4.1 Función Integrable en Un Intervalo Cerrado
4.1 Función Integrable en Un Intervalo Cerrado
4.1 Función Integrable en Un Intervalo Cerrado
La integral
Función integrable: Es una función cuya integral existe. Generalmente, se entiende que dicha integral es la de
Lebesgue. Si no, suele especificarse diciendo que la función es integrable en el sentido de Riemann, etc.
La integral de Lebesgue: es la extensión y reformulación del concepto de integral de Riemann a una clase más
amplia de funciones reales, así como extiende los posibles dominios en los cuales estas integrales pueden
definirse. Es una herramienta que resuelve casos que no pueden la integral de Riemann o la de Stieljes.
La integral de Lebesgue desempeña un papel muy importante en el análisis real, la teoría de la medida, teoría
de probabilidades y en muchas otras ramas de la matemática.
La integral de Lebesgue desempeña un papel muy importante en el análisis real, la teoría de la medida, teoría
de probabilidades y en muchas otras ramas de la matemática.
La integral de Riemann: fue la primera definición rigurosa de la integral de una función en un intervalo. Para
muchas funciones y aplicaciones prácticas, la integral de Riemann puede ser evaluada por el teorema
fundamental del cálculo o aproximada por integración numérica.
La integral de Riemann es inadecuada para muchos propósitos teóricos. Algunas de las deficiencias técnicas en
la integración de Riemann se pueden remediar con la integral de Riemann-Stieltjes, y la mayoría desaparecen
con la integral de Lebesgue.
La integral de Riemann de una función real de variable real se denota usualmente de la siguiente forma:
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
Si bien el artículo en gran parte se restringe a la integración sobre intervalos acotados de [𝑎, 𝑏] ⊂ ℝ, el
concepto puede generalizarse a dominios acotados de ℝ𝑛 sin mucha dificultad.
Ejemplos:
1. ∫ 𝑥𝑑𝑥
𝑥 𝑎+1
∫ 𝑥 a 𝑑𝑥 = +𝐶
𝑎+1
Quedando de la siguiente forma:
𝑥 5+1 𝑥6
∫ 𝑥 5 𝑑𝑥 = +𝐶 = +𝐶
5+1 6
2. ∫(𝑥 4 − 6𝑥 2 − 2𝑥 + 4) 𝑑𝑥
𝑥 𝑎+1
∫ 𝑥 a 𝑑𝑥 = + 𝐶, ∫ c𝑑𝑥 = 𝑐𝑥 + 𝐶
𝑎+1
Quedando de la siguiente forma:
𝑥
3. ∫ 𝑥2+1 𝑑𝑥
𝑥 1 2𝑥 1
∫ 𝑑𝑥 = ∫ ln 2 𝑑𝑥 = (𝑥 2 + 1) + 𝐶
𝑥2 +1 2 𝑥 +1 2
Integral definida.
La integral definida corresponde al área limitada por la curva f(x), los límites de integración a y b y el eje x:
Por tanto, la solución de la integral definida es un valor numérico, que siempre debe ser positivo y expresado
en unidades cuadradas, ya que realmente estamos calculando áreas.
Las integrales definidas de calculan aplicando la regla de Barrow, que será lo que veremos a continuación.
Vamos a ver ahora cómo calcular integrales definidas aplicando la regla de Barrow.
Regla de Barrow
La integral definida de una función f(x), continua en el intervalo cerrado [a, b] es igual la diferencia de los
valores de su primitiva en los extremos superior e inferior del intervalo [a, b]:
𝑏
Á𝑟𝑒𝑎 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = [𝐹(𝑥)]𝑏𝑎 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
𝑎
Donde F(x) es primitiva de f(x).
Para aplicar la regla de Barrow y calcular integrales definidas, seguimos por tanto los siguientes pasos:
Ejemplos:
En primer lugar, calculamos la integral indefinida de la función, dejándola entre corchetes con los dos límites
de integración de esta forma:
3
3𝑥 3 2𝑥 2
=[ − + 7𝑥] = [𝑥 3 − 𝑥 2 + 7𝑥]3−2
3 2 −2
Ahora encontramos el valor de la primitiva cuando x=3, sustituyendo la x por 3 y le restamos el valor de la
primitiva cuando x=-2, sustituyendo la x por -2:
𝑓(𝑥) = 𝑥² + 1
Entre 𝑥 = 0 y 𝑥 = 2 (estos dos valores son los límites de integración).
Por tanto, esta área lo calculamos por medio de la integral definida de la función entre 0 y 2.
2
∫ (𝑥 2 + 1)𝑑𝑥
0
Para resolverla, en primer lugar, calculamos la integral indefinida, dejándola entre corchetes con sus límites
de integración:
2
𝑥3
= [ + 𝑥]
3 0
Y ahora aplicamos la regla de Barrow, realizando la diferencia del valor de la primitiva cuando x=2, sustituyendo
la x por 2 y el valor de la primitiva cuando 𝑥 = 0, sustituyendo la x por 0:
23 03
= [ + 2] − [ + 0]
3 3
8 0 8 6 14 2
= [ + 2] − [ + 0] = + = 𝑢
3 3 3 3 3
Ejercicios:
1. ∫ 5𝑥 7 𝑑𝑥
2. ∫ 7𝑥 9 𝑑𝑥
3. ∫ 3𝑥 2 ∙ 𝑥 3 𝑑𝑥
4. ∫ 9𝑥 6 ÷ 𝑥 2 𝑑𝑥
5. ∫ 4(𝑥 2 )3 𝑑𝑥
1
6. ∫ 12(𝑥 8 )2 𝑑𝑥
7. Calcular el área limitada por la curva de la siguiente función: 𝑓(𝑥) = 2 𝑥 , por el eje “y” y valor de
abscisa x=-4.