
(
)
2 (c2 b2 )

Para b < < c

B .ds = 0 Ienc

Z
C4

Como el vector de la induccion y el vector de campo son perpendiculares entre si:

BS = 0 Ienc
Donde S:
S = (2)

Por lo tanto la induccion magnetica B queda:

B=
Pero tomando en cuenta que la Ienc :

0 Ienc
2

Ienc = I I = 0
La respuesta es:
B=0
La grafica queda de la siguiente manera:

Gr
afica de B vs
15.8 Un determinado
campo B esta dado en coordenadas cilndricas por B = 0 para 0 < < a,
h 2 2i
a
0 I
0 I
b para a < < b, y B = 2

b para b < . Encontrar la densidad de corriente J en

B = 2 b2 a2
todo lugar. Como se podra producir una B de este tipo?
La densidad de corriente la podemos hallar mediante:
X B = 0 J J =

X B
0

Por lo que para 0 < < a el campo B = 0 por lo que X B = 0, siendo la densidad de corriente:
X B
0
=
=0
0
0
 h 2 2i
a
0 I

b siendo su rotacional:
Para a < < b el campo es B = 2
b2 a2
J=

b

1

X B =    h
i

0 I
2 a2
0
2
b2 a2


zb 

 2


0 I
a2
z  =
zb
 2
b 2 a2
0

Al realizar la derivada parcial con respecto a obtenemos que:

 2

0 I
+ a2
X B=
zb
2(b2 a2 )
2
Siendo entonces la densidad de corriente en esa region:
 2

I
+ a2
J=
zb
2(b2 a2 )
2

0 I
Por u
ltimo cuando > b el campo es B = 2
,
b tenemos que al aplicar el rotacional de B obtenemos
un resultado parecido al caso anterior, siendo este:


0 I
0 I
X B=
zb =
zb
2
22

Por lo que la densidad de corriente en este caso es:

J =

I
zb
22

La respuesta a la pregunta es la siguiente:

Con dos cilindros coaxiales y huecos, las corrientes I1 e I2 deben tener la misma magnitud e ir en la
misma direccion
15.10 Dos superficies cilindricas coaxiales, infinitamente largas, tienen el eje z como el eje en com
un.La
superficie interior, de radio a, conduce una corriente superficial K1 = K1 mientras que la superficie
exterior, de radio b, conduce una corriente superficial K2 = K2 .
Tanto K1 como K2 son constantes.
Encontrar B en todo lugar

Figura del ejercicio 15-10

R

B dl = 0 nIenc

donde

Ienc = KL

Por tanto:
R

R
Bi dl B0 dl = 0 kl
Bi l B0 l = 0 k
Bi = 0 k2

Para a < < b tenemos Bi dada por:

Bi B0 = 0 K2
Para > b tenemos::
B0 = 0

Bi = 0 K2 z

Para
< aRtenemos :
R
Bi dl B0 dl = 0 kl
Bi l B0 l = 0 k
Bi = 0 k1
Por lo tanto sumando los resultados:
B = 0 (K1 + K2 )
z
CAPITULO 16
16.7. Siempre es cierto que B = 0; X B = 0 tambien es cierto en un punto donde no haya
corriente. Estos resultados son una indicacion de como se relaciona entre s ciertas derivadas de B. Se
pude hacer uso de estas relaciones para obtener valores aproximados de B en los casos donde resulte
muy difcil resolver exactamente en el caso general, mientras que es facil resolver los casos especiales.
Por ejemplo, considerese un anillo circular que conduce una corriente. En (14-18) se
encontro facilmente la induccion en su eje. Si se toma (14-2) para un punto de campo general, se
encontrara que resulta una integral que debe expresarse en terminos de funciones elpticas. Es posible
aproximar esta integral para puntos cercanos al eje z por medio de un desarrollo en series de potencias
del integrando para peque
nas, pero es mejor otro metodo. A partir de (14-18), se escribe un
desarrollo en serie de Taylor para B como B (, z) B (0, z) + (B / )0 . Se utilizan despues
(14-18) y B = 0 para evaluar esta aproximacion de B en un punto fuera del eje pero cerca de el. De
manera similar, encontrar una expresion para Bz (, z).
Mediante lo explicado en el enunciado tenemos que:
Bz =

