01 Aritmetica
01 Aritmetica
01 Aritmetica
Hombres
TEORA DE CONJUNTOS
NOCIN DE CONJUNTO: Intuitivamente conjunto es la reunin,
agrupacin o coleccin de objetos reales o ideales denominados
elementos del conjunto.
Los conjuntos generalmente se denotan con letras
maysculas (A, B, C, D,, Z) y sus elementos separados por
comas y encerrados entre llaves.
Nombre
Del conjunto
..................
Hombres que fuman
Se observa que:
{a; e; i, o; u}
Elementos
del conjunto A
Fuman
No Fuman
NOTACIN DE UN CONJUNTO:
A =
Mujeres
DIAGRAMAS:
1) Diagrama de Venn Euler: Son figuras geomtricas cerrados que
se utilizan para representar grficamente a los conjuntos.
VI.
VII.
VIII.
( )
{5; 7}
{2; {3}}
( )
( )
A
A
N es comparable con M.
Grficamente:
M
7
N
5
3
3
5
7
2
6
9
Subconjuntos de A
P (A)={ ;{a};{b};{c};{a,b};{b,c};{a,c};{a,b,c}}
Subconjuntos propios de A
CLASES DE CONJUNTOS
1) Conjunto Finito: Es aquel que tiene una cantidad limitada de
elementos.
Ejemplos:
P = {2; 4; 7; 8; 10}
Q = {x / x es una letra del abecedario}
2) Conjunto Infinito: Es aquel que tiene una cantidad ilimitada de
elementos y cuyo ltimo elemento no se puede sealar.
Ejemplos:
C = {1, 2, 3, 4,}
D = {x / x es una estrella del Universo}
n(A) = 3
B}
1) Unin: A
B = {x / x
A
x
Ejemplo:
Sean los conjuntos:
A = {2; 4; 5; 6}
B = {3; 4; 7; 6; 8}
A
B = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}
CONJUNTOS ESPECIALES
1) Conjunto Nulo o Vaco: Es aquel conjunto que carece de
elementos.
Ejemplo:
A = {x / x
N
5 < x < 6}
A=
A= {}
Nota: El conjunto es subconjunto de todo conjunto.
AB
AB
A
U
B
AB = A
Propiedades:
=A
U=U
2) Interseccin: A B = {x / x A x B}
Del ejemplo anterior
A B = {4; 6}
A
A
Aula
I
AB
A B
AB =
Se denota: A Ac
A = {x / x
AB = B
Propiedades:
=
U=A
3) Diferencia: A B = {x / x A x B}
A
A
A-B
RELACIONES CARDINALES
1) Si A y B son disjuntos, entonces:
n (A
B) = n(A) + n (B)
4) Diferencia Simtrica:
A B = {x / x
(A B)
x
Tambin:
A B = (A
B) (B
A)
Del ejemplo anterior
A B = {2; 3; 5; 7; 8}
A B {(a,b)/a A b B}
(B -A)}
ATENCIN!
Si: A y B son finitos, entonces:
n(A B) = n(A).n(B)
Si: A B=B A
A=B A=
1.
U
B
A
A
=A
A =
5) Complemento de un Conjunto:
B=
2x 1
/x z x 10
3
2x 1
B
z/x Z x 10
3
2x 1
C
z /1 x 10
3
Calcule n(A)+n(B)+n(C)
A) 21
B) 22
C) 23
D) 24
E) 25
A x x /x Z
4
B 2x 1/x Z
A){ }
B){2}
A B
Propiedades:
A B = AB
A B
PROBLEMAS
A-A=
A - = A
- A =
Ejemplo:
Dados los conjuntos:
A = {a, b, c} y B = {1,5}
A B = {(a,1); (a,5); (b,1); (b,5); (c,1); (c,5)}
B A = {(1,a); (1,b); (1,c); (5,a); (5,b); (5,c)}
A-B
Propiedades:
AB=A
U
(A)
x A} = U A
D){-2}
3.
E){-2,2}
C){-1,3}
A={x
U/x
C)3
5.
IV.
