Tesis-Clculo Integral
Tesis-Clculo Integral
Tesis-Clculo Integral
“CÁLCULO INTEGRAL”
ELABORACION DE TEXTOS Y
PROTOTIPOS DIDACTICOS
(OPCION II)
LIBRO DE TEXTO
PRESENTAN:
SASHA ALTAGRACIA CARMONA ROJAS Y
RAFAEL FLORES PEREZ
1
Cálculo Integral
PROLOGO
El presente texto está diseñado para alumnos que se preparan para una carrera a nivel
hecho que se tienen conocimientos previos de álgebra y cálculo diferencial, por ende,
centramos nuestra atención en mostrar las técnicas del cálculo integral que se requerirán tanto
En lo que se refiere al profesor, es nuestro deseo que el texto se constituya en una herramienta
útil al proceso de enseñanza-aprendizaje, con la finalidad de poder usar el tiempo de clase más
programa de estudios.
Es importante hacer notar que las propuestas que se plantean, han sido producto de un análisis
exhaustivo a través de muchos años de enseñar cálculo, es decir, no se trata de una hipótesis,
CARACTERÍSTICAS DIDÁCTICAS.
1. Los contenidos han sido diseñados exclusivamente para cubrir el curso de cálculo
integral (matemáticas II) de las ingenierías que ofrecen los Institutos Tecnológicos
dependientes de la DGEST.
cada tema se ilustra mediante ejemplos que van desde básicos hasta avanzados.
2
Cálculo Integral
previstos para que el alumno vaya adquiriendo seguridad y dominio del tema.
4. En la parte final del texto aparecen las soluciones a los ejercicios de número par.
que la disposición, creatividad, tenacidad, voluntad, etc., tanto del profesor como
3
Cálculo Integral
JUSTIFICACIÓN
logran aprenderla, es preocupante que a nivel nacional es la materia que más se reprueba. A
aprendizaje.
¿Cuántos estudiantes truncan sus estudios por haber reprobado matemáticas? No se sabe el
número aproximado y menos el exacto, debido a que jamás se ha llevado estadística alguna. El
En una sociedad globalizada como la nuestra en la que imperan los criterios de eficiencia y
modificar algunas estrategias pedagógicas para hacer “menos complicado el aprendizaje de las
intervengan la inteligencia y la voluntad para hacer las cosas de manera lúdica, sin dejar de ser
profesional, que ofrezca a los profesores como a los alumnos una propuesta de trabajo que se
Desde nuestra perspectiva, el papel de los profesores como promotores del desarrollo
individual y colectivo de las habilidades y destrezas de los estudiantes exige un gran esfuerzo,
que se duplica con la carga de trabajo administrativo que deben realizar a lo largo del curso.
4
Cálculo Integral
apoyo que contribuya a hacer más accesible el conocimiento de esta importante y noble rama
los profesores y les sirvan como punto de arranque para diseñar procedimientos didácticos
5
Cálculo Integral
INDICE
PROLOGO 2
JUSTIFICACIÓN 4
CAPITULO 1- Diferenciales.
6
Cálculo Integral
APENDICE I. 100
BIBLIOGRAFIA. 129
7
Cálculo Integral
DIFERENCIALES
DIFERENCIALES
Definición de diferencial.
Cálculo de diferenciales.
8
Cálculo Integral
CAPITULO 1
DIFERENCIALES
Sea y = f(x) una función. En muchas aplicaciones se tiene que la variable independiente x
∆x = x2 – x1
en la siguiente figura:
Y
( (
Q x1 + ∆x , f x1 + ∆x ))
Q
( ( ))P
P x1 , f x1 ∆y
∆x
x1 x2
X
Fig. 1
9
Cálculo Integral
∆y = [2(3.1)2 - 3] - [2(3)2 - 3]
∆y = 1.22
1. y = x2 en x = 2 y ∆x = 0.3
2. y = x en x = 16 y ∆x = 0.1
3. y = x3 en x = 1
3
y ∆x = 0.2
3
4. y = x en x = 8 y ∆x = -0.1
5. y = 3x2 + 2x – 5 en x = 1 y ∆x = -0.2
6. y = x3 – 3x2 + x – 4 en x = 1 y ∆x = -0.1
7. y = 1/x2 en x = 2 y ∆x = 0.2
8. y = (x – 2)(x – 3) en x = 0 y ∆x = -0.02
π π
9. y = tan x en x = 4
y ∆x = 12
π −π
10. y = sen x en x = y ∆x =
6 12
dy = f’(x) dx
10
Cálculo Integral
variable independiente, las fórmulas para hallar las diferenciales son las usadas para obtener
las derivadas, con solo multiplicar cada una de ellas por dx (diferencial de la variable
independiente).
d ( u + v – w) = du + dv – dw d ( cot u ) = - csc2 u du
d ( un) = n un-1 du −1 du
d sen u =
2
d (uv) = u dv + v du 1− u
u v du - u dv −1 - du
d( ) = d cos u =
2
v du v 2 1− u
d (ln u) =
u
−1 du
d tan u = 2
1+u
log e du
d (log u) =
u
- du
d cot −1u = 2
1+u
d ( eu) = eu du
d ( au) = au ln a du −1
d sec u =
du
2
u u −1
d ( sen u ) = cos u du
−1 - du
d csc u =
2
u u −1
11
Cálculo Integral
Hallar: (a) dy
Solución:
a) dy = ( 6x2 + 6x - 4 ) dx
b) sustituyendo dx = ∆ x = 0.2 y x = 2
dy = 6.4
12. y = 7x2 – 11
22. y = 1
2
cot2 (x2- a2)
13. y = 1
2
x2 - 1
4
x+ 1
3
3
23. y = tan 3x
3
14. y = 2 5 x - 5 24. y = 1
x - 18 sen (2 – 4x)
x 2
x 25. y = x2 sen-1 3x
15. y = + 2x a
b
1− x
26. y = cot-1
1+ x
16. y = 2x + 3
1
17. y = 3
x +1 27. y = csc-1 ( x + )
x
18. y = x2 3 − 4x 1 + tanx
28. y = ln
1 − tanx
19 y = 1 − sen2 x
3 2
29. y = log ( ex + e-x )
20. y = sen x
30. y = cos2 e3x
12
Cálculo Integral
Cuando ∆x ≈ 0, las diferenciales nos facilitan una manera de “predecir” el valor de f(x1 + ∆x)
1
dy = dx
2 x
1
x + ∆x ≈ x + dx
2 x
1
36.4 ≈ 36 + (0.4)
2 36
Considerando que:
error absoluto
Error relativo =
valor real
error absoluto
Error relativo (%) = (100)
valor real
13
Cálculo Integral
0.00009
Error relativo = = 0.0000014
6.03324
3
Ejemplo 4: Hallar una aproximación a 29
3
Solución: Identificamos la función f(x) = x En donde deseamos calcular el valor
1
dy = dx
3
3 x2
1
3
27 + 2 ≈ 3
27 + 3
(2)
3 729
3 2
29 ≈ 3 +
27
3.07231 ≈ 3.07407
0.00176
Error relativo = = 0.00057
3.07231
± 0.01 cm. ¿Cuál es el error máximo posible aproximado en el volumen del cubo?
representa el error en la longitud del lado, entonces el error correspondiente en el volumen es:
14
Cálculo Integral
∆V = ( x + ∆x)3 – x3
Para simplificar, se utiliza la dV como una aproximación a ∆V. Por lo que, para x = 20 y
dV = 3x2 dx
± 12
Error relativo (%) = (100) = ± 0.15%
8000
3
31. 38 36. 30
1 π
32. 37. cos ( - 0.2)
90 3
máximo en la medición de 0.04 cm. Usa diferenciales para estimar el máximo error obtenido
al calcular el área de una de las caras del disco. ¿Cuál es el error relativo y el error porcentual
obtenidos?
42. Se encontró que la arista de un cubo es de 20 cm, con un error máximo en la medición de
0.1 cm, utiliza diferenciales para estimar el error máximo calculando a) el volumen del cubo y
15
Cálculo Integral
43. Usa diferenciales para estimar el crecimiento del volumen de un cubo si cada uno de sus
lados aumenta de 12 a 12.1 cm. ¿Cuál es el valor exacto del incremento del volumen?
44. Aplica las diferenciales para estimar la cantidad de pintura necesaria para aplicar una
45. La arena que chorrea de un recipiente, va formando un montículo cónico cuya altura es
siempre igual a su radio. Usa diferenciales para estimar el incremento del radio
cm.
16
Cálculo Integral
INTEGRACIÓN
17
Cálculo Integral
CAPITULO II
En el capitulo anterior mediante las técnicas del Cálculo diferencial hemos aprendido a
d f(x) = f´(x) dx
El Cálculo integral se ocupa de la operación inversa, es decir: Hallar una función f(x) cuya
La función f(x) que se obtiene se llama función primitiva o integral de la expresión diferencial
signo integral
∫ delante de la expresión diferencial dada:
∫ f´(x) dx = f(x)
El signo
∫ se lee integral o integral de.
dx dx
f(x) = ln x f’(x) =
x ∫ x
= ln x
18
Cálculo Integral
constante C puede tomar un número indeterminado de valores, podemos deducir que si una
expresión diferencial dada tiene una integral, también tiene una infinidad de integrales que
∫ f´(x) dx = f(x) + C
de f´(x) dx .