0 Ia2
3

2(a2 + z 2 ) 2

B =0

zb

XB = 0

B (, z) B (0, z) + (B / )0
Desarrollando la divergencia tenemos:
B =

1 B Bz
1
(0 B ) +
+
=0


z

Al no existir en este caso campo en direccion , este valor se hace 0 por lo tanto:
1
Bz
(0 B ) =

z
Desarrollando serie de Taylor, el primer termino al ser evaluado en 0 no se considera, por lo que
tenemos:
B (, z) (B / )0
De manera que al ser el segundo termino similar al de la divergencia tenemos que:
1
Bz
Bz
B (, z)
B (, z)

z
z
Realizando la derivada parcial al termino dado al inicio del problema tenemos que:
B (, z)

30 Ia2 z
5

2(a2 + z 2 ) 2

Empleando el resultado anterior, ahora se debe de hallar una expresion para el campo en un punto
cercano al eje z en la direccion , para ello debemos de tomar en cuenta que el rotacional del campo es:






1 Bz B
B Bz
1
1 B
XB =

b +

b+
(B )
zb = 0

z
z

Considerando que los terminos de son 0 y el rotacional debe de ser igual a cero obtenemos que:
B
Bz
=
z

Para encontrar el valor del campo Bz debemos de llevar a cabo un desarrollo en serie de Taylor, siendo
este:
Bz
Bz (, z) Bz (, z) +

El primer termino de la serie de Taylor corresponde al campo Bz cuando esta en el origen, al segundo
termino lo podemos sustituir por lo obtenido al hacer el analisis del rotacional de manera que
tendremos:
B
Bz (, z) Bz (, z) +
z
Desarrollando el segundo termino tenemos:
B
150 Ia2 z 2
30 Ia2 (a2 + z 2 ) 150 Ia2 z 2
30 Ia2

=
5
7 =
7
7
z
2(a2 + z 2 ) 2
2(a2 + z 2 ) 2
2(a2 + z 2 ) 2
2(a2 + z 2 ) 2
Por lo que:
B
30 2 Ia2 (a2 4z 2 )
=
7
z
2(a2 + z 2 ) 2
De manera que el campo Bz para un punto cercano al eje z, es:

Bz (, z) (

0 Ia2

3 ) +

2(a2 + z 2 ) 2

30 2 Ia2 (a2 4z 2 )
7

2(a2 + z 2 ) 2

0 Ia2



32 (a2 4z 2 )
Bz (, z) (
1+
3 )
(a2 + z 2 )2
2(a2 + z 2 ) 2
16.8. Una circunferencia de radio a esta sobre el plano xy con su centro en el origen. Una corriente I la
recorre en el sentido en que aumenta el angulo polar 0 . Encontrar una expresion para el A producido
en un punto arbitrario (x, y, z). Escribirlo en funcion de sus coordenadas rectangulares y expresarlo
como una integral con respecto a 0 . No evaluar la integral. Suponer ahora que el punto de campo
esta sobre el eje z y evaluar la integral para encontrar A, encontrar las expresiones integrales para las
componentes de B y demostrar que si el punto de como se encuentra sobre el eje, se obtiene (14-18).

Fgura del ejercicio 16-8

En base al problema, se plantean los vectores de posicion, los cuales quedan:

r = xb
x + yb
y + zb
z

0
0
r = a cos x
b + a sin 0 yb

Al igual podemos encontrar el diferencial ds0 , que no es mas que derivar el vector r0 , el cual queda:

ds0 = (a sin 0 x
b + a cos 0 yb)d0

La distancia R que no es mas que el valor absoluto de la resta de

r y r0 queda:
R = |(x a cos 0 ) + (y a sin 0 ) + z|
Para encontrar A, tenemos que utilizar la siguiente formula:
0
A=
4