A
A
V. {2, }
A
{{2},{{ }}}
A)1
B)2
D)4
E)5
C)3
6. Sea: A= {2,{a},{2,a},5}
Cuales de las proposiciones son verdaderas?
nP(A)] = 24
{{a}} A
{2,5} A
{a,{a}} P(A)
{{5},{2,a}} A
{5,a} P(A)
A)2
B)3
C)4
D)5
E)1
7.
8.
C) El cardinal es 2
D) No se puede afirmar nada
E) El cardinal es 3
10.
Dados los conjuntos iguales:
A = {a+2;a+1}
C = {b+1;c+1}
B = {7-a;8-a}
D = {b+2;4}
Halle: a+b+c
A)56
B)10
D)17
E)20
C)15
B)55
D)50
E)58
C)52
n P(A B) 4 ; n P(B - A) 8
n(A B) 7 .
C)9
C {x N/a x b a}
C)3
Q R, al simplificar
c
c
el conjunto, E (P Q) (Q P ) (Q R) (R Q )
se tiene:
A)P
D)P Q
B)P
E)R
C)Q
TAREA DOMICILIARIA
1. Coloque verdadero (V) o falso (F), dado el siguiente conjunto
A = {a, {b;c}, d}.
{b;c} A
{{b;c}} A
{c} A
{b,c} A
c A
{c} A
A)VVVFFF B)FVFVFF C)VFFFVV
D)VVVVVF E)FVVFFF
2.
Sea: A= {2,{a},{2,a},5}
Cuales de las proposiciones son verdaderas?
nP(A)] = 24
{{a}} A
{2,5} A
{a,{a}} P(A)
{{5},{2,a}} P(A)
{5,a} P(A)
A)2
B)3
C)4
D)5
E)1
8.
Si:
A = Conjunto de personas altas;
B = Conjunto de personas atractivas;
C = Personas de buen corazn;
D = Toledo
Expresar:
Toledo es bajo, poco atractivo, pero de gran corazn
A) D (A B C)
B) D (A B C)
C) D (A B C)
D) D (A B C)
E) D (A B C)
: cd , es unitario.
2
B)12
C)14
D)16 E)18
B)55
E)70
C)65
A)10
7.
NUMERACIN
Es la parte de la aritmtica que se encarga del estudio de la
correcta formacin, representacin, lectura y escritura de los
nmeros.
NMERO: Es un ente matemtico que nos permite cuantificar los
objetos de la naturaleza.
NUMERAL: Es la representacin escrita de un nmero mediante el
uso de smbolos convencionales.
Ejemplo:
Nmero
6.
abcd...(n)
Base
Cifras
1.
DE LAS CIFRAS:
Las cifras son nmeros naturales inclusive el cero, que
siempre son menores que la base en la cual son empleados o
utilizados.
Cifras = { 0 , 1, 2, 3, 4, 5, ..., (n-2), (n-1) }
Cifras
significativas
Cifra no
significativa
Atencin!
10 =
11 =
12 =
13 =
.
.
.
.
V.A.(2) = 2
Base = { 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; ...}
V.A.(5) = 5
V.A.(3) = 3
Ejemplos:
V.A.(7) = 7
BASE 4
Sobran
1
V.R.(3) = 3 10
V.R.(5) = 5 10
V.R.(2) = 2 10
V.R.(7) = 7
32
3 grupos de 4
3. DEL ORDEN Y LUGAR: Toda cifra en el numeral tiene un orden,
por convencin se enumera de derecha a izquierda y el lugar de
izquierda a derecha.
Ejemplo:
Lugar
NUMERO
Orden
1
2
4
2
5
3
3
7
2
4
6
1
2 5 7 6
1er orden u orden 0
2do orden u orden 1
3er orden u orden 2
4to orden u orden 3
SISTEMA
CIFRAS
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Binario
Ternario
Cuaternario
Quinario
Senario
Heptanario
Octanario
Nonario
Decimal
Undecimal
0; 1
0; 1; 2
0; 1; 2; 3
0; 1; 2; 3; 4
0; 1; 2; 3; 4; 5
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9;
12
.
.
.
Duodecimal
.
.
.
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9;
;
.
.
.
