Ejercicios Matematica
Ejercicios Matematica
Ejercicios Matematica
de Ciudad Juarez
Ecuaciones Diferenciales
Autor:
Cuevas-Machado,
Francisco
7 de enero de 2013
Dirigido a:
Ingenieras
Cualesquiera
ii
ndice general
ndice general
iii
Prlogo
1. Separables y homogneas
1.1. Ecuacin diferencial, orden, grado, linealidad
1.2. Soluciones de las ecuaciones diferenciales . .
1.2.1. Intervalo de definicin . . . . . . . . .
1.3. Problema de valor inicial . . . . . . . . . . . .
1.4. Variables separables y reducibles . . . . . . .
1.5. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
2
2
3
3
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
13
13
13
14
14
14
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
17
17
17
17
17
18
19
20
22
22
22
22
22
23
23
23
23
iv
NDICE GENERAL
4. Transformada de Laplace
4.1. Definicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Condiciones suficientes de existencia . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Transformada de Laplace de funciones bsicas, de funciones
definidas por secciones, de la funcin escalon unitario . . . .
4.4. Propiedades de linealidad y teoremas de traslacin . . . . .
4.5. Transformada de funciones multiplicadas por tn divididas
entre t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6. Teorema de la transformada de derivadas . . . . . . . . . . .
4.7. Teorema de la transformada de integrales . . . . . . . . . . .
4.8. Teorema de la convolucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9. Transformada de Laplace de una funcin peridica y de la
funcin Delta Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10. Transformada inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11. Algunas transformadas inversas . . . . . . . . . . . . . . . .
4.12. Propiedades de la transformada inversa (linealidad, traslacin) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.12.1. Determinacin de la transformada inversa mediante
el uso de las fracciones parciales . . . . . . . . . . . .
4.12.2. Determinacin de la transformada inversa usando
los teoremas de Heavyside . . . . . . . . . . . . . . .
27
27
29
29
29
29
29
29
29
29
29
29
29
29
29
31
31
A. Apndice
A.1. Funcin Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2. Ecuacin de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3. Funcin error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
33
33
34
37
Glosario
Tablas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
41
Bibliografa
41
31
31
Pro logo
Estos apuntes se han realizado a partir del curso de Ecuaciones Diferenciales que se imparte en los Institutos Tecnolgicos del pas. La base
principal para este curso es el libro del autor Dennis G. Zill. ste libro se
ha venido usando desde hace muchos aos y se han usado varias de sus
ediciones. Estos apuntes no pretenden sustituir a algn libro de ecuaciones
diferenciales, ms bien, la intencin de estos apuntes es que los alumnos
tengan un acceso fcil a una serie de ejercicios para comprensin.
vi
PRLOGO
1.1.
Definiciones
dn y
dn1 y
dy
+
a
(x)
+ . . . + a1 (x)
+ a0 (x)y = g(x)
n1
n
n1
dx
dx
dx
1.2.
El objetivo de este curso es resolver o encontrar soluciones de las ecuaciones diferenciales. Veamos a continuacin el concepto de solucin de una
ecuacin diferencial.
1.2.1.
Intervalo de definicin
1.3.
1.4.
1.5.
Aplicaciones
1.5. APLICACIONES
d2 R
dt2
= Rk2 .
d3 y
dy
5. x dx3 ( dx )4 + y = 0.
II. Comprueba que la funcin dada es una solucin explcita de la ecuacin diferencial dada.
1. (y x)y0 = y x + 8; y = x + 4 x + 2.
2. y0 = 25 + y2 ; y = 5 tan 5x
3. y0 = 2xy2 ; y = 1/(4 x2 )
4. 2y0 = y3 cos x; y = (1 sin x)1/2
III. Comprueba que la funcin dada es una solucin explcita de la ecuacin diferencial dada.
1.
dX
dt
dy
dx
dy
dx
= sin 5x.
Solucin: y = 15 cos 5x + c
= (x + 1)2 .
Solucin: y = 13 (x + 1)3 + c
3. dx + e3x dy = 0.
Solucin: y = 13 e3x + c
4. dy (y 1)2 dx = 0.
dy
5. x dx = 4y.
6.
7.
dy
dx
dy
dx
+ 2xy2 = 0.
= e3x+2y .