I 0 ds0
R

Sustituyendo en la formula:
0 I
A=
4

(a sin 0 x
b a cos 0 yb)d0
p
(x a cos 0 )2 + (y a sin 0 )2 + z 2

Variando un poco el problema, primero aplicaremos XA para encontrar B y despues

el punto se medira sobre el eje z, ya que de lo contrario el resultado se vuelve 0


x
b
yb
zb



x
y
z
XA =  H
H
a sin 0 d0 x
b
a cos 0 d0 yb


0

(xa cos 0 )2 +(ya sin 0 )2 +z 2
(xa cos 0 )2 +(ya sin 0 )2 +z 2

se supondra que








Resolviendo la matriz:
I

I
+
I

x
21 (z)b

cos d (
I

sin 0 d0 (
cos 0 d0 (
cos 0 d0 (

((x a cos 0 )2 + (y a sin 0 )2 + z 2 ) 2

12 (z)b
y

((x a cos 0 )2 + (y a sin 0 )2 + z 2 ) 2

z
12 (2x 2a cos 0 )b

((x a cos 0 )2 + (y a sin 0 )2 + z 2 ) 2

12 (2y 2a cos 0 )b
z
((x a cos 0 )2 + (y a sin 0 )2 + z 2 ) 2

Ahora se supone que el punto esta en el eje z, por lo tanto x = y = 0

Z 2
Z 2
a2 0 I
1
2 0
0
[
sin d +
cos2 0 d0 ]b
z
B=
4 (a2 + z 2 )3/2 0
0
B=

a2 0 I
1
[ + ]b
z
2
4 (a + z 2 )3/2

a2 0 I
1
B=
zb
2
2 (a + z 2 )3/2
16.9. Un cuadrado de lado 2a descansa sobre el plano xy con su centro en el origen I circulando en
sentido contrario al de las manecillas del reloj si se observa desde las z positivas. Encontrar A ara todos
los puntos dentro del cuadrado. Cuanto vale A en el centro?

Fgura del ejercicio 16-9

Sabemos que el potencial vectorial esta dado por:
I

0
A=
4

C0

I 0 d~s0
~
R

Para calcular el potencial vectorial total, debemos de considerar cuatro potenciales vectoriales
diferentes y sumarlos para obtener el total.
Tomando el potencial generado por la primera linea:
r~0 = x0 x + a
y
~r = x
x + y y
ds~0 = x0 dx0
Entonces el potencial vectorial esta dado por:
Z a
dx0
0 I 0
p
x
A1 =
4
(x x0 )2 + (y a)2
a
Resolviendo la integral:
4A1
= x
0 I 0

u2

u1

du
u2 + B 2

Con (x x ) = u y (y a) = B
Z 2
=
x
sec d
1

Con (B tan ) = u , (B sec 2 d) = du y B sec =

u2 + B 2

=
x ln | sec + tan |21

u2
 u2 + B 2
u 

=
x ln 
+ 

B
B
u1

p

 (x x0 )2 + (y a)2 x x0 a


=
x ln 
+


B
B 
a
p

 (x + a)2 + (y a)2 x + a 


=
x ln  p

 (x a)2 + (y a)2 x a 
Considerando 2 = (x a)2 + (y a)2 y 2 = (x + a)2 + (y a)2 :


 x a
4A1


= x ln 
0 I 0
x+a

De manera similar al primer potencial vectorial calculado, se calculan los otros tres:
Para la segunda lnea:
r~0 = x0 x a
y
~r = x
x + y y
ds~0 = xdx0
Entonces el potencial vectorial esta dado por:
Z a
dx0
0 I 0
p
A2 =
x
4
(x x0 )2 + (y + a)2
a


 + x + a
4A2

= x ln 
0 I 0
+ x a
Considerando 2 = (x a)2 + (y + a)2 y 2 = (x + a)2 + (y + a)2
Para la tercera lnea:
r~0 = a
x + y 0 y
~r = x
x y y
ds~0 = ydy 0
Entonces el potencial vectorial esta dado por:
Z a
dy 0
0 I 0
p
y
A3 =
4
(x + a)2 + (y y 0 )2
a


 y a
4A3


= y ln 
0 I 0
y + a
Considerando 2 = (x + a)2 + (y a)2 y 2 = (x + a)2 + (y + a)2
Para la cuarta lnea:
r~0 = a
x + y 0 y
~r = x
x + y y
ds~0 = ydy 0
Entonces el potencial vectorial esta dado por:
Z a
dy 0
0 I 0
p
y
A4 =
4
(x a)2 + (y y 0 )2
a


