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    Clase 9 Septiembre F Is 2

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    El documento describe las aplicaciones del movimiento armónico simple (MAS) al péndulo simple y al péndulo físico. Explica cómo se pueden modelar estos sistemas usando las ecuaciones del MAS cuando el ángulo de oscilación es pequeño. También presenta ecuaciones para calcular el periodo del péndulo simple y del péndulo físico en términos de la longitud del péndulo y la gravedad.

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    Clase 9 Septiembre f is 2

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    APLICACIONES DEL MAS

    MAS ANGULAR El cable tiene una constante de torsin k y ejerce un momento de torsin de restitucin . Momento de inercia de una masa m respecto a un eje de rotacin a distancia r:

    I = mr 2
    Para un sistema de partculas:

    I = mi ri
    i =1

    Para un cuerpo de masa continua:

    Ley de Newton para un cuerpo rgido

    I = r 2 dm
    V

    d 2 = I = I dt 2 k = I d k = 2 dt I
    2

    d 2x k = x 2 dt m

    Movimiento armnico angular:

    k = I

    1 f = 2

    k I

    Ecuacin del movimiento:

    = cos(t + )

    13.35 Cierto reloj despertador hace tic cuatro veces cada segundo y cada tic representa medio periodo. La rueda de balance consiste en un aro delgado de 0.55 cm de radio conectada al vstago de balance por rayos de masa despreciable. La masa total de la rueda es 0.9 g. a) Qu momento de inercia tiene la rueda respecto a su eje? b) Qu constante de torsin tiene la espiral?

    I = mR 2 = (0.9 10 3 kg )(0.55 10 2 m) 2 = 2.72 10 8 kgm 2


    R

    1 T = s = 0.5s 2 k 2 = = I T 2 6 2 2 k = I = 4.3 10 kgm / s T


    2

    13.36 Un disco metlico delgado con masa 2 10-3 kg y radio 2.2 cm se une en su centro a una fibra larga. Si se tuerce y suelta, el disco oscila con T=1 s. Calcule la constante de torsin de la fibra.

    1 I = mR 2 2
    R

    T = 1s = 2

    1 k = I = (2 ) ( (2 10 3 kg )(0.022m) 2 ) = 1.9110 5 m / rad 2


    2 2

    13.37 Imagine que quiere determinar el momento de inercia de una pieza mecnica complicada, respecto a un eje que pasa por su centro de masa, as que la cuelga de un alambre a lo largo de ese eje. El alambre tiene una constante de torsin de 0.45 Nm/rad. Usted gira un poco la pieza alrededor del eje y la suelta, cronometrando 125 oscilaciones en 265 s. Halle el momento de inercia.

    f =

    125 Hz = 0.471Hz 265


    k I

    = 2f = 2.96rad / s =
    I= k

    0.45 m / rad 2 = 0 . 051 kgm (2.96rad / s ) 2

    APLICACIONES DEL MAS


    EL PNDULO SIMPLE La fuerza de restitucin se debe a la gravedad (mgsin), la tensin T del cable slo acta para hacer que la masa describa un arco. Para que el movimiento de un pndulo se pueda describir con las ecuaciones del MAS, el ngulo tiene que ser muy pequeo, as que sin~. mgcos

    L L=x

    T x m mg

    mgsin

    F = mg sin( ) mg

    F = mg = mg d 2x mg m 2 = x dt L

    x L
    MAS con

    g L

    L T = 2 g

    13.41 En la Tierra, cierto pndulo simple tiene un periodo de 1.6 s. Qu periodo tendr en Marte, donde g=3.71 m/s2?
    2 2

    L T 1.6s 2 = 1.6s L = TT = 2 g = (9.8m / s ) = 0.635m g 2 2

    0.635m TM = 2 = 2.6 s 2 3.71m / s

    13.42 Se tira de un pndulo simple de 0.24 m de longitud para moverlo 3.50o a un lado y se suelta. a) Cunto tarda la pesa del pndulo en alcanzar su rapidez mxima ?b) Cunto tarda si el ngulo es de 1.75o en vez de 3.5o? La rapidez mxima es la rapidez que corresponde a la posicin de equilibrio, despus un cuarto de periodo:

    T 2 = 4 4

    L = g 2

    0.24m = 0.25s 2 9.8m / s

    T L = 2 = 0.25s 4 g

    El periodo no depende de la amplitud

    13.45 Despus de posarse en un planeta desconocido, una exploradora espacial construye un pndulo simple de longitud de 50 cm y determina que efecta 100 oscilaciones completas en 136 s. Cunto vale g en ese planeta?

    = 2f
    100 f = = 0.73Hz 136s
    g L

    = 2f =

    g = (2f ) 2 L = (2 ) 2 (0.73Hz ) 2 (0.5m) = 10.67m / s 2

    APLICACIONES DEL MAS


    EL PNDULO FSICO O d cg mgcos Para que el movimiento de un pndulo fsico se pueda describir con las ecuaciones del MAS, el ngulo tiene que ser muy pequeo, as que sin~. El momento de torsin de la fuerza de restitucin es:

    dsin mgsin

    = mgd sin( ) mgd


    mg

    I 0 = mgd d 2 mgd = 2 dt I0
    MAS con

    mgd I0

    I0 T = 2 mgd

    Teorema Steiner I0=Icg+Md2

    13.46 Queremos colgar un aro delgado de un clavo horizontal y hacer que tenga una oscilacin completa con ngulo pequeo una vez cada 2 s. Qu radio debe tener el aro?

    I = mR 2
    R

    Respecto al centro

    I = mR 2 + mR 2 = 2mR 2
    2mR 2 2R I T = 2 = 2 = 2 mgR mgR g
    2 T g 2 s 9.8m / s R= = 0.496m = 2 2 2 2 2 2

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