El valor de C puede determinarse cuando se conozca el valor de la integral para algún valor de
la variable, como se verá en el siguiente capitulo. Por ahora aprenderemos a hallar las
integrales indefinidas de expresiones diferenciales dadas, dando por hecho que toda función
continua tiene una integral indefinida, proposición cuya demostración queda fuera del
19
Cálculo Integral
En todos los casos de integración indefinida, el criterio que debe aplicarse al verificar los
utilizan tablas de integrales, llamadas tablas de integrales inmediatas. Para efectuar una
encuentra registrada en ellas, se sabe la integral; si no está registrada, buscaremos por varios
métodos reducirla a una de las formas registradas. Como muchos de los métodos se sirven de
artificios que solo la práctica nos puede mostrar, en este libro nos ocuparemos de explicar
detalladamente los métodos para integrar las funciones que se encuentran frecuentemente en la
∫ f´(x) dx = f(x) + C
se deriva
f(x) + C
permite utilizar las siguientes formulas en la obtención de las integrales indefinidas directas:
20
Cálculo Integral
i
∫ dx = x + C
xiii
∫ csc u du = ln (csc u - cot u) + C
ii
∫ c du = C
∫ du
xiv
∫ sec u tan u du = sec u + C
iii
∫ (du + dv − dw) = ∫ du + ∫ dv − ∫ dw
xv
∫ csc u cot u du = - csc u + C
n+1 xvi
∫ sec2 u du = tan u + C
∫
n u
iv u du = + C
n+1
xvii
∫ csc2 u du = - cot u +C
∫
du
v = ln u + C
u
vi
∫ u
e du = e + Cu
xviii
∫ u +a 2
du
2
=
1
a
tan −1
u
a
+ C
∫
u du u -a
1
a xix = ln + C
∫ u 2 2 2a
vii a du = +C u -a u +a
ln a
∫
du 1 a+u
∫
xx = ln +C
viii sen u du = - cos u + C 2 2 2a
a -u a-u
∫
du −1 u
xxi = sen + C
∫
a
ix cos u du = sen u + C a −u
2 2
x
∫ tan u du = - ln cos u + C xxii
∫ u ± a
2
du
2
= ln ( u+
2
u ± a
2
) +C
xi
∫ cot u du = ln sen u + C
xxiii
∫
2
a − u du =
2 u
2
2
a − u +
2
2
a
2
sen
−1 u
a
+C
xii
∫ sec u du = ln (sec u + tan u) + C
xxiv
∫
2
u ± a
2
du =
u
2
2
u ± a ±
2 a
2
2
ln ( 2
u+ u ± a
2
) +C
21
Cálculo Integral
Ejemplos ilustrativos:
1. Hallar la integral:
∫ ( 6x2 – 5x + 2 ) dx
∫ ( 6x2 – 5x + 2 ) dx =
∫ 6x dx - ∫ 5x dx + ∫ 2 dx.
2
∫ ( 6x2 – 5x + 2 ) dx = 6
∫ x dx - 5 ∫ x dx + 2 ∫ dx.
2
término y simplificando:
6x 2+1 5 x1+1
∫ ( 6x2 – 5x + 2 ) dx =
2+1
+ C -
1+1
+ C + 2x + C
6 x3 5 x2
∫
2
( 6x – 5x + 2 ) dx = + C - + C + 2x + C
3 2
∫
5
( 6x2 – 5x + 2 ) dx = 2 x3 - 2 x2 + 2x + C
Nota.- Cada integración requiere una constante arbitraria, no obstante, escribiremos al final sólo una constante
⎛ 2 3⎞
2.- Hallar la integral:
∫ ⎜ 2 x + 2 ⎟ dx
⎝ x ⎠
⎛ 2 3⎞
∫ ⎜ 2 x + 2 ⎟ dx =
⎝ x ⎠ ∫ 2 x2 dx +
∫ 3 x -2 dx
⎛ 2 3⎞ 2 x 2+1 3 x −2+1
∫ ⎜
⎝
2 x + ⎟
x2 ⎠
dx =
2 +1
+ C +
−2 + 1
+ C
22
Cálculo Integral
⎛ 2 3⎞
∫ ⎜ 2 x + 2 ⎟ dx =
⎝ x ⎠
2
3
x3 – 3 x -1 + C
⎛ 2 3⎞
∫
3
⎜ 2 x + 2 ⎟ dx = 2
x3 – + C
⎝ x ⎠ 3 x
⎛ 3x 3 + 2 x 2 − 1 ⎞
3. Hallar la integral:
∫ ⎜
⎝ x
⎟ dx
⎠
ejemplos anteriores:
⎛ 3x 3 + 2 x 2 − 1 ⎞ dx
∫ ⎜
⎝ x
⎟ dx =
⎠
∫ 3 x2 dx +
∫ 2 x dx -
∫ x
⎛ 3x 3 + 2 x 2 − 1 ⎞
∫ ⎜
⎝ x
⎟ dx =
⎠
x3 + x2 – ln x + C
∫ (e )
x
4. Hallar la integral de: + x dx
∫ (e ) ∫e ∫
x x
+ x dx = dx + x dx
∫ (e ) ∫e ∫ x½ dx
x x
+ x dx = dx +
x½ + 1
∫( )
x x
e + x dx = e + +C
½+1
∫ (e )
x
+ x dx = e x + 2
3
x3 2 + C
∫ (a )
x a
5. Hallar la integral de: +x dx
∫ (a ) ∫a ∫x
x a x a
+x dx = dx + dx
23
Cálculo Integral
ax xa + 1
∫ (a + x )
x a
dx = + +C
ln a a+1
1.
∫ (
x 4 3 − x3 ) dx 9.
∫
⎛ x3
⎜
3⎞
− 3 ⎟ dx
⎝3 x ⎠
⎛ 2 ⎞
∫
3
2. ⎜2y − ⎟ dy ⎛ 2 x2 − 3 3 x + 3 ⎞
⎝ y
2
⎠ 10.
∫ ⎜⎜
⎝ x
⎟⎟ dx
⎠
3.
∫ ( x + 1)(3x − 2) dx 11.
∫ (t 3
−2 )
3
dt
∫ ( 9θ )
∫( ) dx
4. 2
− 3θ + 4 dθ −3 −1
12. x 2
+x 2
5.
∫ 3x x dx
13.
∫( ax
2
3
+ bx
−2
3
) dx
⎛ 2 ⎞
6.
∫ ⎜⎝ 3 x − ⎟ x dx ⎛ a 12 + x 12 ⎞
∫
x⎠ ⎜ ⎟ dx
14.
⎜ x ⎟
⎝ ⎠
∫( ) dy
3
7. y − 9y 2
2 ( x − 1)
15.
∫ dx
∫ (x )
3 3 x
8. 2
−a 2 3
x dx
En los siguientes casos las integrales no se ajustan directamente a las fórmulas fundamentales,
siendo necesario cambiar variables mediante una cuidadosa elección de u, misma que al
ejemplos ilustrativos:
24
Cálculo Integral
integral original vemos que se puede adaptar a la fórmula iv, se dice entonces que la
u3 + 1
∫ ∫
2 3 3
(3x – 2) 6x dx = u du = + C = ¼ u4 + C
3 +1
∫ (3x – 2)
2 3
6x dx = 1
4
( 3x2 – 2 )4 + C
x dx
7. Hallar la integral de:
∫ 3x 2 - 2
integral original vemos que nos falta el factor 6 en du, se dice entonces que la integral
esta incompleta, pero como el factor faltante es una constante, la integral se puede
x dx 1 6x dx 1 du
∫ 3x ∫ 3x ∫u
1
2
= 2
= = 6
ln u + C
-2 6 -2 6
x dx 1
∫ 3x 2 - 2
=
6
ln 3 x 2 - 2 + C
original vemos que nos falta el factor π en du y nos sobra el 3, se dice entonces que la
integral esta incompleta, pero como el factor faltante es una constante, la integral se
25
Cálculo Integral
∫ 3sen π x dx = -
3
π cos π x + C
sen x dx
9. Hallar la integral de:
∫ 2
cos x + 16
sen x dx - sen x dx du
∫ 2
= −∫ 2 2
=
∫ 2 2
cos x + 16 cos x + 4 u +a
∫
sen x dx
2
cos x + 16
(
= – ln cos x + cos x + 16 + C
2
)
∫ tan x sec x dx
2 2
10. Hallar la integral de:
∫ tan x sec ∫u
2 2 2
x dx = du = ⅓ u3 + C
e 2 x dx
11. Hallar la integral de:
∫ 25 + e 4 x
Solución: Tomando a = 5 , u = e 2 x , du = e 2 x 2 dx ; y mediante la fórmula xviii:
26
Cálculo Integral
e 2 x dx 1
2x
e 2dx 1 du
∫ 25 + e 4x =
2 ∫ 2
5 +e
4x =
2 ∫ a + u2
2
e 2 x dx
∫ 25 + e 4 x
= ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠⎝ 5 ⎠
tan-1 u + C = 1
10
tan-1 e 2 x + C
tan −1 2 x dx
12. Hallar la integral de:
∫ 1 + 4x2
2 dx
Solución: Tomando u = tan −1 2 x , du = 2
, completando el factor faltante 2 en du
1 + 4x
tan −1 2 x dx 1 2 dx 1
∫ 1 + 4x2
=
2 ∫ tan −1 2 x
1+ 4x 2
=
2 ∫ u du
tan −1 2 x dx
∫ ( tan-1 2x)2 + C
1
=
1 + 4x2 4
dx
13. Hallar la integral de:
∫x 2
+ 4x + 3
dx dx du 1 x + 2 −1 x +1
∫x 2
+ 4x + 3
=
∫ ( x + 2) − (1) = ∫ u
2 2 2
−a 2
=
2 (1)
ln
x + 2 +1
+C = 1
2
ln
x+3
+C
( 2 x + 5) dx
14. Hallar la integral de:
∫x 2
+ 2x + 5
( 2 x + 5) dx ( 2 x + 5) dx 3dx
∫x 2
+ 2x + 5
=
∫x 2
+ 2x + 5
+ ∫x 2
+ 2x + 5
27
Cálculo Integral
( 2 x + 5) dx ( 2 x + 5) dx dx
∫x 2
+ 2x + 5
=
∫x 2
+ 2x + 5
+3 ∫ ( x + 1) 2
+ ( 2)
2
tenemos:
( 2 x + 5) dx du du
∫x 2
+ 2x + 5
=
∫ u
+ 3
∫ (u ) + ( a )
2 2
( 2 x + 5) dx 3
∫x 2
+ 2x + 5
= ln x2 + 2 x + 5 +
2
tan −1 ( x + 1) + C
∫ ( a + bt )
x dx
∫ ( 2x −1)
2
1. dt 9. 2 2
∫ (t )
2 2
2. −2 t dt ( 2x+3) dx
10.