Solucin: y = 1
x
x+c
Solucin: y = cx4
Solucin: y =
1
x2 +c
Solucin: y = ln
1
c 23 e3x
dy
8. ex dx = ey + e2xy .
Solucin: y = ln (c ex 13 e3x )
y+1 2
dx
9. y ln x dy
= x .
Solucin: 9y2 + 36y + ln y18 = 2x3 (ln x3
1) + c
2y+3 2
dy
1
1
10. dx = 4x+5 .
Solucin: 2y+3
= 8x+10
+c
11. csc ydx+sec2 xdy = 0.
Solucin: y =
dS
dr
= kS
16.
dQ
dt
= k(Q 70)
17.
dP
dt
= P P2
18.
dN
dt
+ N = Ntet+2
19.
dy
dx
xy+3xy3
xy2x+4y8
20.
dy
dx
xy+2yx2
xy3y+x3
c 61 sec2 3x
1
Solucin: 2 ey2+1 = (ex +1)
2 +c
Solucin: y2 = [ x2 + 1+c]2 1
Solucin: S = cekr
Solucin: Q = 70 + cekt
Solucin: P =
cet
1+cet
t+2
Solucin: N = e[(t1)e
t+c]
dy
dx
p
= x 1 y2 ; y(0) = 1
Solucin: y = sin ( 21 x2 + 2 )
Solucin: y = (1 + 4 )e arctan (e
dy
2. (ex + ex ) dx = y2 ; y(0) = e
3.
dx
dt
4.
dy
dx
y2 1
;
x2 1
y(2) = 2
dy
5. x2 dx = y xy; y(1) = 1
dy
dt
+ 2y = 1; y(0) = 25
p
7.
1 y2 dx 1 x2 dy = 0; y(0) =
6.
3
2
1.5. APLICACIONES
1.5. APLICACIONES
14. Suponga que un tanque grande de mezclado contiene al principio, 300 galones de agua, en los que se han disuelto 50 libras
de sal. Al tanque entra otra salmuera a un flujo de 3 gal/min y,
estando bien mezclado el contenido del tanque, salen tan slo
2 gal/min. Si la concentracin de la solucin que entra es de 2
lb/gal, deduzca una ecuacin diferencial que exprese la cantidad
de sal, A(t), que hay en el tanque cuando el tiempo es t.
15. Por un agujero circular de rea A0 , en el fondo de un tanque,
sale agua, debido a la friccin y a la contraccin de la corriente
cerca del agujero, el flujo de agua, por segundo, se reduce a
p
cA0 2gh, donde 0 < c < 1. Deduzca una ecuacin diferencial
que exprese la altura h del agua en cualquier momento t, que
hay en el tanque cbico de la figura 1.14. El radio del agujero es
2 in y g = 32 f t/s2
16. Un tanque tiene la forma de un cilindro circular recto, de 2 ft
de radio y 10 ft de altura, parado sobre una de sus bases. al
principio, el tanque est lleno de agua y sta sale por un agujero
circular de 1/2 in de radio en el fondo. Con la informacin del
problema (6), formule una ecuacin diferencial que exprese la
altura h del agua en cualquier momento t.
17. Los arquelogos utilizaron piezas de madera quemada, o carbn vegetal, que se encontraron en el sitio para fechar pinturas
prehistricas y dibujos en paredes y techos de una caverna en
Lascaux, Francia. Emplee la informacin que aparece en la pgina 94 para determinar la edad aproximada de una pieza de
madera quemada, si se encontr que haba disminudo 85.5 %
respecto del C14 que se encontr en rboles vivos del mismo
tipo.
18. Muchos creen que la Sabana Santa de Turn, que muestra el negativo del cuerpo de un hombre que al parecer fue crucificado,
es la mortaja de Jess de Nazareth. En 1988 el vaticano otorg
el permiso para fecharlo con carbono. Tres laboratorios independientes analizaron la tela y concluyeron que el sudario tena
alrededor de 660 aos de antigedad, una edad consistente con
su aparicin histrica. Con esta edad, determine que porcentaje
de C14 original permaneca en la tela en 1988.
19. Se toma un termmetro de una habitacion donde la temperatura
es de 70 F y se lleva al exterior, donde la temperatura del aire
es de 10 . Despues de medio minuto el termmetro marca 50 F.
Cunto tarda el termmetro en alcanzar 15 F?
