Modelo Matemático de Ecuaciones Diferenciales
Modelo Matemático de Ecuaciones Diferenciales
Modelo Matemático de Ecuaciones Diferenciales
Avila Pacaya, Brian Palma Martinez, Luis Rojas Medrano,Eduardo Salguero Melendez, Henry S anchez Huanqui, Xiomara 06 de Mayo de 2013
Indice general
1. Ecuaciones Diferenciales 1.1. Denici on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Orden de una Ecuaci on Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Clasicaci on de las Ecuaciones Diferenciales . . . . . . . . . . . . 1.4. Grado de una Ecuaci on Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Soluci on de una Ecuaci on Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales 2.1. Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden . . 2.1.1. Trayectorias Ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 4 5 5 7 7 9 9 9
2.1.4. Ley de enfriamiento de Newton . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.5. Modelos de Poblaci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2. Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden . . 13 2.2.1. Movimiento Arm onico Simple . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2.2. Movimiento Vibratorio Amortiguado . . . . . . . . . . . . 14 2.2.3. Movimiento Vibratorio Forzado . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.4. Circuito RLC en Serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1
Pr ologo
A Este documento es el segundo trabajo utilizando L TEX, con el apoyo de todos
los integrantes de este grupo, nos hemos esforzado para que este trabajo salga de la mejor manera posible.
Indice de guras
2.1. L neas equipotenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2. Viaje a la Luna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3. Sistema Masa-Resorte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4. Circuito RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.5. P endulo Simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.1. ecuaci on diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.2. La carrera armamentista inestable, tendiendo ya sea hacia el desarme o a la guerra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.3. La carrera armamentista estable, tendencia hacia un equilibrio de poder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Es una ecuaci on que contiene una o m as derivadas de una funci on desconocida de una o m as variables, pero que no provengan de identidades, por ejemplo, la siguiente identidad: d(xCosy ) = Cosy xy Seny dx Las derivadas son generalmente (y siempre lo pueden ser) interpretadas como variaciones de una cantidad respecto de otra. Por ejemplo, la derivada ordinaria dy/dx es la razn de cambio de y con respecto a x, y la derivada parcial ( )/x es la raz on del cambio de con respecto a x cuando todas las variables independientes excepto x tienen valores jos
Qui en se especialice en Matem aticas Aplicadas o en materias tales como Ingenier a, F sica, Biolog a, Econom a, etc., aprende que muchas leyes f sicas se expresan con ecuaciones diferenciales, es por ello que el estudio de las ecuaciones diferenciales tienen los siguientes nes: 5
1. Describir la ecuacin diferencial, mediante modelos Matemticos, que describe un situacin fsica. 2. Encontrar la soluci on apropiada para esa ecuaci on.
1.2.
Denici on El orden de una ecuaci on diferencial es el orden de la derivada m as alta que aparece en la ecuaci on, siempre que la variable dependiente no este afectada por la integral.
1.3.
Se denomina ordinaria si la funci on desconocida depende s olo de una variable independiente (de tal modo que las derivadas son derivadas ordinarias)
Se denomina ecuaci on diferencial parcial, si la funci on desconocida depende de m as de una variable (de tal modo que las derivadas son derivadas parciales)
Es u til clasicar en Ecuaci on Diferencial Ordinaria como una Ecuaci on Diferencial Lineal o No Lineal.
Es toda ecuaci on que puede ser escrita en la forma: a0 (x)y (n) +a1 (x)y (n1) + a2 (x)y (n2) + ... + an1 (x)y + an (x)y = Q(x) y y los cocientes: a0 (x)a1 (x)a2 (x)a3 (x)...an (x) son funciones dadas de x y a0 (x) no es id entica a cero
Estas ecuaciones son de gran importancia puesto que el modelo matem atico de muchos fen omenos f sicos son precisamente lineales, y aquellos que no son lineales pueden aproximarse por modelos lineales.