 + y + a
4A4

= y ln 
0 I 0
+ y a
Considerando 2 = (x a)2 + (y a)2 y 2 = (x a)2 + (y + a)2
Entonces el potencial vectorial total estara dado por:




 ( + a + x)( a x) 
 ( a y)( + a + y) 
4(A1 + A2 + A3 + A4 )
 + y ln 

= x ln 
 ( a + y)( + a y) 
0 I 0
( + a x)( a + x) 





 ( + a + x)( a x) 
 ( a y)( + a + y) 
0 I 0
 + y ln 

A=
x ln 
 ( a + y)( + a y) 
4
( + a x)( a + x) 
Para el potencial vectorial en el centro hay que considerar a x = 0 y y = 0. Al sustituir estos valores en
la ecuacion encontrada anteriormente encontramos que:
A=

0 I 0
ln |1| = 0
4

16.10. Encontrar el A producido en cualquier punto del eje z por una corriente en el arco circular que
se muestra en la figura 14-9. Por que este resultado no dara el valor correcto de B que se encontro en
el ejercicio 14-7?

Fgura del ejercicio 16-10

De acuerdo a la figura tenemos que:

r = zb
z

d
z

0r = dzb
r = a cos 0 d0 x
b + a sin 0 d0 yb

0
d s = d r = a sin 0 x
b + a cos 0 yb
1
R = (a2 + z 2 ) 2
Por lo que para el potencial vectorial se tiene:
0

A(
r)=
4

Z
c

Z
Id s0
0 I [a sin 0 x
b + a cos 0 yb]d0
0 Ia
0
0
=
=
b + sin 0 yb)||0
1
1 (cos x
R
4
(a2 + z 2 ) 2
4(a2 + z 2 ) 2

Al evaluar el resultado de la integral observamos que el componente en x

b se hace cero, por lo tanto el
potencial vectorial es:
0 Ia

0
A(
r)=
b
1 sin y
2
2
2(a + z ) 2
En el ejercicio 14-7 se obtiene que el campo B es:
B=

0 Ia
2(a2

z2) 2

(z sin 0 x
b + ab
z)

Para compararlo con lo obtenido en este ejercicio debemos de realizar el rotacional del potencial
vectorial, siendo este:


x
yb
zb 
b


0 Ia


0
B = XA(
r ) =  x
x
b
y
z  =
1 sin
2 + z2) 2
0 Ia
0

z
0
2(a
sin

0
1


2(a2 +z 2 ) 2
Siendo en nuestro caso el campo:
0 Ia

0
b
3 z sin x
2(a2 + z 2 ) 2
Lo obtenido no resulta similar al resultado del ejercicio 14-7 debido a que al obtener B mediante A no
se considera la longitud total del eje z.

B=

16.11.Un cilindro infinitamente largo tiene una seccion circular de radio a y su eje a lo largo del eje z.
Una corriente constante, I, se distribuye uniformemente por su seccion en la direccion positiva z.
Utilizar (16-23) para encontrar A en todo lugar. Si se expresa el A fuera del cilindro en la forma
(16-33), Cual es el valor de A sobre el eje z?

Fgura del ejercicio 16-11

H

Sabemos que: A dl = B da entonces partiendo de campos ya conocidos tenemos que en el interior

0 I
0 I
del cilindro Bi = 2a
2 y en el exterior Be = 2 podemos ahora empezar haciendo:
para > a
 
I
0 I
o
0 I
d =
ln
Af uera =
2

0 2
para < a


I a
0 I
0 I
2
d =
Adentro =
1 2
2
4
a
2a
por lo tanto A sobre el eje Z es A = Adentro + Af uera :


0 I  o  0 I
2
ln
+
A=
1 2
2
a
4
a

 
0 I
2
o
A=
1 2 + 2ln
4
a
a
16.14. Un plano infinito de corriente de corriente coincide con el plano xy. La densidad de corriente
tiene magnitud constante K y va en la direccion positiva de y. Encontrar el potencial vectorial A en
todo lugar. Si no es posible hacer que se anule en el infinito, expresarlo en funcion de su valor en el
plano de corriente.

