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    Apunte Conjuntos - Matemática Discreta

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    Martin Fedorenko
    Este documento presenta conceptos básicos sobre conjuntos matemáticos. Introduce la noción de conjunto, sus elementos y formas de expresión. Explica las relaciones de pertenencia e inclusión y cómo se representan. Define operaciones entre conjuntos como unión, intersección, diferencia y complemento. Presenta propiedades de los conjuntos como cardinalidad, igualdad e identifica el conjunto vacío y el conjunto universal.

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    Apunte Conjuntos - Matemática Discreta

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    Este documento presenta conceptos básicos sobre conjuntos matemáticos. Introduce la noción de conjunto, sus elementos y formas de expresión. Explica las relaciones de pertenencia e inclusión y cómo se representan. Define operaciones entre conjuntos como unión, intersección, diferencia y complemento. Presenta propiedades de los conjuntos como cardinalidad, igualdad e identifica el conjunto vacío y el conjunto universal.

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    Apunte Conjuntos- Matemática Discreta

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    Este documento presenta conceptos básicos sobre conjuntos matemáticos. Introduce la noción de conjunto, sus elementos y formas de expresión. Explica las relaciones de pertenencia e inclusión y cómo se representan. Define operaciones entre conjuntos como unión, intersección, diferencia y complemento. Presenta propiedades de los conjuntos como cardinalidad, igualdad e identifica el conjunto vacío y el conjunto universal.

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    Este documento presenta conceptos básicos sobre conjuntos matemáticos. Introduce la noción de conjunto, sus elementos y formas de expresión. Explica las relaciones de pertenencia e inclusión y cómo se representan. Define operaciones entre conjuntos como unión, intersección, diferencia y complemento. Presenta propiedades de los conjuntos como cardinalidad, igualdad e identifica el conjunto vacío y el conjunto universal.

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    MATEMATICA DISCRETA

    UNIDAD 2

    Autor: Ing. María Alicia Piñeiro


    CONJUNTOS
    ¿Qué es un conjunto? Es una colección de objetos de la misma especie.

    Los objetos que forman un conjunto reciben el nombre de ELEMENTOS

    conjuntos MAYUSCULAS elementos MINUSCULAS

    ¿Cómo expresamos un conjunto?


     Por extensión: enumerando cada uno de los elementos,
    separados por comas y encerrados entre llaves.

    Ejemplos: A = { a, e, i, o, u } B = { 2, 4, 6, 8 }

     Por comprensión: especificando una característica que sólo


    cumplen los elementos del conjunto.

    Ejemplos: A = { x/x es una letra vocal }

    B = { x/x es un número par positivo menor que 9 }


     Por diagramas de Venn: se dibuja una curva cerrada y dentro se
    colocan los elementos.

    Ejemplos: B
    A
    a e i
    o u 2 4
    6 8

    RELACIÓN DE PERTENENCIA: vincula a un elemento con un conjunto.

    Ejemplos: a A mA 1B 4B

    RELACIÓN DE INCLUSIÓN: vincula a un conjunto con otro conjunto.

    X  Y  a: a  X  a  Y

    Ejemplos:
    C = { a, e, o } D = { a, b, c } E = { 2 } F = { 1, 2 }
    C  A D  A E B F  B
    CARDINAL DE UN CONJUNTO: Es la cantidad de elementos que posee.

    Ejemplos: A = 5 B = 4

    Cuando un conjunto no es infinito, se llama FINITO

    IGUALDAD DE CONJUNTOS:

    Dos conjuntos son iguales cuando tienen los mismos elementos. Esto
    mismo se puede expresar diciendo que deben incluirse mutuamente.

    X=Y XYYX

    (Todos los elementos de X deben estar en Y , y todos los de Y


    deben estar también en X)
    CONJUNTO VACÍO:

    Es el que no tiene elementos. Puede definirse mediante una


    contradicción. Por ejemplo
    ={x/xx}={ }
    ¿Se puede escribir al conjunto vacío de esta forma? {}

    NO!!! ¿Por qué? Porque eso denota a un conjunto que tiene un elemento
    y es el conjunto vacío. Es como tener una bolsa que dentro tiene otra
    bolsa. Por más que la bolsa de adentro esté vacía, la de afuera no lo está
    ya que contiene a la otra bolsa.