Las Ecuaciones Diferenciales Lineales pueden clasicarse en Ecuaciones Diferenciales con Coecientes Constantes y en Ecuaciones Diferenciales con Coecientes Variables. As por ejemplo:
Toda ecuaci on que no sea posible expresarla en forma (l) recibe el nombre de Ecuaci on Diferencial No-Lineal.
(y )2 xy y = 0
1.4.
Denici on
Es el grado algebraico de su derivada de mayor orden, cuando los elementos de dicha ecuaci on diferencial polinomios de sus derivadas.
1.5.
Se denomina soluci on a toda funci on o relacin determinada en el intervalo [a; b] tal que esta funci on junto con sus derivadas sucesivas hasta el orden de dicha ecuaci on inclusive, al ser reemplazadas o sustituidas, en la ecuaci on diferencial, esta se convierte en una indentidad con respecto a x en el intervalo [a; b]
Tipos de Soluciones
GENERAL: Es el conjunto de todas o casi todas las soluciones de a) SOLUCION la ecuaci on diferencial (1)
PARTICULAR: Es la solucin obtenida apartir de la soluci b) SOLUCION on general, al asignarle a la constante un determinado valor a la soluci on de la ecuaci on diferencial propuesta, en el caso que la ecuacin sea de primer orden y si la ecuaci on es de orden superior, se dar an tantas condiciones como el orden de dicha
SINGULAR: Es la soluci c) SOLUCION on que satisface a la ecuaci on diferencial propuesta, pero que no se puede obtenerse de la soluci on general al asignar un valor denido a la constante arbitraria. Estas soluciones se presentan, en muy raras ocasiones en los problemas de ingenier a.
EXPL d) SOLUCION ICITA: Es la soluci on que se obtiene de la ecuaci on diferencial y cuya soluci on (funci on desconocida) se presenta en forma expl cita, es decir, dado un valor de la variable independiente podemos encontrar por simple evaluacin, el valor de la funcin desconocida.
TRIVIAL: Se llama soluci e) SOLUCION on trivial cuando la funci on y=0 es solucin de la ecuaci on diferencial propuesta.
Si todas las curvas de una familia de curvas F (x, y, c1) = 0 son ortoganales a todas las curvas de otra familia G(x, y, c2) = 0, entonces se dice que las familias son, cada una, trayectorias ortogonales de la otra. Una aplicaci on elemental de las trayectorias ortogonales es el siguiente. Se tiene un im an y se han esparcido limaduras de hierro alrededor de el.
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2.1.2.
Mec anica
Pensar en un viaje interplanetario antes de mediados del siglo XX era ubicarse en el terreno de la cci on, pero hoy es una realidad, consideremos un viaje a la Luna. Con que velocidad debe salir una nave de la Tierra para poder llegar a la Luna?
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2.1.3.
Ley de Desintegraci on Radiactiva: La velocidad de desintegraci on de una sustancia radiactiva en un instante dado es proporcional a la cantidad de sustancia presente en ese instante. La vida media de una sustancia radiactiva es el tiempo necesario para que se desintegren la mitad de los tomos de una cantidad inicial de dicha sustancia. Mtodo del Carbono 14: La atm osfera terrestre es constantemente bombardeada por rayos c osmicos, los cuales producen neutrones libres que se combinan con el nitr ogeno de la atmosfera para producir el isotopo C-14 (Carbono 14 o bien radiocarbono). Este
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C-14 se combina con el bi oxido de carbono presente en la atmosfera, el cual es absorbido por las plantas y estas a su vez son alimento para los animales. As es como se incorpora el radiocarbono a los tejidos de seres vivos. El cociente de la cantidad de C-14 y la cantidad de carbono de ordinario presentes en la atmosfera es constante, y en consecuencia la proporci on de isotopos presentes en todos los organismos vivos es la misma que en la atmosfera. Cuando se muere la velocidad de incorporaci on de radiocarbono a el se hace nula y entonces comienza el proceso de desintegraci on radioactiva del C-14, que se encontraba presente en el momento de su muerte. As comparando la proporci on de C-14 que hay en un f osil con la proporci on constante encontrada en la atmosfera, es posible obtener una estimaci on razonable de su edad.