Fgura del ejercicio 16-14

Partiendo de un campo ya conocido Htenemos BH = 21 0 K x con signo negativo para z > 0 y positivo
para z < 0. Ademas conocemos que A dl = B da y por lo tanto:
Z

Z b
1
1
da = 0 K(b a)
B da = 0 K
2
2
a
I
I b
dl = A(b a)
A dl = A
a

entonces lo que sigue es hacer una igualacion entre ambos resultados

1
A(b a) = 0 K(b a)
2
cancelando valores en ambos lados de la igualdad llegamos a concluir que
1
A = 0 KZ y
2
analogamente encontramos el resultado para la Z < 0que nos da
1
A = 0 KZ y
2
16.15. Una esfera de radio a contiene una carga total Q distribuida uniformemente en su volumen. Se
le hace girar alrededor de uno de sus diametros a velocidad angular constante . Suponer que la
distribucion de carga no se altera por la rotacion y encontrar A en cualquier punto sobre el eje de
rotacion

Figura del ejercicio 16-15

Prmero definimos los vectores ~r y r~0
~r = 0
r~0 = (r sen 0 cos 0 )
x + (r sen 0 cos 0 )
y + (r cos 0 )
z
Z .
0
Sabemos que A esta dada por A = ( )
J~ 0 (~r)d 0
4 v0
Para calcular A necesitamos obtener J~ 0 y la velocidad, derivando el vector de posicion r~0 dado que
J~ 0 =

Derivando r~0 tenemos

dr~0 d0
dr~0
=
= (r sen 0 sen 0 )
x + (r sen 0 cos 0 )
y
d0 dt
d0
Sustitumos J~ 0 en A y evaluamos la integral de 0 a, 0 y 0 2
Z Z Z
0 2 a
[(r sen 0 sen 0 )
x + (r sen 0 cos 0 )
y ]r02 sen 0 dr0 d0 d0
A=
4 0
0
0
Debido a la periodicidad en uno de los lmites al evaluar senos y cosenos, obtenemos:
A=0
CAPITULO 17
17.2. En una cierta region, la induccion de funcion del tiempo esta dada por B = B0 ( t )b
z , siendo B0 y
constantes. Encontrar A. Suponer que el potencial escalar es cero y encontrar E a partir del valor
obtenido para A. Utilizar este valor de E para evaluar el miembro izquierdo de (17-8) y as demostrar
directamente que es igual al miembro derecho.
Sean:

t
z
B = B0 ( )b

1
A= Br
2
r = xb
x + yb
y + zb
z

Por lo tanto, calculando el producto cruz B r :

x y
z
A = 12 0 0 B0 ( t )
x y
z
nos da como resultado:

t
1
t
1
A = yB0 ( )b
x + xB0 ( )b
y
2

Como:
= 0 E =

(A)
y B0
=
(t)
2

Siendo:
x = cos
y = sen
x
b = cos()b
sin()b
yb = sin()b
+ cos()b
Tenemos:

sin() B0
b cos B0 [sin()b
b
[cos()b
sin()]
cos()]
2

Lo que nos da como resultado:

B0 b
E=

2
E=

Se debe demostrar la siguiente igualacion:

Z

ds = B
t

Z
da

Por lo tanto:

B0
B(2 ) = 2
t

B0
B0 2

(2) =
2

2
B0
B0 2

Y de esta manera se demuestra directamente que es igual al miembro derecho.

17.4. Un cable recto, infinitamente largo, que conduce una corriente I coincide con el eje z. Una espira
circular de radio a descansa sobre el plano xz con su centro sobre el eje x positivo a una distancia b del
origen. Encontrar el flujo a traves de la espira. Si ahora esta se mueve con rapidez constante, v, en
direccion paralela al eje x y alejandose de i, encontrar la fem inducida en ella. Cual es la direccion de
la corriente inducida?.