1.8 2 3.8 7
4
3
2
3) abcde ( n ) a.n b.n c.n d.n e
10101( ab)
3) abcabc 1000( abc ) abc
1001( abc )
4) 2ab 200 ab
5) ab37 100(ab) 37
6) abcdef (n) ab(n) n 4 cd(n) n2 ef (n)
OTRAS FORMAS DE EXPRESAR UN NUMERAL:
1.
Si abc
, se cumple que
(n) mnp (n)
abcd mnp
aaaa 1111(a)
CAMBIOS DE BASE
c=p
a = m; b = n
x< y
n x 1
( n 1)(n 1)...( n 1)
3.
x cifras
(n )
Si
1.
bc
abcdn
d
(n)
5. Si
8
9
36
39
a.k n
.
.
.
a
(n)
k veces
PROBLEMAS
1.
213(4) = 39
D)315
E)445
124
20
a
a(a 2) 5
3 (14)
3(2b) b 2 b (11)
6
3
A)44
124 = 324(6)
CASO III. De basena base m (nm10)
3.
Descomposicin
polinmica
Divisiones
sucesivas
Ejemplo:
4.
5.
4
0
4
1
6.
B)120
impares
de
C)150
la
forma
D)180
Halle x en:
2210
2210
101
(x)
Si
B)3
7.
C)4
D)5
E)6
A) 5
2101(3) = 1000(4)
PROPIEDADES
nmeros
D)31 E)29
A)2
C)32
4
16
0
Cuntos
A)90
E)100
B)39
a
a b a 5 c hay?
2
1
0
64
0
B) 8
C) 9
D) 10
E) 1
A) 2
8.
B) 3
D) 7
9.
C) 5
B) 12
C) 13
E) 9
5 +3 5 +26 en el sistema
4
D) 14
E) 9
N ab ( c ) (d 1)3d ( 6 ) bc 0 ( d )
A) 210
D) 261
B) 241
E) 301
Si
abc ( 7 ) 55c ( n )
10.
Calcule 3a+b
A) 10
B) 11
D) 14
E) 16
C)251
y a<5
C)12
11.
recipientes de 1L, 5L, 25L, 125L, Si se dispone de a lo ms 4
recipientes de cada tipo. Cuntos recipientes se utilizarn?
A) 10
B) 11
C)12
D) 14
E) 16
Si ab (c) bc (a 2) y a b c 21
Expresar ac en base b.
A) 120
B) 312
D) 214
E) 514
OBSERVACIONES:
Todo nmero enteo positivo es divisible o mltiplo por si mismo.
El cero es mltiplo de todo nmero entero positivo.
Qu sucede cuando A no es divisible entre B?
DEFECTO
EXCESO
43 8
3 5
43 8
5 6
43 = 8(5) + 3
12.
o porque 35 = 7(5)
35 7
o porque -40 = 5(-8)
- 40 5
o porque 0 = 11(0)
0 11
43 = 8(6) - 5
o
43 8 3
o
43 8 5
EN GENERAL:
Si A no es divisible entre B se presentan dos casos:
DEFECTO
EXCESO
A B
rd k
A
re
A = B(K) + rd
C) 210
TEORA DE LA DIVISIBILIDAD
DIVISIBILIDAD: Un nmero entero A es divisible entre otro nmero
entero positivo B, si al dividir A entre B el cociente es entero y el
residuo es igual a cero.
Ejemplo:
32 8
0
4
A = B(k+1) - re
o +r
d
A B
o -r
e
A B
Donde:
rd + re = B
rmin = 1
rmax = B-1
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES
1) Operaciones aritmticas:
Adicin:
32 es divisible por 8
MULTIPLICIDAD: Un nmero entero A es mltiplo de un nmero
entero positivo B, si A es el resultado de multiplicar a B por una
cantidad entera.
Del ejemplo anterior, Se tiene:
32=8(4)
32 es mltiplo de 8
GENERALIZANDO
A
Cociente
Donde:
A Z
B Z+
ADEMS: A = B(K), en este caso: A es mltiplo de B y se
indica as:
o
A B
o
A B
A = mB
Ejemplos:
B
k+1
Ejemplo:
21 + 7 = 28
o + o =o
7 7 7
Sustraccin:
o o o
n n n
Ejemplo:
8 - 26 = 34
o - o =0= o
2 2
2
Multiplicacin:
; donde KZ+
Ejemplo:
36
5 = 180
k o
o n a k ; k es par
n a
k
n a ; k es impar
Adems : k Z
o
9
o
9
Potenciacin:
PRINCIPIO DE ARQUMEDES
Si un cierto mdulo divide al producto de dos nmeros enteros
no nulos y no tienen factores comunes con uno de ellos (aparte
de la unidad) entonces divide al otro nmero.