2.1.4.
En un cuerpo que se est a enfriando la tasa de cambio de la temperatura de T (t) con respecto al tiempo t es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo T (t) y la temperatura TA del medio que lo rodea. Esto es:
dT dt
= k (T TA )
2.1.5.
Modelos de Poblaci on
Sea x(t) el n umero de individuos en el tiempo t. La ley del Malthus de crecimiento de poblaciones dice que la raz on de cambio de la poblaci on es proporcional al n umero de individuos en ese tiempo, es decir:
dx dt
= kx(t), k > 0
Este modelo lineal para crecimiento de poblaciones, son satisfactorios siempre que la poblac oin no sea demasiado grande o bien que no se aplique a un futuro distante. Cuando la poblaci on es demasiado grande, este modelo no puede ser exacto, ya que no
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reeja el hecho de que los individuos compiten entre s por el limitado espacio vital, por recursos naturales, etc. As pues, hay que agregar un etrmino de competici on para que el crecimiento de la poblaci on est e representado en forma m as realista. La ley log stica:
dx dt
= ax bx2 , a, b > 0
2.2.
2.2.1.
Suponga que un cuerpo de masa m est a sujeto al extremo de un resorte exible (de peso despreciable), suponiendo de un soporte r gido. Cuando el peso esta en reposo, describimos su posici on como la posici on de equilibrio. Si el cuerpo se desplaza hacia debajo una cierta distancia y luego se suelta, estar a bajo un movimiento vibratorio alrededor de la posici on de equilibrio. El objetivo seria conocer el movimiento del cuerpo, conocido como movimiento arm onico simple, en el cual se ignora cualquier fuerza de fricci on con el medio que lo rodea.
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2x t2
k mx
=0
2.2.2.
Existen fuerzas retardadoras cobre la masa en movimiento, de lo contrario se encontrar a suspendida en un vacio perfecto. En este problema se considera el efecto de la resistencia del medio sobre la masa. Supongamos que sobre el cuerpo acta una fuerza amortiguadora, dada por un m ultiplo constante de la velocidad de newton, en ausencia de fuerzas externas, se sigue que:
dx dt .
De la segunda ley
x x md = kx d dt dt2
2.2.3.
En este caso de resorte donde no solo se consideran las fuerzas restauradora y amortiguadora, sino tambi en actan otras fuerzas externas que var an con el tiempo. Dichas fuerzas pueden ocurrir, por ejemplo cuando el resorte que sostiene al resorte se mueve verticalmente de cierta manera dada, tal como en un movimiento peridico o cuando el peso se le da un pequeo empuje cada vez que alcanza la posici on m as baja. De la segunda ley de Newton, la ecuacin diferencial del movimiento es:
x x = kx d md dt + f (t) dt2
2.2.4.
En este problema se desea determinar la carga q(t) y la corriente i(t) en un circuito, en el que se conecta un inductor o bobina de L henrys, una resistencia R ohms, un con-
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densador o capacitor de C farads y un generador de voltaje cuya fuerza electromotriz est dada por una funcin E(t) volts.
q q Ld + Rd dt + dt2
1 Cq
= E (t)
2.2.5.
El p endulo Simple
Un p endulo simple consiste en una part cula de masa m suspendida de una cuerda (o un hilo inel astico) de largo l y de masa despreciable. Suponiendo que la cuerda esta siempre tensa, que las oscilaciones son en un plano vertical y que las u nicas fuerzas que act uan son el peso de la part cula y la tensi on en la cuerda, deseamos hallar la ecuaci on del movimiento.