∫ x 2 + 3x
∫ ( )
−2
3. y a+by 2 dy
( x+3) dx
11.
∫ x2 + 6x
∫ (8 - x )
2
4. 3
dx
dx
( )
12.
∫ x +1
∫
3
5. x 2 3 - 2x 3 2
dx
dx
13.
∫
∫
2x +1
6. 1 − 2 x dx
x dx
14.
∫x
∫
2
7. 3
a + bx dx +1
(1+2x ) dx
2 dx 15.
∫
8.
∫ 2
x − 6x + 9
x2 + x
28
Cálculo Integral
(1-x ) dx
16.
∫ x -2x 2
30.
∫ 102 x dx
( 5-2x ) dx
−3 x
17.
∫ x -5x 2
31.
∫ 5 dx
∫
10
18. e −3 x dx 32.
∫ x
dx
∫
1
19. e − bx dx a x
33.
∫ x2
dx
x
e
20.
∫ dx ( 3 + 1)x 2
x 34.
∫ 3
x
dx
1
e x
21.
∫ x2
dx
35.
∫
2x
2x + 4
dx
∫e
cos x
22. s e n x dx
36.
∫ sen 3x dx
∫e
sen x
23. cos x dx
37.
∫ 5sen π x dx
∫ 6e
tan 2x
24. sec 2 2x dx
38.
∫ sen ( 2-3x ) dx
eln x
25.
∫ x
dx
39.
∫ cos ( b+ax ) dx
dx
26.
∫ e +1x 40.
∫ x3 cos 5x 4 dx
dx
27.
∫e −2 x
−2 41.
∫ cos θ 1-senθ dθ
dx
28.
∫e −x
− ex 42.
∫ cos3 θ s e n θ dθ
dx
29.
∫ 9e + 4e − x
x
43.
∫
tan x dx
x
29
Cálculo Integral
π⎞
44.
∫ e − x tg e − x dx 59.
∫
⎛
c sc ⎜ 5θ + ⎟ dθ
⎝ 5⎠
∫ tan x s ec x dx ∫ x c sc x
2 2
45. 60. 2
dx
∫ tan 2 x s ec 2 x dx ∫ cs c
5 2
46. 61. 2
( a-bx ) dx
θ
47.
∫ cot
3
dθ 62.
∫ cs c 2θ cot 2θ dθ
48.
∫ θ cot θ 2dθ 63.
∫ cs c
2
2θ cot 2 2θ dθ
θ θ
∫ ∫ cs c ( a-bθ ) dθ
2
49. cot csc2 dθ 64.
3 3
dx
50.
∫ cot θ ln ( sen θ ) dθ 65.
∫ 4x + 9 2
dx
∫
3x
51.
∫ sec
4
dx 66.
9 x2 + 4
dx
52.
∫ e −3 x s e c e −3 x dx 67.
∫ 2
5 x + 12
∫
dx
53. sec2 θ tan θ dθ 68.
∫ 2
x + 2x + 5
∫
dx
∫ 4x + 4x + 5
3
54. sec 2 θ tan θ dθ 69. 2
θ θ
∫
dx
55. sec
3
tan
3
dθ 70.
∫ 2x − 2x +1
2
( 2 x + 5 ) dx
56.
∫ sec ( 2 − φ ) tan ( 2 − φ ) dφ 71.
∫ x + 2x + 5
2
α
57.
∫ sec 2
π
dα
72.
∫
( 3x + 5)
2
x + x +1
dx
∫ sec (1-2x ) dx
2
58. dx
73.
∫ 9 x2 − 1
30
Cálculo Integral
dx dx
74.
∫ 25 x 2 − 4
88.
∫ 4x − x2
dx dx
75.
∫ 3x 2 − 5
89.
∫ 6x − x2
b dx ( x+3) dx
76.
∫ a x 2 − c2
2 90.
∫ 6x − x 2
dx
∫ x + 4x + 3
dx
77. 2 91.
∫ 2
4x + 9
dx
78.
∫ 2
x + 2x − 3 92.
∫
dx
9x + 4
2
dx
79.
∫ 2
x + 11x + 30 93.
∫
dx
2
5 x + 12
dx
80.
∫ dx
∫
2
3x + 4 x + 1 94.
2
x + 2x + 5
(8 x − 1) dx
81.
∫ 4x − 4x − 3
2
dx
95.
∫ 2
4x + 4x + 5
(1 − x ) dx
82.
∫ 4x − 4x − 3
2
dx
dx
96.
∫ 2
2x − 2x +1
83.
∫ 4 − 9 x2
( 2 x + 5) dx
dx
97.
∫ x2 + 2x + 5
84.
∫ 9 − 4 x2
( 3x + 5) dx
dx
98.
∫
85.
∫ 5 − 3x 2
x2 + x + 1
dx
86.
∫
dx 99.
∫ 9x −1
2
3 − 5x2
dx
87.
∫
dx
4 − ( 2 x − 1) 2
100.
∫ 25 x − 4
2
dx
101.
∫ 3x − 5
2
31
Cálculo Integral
b dx dx
102.
∫ 2
a x −c
2 2
115.
∫ 6x − x
2
dx ( x+3) dx
103.
∫ 2
x + 4x + 3
116.
∫ 6 x − x2
dx
104.
∫ 2
x + 2x − 3
117.
∫ 4 x 2 + 9 dx
105.
∫ 2
x + 11x + 30
dx 118.
∫ 9 x 2 + 4 dx
106.
∫ 2
dx 119.
∫ 5 x 2 + 12 dx
3x + 4 x + 1
( 8 x − 1) dx
120.
∫ x 2 + 2 x + 5 dx
107.
∫ 4 x2 − 4 x − 3
(1 − x ) dx
121.
∫ 4 x 2 + 4 x + 5 dx
108.
∫ 4 x2 − 4 x − 3
122.
∫ 2 x 2 − 2 x + 1 dx
dx
109.
∫
∫
2
4 − 9x 123. 9 x 2 − 1 dx
dx
110.
∫ 9 − 4x
2
124.
∫ 25 x 2 − 4 dx
dx
111.
∫ 5 − 3x
2 125.
∫ 3 x 2 − 5 dx
dx
112.
∫ 3 − 5x
2
126.
∫ a 2 x 2 − c 2 b dx
113.
∫ 4 − ( 2 x − 1)
dx
2
127.
∫ x 2 + 4 x + 3 dx
dx 128.
∫ x 2 + 2 x − 3 dx
114.
∫ 4x − x
2
129.
∫ x 2 + 11x + 30 dx
32
Cálculo Integral
∫
sen x dx
130. 3 x 2 + 4 x + 1 dx 141.
∫ cos 2 x + 16
sen θ dθ
131.
∫ 4 x 2 − 4 x − 3 dx 142.
∫ 4 − cos 2 θ
132.
∫ 4 − 9 x 2 dx 143.
∫
cos θ dθ
4 − sen 2θ
133.
∫ 9 − 4 x 2 dx 144.
∫
sec 2 θ dθ
tan 2θ + 1
134.
∫ 5 − 3x 2 dx
145.
∫
2e x dx
4 − e2 x
135.
∫ 3 − 5 x 2 dx
e x dx
146.
∫ 1 − e2 x
∫ 4 − ( 2 x − 1) 2
136. dx
∫e
x
147. 16 + e 2 x dx
137.
∫ 4 x − x 2 dx
∫2
x
148. 9 − 4 x dx
138.
∫ 6 x − x 2 dx x
e 2 dx
sen θ dθ
149.
∫ 1 − ex
139.
∫ 4 − cos θ
2
dx
sen x dx
150.
∫ x ( ln 2
x+9 )
140.
