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    Serie Fourier de x2

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    jorge sauceda
    Este documento presenta la expansión en serie de Fourier de la función f(x)=x^2 en el intervalo [-1,1]. Calcula los coeficientes a0, an, bn de la serie mediante integrales definidas. Muestra que la aproximación mejora a medida que aumenta el número de términos n considerados en la serie.

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    Serie Fourier de x2

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    Expansión en series de Fourier de x ^ 2 en el intervalo @- 1, 1D

    f HxL = x2 , " x Î @- 1, 1D

    f HxL = a0 + â an CosB F + bn SinB F


    ¥ 2Πnx 2Πnx

    n=1
    L L
    donde :

    à f HxL â x
    1 b
    a0 =
    L a

    à f HxL CosB F âx
    2 b 2Πnx
    an =
    L a L

    à f HxL SinB F âx
    2 b 2Πnx
    bn =
    L a L

    L=b-a

    L = 1 - (-1)
    In[1]:=

    à x^2 âx
    1 1
    a0 =
    2 -1

    Out[1]=
    1
    3

    à x ^ 2 CosB F âx
    2 1 2Πnx
    an =
    2 -1 2

    Pasos para la integral x ^ 2 cos Hpi n xL, integrar por partes, à f â g = f g - à g â f, donde

    f = x ^ 2, df = 2 x dx,
    sin HΠ n xL
    dg = cos HΠ n xL dx, g =
    Πn

    à x ^ 2 CosB F âx = à x sin Hpi n xL â x


    2
    2Πnx x Sin@Π n xD 2
    -
    2 Πn Πn
    Para la integral de x sin Hpi n xL, integrar por partes,

    à f â g = f g - à g â f, donde
    f = x, df = dx,
    cos HΠ n xL
    dg = sin HΠ n xL dx, g = -
    Πn
    2 x cos HΠ n xL
    à x CosB F âx = à cos HΠ n xL â x +
    2
    2Πnx 2 x2 Sin@Π n xD
    -
    2 Π2 n2 Π2 n2 Πn
    2 x cos HΠ n xL
    à x ^ 2 CosB F âx = - à cos HuL â u +
    2Πnx 2 x2 Sin@Π n xD
    +
    2 Π3 n3 Π2 n2 Πn
    - 2 sin HuL 2 x cos HΠ n xL x2 Sin@Π n xD
    = + +
    Π3 n3 Π2 n2 Πn
    2 x cos HΠ n xL
    = IΠ2 n2 x2 - 2M sin HΠ n xL +
    Π2 n2
    =0
    2 Serie Fourier de x2.nb

    à x ^ 2 SinB F âx
    2 1 2Πnx
    bn =
    2 -1 2

    Pasos para la integral x ^ 2 Sin@Π n xD, integrar por partes, à f â g = f g - à g â f, donde

    f = x ^ 2, df = 2 x dx,
    dg = sin HΠ n xL dx, g = - cos HΠ n xL  HΠ nL
    x cos HΠ n xL
    à x ^ 2 CosB F âx = à x cos HΠ n xL â x -
    2Πnx 2
    Πn Πn
    Para la integral de x cos HΠ n xL, integrar por partes, donde,
    2

    f = x, df = dx,
    sin HΠ n xL
    dg = cos HΠ n xL dx, g =
    Πn
    2 x sin HΠ n xL x2 cos HΠ n xL
    à x ^ 2 CosB F âx = à sin HΠ n xL â x -
    2Πnx 2
    -
    2 Π2 n2 Π2 n2 Πn
    2 x sin HΠ n xL x2 cos HΠ n xL
    à sin HuL â u +
    2
    = - -
    Π3 n3 Π2 n2 Πn
    2 cos HuL 2 x sin HΠ n xL x cos HΠ n xL
    2
    = + -
    Π3 n3 Π2 n2 Πn
    2 x sin HΠ n xL
    = I2 - Π2 n2 x2 M cos HΠ n xL +
    Π2 n2
    4 H- 1L n
    =
    n2

    4 H- 1Ln
    Entonces podemos escribir f HxL = x2 = +â
    1 ¥
    Sin@Π n xD
    3 n=1 n2

    Graficando x2 tenemos :
    In[6]:=
    Plot[x^2, {x, -1, 1}]
    1.0

    0.8

    0.6

    Out[6]=
    0.4

    0.2

    -1.0 -0.5 0.5 1.0

    Graficando la aproximación por series de Fourier para n = 1 :


    Serie Fourier de x2.nb 3

    H- 1Lk
    In[15]:=

    â
    1 4 n
    f@x_, n_D := + Cos@Π k xD
    3 Π^2 k=1 k2

    In[19]:=
    Plot[{f[x, 1], x^2}, {x, -1, 1}]
    1.0

    0.8

    0.6

    Out[19]=
    0.4

    0.2

    -1.0 -0.5 0.5 1.0

    Graficando la aproximación por series de Fourier para n = 3 :


    In[20]:=
    Plot[{f[x, 3], x^2}, {x, -1, 1}]
    1.0

    0.8

    0.6

    Out[20]=
    0.4

    0.2

    -1.0 -0.5 0.5 1.0

    Graficando la aproximación por series de Fourier para n = 5 :


    In[22]:=
    Plot[{f[x, 5], x^2}, {x, -1, 1}]
    1.0

    0.8

    0.6

    Out[22]=
    0.4

    0.2

    -1.0 -0.5 0.5 1.0

    Graficando la aproximación por series de Fourier para n = 20 :

    Plot[{f[x, 20], x^2}, {x, -1, 1}]


    4 Serie Fourier de x2.nb

    In[23]:=
    Plot[{f[x, 20], x^2}, {x, -1, 1}]
    1.0

    0.8

    0.6

    Out[23]=
    0.4

    0.2

    -1.0 -0.5 0.5 1.0

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