20. Una pequea barra metlica, cuya temperatura inicial fue de 20
C, se sumerge en un gran recipiente de agua hirviente. Cunto
tarda la barra en alcanzar 90 C si se sabe que su temperatura
10
VII. En las siguientes ecuaciones diferenciales homogneas, use una sustitucin adecuada para resolverlas.
1. (x y)dx + xdy = 0
2. (x + y)dx + ydy = 0
3. xdx + (y 2x)dy = 0
4. ydx = 2(x + y)dy
5. (y2 + yx)dx x2 dy = 0
6. (y2 + yx)dx + x2 dy = 0
7.
dy
dx
yx
y+x
8.
dy
dx
x+3y
3x+y
9. ydx + (x + xy)dy = 0
p
dy
10. x dx = y + x2 y2
VIII. Resuelve los problemas de valor inicial.
dy
1. xy2 dx = y3 x3 , y(1) = 2
dy
1.5. APLICACIONES
11
12
Exactas y no exactas
La ecuacin diferencial
y dx + x dy = 0
(2.1)
2.2.
Ecuaciones lineales
(2.2)
(x)
dy
dy
+ (x)P(x)y = y
+ (x)
dx
dx
dx
d(x)
dx
14
2.3.
Ecuacin de Bernoulli
dy
dx
dy
dx
+ (P(x) Q(x))y = 0
u = ya ; y = u a
dy
2.4.
Situaciones diversas
2.5.
Aplicaciones
dy
dx = 2y
dy
dx + 5y = 0
dy
3x
dx + y = e
dy
3 dx + 12y = 4
0
2
5. y + 3x y = 10x2
2.5. APLICACIONES
15
6. y0 + 2xy = x3
7. x2 y0 + xy = x + 1
8. y0 = 2y + x2 + 5
dy
9. x dx y = x2 sin x
dy
10. x dx + 2y = 3
dy
11. x dx + 4y = x3 x
dy
12. (1 + x) dx xy = x + x2
13. x2 y0 + x(x + 2)y = ex
14. xy0 + (1 + x)y = ex sin 2x
15. ydx 4(x + y6 )dy = 0
16. ydx = (ye y 2x)dy
dy
4.
dT
dt
5. (x + 1) dx + y = ln x; y(1) = 10
6. y0 + (tan x)y = cos2 x; y(0) = 1
16
3.1.
3.2.
dn y
dx
+ . . . + a1 (x) + a0 (x)y = g(x)
n
dx
dx
3.3.
3.4.
17
3.5.
x I.
...
...
(n1)
...
f1
f10
..
.
W( f1 , f2 , . . . , fn ) =
(n1)
f1
f2
fn
fn0
..
.
(n1)
fn
3.6.
3.6.1.
Reduccin de orden
Se vi que la solucin general de una ecuacin diferencial lineal homognea de segundo orden
a2 (x)y00 + a1 (x)y0 + a0 (x)y = 0
(3.1)
0
00 2
y00
2 = 2u + 4u x + u x .
3.6.2.
Orden dos
Ecuacin caracterstica
3.7.
3.8.
(3.2)
donde i = 1, 2, . . . , k. Entonces
yp = yp1 (x) + yp2 (x) + . . . + ypk (x)
(3.3)
(3.4)
3.8.1.
Solucin general
3.8.2.
3.8.3.
3.8.4.
7.
8.
9.
10.
4 Transformada de Laplace
La transformada de Laplace es una poderosa herramienta en matemticas, es un caso particular de la transformada de Fourier. La transformada
de Laplace nos permite, como su nombre indica, transformar una ecuacin
diferencial dada para trabajarla desde otro punto de vista.
4.1.
Definicin
28
(st)3 dt
t(st)3 dt, y
t2 (st)3 dt
1
1
1 1
1
s3
tn (st)m dt
1
29
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
4.8.
Teorema de la convolucin
4.9.
4.10.
Transformada inversa
4.11.
4.12.
4.12.1.
4.12.2.
Ejercicios.
I. Resolver el problema de valor inicial y00 3y0 + 2y = et ; y(0) = 1,
y0 (0) = 0.
30
5.1.
5.2.
5.3.
Problemas de aplicacin
31
A Ape ndice
A.1.
Funcin Gamma
Sea
t1 et dt,
() =
>0
t et dt
( + 1) =
0
mostrar que
( + 1) = ().