∫ 2
cos x + 16
hallar la integral de funciones que por alguna razón no pueden resolverse por medio de las
33
Cálculo Integral
La integración por partes tiene por objeto hallar la integral de la diferencial de un producto; el
∫ u dv = uv − ∫ v du
Para aplicar la fórmula a una integral dada, representamos por u a una parte del integrando y
por dv al resto ( incluyendo dx). No puede darse una regla general que nos permita saber con
fórmula de integración por partes, se debe comparar la integral que resulta en el segundo
miembro de la igualdad, ya que si ésta es más complicada que la integral original, entonces, la
Mediante la práctica podremos reconocer que tipo de integrales es preciso hallar por este
método, sin embargo, podemos adelantar que generalmente la integración por partes tiene
Ejemplos ilustrativos:
15. Hallar:
∫ x senx dx
Solución: u = x, entonces du = dx
∫
si dv = sen x dx , entonces v = sen x dx = − cos x
34
Cálculo Integral
∫ x cos x dx
2
16. Hallar:
∫
si dv = cos x dx, entonces v = cos x dx = sen x, sustituyendo en la fórmula:
∫x ∫ x sen x dx
2
cos x d x = ( x2) (sen x) − 2
∫ x cos x dx =
2
x2 sen x + 2x cos x – 2 sen x + C
∫e
x
17. Hallar: sen x dx
Solución: si u = e x , entonces du = e x dx
∫e
x
comparando la integral del segundo miembro, cos x dx , es de igual grado de
∫e
x
dificultad que la integral original, sen x dx , validando con esto la elección de u y
35
Cálculo Integral
∫e ∫e
x x
sen x dx = – e x cos x + cos x dx
si u = e x , entonces du = e x dx
∫ ∫
x x
e sen x dx = – e x cos x + e x sen x – e sen x dx
original, por tanto, mediante la transposición de términos, como está restando, pasa
∫e ∫e
x x
sen x dx + sen x dx = – e x cos x + e x sen x
∫
x
2 e sen x dx = e x sen x – e x cos x
∫
x x
e sen x dx = 1
2
e ( sen x – cos x ) + C
∫x
2 x
18. Hallar: e dx
si dv = x2 dx , v =
∫ x dx =
2 1
3
x 3, sustituyendo en la fórmula:
∫x ∫x
2 x
e dx = 1
3
x 3 ex – 1
3
3
e dx
x
al comparar la integral del segundo miembro con la integral inicial del primer miembro
esta ocasión, invalidamos la elección de u y dv, y nos disponemos a elegir otra opción:
36
Cálculo Integral
si dv = e x dx , v =
∫ e dx =
x x
e , sustituyendo en la fórmula:
∫x ∫ x e dx
2
e dx = x2 e − 2
x x x
u = x, du = dx
dv = e x dx ,
∫ e dx
x
v = = e x , sustituyendo en la fórmula:
∫x ∫x
2
e dx = x2 e – 2
x x x
e dx
∫x e dx = x2 e – 2 ⎡ xe − e dx ⎤
∫
2 x x x x
⎢⎣ ⎥⎦
∫x
2
e dx = x2 e – 2 x e + 2 e + C = e ( x2 – 2x + 2 ) + C
x x x x x
∫ x ln x dx
2
19. Hallar:
dx
Solución: u = ln x, du =
x
dv = x2 ,
∫ x dx =
2
v= 1
3
x3
dx
∫ x3 ln x –
∫ x3
2
x ln x dx = 1 1
3 3
x
∫ x ln x dx x3 ln x –
∫ x dx
2 2
= 1
3
1
3
∫ x3 ln x – x3 + C
2
x ln x dx = 1
3
1
9
37
Cálculo Integral
∫x
2 −1
20. Hallar: s e n x dx
dx
Solución: u = s e n −1 x , du =
2
1− x
dv = x2 dx, v =
∫ x2 dx = 1
3
x3, sustituyendo en la fórmula:
1 x 3 dx
∫ ∫
−1
x3 s e n −1 x –
2
x s e n x dx = 1
3
3 1 − x2
u = x2 , du = 2x dx
x dx x dx
∫ ∫ 1 − x2
1
dv = , v = = - 2
2 2
1− x 1− x
∫x ⎡ −
∫ x dx ⎤⎥
−1
x3 s e n −1 x –
2 2 2 2
s e n x dx = 1 1 1
x 1− x + 1− x
3 3 ⎣⎢ 2
⎦
∫x ∫
−1
x3 s e n −1 x +
2
s e n x dx = 1
3
1
6
x2 1 − x2 − 1
3
1 − x 2 x dx
(1 − x )
3
∫
−1
x3 s e n −1 x +
2 2
x s e n x dx = 1
3
1
6
x2 1 − x2 + 1
6
1.
∫ x s e n 2 x dx 5.
∫θ cos 4θ dθ
2.
∫ x s e n 3 x dx 6.
∫ se n ax sen bx dx
∫x ∫ se n x sen 3x dx
2
3. sen x dx 7.
∫ x cos 2x dx ∫θ sen 2θ dθ
2
4. 8.
38
Cálculo Integral
9.
∫ θ 2 cos 3θ dθ 24.
∫ x 2 e − x dx
∫x ∫ ln ( x+2) dx
2
10. cos x dx 25.
∫ x cos 2 x dx ∫ ln 3x dx
2
11. 26.
∫ x sen 3x dx ∫ x ln 3x dx
2
12. 27.
∫ x sec 2 x dx ∫ 3x ln x dx
2
13. 28.
∫ x tan x dx ∫ ln
2 2
14. 29. 2x dx
∫ x ln
x
∫ e s e n 2 dx
x 3
15. 30. x dx
∫ ∫x
t 2
16. e 5 s e n πt dt 31. ln x dx
∫e ∫x
−t 3
17. cos t dt 32. ln x dx
∫ ∫ sen ( ln x ) dx
t
18. e 4 cos πt dt 33.
19.
∫ x 10 dx
x
34.
∫ cos ( ln x ) dx
20.
∫ x 2 dx
x
35.
∫ ln ( cos x ) sen x dx
21.
∫x e
2x
dx 36.
∫ ln ( x + x2 + a 2 ) dx
ln x dx
22.
∫ 3x e x dx 37.
∫ ( x + 1) 2
∫x ( x + 1) dx
2
23. e 2 x dx ln
38.
∫ x +1
39
Cálculo Integral
∫
ln t dt
39.
∫ t3
47. tan −1aθ dθ
∫ ∫θ tan −1θ dθ
2
40. x 2 ln 2 x dx 48.
41.
∫ s e n −1 2θ dθ 49.
∫ x cot −1 x dx
∫ ∫x cot −1 x dx
2
42. s e n −1 θ dθ 50.
43.
∫ θ 2 s e n −1 2θ dθ 51.
∫x x + 1 dx
θ
∫ ∫x
3
44. cos −1 dθ 52. x 2 + 1 dx
2
∫
2
∫x
2
45. cos −1 dθ 53. x + 1 dx
θ
5
θ t dt
46.
∫ θ 2 cos −1 dθ
2
54.
∫ (t + 8)
3 2
adaptan a las fórmulas fundamentales, no obstante, se pueden integrar fácilmente por medio de
∫
m n
Caso I. integrales de la forma: s e n u cos u du
Si m o n es entero positivo impar, sin importar lo que sea el otro, la integral puede resolverse,
un + 1
fórmula iv:
∫ u n du =
n+1
+ C . Si m es impar, escribiremos s e n m −1 θ s e n θ y podremos
40
Cálculo Integral
siguiente forma:
∫ cos
4 3
21. Hallar: x s e n x dx
∫
4 3 −1 5 1 7
cos x s e n x dx = cos x + cos x + C
5 7
∫ cos x s e n
5 2
22. Hallar: x dx
Solución:
( ) ( )
5 4 2 2 2 4
cos x = cos x cos x = 1 − s e n x cos x = 1 − 2s e n x + s e n x cos x
∫ cos x s e n
5 2
x dx = (1 − 2s e n 2
)
x + s e n 4 x s e n 2 x cos x dx
∫ cos x s e n ∫sen ∫ ∫
5 2 2 4 6
x dx = x cos x dx − 2 s e n x cos x dx + s e n x cos x dx
41
Cálculo Integral
haciendo u = s e n x , du = cos x dx
∫ cos x s e n
5 2 1 3 2 5 1 7
x dx = sen x − sen x + sen x + C
3 5 7
∫sen
7
23. Hallar: x dx
Solución: s e n 7 x = s e n 6 x s e n x = s e n 2 x ( ) 3
(
s e n x = 1 − cos 2 x ) 3
sen x
7
( 2
s e n x = 1 − 3cos x + 3cos x − cos x s e n x
4 6
)
∫sen
7 3 1
x dx = − cos x + cos3 x − cos x +
5 7
cos x + C
5 7
Cuando m y n son ambos pares, enteros y positivos, la expresión diferencial dada puede
trigonométricas:
1
s e n θ cos θ = s e n 2θ
2
1 1
sen θ = cos 2θ
2
-
2 2
1 1
cos θ = cos 2θ
2
+
2 2
∫ cos
2
24. Hallar: x dx
⎛1 ⎞
∫ ∫
2 1 1 1
Solución: cos x dx = ⎜2 + cos 2 x ⎟ dx = x+ s e n 2x + C
2 2 4
⎝ ⎠
42
Cálculo Integral
∫sen
4 4
25. Hallar: x cos x dx
( ) ( ) (s e n 2x )
4 4 2
1 1
Solución: s e n 4 x cos 4 x = s e n x cos x = s e n 2x = 2
2 16
( ) ( )
2
1 1 1 1 1 1 1
s e n 4 x cos 4 x = − cos 4 x = − cos 4 x + cos 2 4x
16 2 2 16 4 2 4
4
s e n x cos x =
4 1
16 ( 1
4
−
1
2
cos 4 x +
1⎡ 1
4 ⎢⎣ 2
+
1
2
cos 8x
⎤
⎥
⎦ )= 3
128
−
1
32
cos 4 x +
1
128
cos 8 x
∫ ∫ dx − ∫ ∫
4 4 3 1 1
s e n x cos x dx = cos 4 x dx + cos 8 x dx
128 32 128
∫sen
4 4 3 1 1
x cos x dx = x − s e n 4x + s e n 8x + C
128 128 1024
∫ ∫
n n
Caso II. integrales de la forma: tan u du o cot u du
gran ayuda:
∫ tan
5
26. Hallar: x dx
Solución:
( )
tan 5 x = tan 3 x tan 2 x = tan 3 x sec 2 x − 1 = tan 3 x sec 2 x - tan 3 x = tan 3 x sec2 x − tan x sec 2 x − 1 ( )
∫ tan ∫ ∫ tan ∫ tan x dx
5 3 2 2
x dx = tan x sec x dx − x sec x dx +
∫ tan
5 1 4 1 2
x dx = tan x - tan x + ln sec x + C
4 2
43
Cálculo Integral
∫ cot
3
27. Hallar: x dx
∫ cot ∫ cot ∫
3 2
x dx = x csc x dx − cot x dx
formulas iv y xi respectivamente:
∫ cot
3 1 2
x dx = − cot x − ln sen x + C
2
∫ sec u du o ∫ csc u du
n n
Caso III. integrales de la forma:
Cuando n es número entero positivo par, las expresiones diferenciales dadas se descomponen
n−2
n
csc u = c sc n−2 2
(
u c sc u = cot u + 1 2
) 2
c sc2 u
∫ sec x dx
6
28. Hallar:
Solución:
( )
6 4 2 2 2 2 4 2 2 2 2
sec x = sec x sec x = tan x + 1 sec x = tan x sec x + 2 tan x sec x + sec x
∫ sec x dx = ∫ tan ∫ ∫
6 4 2 2 2 2
x sec x dx + 2 tan x sec x dx + sec x dx
formulas iv y xvi:
∫ sec x dx =
6 1 5 2 3
tan x + tan x + tan x + C
5 3
44
Cálculo Integral
∫ csc x dx
4
29. Hallar:
(
Solución: csc 4 x = csc 2 x csc 2 x = cot 2 x + 1 csc 2 x = cot 2 x csc 2 x + csc 2 x )
∫
4 1 3
csc x dx = − cot x − cot x + C
3
∫ tan ∫ cot
m n m n
Caso IV. integrales de la forma: u sec u du o u csc u du
∫ tan
4 4
30. Hallar: sec x dx
Solución:
(
tan 4 x sec 4 x = tan 4 x sec 2 x sec 2 x = tan 4 x tan 2 x+1 sec 2 x = tan 6 x sec 2 x + sec 2 x )
∫ ∫ ∫
4 4 6 2 2 1 7
tan sec x dx = tan x sec x dx + sec x dx = tan x + tan x + C
7
∫ cot
4 6
31. Hallar: x csc x dx
Solución:
( )
4 6 4 2 2 2 8 2 6 2 4 2
cot x csc x = cot x cot x + 1 csc x = cot x csc x + 2 cot x csc x + cot x csc x
∫ cot ∫ ∫ ∫
4 6 8 2 6 2 4 2
x csc x dx = cot x csc x dx + 2 cot x csc x dx + cot x csc x dx
∫ cot
4 6 1 9 2 7 1 5
x csc x d x = - cot x − cot x − cot x + C
9 7 5
45
Cálculo Integral
∫ tan
5 4
32. Hallar: x sec x dx
( )
2
Solución: tan 5 x sec 4 x = tan 4 x sec3 x tan x sec x = sec2 x − 1 sec3 x sec x tan x
∫ tan ∫
x sec x dx = sec x sec x tan x dx - 2 ∫ sec x sec x tan x dx + sec x sec x tan x dx
∫
5 4 7 5 3
∫ tan
5 4 1 8 1 6 1 4
x sec x dx = sec x - sec x + sec x + C
8 3 4
Ejercicios tema 2.3.4
∫ sen x dx ∫ cos 2θ dθ
2 3
1. 8.