Fgura del ejercicio 17-4

Sea:

0 I b
B =

2x
Z
Z

Entonces : = B d a = Bda
s

0 I
da
2x

0 I
dxdy
2x

=
=
Para x [b a] a [b + a]
2
2
Para y (x b)2 +
py = a
Entonces : y = a2
(x b)2
R b+a R a2 (xb)2
P orlotanto : = ba 2
2

0I
2
con:

R b+a

p
a2 (x b)2 ]dx =

1
[2
ba x

0 I
dydx
a (xb) 2x
0 I

R b+a
ba

=
2

0 I
2

a2 (xb)2
1

[(y)|
]dx
x
a2 (xb)2

a (xb)2
dx
x

m=

0 I

y:
Z

b+a

ba

p
a2 (x b)2
dx......(1)
x

Integrando
por medio deWolfram a (1):
p

a2 b2 + 2bx x2 + [ a2 b2 ][ln(x) ln( a2 b2 a2 (b x)2 + a2 b2 + bx)]

b arctan[ 2bx 2 ]|b+a
ba
a (bx)

Cuando
x = (b + a)
p

a2 b2 + 2b2 + 2ab (b2 + 2ab + a2 ) + [ a2 b2 ][ln(b + a)

ln( a2 b2 a2 b2 + 2b2 + 2ab b2 2ab + a2 ) +a2 b2 + b2 + ab] btan1 [ a2 b2 +2bb(ba)

2 +2abb2 2ab+a2 ]

= a2 + b2 [ln(b + a) ln(a2 +ab)] b arctan()

b+a
= a2 + b2 [ln( a(a+b)
)] + b
= a2 + b2 [ln( a1 )] + b
......(2)
2
2
Cuando
x = (b a)

2 b2 + 2b2 2ab b2 + 2ab + a2 + [ a2 b2 ][ln(b a)

a

bb+a
ln( a2 b2 a2 b2 + 2b2 + 2ab b2 2ab a2 ) + a2 b2 + b2 + ab] b arctan[ a2 b2 +2b
2 b2 2aba2 ]

b
2
2
2
= a b [ln(b a) ln(a ab)] 2 ......(3)
Restando
(2) y (3) y multiplicando
por m:
= m[ a2 + b2 [ln( a1 )] + b
]

m[
a2 b2 [ln(b a) ln(a2 ab)] b
]
2
2
con:

n = a2 + b2
Entonces:

1
mn[ln( ) ln(b a) + ln(a2 ab)]
a

(1)

(1)
2
a
mn[ln (ba)
+ ln(a2 ab)] = mn[ln (aba
2 ) + ln(a ab)]
a(ab)
)]
mn[ln(ab a2 ) + ln(a2 ab)] = mn[ln( a(ba)

o I 2
ab
a b2 [ln(
)]

ba
Para encontrar la fem inducida aplicamos la siguiente regla de la cadena: Derivamos respecto de b:
Entonces : =

ind =

b
= ( )( )
t
b t
Tomando b como: b = b0 + vt ya que se toma la distancia original, mas la distancia que se mueve al
ir con una velocidad v.
con:
0 I
m=

Entonces:
a(b0 +vt)
0 +vt)
0 +vt))
ind = m( 21 (a2 (b0 + vt)2 )1/2 (2(b0 + vt))v ln | (b
| + ( a+(b
)( v(b0 +vt)a)v(a(b
)
(b0 +vt)+a
[(b0 +vt)a]2
0 +vt)a
2
2 1/2
(a (b0 + vt) ) )
Por lo tanto:

0 +vt)
|v
ln | a(b
(b0 +vt)a

ind =

0 I

ind =

0 I
b
a (b)
p
|v
ln |

(b) a
a2 (b)2

b0 +vt
a2 (b0 +vt)2

Dejando todo en terminos de b:

Por lo tanto, la fem inducida va en direccion x

17.12. Supongase que la espira circular del ejercicio 17-4 se hace girar ahora de manera tal que su
centro traza un crculo de radio b con centro en el origen, mientras que el plano de la espira permanece
paralelo al eje z. En otras
la espira tiene una velocidad angular = b
z . Encontrar E 0 en la
H palabras,
0
espira movil. Encontrar E ds alrededor de alguien que este en un sistema de laboratorio fijo.