R
Solucin: Integremos 0 t et dt por partes, entonces u = t , du =
t1 dt, dv = et dt y v = et , asi que nos queda
Z
Z
t et dt = t et +
t1 et dt
0
A.2.
Ecuacin de onda
X
n=1
na
na
n
t + Bn sin
t sin
x
An cos
L
L
L
donde An es
An =
2
L
f (x) sin
0
33
n
x dx
L
34
APNDICE A. APNDICE
y Bn es
2
Bn =
na
g(x) sin
0
n
x dx
L
Dado que: f (x) = 6 sin (2x) + 2 sin (6x), g(x) = 11 sin (9x) + 14 sin (15x),
a = 3 y L = , tenemos que
Z
2
An =
(6 sin (2x) + 2 sin (6x)) sin (nx) dx
0
y
Bn =
2
3n
An =
(2 n)
(2 + n) 0
(6 n)
(6 + n) 0
y
"
#
"
#
11 sin (9 n)x sin (9 + n)x
14 sin (15 n)x sin (15 + n)x
Bn =
.
3n
(9 n)
(9 + n) 0 3n
(15 n)
(15 + n) 0
An falta evaluar las funciones An y Bn , y despus sustituir en la funcin
de onda para algunos valores de n.
A.3.
Funcin error
Entonces
I =
2
x2
! Z
!
dy
I2 =
e(x
y2
dx
asi que
+y2 )
dxdy
35
I =
2
er rdrd
Asi que
I=
36
APNDICE A. APNDICE
37
38
1
s
II. L {t} =
1
s2
III. L {tn } =
n Z+
p
n!
,
sn+1
IV. L {t1/2 } =
VI. L {t } =
s
s2 +k2
s +2k
s(s2 +k2 )
2
at
XXXIII. L { cos abtcos
}=
2 b2
k
s2 k2
s
s2 k2
2k2
s(s2 4k2 )
s2 2k2
s(s2 4k2 )
k3
s2 (s2 +k2 )
n!
,
(sa)n+1
k
(sa)2 +k2
sa
(sa)2 +k2
2k2 s
s4 +4k4
k(s2 +2k2 )
s4 +4k4
k(s2 2k2 )
s4 +4k4
k
(sa)2 k2
sa
(sa)2 k2
2ks
(s2 +k2 )2
XLIII. L
s3
s4 +4k4
2ks2
(s2 +k2 )2
ebt eat
t
1
s2 +k2
sa
= ln sb
n 2(1cos kt) o
2
2
= ln s s+k
2
t
n 2(1cosh kt) o
2
2
= ln s sk
2
t
n
o
sin at
= arctan as
t
n
o
sin at cos bt
= 12 arctan a+b
t
s +
arctan ab
s
2
XLIV. L 1t ea /4t =
1
2
XLV. L
s2 k2
(s2 +k2 )2
s
(s2 +a2 )(s2 +b2 )
n Z+
1
(s2 +a2 )(s2 +b2 )
1
(sa)2
k2
s(s2 +k2 )
btb sin at
}=
XXXII. L { a sinab(a
2 b2 )
1
sa
s
(sa)(sb)
2k2
s(s2 +k2 )
at
bt
1
(sa)(sb)
k
s2 +k2
bt
at
XVI. L {teat } =
s2 +k2
(s2 k2 )2
be
XXIX. L { ae ab
}=
(+1)
s+1
XI. L {eat } =
2s3/2
2ks
(s2 k2 )2
e
XXVIII. L { e ab
}=
V. L {t1/2 } =
2k3
(s2 +k2 )2
2
a ea /4t
2 t3
ea
= ea
XLVI. L erfc 2 at =
ea
s
39
q
2
XLVII. L 2 t ea /4t a erfc 2 at =
ea s
s s
2
XLVIII. L eab eb t erfc b t +
a
2 t
2
XLIX. L eab eb t erfc b t +
a s
a
2 t
+ erfc
be
s( s+b)
L. L {(t)} = 1
LI. L {(t t0 )} = est0
LII. L {eat f (t)} = F(s a)
LIII. L { f (ta)U(ta)} = eas F(sa)
LIV. L {U(t a)} =
eas
s
a s
e
s( s+b)
a
2 t
40
Bibliografia
[1] H. Hegel: German TEX, TUGboat Volume 9, Issue 1 (1988)
41