∫ sen ax dx ∫ sen x dx
2 4
2. 9.
∫ cos ∫ sen ax dx
2 4
3. x dx 10.
∫ ∫
2 4
4. cos ax dx 11. cos x dx
∫ sen x dx ∫ cos ax dx
3 4
5. 12.
∫ sen 2θ dθ
∫
3 5
6. 13. sen x dx
∫ cos x dx ∫ sen bx dx
3 5
7. 14.
46
Cálculo Integral
θ θ
∫ cos ∫
6
15. x dx 26. sen 2 cos3 dθ
2 2
∫ ∫ sen 2θ cos 2θ dθ
6
16. cos bx dx 27.
3 4
∫ ∫ tan 3θ dθ
2 2 2 2
18. x sen x cos x dx 29.
5
∫ sen mt cos mt dt
3 3
∫ tan θ dθ
20. 31.
6
θ θ
∫ sen dθ
∫ tan πθ sec πθ dθ
4
21. cos 4 32.
4 4
2 2
∫ sen 2θ cos 2θ dθ
∫ ( tan θ
2 4
23. + sec θ ) dθ
2
34.
∫ sen πθ cos πθ dθ
3 2
24.
θ θ
25.
∫ sen 4
2
cos 2
2
dθ
expresión que la contenga, por otra variable o una función de otra variable. Mediante esta
47
Cálculo Integral
rectángulo:
a x
a2 − x2
x = a sen θ
dx = a cos θ d θ
a 2 − x 2 = a cos θ
x 2 dx
Ejemplo: Hallar:
∫ 4 - x2
x = 2 sen θ
dx = 2 cos θ d θ
4 − x 2 = 2 cos θ
( 2s e n θ )
( )
2
x 2 dx 2 cos θ dθ
∫ ∫ ∫
1 1
s e n θ dθ = 4 θ− sen 2θ
2
= =4
4 - x2 2 cos θ 2 4
x 2 dx
∫ 4 - x2
= 2 θ - sen 2 θ ;
48
Cálculo Integral
x 4 − x2
triángulo rectángulo se toma: s e n θ =
2
, θ = s e n −1 2x , cos θ = , quedando de la
2
manera siguiente:
x 2 dx
∫
2
x ⎛ x ⎞ 4− x
= 2 θ - 2 sen θ cos θ = 2 s e n −1 -2 ⎜ ⎟
2 ⎝2⎠ 2
4 - x2
x 2 dx
∫
x x 4− x 2
= 2 s e n −1 - +C
2 2
4 - x2
rectángulo:
a 2 + x2 x
x = a tan θ
dx = a s ec 2θ d θ
a 2 + x 2 = a sec θ
dx
Ejemplo: Hallar:
∫x 2
16 + x
2
x = 4 tan θ
dx = 4 s ec 2θ d θ
49
Cálculo Integral
16 + x 2 = 4 sec θ
dx 4 sec 2θ dθ sec θ dθ
∫x 2
16 + x
2
=
∫ (4 tan θ ) 2 4sec θ
=
∫ 16 tan 2 θ
dθ
dx dθ
∫x ∫ cos θ
∫ tan θ sen θ = ∫ cot θ
1 1 1
= = csc θ dθ
2
16 + x
2 16 tan θ sen θ 16 16
cos θ
dx 16 + x 2
∫x
1
= − csc θ ; del triángulo rectángulo, se tiene que: csc θ =
2 2 16 x
16 + x
∫x 2
dx
16 + x
2
= ( )
−
1
16
16 + x 2
x
+C
rectángulo:
x x2 − a 2
Se sustituye:
x = a sec θ
dx = a sec θ tan θ d θ
x 2 − a 2 = a tan θ
x 3dx
Ejemplo: Hallar:
∫ x 2 − 25
x = 5 sec θ
dx = 5 s ec θ tan θ d θ
50
Cálculo Integral
x 2 − 25 = 5 tan θ
= ∫ ( 5 sec θ )
3
x 3dx 5 sec θ tan θ dθ
∫ = ∫ 125 s ec θ 3
sec θ dθ
2
x − 25 5 tg θ
x 3dx
∫ 2
= 125 ∫ s ec θ (1+ tan θ ) dθ = 125 ∫ s ec θ
2 2 2
dθ + 125
∫ tan θ s ec θ
2 2
dθ
x − 25
x 3dx x 2 − 25
∫ = 125 tan θ + 125 tan θ + C , pero tan θ =
3
;
x 2 − 25 3 5
3
x 3dx ⎛ x 2 − 25 ⎞ 125 ⎛ x 2 − 25 ⎞
∫ = 125 ⎜
⎜
⎟+
⎟ 3
⎜
⎜
⎟
⎟
2
x − 25 5 5
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
x 3dx
∫ = (x )
1 3
25 x 2 − 25 + 2
− 25 + C
3
x 2 − 25
∫x ∫x
2 2 3 2
1. 1 − x dx 7. 4 + x dx
∫x ∫x
2 2 3 2
2. 9 − x dx 8. 16 + 5 x dx
∫x 3 − x 2 dx
3 2
3. 4 − x dx
9.
∫ x
∫x
3 2
4. 5 − 2 x dx
5 − x 2 dx
10.
∫ x
∫x
3 2
5. 4 x − 25 dx
4 x 2 − 9 dx
11.
∫ x
∫
3 2
6. x x − 16 dx
51
Cálculo Integral
x 2 dx
12.
∫
x 2 − 25 dx
x
25.
∫ 25 − x 2
x 2 + 16 dx x 2 dx
13.
∫ x
26.
∫ 16 − 3 x 2
x 2 + 5 dx x 2 dx
14.
∫ x
27.
∫ x2 − 6
16 − x 2 dx x 2 dx
15.
∫ x2
28.
∫ 9x2 − 4
4 − 9 x 2 dx x 2 dx
16.
∫ x2
29.
∫ 5 + x2
4 x 2 − 9 dx x 2 dx
17.
∫ x2
30.
∫ x2 + 9
2 x 2 − 5 dx
∫
dx
18.
x2
31.
∫x 2
5− x
2
x 2 + 9 dx dx
19.
∫ x2
32.
∫x 2
7 − 4x
2
3x 2 + 5 dx dx
20.
∫ x2
33.
∫x 2 2
x −4
dx
21.
∫x 16 − x
2 34.
∫ 2
dx
x 4 x2 − 9
dx
∫x
∫
22. dx
2
25 − x 35.
x2 9 x 2 + 25
dx
23.
∫x dx
∫x
2
3+ x 36.
2 2
25 x + 16
dx
24.
∫x x3dx
∫
2
4x − 9 37.
4 − x2
52
Cálculo Integral
∫ ( )
x 3dx 3
∫ x3 8 + x 2 2
38. 52. dx
2
9 − 4x
dx
39.
∫
x 3dx
2
53.
∫ (5 − x )
2
3
2
4x − 7
dx
40.
∫
x 3dx
x2 − 9
54.
∫ ( 25 − x ) 2
3
2
x 3dx
41.
∫ 4x +1 2
55.
2
dx
∫ ( x − 1) 3
2
x 3dx
42.
∫ x2 + a 2 56.
2
dx
∫ ( x − 3) 3
2
dx
43.
∫x dx
∫ ( x + 3)
3 2
5− x 57. 3
2 2
dx
44.
∫x 3
7 − 4x
2
dx
dx
58.
∫ ( x + 2)
2
3
2
45.
∫x 3 2
x −4
x 2 dx
dx
59.
∫ (3 − x )
∫x
3
2 2
46.
3 2
4x − 9
x 2 dx
47.
∫x 3
dx
2
9 x + 25
60.
∫ (4 − x )
2
3
2
dx
48.
∫x 3
25 x + 16
2 61.
2
x 2 dx
∫ ( x + 8) 3
2
∫ (a )
3
2
49. − x2 2
dx
x 2 dx
62.
∫ ( x + 2)
2
3
2
∫ ( x + 4)
3
2 2
50. dx
∫ ( )
3
51. x3 9 − 4 x 2 2
dx
53
Cálculo Integral
x 2 dx x 2 dx
63.
∫ ( x − 1)
2
3
2
67.
∫ ( x + 8)
2
5
2
x 2 dx x 2 dx
64.
∫ ( x − 3)
2
3
2
68.