Ejemplos:
Ejemplo:
1.
(35)3 = o
Como 7
2.
( o )3 = o
7
7
o
a r
o
N=
b r
o
N=
c r
N=
11
o
o
, entonces a+2 =
11
11
Ejemplo:
Calcular los restos potenciales de 3 respecto al mdulo 5.
b) Si:
o
a r
o
N=
b r
o
N=
c r
N=
o
N MCM(a, b, c) r
DIVISIBILIDAD APLICADO AL BINOMIO DE NEWTON
Tenemos dos casos:
Primer Caso:
Ejemplos:
En General:
9o , entonces X = 9o
RESTOS POTENCIALES
Se llaman restos potenciales a todos los residuos diferentes
que dejan las potencias sucesivas enteras de un nmero entero
(diferente de cero), al ser dividido entre un cierto mdulo.
o
N MCM(a, b, c) r
2
o
o
13 2
13
3
o
o
9 4
9 4
Como 5
Siendo: 7X =
2 13 2
o
13 2 2
o
o
9 4 9 4
o
9 43
k o
o
n a n a k ; k z
o
30 5 1
o
31 5 3
o
3 2 5 4
o
3 3 5 2
o
3 4 5 1
o
3 5 5 3
o
3 6 5 4
.
.
.
.
.
.
NOTA:
Los residuos: 1; 3; 4 y 2 son los obtenidos al dividir las
potencias consecutivas de 3 con respecto al mdulo 5 y se repiten
peridicamente de 4 en 4, entonces se dir a partir de ahora que su
Gaussiano es 4.
GAUSSIANO: Se llama Gaussiano de un nmero entero respecto a
un mdulo, a la cantidad de restos potenciales diferentes entre s y
de cero que se repiten ordenadamente y peridicamente.
Segundo Caso:
2
o
11 3
3
o
8 5
En General:
o
o
11 3 11 3
o
o
8 5 8 5
o
11 32
8 5
o
8 53
CRITERIOS DE DIVISIBILDAD
1. Divisibilidad por 2n:
0
abcde 2 e 0
e : es par
abcde 4 de 00 de 4 abcde 8
cde 000
cde 8
o;
o y
o
abc 5 bca 4
cab 9
Calcular el mximo valor de a+b
A)13
B)17
C)15
D)14
E)16
3. Si:
4. Sabiendo que
abcde 5 e 0 e 5
0
abcde 25 de 00 de 25
0
cde 125
3. Divisibilidad por 3 9: Un nmero es divisible por 3 9, si la
suma de sus cifras da un nmero mltiplo de 3 9. Es decir:
0
abcde 3 a b c d e 3
abcde 9 a b c d e 9
6. Divisibilidad por 7:Un nmero ser divisible por 7, cuando se le
aplique la siguiente regla:
a) De derecha a izquierda y cifra por cifra, se multiplique por los
siguientes factores: 1; 3; 2; -1 ; -3; -2; -1; 3; 2;...
b) Despus de realizar estos productos se efecta la suma
algebraica.
c) Finalmente se obtiene una cantidad mltiplo de 7, en caso
contrario nos dar el residuo. Es decir:
0
abcde 7
abc 4
0
cba 25
D) 57
E) 60
5 pero no de 2 ?
-312 3 1
A) 60
(e+3d+2c) (b+3a) = 70
3y
B) 40
C) 50
D) 55
E) 65
11. Jos Luis compra una cantidad de panes que es menos que
200 y mayor que 100. Si los cuenta de 4 en 4, de 5 en 5 y de 6
en 6, le sobran 3, 4 y 5 panes respectivamente. Cuntos panes
compra Jos Luis?