    CONJUNTO REFERENCIAL O UNIVERSAL:


    Es el que tiene todos los elementos de la especie considerada.

    U={x/x=x} o bien xA xU


    Por ejemplo, si estamos trabajando con números, el Universal puede ser
    |R (conjunto de números reales). Si estamos considerando las letras,
    nuestro Universal puede ser todo el abecedario. Si estamos trabajando
    con perros, gatos, pajaritos, etc. ,el Universal puede ser el conjunto de
    todos los animales. Se grafica en forma rectangular.
    PROPIEDADES BÁSICAS DE LA INCLUSIÓN:

    A: AA (Todo conjunto está incluido en sí mismo)

    A: A (El conjunto vacío está incluido en todo conjunto)

    A: AU (Todo conjunto está incluido en el Universal)

     A , B, C : A  B  B  C  A  C (Propiedad Transitiva)
    OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS:

    Unión: AB={x/xAxB}

    Intersección: AB={x/xAxB}

    Diferencia: A-B={x/xAxB}

    Complemento: A = U - A = { x / x  U  x  A } = { x  A }

    Diferencia Simétrica: A  B = { x / x  A  x  B}

    O bien: A  B = (A  B) - (A  B) = (A - B)  (B - A)
    Ejemplos:

    A = { 1, 2, 3, 4, 5 } B = { 2, 4, 6 } C={7} D = { 6, 7 }

    A U B = { 1, 2, 3, 4 , 5 , 6 } B U C = { 2, 4, 6, 7 } C U D = { 6, 7 } = D

    A  B = { 2, 4 } AC= BD={6} CD={7}=C

    A - B = { 1, 3, 5 } A - C = { 1, 2, 3, 4, 5 } = A C-D=

    Tomando como Universal a U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} :

    A = { 6, 7, 8, 9, 10} B = { 1, 3, 5, 7, 8, 9, 10}

    C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10}

    Si dos conjuntos tienen intersección nula, se dice que son DISJUNTOS


    Ejemplo: Sean los siguientes conjuntos:
    AUB
    AB
    A-B
    A
    AB
    PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES:

    1 INVOLUCION A =A
    2 CONMUTATIVIDAD AB=BA AB=BA
    3 ASOCIATIVIDAD A(BC)=(AB)C
    A(BC)=(AB)C
    4 DISTRIBUTIVIDAD A(BC)=(AB)(AC)
    A(BC)=(AB)(AC)
    5 IDEMPOTENCIA AA=A AA=A
    6 LEYES DE DE MORGAN A B =A B A U B =A B
    7 NEUTRO Y ABSORBENTE AU=A AU=U
    A= A=A
    8 ABSORCION A(AB)=A A(AB)=A
    9 EQUIVALENCIA DE LA A - B = A B
    DIFERENCIA
    10 COMPLEMENTACION A A =  A A = U
    ¿Cómo se hacen las DEMOSTRACIONES CON CONJUNTOS?

    Hay diferentes formas de demostrar propiedades de los conjuntos. Básicamente


    se las puede clasificar en:
    1) Demostraciones a nivel de elementos.
    1.1) Sin antecedente:
    Con una inclusión en el consecuente (Ejemplo: AAB)
    Con una igualdad en el consecuente (Ejemplo: A  ( B  C ) = ( A  B )  C )
    1.2) Con antecedente y consecuente
    Demostrar a partir del 1er miembro de la tesis [ C  A  B  ( C - B )  A ]
    Desarrollar la hipótesis completa hasta llegar a la tesis. ( A - B =   A  B )
    2) Demostraciones conjuntistas (Utilizando propiedades de conjuntos básicas
    demostradas previamente)
    Ejercicio: Demostrar que: AAB

     x: x  A  x  A  x  B xAB

    Ejercicio: Demostrar: A(BC)=(AB)C

     x: x  A  ( B  C )


    xAx(BC)


     xA(xBxC)
     (xA xB)xC


     x(AB)xC
     x(AB)C

    Ejercicio: Demostrar: CAUB(C-B)A

    HIPOTESIS TESIS

     x: x  (C - B)  xCxB  x  (A  B)  x  B

    (xAxB)xB (xAxB)(xB xB)