∫ ( x + 2)
2
5
2
x 2 dx x 2 dx
65.
∫ (3 − x ) 2
5
2
69.
∫ ( x − 1)
2
5
2
x 2 dx x 2 dx
66.
∫ (4 − x ) 2
5
2
70.
∫ ( x − 3)
2
5
2
f ( x)
Es posible escribir cualquier expresión racional como una suma de fracciones cuyos
g( x )
f ( x)
= F1 + F2 + …+ Fk
g( x )
f ( x)
donde a cada Fi se le denomina fracción parcial de , y tiene una de las dos formas
g( x )
siguientes:
A Cx + D
o
( px + q ) ( ax )
m 2 n
+ bx + c
donde m y n son enteros positivos y ax2 + bx + c es una expresión cuadrática sin raíces reales,
Para descomponer una expresión racional ( ) en fracciones parciales es necesario que f(x)
f x
g( x )
tenga grado menor que g(x). Si no es así, se deberán dividir algebraicamente las expresiones
hasta conseguir tal situación, después se representa el denominador g(x) como un producto de
54
Cálculo Integral
después agrupamos los factores repetidos de manera que g(x) queda expresado como un
Caso I. Cuando los factores del denominador son todos de primer grado y ninguno se repite.
f ( x)
Para cada factor de la forma ( Ax + B ) , la expresión racional
g( x )
se descompone de la
siguiente manera:
f ( x) A B C
= + +. . .+
g ( x) A 1 x+ B 1 A 2 x + B 2 Anx+ Bn
( x + 3) dx
Ejemplo: Hallar:
∫ x − 6x
3 2
+ 5x
( x + 3) dx ( x + 3 ) dx
Solución:
∫ x − 6x
3 2
+ 5x
=
∫ x ( x − 5)( x − 1)
( x + 3) =
A
+
B
+
C
, donde A, B y C son constantes por determinar:
x ( x − 5 )( x − 1) x x−5 x −1
x + 3 = A ( x – 5 )(x – 1 ) + B x ( x – 1 ) + C x ( x – 5)
x + 3 = ( A + B + C) x2 + ( -6A – B – 5C) x + 5A
igualando los coeficientes de las mismas potencias de x en los dos miembros de la igualdad,
A+B+ C = 0
-6A – B – 5C = 1
5A = 3
resolviendo el sistema, obtenemos:
2
A = 3, B = , C = -1
5 5
55
Cálculo Integral
( x + 3 ) dx ( x + 3) dx = ⎛ A + B + C ⎞ dx = ⎛ 3 5 + 2 5 + -1 ⎞ dx
∫ x − 6x
3 2
+ 5x
=
∫ x ( x − 5)( x − 1) ∫ ⎜⎝ x x − 5 x − 1 ⎟⎠ ∫ ⎜⎝ x x − 5 x − 1 ⎟⎠
3 2
( x + 3 ) dx ( x ) 5 ( x − 5) 5
∫ x − 6x ( x − 5) − ln ( x − 1) + C =
3 2
= ln x + ln ln + C
3 2
+ 5x 5 5 x −1
Caso II. Cuando los factores del denominador son todos de primer grado y algunos se repiten.
f ( x)
Para cada factor de la forma ( px + q )m donde m ≥ 1, la expresión racional se
g( x )
f ( x) A1 A2 Am
= + +. . .+
g ( x ) ( px + q ) m
( px + q )
m −1
px + q
( x 2 + 1 )dx
Ejemplo: Hallar:
∫ ( x − 2)
3
( x2 + 1 ) A B C
multiplicando por ( x − 2 )
3
Solución: = + +
( x − 2)
3
( x − 2)
3
( x − 2)
2
( x − 2)
obtenemos: x2 + 1 = A + B ( x – 2 ) + C ( x – 2 ) 2
x2 + 1 = C x2 + ( B - 4C ) x +A-2B + 4C
igualando los coeficientes de las mismas potencias de x en los dos miembros de la igualdad,
C = 1
B – 4C = 0
A -2B + 4C = 1
56
Cálculo Integral
( x 2 + 1 ) dx ⎛ A B C ⎞
∫ ( x − 2)
3
=
∫ ⎜
⎝
+ + ⎟ dx
⎜ ( x − 2 )3 ( x − 2 ) 2 ( x − 2 ) ⎟
⎠
( x 2 + 1 ) dx ⎛ 5 4 1 ⎞
∫ ( x − 2)
3
=
∫ ⎜
⎝
+ + ⎟ dx
⎜ ( x − 2 )3 ( x − 2 ) 2 ( x − 2 ) ⎟
⎠
( x 2 + 1 ) dx -5 4
∫ ( x − 2)
3
=
2 ( x − 2)
2
−
( x − 2)
+ ln ( x − 2 ) + C
Caso III. Cuando el denominador contiene factores de segundo grado y ninguno se repite.
siguiente manera:
dx
Ejemplo: Hallar:
∫ 3
x +1
1 1 A Bx + C
Solución: = = + 2
( x + 1) ( x )
3
x +1 2
− x +1 x+1 x − x +1
(
multiplicando por ( x + 1) x 2 − x + 1 )
1 = A ( x 2 − x + 1 ) + ( Bx + C )( x + 1)
1 = ( A + B ) x2 + ( B – A + C ) x + ( A + C )
igualando los coeficientes de las mismas potencias de x en los dos miembros de la igualdad,
A+B = 0
-A + B + C = 0
A +C = 1
1 1 2
resolviendo el sistema, obtenemos: A = , B= − , C =
3 3 3
dx 3x + 3
dx 1 -1 2
∫ 3
x +1
=
∫ x+1 ∫ x3 + 2
− x +1
dx
2x −1
∫ 3
dx
x +1
=
1
3
ln ( x+1) −
1
6
ln (x 2
)
− x +1 +
2 3
1
tan −1
3
+ C
1
dx ( x+1) 3 2x −1
∫
1
= ln + tan −1 + C
(x )
3 1
x +1 2
− x +1 6 2 3 3
Caso IV. Cuando el denominador contiene factores de segundo grado y algunos se repiten.
( x + 3x ) dx
3
Ejemplo: Hallar:
∫ ( x + 1)
2 2
( x + 3x )
3
Ax + B Cx + D
(x )
2 2
Solución: = + , multiplicando por: +1
( x + 1)
2 2
(x 2
+1 )
2
(x 2
+1 )
3
x + 3x = ( Ax + B ) + ( Cx + D ) ( x 2 + 1)
x + 3 x = Cx3 + Dx2 + ( A + C )x + ( B + D )
3
58
Cálculo Integral
igualando los coeficientes de las mismas potencias de x en los dos miembros de la igualdad,
C = 1
D = 0
A+C = 3
B+D = 0
( x + 3x ) dx = Ax + B
3
Cx + D 3 x dx x dx
∫ ( x + 1) ∫ ( x + 1)
2 2 2 2
+
( x + 1) ∫ ( x + 1) ∫ ( x + 1)
2
= +
2 2 2
( x + 3 x ) dx = − 3
3
∫ ( x + 1) 2 ( x + 1)
+
1
(
ln x 2 + 1 = ln) x2 + 1 −
3
+C
2 2 2
2 (
2 x2 + 1 )
dx dx
1.
∫x 2
+ 2x − 3
7.
∫ 6x − 9x 2
+ 15
dx dx
2.
∫x 2
+ 2 x − 15
8.
∫ 21 − 4 x − x 2
dx dx
3.
∫x 2
− 6x + 5
9.
∫x 2
+ 3x
dx dx
4.
∫ 2
4 x − 12 x + 5
10.
∫ 2
2x − 6x
dx dx
5.
∫ 2
2x + 5x + 4
11.
∫ 3
x − 4x
dx dx
6.
∫ 4x 2
+ 6 x + 10
12.
∫ x ( x − 4) 2
59
Cálculo Integral
2
x dx (x 2
+ 1 dx )
13.
∫ ( 2 x + 3) ( 4 x − 1) 2 26.
∫ x ( 2 x − 5)
∫
x 3 dx (x 2
+ 1 dx )
∫
14.
x2 − 4x + 3 27. 3
x−x
x 4 dx
15.
∫ (5x 2
− 3 dx )
x2 −1 28.
∫ x −x
3
( x − 1) dx
16.
∫ ( x − 3)( x + 2) (5x 2
− 9 dx )
29.
∫ 3
x − 9x
( x + 1) dx
17.
∫ 2x 2
+ 6x + 9 (x 4
+ 1 dx )
30.
∫ x ( x − 1) 2
( x + 5) dx
18.
∫x 2
+ x−6
(x 4
− 3x 3 dx )
( x + 7 ) dx
31.
∫ ( x − 2) ( x − 1) 2
19.
∫x 2
+ 2x − 8
( x − 3) (x 2
+ 6 x − 8 dx )
20.
∫ x + 6x
3 2
dx
+ 8x
32.
∫ 3
x − 4x
( 2 x + 3) dx (x 2
+ x − 3 dx )
21.
∫x 2
+ x − 30
33.
∫ 2
x + x−6
∫
( 3x + 2 ) dx ( x2 + x+1) dx
∫
22. 34.
x2 + x 2
x −7 x +10
( 3x + 7 ) dx
23.
∫ ( x + 1)( x + 2)( x + 3) (x 2
+ x + 2 dx )
35.
∫ 3
x + 2 x − 3x
2
( 4 x + 2 ) dx
24.
∫ ( x + 2) ⎛ x (x 2
+ x + 1 dx )
⎞
∫ ( x − 1)( x − 2)( x − 3)
2
− 1⎟ 36.
⎜
⎝ ⎠
(x 2
)
+ 1 dx (x 2
− 2 x + 3 dx )
25.
∫ x ( x − 4) 2
37.
∫ ( x + 1)( x − 2)( x − 3)
60
Cálculo Integral
(x 2
− 17 x + 22 dx ) ( x +1) dx
38.
∫ ( x − 1)( x + 2)( x − 3) 50.
∫ x2 ( x − 1)2
(x 3
)
+ x + 1 dx 51.