A) 117
B) 118
C) 119
D) 120
E) 121
abcde 11
+-+-+
(e+c+a) (b+d)
TAREA DOMICILIARIA
o
1. Si
1a 2a 3a ... 10a 9
Hallar a
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
abcde 13
31431
(3a+e)-(b+4c+3d)
PROBLEMAS
o
o y
o
1. Si:
;
bac 5 ca 7 abc 9
Halle:
A) 8
(c 1)b
a
B) 7
C) 6
o
2. Si:
5n10m 72
Halle: m n
A) 32 B)24
C) 48
D) 5
E) 4
D) 36
E) 42
a23aba 45
B) 12
C) 10
D) 9
E) 8
NMEROS PRIMOS
Aplicacin: Nmeros enteros positivos.
Nmeros
Simples
La Unidad
Nmeros Primos
Z+
Nmeros
Compuestos
180 2
90 2
45 3
15 3
5 5
1
Luego: 180 = 22.32.5
Donde:
1.
Divisores
2.
(18)
Nmeros
Primos
N A .B .C
A, B y C: factores primos
, , y Z+
Cantidad de Divisores:
CD
CD(N)
(N) ==
Suma de Divisores:
Nmeros 1 1 1
A
1 B
1 C
1
Compuestos
SD
(N) A 1
1;2;3
;
6;9;18
3. Suma de Inversas:
Divisores
de 18
SID (N)
En general:
CD
++ CD
++ 11
CD(N)(N)== CD
CDPrimos
CDCompuestos
Primos
Compuestos
4.
B 1
C 1
SD (N)
N
Producto de Divisores:
CD
3. NUMEROS PRIMOS ENTRE SI (PESI): Llamados tambin
primos relativos; se denomina as al conjunto de nmeros que
tienen como nico divisor comn a la unidad.
Ejemplo: 15; 20 y 27 son nmeros PESI?
Solucin
Nmeros
15
20
27
Divisores
1; 3; 5
1; 2; 4; 5; 10; 20
1; 3; 9; 27
PD
(N)
(N)
2
PROBLEMAS
1. Si: N = 92k tienen 41 divisores. Halle n
A) 20
B) 10
C) 5
D) 25
E) 30
2. Calcular el valor de n para que el nmero: N= 9.12 n tenga 150
divisores:
A) 4
D) 7
B) 5
E) 8
C) 6
A)12
B) 16
C) 18
D) 24
E) 20
7.
3. Halle n, sabiendo que E = 13 .6 tiene 146 divisores
compuestos.
A) 2
B) 3
C) 4
D) 6
E) 7
8.
9.
n+1
TAREA DOMICILIARIA
1. Si: N= 15.30n , tiene 294 divisores, halle n.
A) 3
B) 4
C) 5
D) 7
E) 8
2.
3.
4.
B)5
C)7
D)8
5.
A) 20
TAREA DOMICILIARIA
11. Si: N= 15.30n , tiene 294 divisores, halle n.
A) 3
B) 4
C) 5
D) 7
E) 8
12.
Si el nmero de divisores de los nmeros 300n y 8.90n
son iguales, halle n2.
A) 1 B) 4
C) 9
D) 16
E) 25
13.
n.
A)4
C)7
D)8
E)9
14.
Cuntos divisores posee a+n, si el nmero N = 2a +
a+1
a+2
2 + 2 posee na divisores?
A) 4
B) 6 C) 8
D) 10
E) 3
15.
Cuntos divisores de 1 800 son mltiplos de 6?
A) 20
B) 18
C) 25
D) 27 E)28
16.
Si M = 2.3n.7m tiene 140 divisores divisibles por 9 y 30
divisores que son pares, hallar m.n.
A)12
B) 16
C) 18
D) 24 E) 20
17.
Hallar n sabiendo que E=180.12n.452 tiene 88 divisores
mltiplos de 8 pero no de 5.
A) 3 B) 4
C) 5
D) 6
E) 2
18.
Calcular: (a + b) si el nmero N = 36 a.5b tiene 96
divisores compuestos.
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
19.
Si T = 7a + 7a+1 + 7a+2 + 7a+3, tiene 135 divisores, cuntos
divisores tiene (a+1)a-1?
A) 20 B) 12
C) 15 D) 17
E) 18
20.