     (xAxB)F  xA xB xA

    Ejercicio: Demostrar: A-B= AB

    A - B =     x: x  (A - B)   x:  [ x  (A - B)]
      x:  [x  A  x  B]   x: x  A  x  B

     [ x: x  A  x  B ]  AB
    Ejercicio: Demostrar en FORMA CONJUNTISTA:

    ( A U B )  (A UB ) = ( B - A ) U ( A - B)

    ( A U B )  (A UB )

    = ( A A ) U ( A B ) U ( B A ) U ( B B )

    =  U ( A B ) U ( B A ) U 

    = ( A B ) U ( B A )

    = ( B A ) U ( A B )

    =(B-A)U (A-B)
    CONJUNTO DE PARTES

    Dado un conjunto A, se define como conjunto de Partes de A


    (o también Potencia de A) al conjunto formado por todos los
    subconjuntos de A.

    P(A) = { X / X  A }

    Ejercicio: Calcula el conjunto de Partes:

    A={a,b} P(A) = {  , {a}, {b}, A }

    B = { 1, 2, 3 } P(B) = {  , {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,3}, B }

    C={m} P(C) = {  , C }

    D= P(D) = {  }

    ¿Cuál es la relación entre el cardinal de P(A) y A? |P(A)|= 2|A|


    PARTICIÓN DE UN CONJUNTO

    Sea un conjunto A  . Sea P = { A1, A2, ....., An}

    1) Ai   i

    P es una partición de A  2) Ai  Aj =  i j

    3) U Ai = A

    Observaciones:

    Las particiones están incluidas en el conjunto de partes.

    Los subconjuntos Ai reciben el nombre de CELDAS DE LA PARTICIÓN.

    La condición 3 también se puede expresar:  x  A :  Ai  P : x  Ai


    Ejercicio:
    ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son particiones de A = { a, b, c, d, e } ?
    En caso negativo, indica cual de las tres condiciones no se cumple.

    P1 = { {a,b,c} , {d,e} }
    P2 = { {a,b} , {c,d} , {b,e} }
    P3 = { {a,b}, {c} , {e} }
    P4 = { {a} , {b} , {c}, {d,e} }
    P5 = { {a} , {b,c,d} , { } , {e} }

    Ejercicio:
    ¿Cuáles de los siguientes conjuntos P = { A1, A2, A3 } son particiones de R ?

    a) A1 = ( -  ; -2] b) A1 = ( -  ; -1)
    A2 = ( -2 ; 0] A2 = { -1 , 2 }
    A3 = (1; +  ) A3 = ( -1; +  ) – { 2 }

    c) A1 = ( -  ; -3] d) A1 = ( -  ; 4)
    A2 = ( -3 ; 0) A2 = { 0 , 5 }
    A3 = R+ A3 = [ 4; +  ) – { 5 }
    PRODUCTO CARTESIANO:
    Dados dos conjuntos A y B, llamamos producto cartesiano de A por B
    al conjunto:
    A X B = { (x;y) / x  A  y  B }

    El producto cartesiano está formado por PARES ORDENADOS.


    que se pueden formar con primera componente del primer conjunto
    y segunda componente del segundo conjunto.

    Ejemplo: Sean los conjuntos: A = { m, p, h } y B = { 1, 2 }

    Halla: A X B = {(m;1), (m;2), (p;1), (p;2), (h;1), (h;2) }

    Si A tiene n elementos y B tiene m elementos,

    ¿Cuál es el cardinal de AXB? |A X B | = n · m


    Ahora calculamos: B X A = {(1;m), (2;m), (1;p), (2;p), (1;h), (2;h) }

    NO
    ¿Da lo mismo AXB que BXA? .........
    CONMUTATIVO
    Entonces decimos que el producto cartesiano no es ..............................

    Ejercicio propuesto:

    Analiza la validez de las siguientes afirmaciones, demostrando o justificando:


    • A X (B  C) = (A X B)  (A X C)
    • (A X B)  (B X A) = (A  B) X (B  A)

    RECUERDA QUE CUALQUIER DUDA QUE TE


    SURJA, PUEDES CONSULTAR CON TUS
    TUTORAS

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