∫
dx
∫ x ( x − 1)( x − 2)( x − 3) x + x4
3
39.
2
⎛ x+3 ⎞
( 3x 2
+ 11x + 2 dx ) 52.
∫ ⎜ 2 ⎟ dx
⎝ x + 4x + 5 ⎠
40.
∫ ( x + 3) ( x 2 − 1)
( x + 2 ) dx
dx
53.
∫x 4
+ 2 x3 + x 2
41.
∫ x ( x − 1) 2
( x − 8 ) dx
dx
54.
∫ x − 4x
3 2
+ 4x
42.
∫ x ( x + 1)
2
( 3x +4 ) dx
55.
∫ ( x − 6)( x + 2)2
dx
43.
∫ x(x 2
+ 2x +1 ) ( 3x +4 ) dx
56.
∫ x ( x − 4 )2
dx
44.
∫ x (x
2 2
− 2x +1 ) ( x +1) dx
2
dx
57.
∫ ( x + 2) 2
45.
∫ x ( x − 4)
2 2
(x 2
− 4 dx)
dx
58.
∫ ( x + 1)
3
46.
∫ ( x − 2)( x + 1) 2
( 2x 2
+ 1 dx)
x dx2 59.
∫
∫ ( x − 1) ( x − 2)
3
47. 3
( 3x 2
+ 6 x dx )
∫
3
x dx 60.
48.
∫ ( x + 3) 2 ( 2 x + 1)
2
x3 dx ( 3x 2
+ 5 x dx )
49.
∫ ( x + 1) 4
61.
∫ ( x − 1)( x + 1) 2
61
Cálculo Integral
( 3x 2
− 2 dx ) 74.
∫
dx
62.
∫ ( x + 2)
3
4
x −1
dx
( x + 1) dx
3 75.
∫ 4
x − 16
63.
∫ x ( x − 1) 3
dx
76.
∫ x + x2
4
(x 5
− 2 dx )
64.
∫ 4
x − 2x
3
77.
∫x 4
dx
+ 9 x2
( x − 1 − 2 x ) dx 2
65.
∫ ( x − 3)( x −1) 2 78.
dx
∫ ( x − 1) ( x + 1) 2
( 3x 2
− 3 x + 5 dx ) dx
66.
∫ ( x + 3)( x − 3) 2
79.
∫ x ( x + 1) 2
(5x 2
+ 14 x + 10 dx ) dx
67.
∫ ( x + 2 )( x + 1)
2
80.
∫ ( x + 1) ( x + 1)
2
( 24 x 2
+ 10 x + 5 dx ) 81.
dx
∫ ( x + 1)( x + x )
∫
2 2
68.
( 2 x − 1)( 2 x + 1)
2
x dx
(x 3
− 2 x − 4 dx ) 82.
∫ ( x + 4) ( x − 1)
∫
2
69. 4 3
x + 2x
x dx
( 4x 3 2
− 2 x + x + 1 dx ) 83.
∫x
∫
4
70. + 3x 2 − 4
( x − 2 )( x + 1)
3
2
x dx
dx
84.
∫ ( 2 x + 3) ( x + 9 ) 2
71.
∫ 3
x −1
x3 dx
72.
∫
dx
3
x +8
85.
∫ x2 + x + 1
( x +3) dx
73.
∫
dx
3
x −8
86.
∫ ( x + 1) ( x2 + 1)
62
Cálculo Integral
( x +4 ) dx (x 2
+ 9 x + 29 dx )
87.
∫ x ⎛x 2
⎞
+ 4⎟
99.
∫ ( x − 4) ( x 2
+ 2x + 3 )
⎜
⎝ ⎠
( x − 18) dx ( 2x 2
− 8 x − 8 dx )
88.
∫ 4 x3 + 9 x
100.
∫ ( x − 2) ( x + 4) 2
( 2 x + 1) dx
89.
∫ x ( x + 1) (2x 2
+ 3 x + 2 dx )
∫ ( x + 2) ( x
2
101. 2
+ 2x + 2 )
( 5 x + 12 ) dx
90.
∫ x ( x + 4) 2 ( 2x 3 2
+ x + 2 x + 2 dx )
102.
∫ 4
x + 3x + 2
2
(x 2
+ x dx ) (15 − 5x + 10 x − x ) dx
∫ ( x − 1) ( x + 1)
2 3
91. 2
103.
∫ x ( x + 5) 2 2
( 4 x − 3 ) dx 2
( 2x )
∫ ( x − 2 ) ( x + 2 x + 5)
3 2
92. − x + 8 x − 3 dx
2
104.
∫ x +4
2
( 4x 2
+ 6 dx ) ( 3x 3
+ 3x − 6 dx )
93.
∫ x + 3x
3 105.
∫ ( x + 1) ( x3 + 1)
( x + 1) dx 3
( 3x )
∫ ( x − 1) ( x + 1)
3
94. + 3 x + 1 dx
∫
2 2
106. 4 2
x + 3x
( x − 1) dx
3
∫ x ( x + 1)
dx
∫
95. 107. 2
3 2
x+x
(x 4
+ 1 dx ) dx
96.
∫ x+x
3
108.
∫ x ( x + 1)
2 2
(x 4
+ 3 dx ) dx
97.
∫ ( x + 1) ( x + 1) 2
109.
∫ ( x + 1) ( x + 1)
2 2
(x )
5
x dx
∫ ( x + 4)
2
− x − 8 dx 110.
98.
∫ ( 2 x − 3) ( x 2
+ 2x + 2 )
2 2
63
Cálculo Integral
( x + 3 x ) dx
3
( x + x ) dx
3
111.
∫ ( x + 1) 2 2
114.
∫ ( x + 2)2 2
(x )
5
+ 4 x 3 dx ( 4x 3
+ 3x 2 + 18 x + 12 dx )
112.
∫ ( x + 2) 2 3
115.
∫ (x 2
+4 )
2
( 4x 2
+ 2 x + 8 dx )
113.
∫ (
x x2 + 2 )
2
64
Cálculo Integral
INTEGRAL DEFINIDA
65
Cálculo Integral
CAPITULO III
INTEGRAL DEFINIDA
b
hasta b denotada por
∫a
f ( x ) dx , está dada por:
∫ a
f ( x ) dx = lim ∑ f ( wi ) ∆xi
P →0
i
b
La expresión
∫a
f ' ( x ) dx se conoce como la integral definida de f desde a hasta b, el proceso
límite superior, en estos casos la palabra límite se refiere a los números mínimo y máximo del
llama integrando y el signo dx, únicamente indica la variable, no debe confundirse con la
Siempre que se use un intervalo [ a, b ] se considera que a < b , pero en aquellos casos en los
que se tenga que b > a , es decir, cuando el límite inferior es mayor que el límite superior,
entonces:
b a
∫ a
f ' ( x ) dx = -
∫
b
f ' ( x ) dx
66
Cálculo Integral
1.- Si el alumno desea profundizar el estudio de las sumas de Riemann, se sugiere consultar SWOKOWSKI, Earl
Asimismo, cuando se tenga que a = b , es decir, cuando el límite inferior sea igual al límite
superior, tendremos:
b
∫a
f ' ( x ) dx = 0
informativa, es decir, sin ocuparnos de la demostración de las mismas por considerar que éstas
∫ k dx = k ( b − a )
a
b b
∫a
k f ( x ) dx = k
∫ a
f ( x ) dx
∫a
b
⎡⎣ f ( x ) + g ( x ) ⎤⎦ dx =
∫ a
b
f ( x ) dx +∫ b
a
g ( x ) dx
b c b
∫a
f ( x ) dx =
∫ a
f ( x ) dx +
∫c
f ( x ) dx
b b
∫a
f ( x ) dx ≥
∫ a
g ( x ) dx
67
Cálculo Integral
Históricamente, los conceptos básicos de la integral definida fueron empleados por los
antiguos griegos, principalmente por Arquímedes (287-212 a. C.), hace más de 2000 años, es
evaluación de integrales definidas y sobre todo por mostrar la conexión entre el cálculo
diferencial y el cálculo integral. Es principalmente por este descubrimiento que se les atribuye
∫ a
f ' ( x ) dx = f ( b ) − f ( a )
Es decir:
68
Cálculo Integral
b b
∫
a
f ' ( x ) dx = ⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦ = f ( b ) − f ( a )
a
Ejemplos ilustrativos:
⎡( 3)3 − (1)3 ⎤ = 8
3
∫
3
1. Hallar: x 2 dx = ⎡⎣ 13 x 3 ⎤⎦ = 1
1 1 3 ⎣ ⎦ 3
∫
π
2. Hallar:
0
sen 2x dx = ⎡⎣ − 1
2
cos 2x ⎤⎦ = −
0
1
2 [cos 2π − cos 0] = − 1 ⎡
2 ⎢⎣
−2⎤⎥⎦ = 1
3
dx π
∫
3
3. Hallar: 2
= ⎡⎣ 13 tan −1 3x ⎤⎦ = 1
⎡ tan −11 − tan −1 0 ⎤ =
⎣ ⎦
0 9+ x 0 3
12
e2 − 1
∫
1 1
4. Hallar: e dx = ⎡⎣e x ⎤⎦ = ⎡⎣ e1 − e −1 ⎤⎦ =
x
−1 -1 e
∫ ∫ (8x − x ) dx
2 4
2
1. 2 x dx 8.
1 0
∫2 (3x+1) dx ∫ ( x − 3)
3 6
2
2. 9. dx
3
∫1 (1 − x ) dx ∫
2 2
3. 10. x3 dx
0
⎛ x ⎞ dx
∫
2 6
∫
8
4. ⎜ 4 − ⎟ dx 11.
16 ⎠ 2 x
0
⎝
dx
∫
4
∫( )
5
2 12.
5. 7x − 5 − x dx 2 x −1
1
x 2 dx
∫
2
∫ (a ) dx
a
6. 2
−x 2 13.
−1 x + 2
−a
x 3dx
∫( ) ∫
3 2
7. 6 + x − x 2 dx 14.