Halle el valor de a sabiendo que M = 15 a.75 tiene
(17a+34) divisores.
A) 11 B) 12
C) 13 D) 4
E) 15
E)9
6.
10.
Halle el valor de a sabiendo que M = 15 a.75 tiene
(17a+34) divisores.
A) 11 B) 12
C) 13 D) 4
E) 15
MCD Y MCM
a+2
12: 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12
18: 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18
Divisores
12: 12 ; 24 ; 36 ; 48 ; 72 ; 84;...
18: 18 ; 36 ; 54 ; 72 ; 90 ;...
220 130 90 40 10
90 40 10 0
MCD(220;130) = 10
Mltiplos
PROPIEDADES
Se puede apreciar que:
Los mltiplos comunes: {36; 72;...}
El menor de estos mltiplos comunes es 36, entonces:
MCM(12;18) = 36
METODOS PARA CALCULAR EL MCD Y MCM
1. POR DESCOMPOSICIN SIMULTNEA:
EL MCD: Se extrae de los nmeros todo los factores comunes
hasta obtener nmeros PESI, el producto de los factores
extrados es el MCD de dichos nmeros.
EL MCM: Se extraen de los nmeros, todos los factores
comunes y no comunes, hasta obtener la unidad en cada una. El
producto de los factores extrados es el MCM de dichos
nmeros.
Ejemplo:
Halle el MCD y MCM de 50; 80 y 120.
MCD
50 80 120 2
25 40 60 5
5 8 12
MCD(50; 80: 120) = 10
MCM
50 80 120
25 40 60
25 20 30
25 10 15
25 5 15
25 5 5
5 1 1
1 1 1
2
2
2
2
3
5
5
2. Si
o se cumple:
A B
MCD(A;B) = B
MCM(A;B) = A
3. Si MCD(A;B)= d
A
p
d
B
q
d
Despejando:
A dp
B d q
MCMCM(A;B) = pqMCD(A;B)
AB = MCD(A;B)MCM(A;B)
Z )
+
MCD(kA;kB;kC) = kd
Z )
+
si
6. Sean los nmeros A; B; C y D
A) 7
D) 36
Si MCD(A;B) = x
MCD(C;D) = y
Entonces:
MCD(A;B;C;D)=MCD(x;y)
D) 10
PROBLEMAS
1. Si el M.C.D. de dos nmeros es 19 y uno de ellos es el sxtuplo
del otro. Hallar suma de cifras del mayor nmeros.
A) 8
B) 6
C) 4
D) 12
E) 16
12. Si
siguiente:
A) a=2b
E) b=a/2
son
dos
nmeros
primos,
el
B) a=b/2
C)b=2a
D) a=b
TAREA DOMICILIARIA
13.
14.
15.
A , hallar el
3
Halle a+b si
a) 6
C) 175
2. Hallar dos nmeros P.E.S.I., tal que el M.C.M. de ellos sea 330 y
su diferencia sea 7. Dar como respuesta la suma de dichos
nmeros.
A) 37
B) 42
C) 47
D) 52
E) 57
b) 7
c) 8
d) 5
e) 4
1. Si:
C) 14
11. Halle A B
Sabiendo que
MCM(42A;6B) = 8064
MCD(77A;11B) = 88
A) 1356
B) 1476
D) 1536
E) 1746
MCD(a,b,c)
MCD(A;B;C)=NPROBLEMAS
-1
MCM(A;B;C)=NMCM(a,b,c) - 1
5.
C) 50
7. Si: A = Na - 1
B = Nb - 1
C = Nc 1
Entonces, se cumple:
4.
B) 16
E) 72
Si MCM(A;B) = x
MCM(C;D) = y
Entonces:
MCM(A;B;C;D)=MCM(x;y)
3.
21k 7k 9k
;
;
630
5 10 5
MCM
Calcule: m+n+p+q+r+a+b+c
A) 18
B) 22
E) 32
2.
Hallar x, si:
MCD(A,B)=X;
MCD(B,C)=X/2;
C) 24
D) 30
MCD(C,D)=X/4;
MCD(A,B,C,D)=12
A) 96
24
B) 72
E) 12
C) 48
D)