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d2 s dt2
= ld dt2
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El siglo xx ha sido testigo de varias carreras armamentistas peligrosas, desestabilizadoras y costosas. El estallido de la Primera Guerra Mundial (1914-1918) fue el cl max de una r apida acumulaci on de armamentos entre las potencias europeas rivales. Hubo otra acumulaci on de armas convencionales justo antes de la Segunda Guerra Mundial (1939- 1945). Estados Unidos y la Uni on Sovi etica se enfrascaron en una costosa carrera de armas nucleares durante los cuarenta anos de la Guerra Fr a. Actualmente y en muchas partes del mundo se ha vuelto costumbre la acumulaci on de armas m as y m as mort feras, como en el Medio Oriente y en los Balcanes; que incluso podr an destruir varios planetas semejantes a la Tierra.
Lewis F. Richardson, meteor ologo y educador ingl es (188 l- 1953), aplic o sus habilidades matem aticas en el servicio de sus principios pacistas, en particular en el entendimiento de las ra ces del conicto internacional, de esta forma es que invent o va-
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rios modelos matem aticos para tratar de analizar la din amica de las carreras armamentistas. Su modelo primario se bas o en el temor mutuo: una naci on se ve acuciada a aumentar su arsenal con una raz on proporcional al nivel de gastos de su rival en armamentos. El modelo de Richardson tiene en cuenta restricciones internas en un pa s que desaceleran la acumulaci on de armamento: mientras m as gasta en armamentos, m as se le diculta aumentar sus gastos porque cada vez es m as dif cil desviar los recursos sociales para necesidades b asicas (como comida y vivienda) hacia armamentos. En su modelo, Richardson tambi en incluy o otros factores que impulsan o detienen una carrera armamentista, independientes del dinero invertido en armas.
La estructura matem atica de este modelo es un sistema interrelacionado de dos ecuaciones diferenciales de primer orden. Si x y y representan la fracci on del poder o invertida en armas por parte de dos pa ses cuando el tiempo es t, el modelo tiene la forma:
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armamento bajan a cero. Los valores negativos de r y s indican una contribuci on basada en buena voluntad. El comportamiento din amico de este sistema de ecuaciones diferenciales depende de los tamaos relativos de a.b y m.n, as como de los signos de r y s. A partir del modelo observamos que si r > 0, la variaci on del presupuesto del pa s X, x(t), aumentar a, lo que signicar a que el pa s X siente desconanza hacia el pa s Y. Del mismo modo, si s>0, la variaci on del presupuesto del pa s Y, y(t), aumentar a, lo que signicar a que el pa s Y siente desconanza hacia el pa s X. Por el mismo razonamiento, llegamos a analizar el resto de las posibilidades: a) r > 0, s > 0 X, Y desconan mutuamente b) r > 0, s 0 X descona de Y, pero Y cona en X c) r 0, s > 0 Y descona de X, pero X confa en Y d) r 0, s X, Y conan mutuamente Aunque el modelo es bastante sencillo, permite tener en cuenta varios resultados a largo plazo. Es posible que dos naciones evolucionen simultaneamente al desarme cuando x e y tienden cada uno a cero. Otro escenario posible es un crculo vicioso de aumentos sin lmite en x e y. Es decir:
Habr a un desarme cuando x e y tienden a cero al crecer t Habr a una carrera armamentista desenfrenada cuando x e y tiendan a + cuando t sea un tiempo muy grande
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Figura 3.2: La carrera armamentista inestable, tendiendo ya sea hacia el desarme o a la guerra
Un tercer caso es que los gastos en armamento tiendan de manera asint otica a un punto estable (x*, y*) independiente de los gastos iniciales. Es decir:
Una carrera armamentista estabilizada se dar a cuando x e y tienden a una constante cuando t )
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Aportes: La conclusi on del modelo de Richardson, tras aplicarlo repetidamente en diversas carreras de armamento de los siglos XIX y XX, es que tales carreras tienden a acabar en guerra.
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Bibliograf a
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