Fgura del ejercicio 17-12

Para encontrar la Een la espira movil tenemos que:
E 0 = v X B = (B.r)
Donde:
B=

0 I
0 I
b =
( sin b
x + cos b
y)
2
2

Tomando en cuenta que:

r = a cos b
x + a sin b
z
Siendo el angulo correspondiente a la trayectoria y el angulo en la espira. Por lo tanto E 0 en la
espira movil es:

E0 =

0 Ia
(sin cos )b
x
2

Por lo tanto para la fem inducida tenemos:

I
Z 2
0 Ia
0
0
cos d = 0
m = E ds =
sin
2
0
17.18. Utilizar (17-46) para encontrar la inductancia mutua de los circuitos que se muestran en la
figura 13-5. Es consistente esta respuesta con el resultado del ejercicio 17-3? (Clave: supongase que la
porcion recta va de -L a L, siendo L muy grande, y pasese al lmite L lo mas tarde que se pueda
en el calculo).

Fgura del ejercicio 17-18

Para comenzar consideramos los cuatro lados del rectangulo de manera individual. Las dos lineas que
son perpendiculares a C 0 se cancelan, por lo que solo consideraremos a las que son paralelas.
Para la lnea de la izquierda, consideramos:
r~0 = y 0 y
ds~0 = dy 0 y
~r = d
x + y y
d~s = dy y
Entonces la integral queda como:
0
y
M1 =
4

Z bZ
0

dydy 0
p
d2 + (y y 0 )2

Para la lnea de la derecha, consideramos:

r~0 = y 0 y

ds~0 = dy 0 y
~r = (a + d)
x + y y
d~s = dy y
Entonces la integral queda como:
0
y
M2 =
4

Z bZ
0

dydy 0
p
(a + d)2 + (y y 0 )2

Las inductancias deben restarse para obtener la inductancia total, debido a que sus corrientes son
opuestas, entonces:
!
Z bZ L
0
1
1
y
dydy 0 p
p
M=
4 0 L
d2 + (y y 0 )2
(a + d)2 + (y y 0 )2
Debido a la complejidad de dicha integral, resolviendola con ayuda de Wolfram y haciendo que
L ,la respuesta es:


d
b0 ln
a+d
M=
2
Resultado que prueba que la inductancia es consistente al hacerlo por este metodo.
17.20. Una bobina toroidal de N vueltas tiene un radio central del toroide igual a b y el radio de su
seccion circular es a . Demostrar que su autoinductancia es 0 N 2 [b (b2 a2 )1/2 ]

Figura del ejercicio 17-20

Usando

H
c

B dl = 0 Ienc

Donde =

B(2r) = 0 N I

B=

0 N I
2r

Tomando como referente la figura, la h y H de la bobina estna dadas por:

p
p
h = a2 (r b)2
por tanto H = 2 a2 (r b)2

Sustituimos H en la formula, obteniendo:

N = N

b+a

B ds =
ba

p
Z
0 N I p 2
0 N 2 I b+a a2 (r b)2
2
2 a (r b) dr =
dr
2r

r
ba

Evaluando la integral tenemos:

0 N 2 I
(b b2 a2 )

Finalmente tenemos que su autoinductancia es:

L = 0 N 2 I[b

b 2 a2 ]

17.21. Una bobina toroidal de N vueltas tiene un radio central b y una seccion cuadrada de lado a.
Encontrar su autoinductancia.

Fgura del ejercicio 17-21

Usando

H
c

B dl = 0 Ienc Conocida como la Forma Integral de la Ley de Ampere

Donde =

B(2r) = 0 N I

B=

0 N I
2r

Tomando en cuenta el dibujo, planteamos la siguiente integral para encontrar el flujo magnetico:
=

H
c

Z
B da =

b+ a2

b a2

0 N I
adr
2r

Realizando la integral, obtenemos:

=

0 N Ia
2

b+ a

ln |r|b a2
2

Evaluando se obtiene:
=
En base a la formula: L =

N
,
I

0 N Ia
[ln |b
2

+ a2 | ln |b a2 |] =

0 N Ia
2

2b+a
ln | 2ba
|

podemos encontrar la autoinductancia:

L=

Con lo cual se resuelve el problema.

0 N 2 a
2

ln | 2b+a
|
2ba