−2 0 x +1
69
Cálculo Integral
∫
2
1 dx 29. cos θ dθ
15.
∫
- 3
1+ x
2
−π
2
π2
cos θ
16.
∫
2
3 2x dx
1 + x2
30.
∫
0 θ
dθ
∫
2
2 2
x dx 31. cos 2 θ dθ
17.
∫0
64 + x
4 0
∫
4
1 32. cos3 2θ dθ
dx
∫
0
18. 2
−2
x + 4 x +13 π
∫
3
33. tanθ dθ
5
dx 0
19.
∫
2
2
2x − x − 3 π
∫
4
34. tan 2θ dθ
2 3 −π
x dx
∫ (x
4
20.
)
4 2
0
+ 16 π
∫
2
35. cot 3θ dθ
π
4
∫ (x + 2 x)
4 2
21. dx π
∫
0 4
36. sec 2 θ dθ
−π
1 4
∫
2
22. 25-16x dx
0 π
∫
2
37. se n θ cos θ dθ
3 0
23.
∫
0
x 2 + 16 dx
π
∫
2 θ θ
38. se n 2
cos 2
dθ
0
16
x dx
24.
∫
0 x−4 1
∫
4 -1
39. se n 2 x dx
π 0
25.
∫
−π
sen x dx
1
∫
2 2
40. x se n -1 x dx
−1
π 2
⎛ x⎞
26.
∫
0
⎜ 2-3sen ⎟ dx
⎝ 2⎠ π
∫
2
41. x se n x dx
0
π
∫
4
se n 2θ dθ
2
27.
0 π
∫
2 2
42. x se n x dx
0
π
∫
2
28. se n θ dθ3
π
6
70
Cálculo Integral
π 1
∫ ∫
4
43. x se n 2x dx
2
49. x e x dx
0 0
π π
∫ ∫
4 6 −x
44. cos θ 1+sen θ dθ 2
50. e cos 2x dx
−π 0
4
∫
π
∫
45.
4
sec θ 3 + tgθ dθ
2 51. ln x dx
1
0
e
ln x dx
∫
1
52,
∫
−3 x
46. e dx 1 x
0
e
1 + ln x dx
e x dx
∫
3ln2
47.
∫
0
1 + ex
53.
1 x
∫ ( ln sen x )
x 2
ln3
e dx 54. cos x dx
48.
∫
0 ex + 1
π
6
71
Cálculo Integral
APLICACIONES DE LA INTEGRAL
Longitud de curvas.
Cálculo de áreas.
Sólidos de revolución.
72
Cálculo Integral
CAPITULO IV
APLICACIONES DE LA INTEGRAL
Para determinar la longitud de una recta, basta con determinar el número de veces que cabe en
ella una unidad de longitud tomada como medida. Sin embargo, para determinar la longitud de
una curva es imposible hacer que sobre ella coincida una unidad de longitud tomada como
medida; es decir, no podemos medir las líneas curvas de la misma manera que las rectas.
Para determinar la longitud de una curva, se divide el arco de la curva en cualquier número de
partes y unimos los puntos sucesivos de división formando una poligonal. Así, definimos la
longitud de un arco de curva como el límite de la suma de los lados de la poligonal cuando el
número de los puntos de división tiende a infinito, al mismo tiempo que cada uno de los lados
tiende a cero. Hallar la longitud de una curva se le llama también “rectificar la curva”.
Para obtener la longitud de una curva y = f ( x ) , comprendida entre dos puntos de abscisas
∫
b
1 + ⎡⎣ f ' ( x ) ⎤⎦ dx
2
La =
b
a
Solución: f ( x ) =
1 2
x
6
f '( x) =
1
x
3
1
∫ ∫ ∫ ∫
4 2 4 2 4 4
1 + ⎡⎣ 3x ⎤⎦ dx = 9+ x2 2
L0 = 1 + x9 dx = dx = 9 + x dx
4
0 0 0 9
3 0
73
Cálculo Integral
L0 =
4 1
3 ⎣⎢ 2 2 ( ⎦⎥ 6
)
⎡ x 9 + x 2 + 9 ln x + 9 + x 2 ⎤ = 20 + 9 ln 3 ≈ 4.98
0
Solución: Despejando f ( x ) = 25 − x 2 ;
−x
f '( x) = ;
2
25 − x
2
⎡ −x ⎤ x2 25 5dx
∫ ∫ ∫ ∫
5 5 5 5
L = 1+ ⎢ 1+
5
0 ⎥ dx = dx = dx =
0
⎣ 25 − x 2
⎦ 0 25 − x 2 0 25 − x 2 0
25 − x 2
5 5π
L 0 = ⎡⎣5 se n
−1 x⎤
5
= 5 se n −1 1 − 5 se n −1 0 =
5⎦0 2
⎛ 5π ⎞
∴ Longitud de la circunferencia = 4 ⎜ ⎟ = 10π
⎝ 2 ⎠
3. Hallar la longitud del arco de la parábola 4 y = x 2 ; del vértice a un extremo del lado recto
74
Cálculo Integral
3
9. Hallar la longitud de la curva y = x 2 ; en el intervalo [ 0, 4]
(
12. Hallar la longitud de la curva 9 y 2 = 4 x 3 ; del punto ( 0, 0 ) al punto 3, 2 3 )
13. Hallar la longitud de la curva y 2 = ( x − 2 ) ; en el intervalo [ 2, 6]
3
entonces el área limitada por el eje x, la grafica de f y las abscisas x = a y y = b , viene dada
∫
b
por: A= f ( x ) dx
a
Ejemplo 1: Hallar el área limitada por la parábola y = x 2 , el eje de las x y las ordenadas
x = −2 y x = 3 .
y = x2 5
x=-2 x=3 X
75
Cálculo Integral
( )
3 3
A= ∫ x 2 dx = ⎡⎣ 13 x 3 ⎤⎦ = 27
3
− − 83 = 35
3
−2 −2
Algunas veces es necesario encontrar el área de una región acotada por las gráficas de
siguiente manera:
∫
d
A= f ( y ) dy
c
Ejemplo 2: Hallar el área limitada por la parábola x = y 2 , el eje de las y y las abscisas
y = −3 y x = 1 .
Solución:
Y
x = y2
y=1
5 X
y=-3
∫ ( )
1 1
A= y 2 dy = ⎡⎣ 13 x3 ⎤⎦ = 13 − − 273 = 28
3
−3 −3
76
Cálculo Integral
∫ ⎡⎣ f ( x ) − g ( x)⎤⎦ dx
b
A =
a
(1,0) y = x −1
y = 1 − x2
(-2,-3)
intersección son: ( −2, −3) y (1, 0 ) , siendo las abscisas de estos puntos, los límites de la integral.
∫ ( ) ∫ ( 2 − x − x ) dx = ⎣⎡2 x −
1 1 1
∴A = ⎡ 1 − x 2 − ( x − 1) ⎤ dx = 2 1
x 2 − 13 x3 ⎦⎤ = 9
−2 ⎣ ⎦ −2
2 −2 2
Y
(4,8)
y 2 = 16 x
5
2 y = x2
77
4 X
Cálculo Integral
intersección son: ( 0, 0 ) y ( 4,8 ) , siendo las abscisas de estos puntos, los límites de la integral.
∫ ( )
4
∴A = ⎡ 16 x − ( x 2 ) ⎤ dx = 32
0 ⎣⎢ 2 ⎦⎥ 3
Se sugiere como ejercicio para el alumno, realizar este mismo problema cambiando la variable de
∫
d
integración, A = f ( y ) dy usando como límites para la integral las ordenadas de los puntos de
c
intersección.
2. Hallar el área limitada por la parábola y = x 2 + 4 x , el eje X y las rectas x = −4; x = −2.
78
Cálculo Integral
12. Hallar el área limitada por la parábola y = x 2 − 2 x + 2 , el eje X y las rectas x = −1; x = 3.
14. Hallar el área limitada por la parábola y = 2 x 2 − 4 x + 7 , el eje X y las rectas x = −1; x = 2.
16. Hallar el área limitada por la curva 3 y = x3 , el eje X y las rectas x = −2; x = 3.
19. Hallar el área limitada por la curva y = 9 x − x3 , el eje X y las rectas x = −3; x = 3.
20. Hallar el área limitada por la curva y = x 3 + 3 x 2 + 2 x , el eje X y las rectas x = −3; x = 3.
2
24. Hallar el área limitada por la parábola y = x y la recta 3 x − 2 y − 4 = 0.
4
79
Cálculo Integral
43. Hallar el área limitada en el primer cuadrante por las curvas x 2 + y 2 = 25; xy = 12.
Si una región del plano gira alrededor de una recta del mismo, se obtiene un sólido llamado sólido
de revolución y se dice que el sólido está generado por la región. La recta alrededor de la cual gira
80
Cálculo Integral
Si la región acotada por la grafica (i) de x = y , por el eje Y y y = 9 , gira alrededor del eje Y,
genera un sólido como se muestra en la figura (ii), y el volumen del sólido de revolución generado
∫
b
π ⎡⎣ f ( y ) ⎤⎦ dy
2
se obtiene mediante: V =
a
x=
5
y
4 X X
(i) (ii)
Si la región acotada por la grafica (iii) de y = x 2 , por el eje X y x = 3 , gira alrededor del eje X,
genera un sólido como se muestra en la figura (iv) y el volumen del sólido de revolución generado
∫
b
se obtiene mediante: V = π ⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦ dx
a
Y
y = x2 Y
4 X
81
Cálculo Integral
(iii) (iv)
con b>a son los extremos de uno de sus diámetros, entonces el sólido de revolución es una esfera
de diámetro b-a.
Ejemplo1. Sea f ( x ) = x 2 + 12 . Calcule el volumen del sólido generado al girar la región bajo la
∫ (x )
2 2
∫ ∫
b 1 1
V= π ⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦ dx = π ⎡⎣ x 2 + 12 ⎤⎦ dx = π 4
+ x 2 + 14 dx = 47
60
π
a 0 0
Ejemplo 2. Sea f ( x ) = x 2 + 12 . Calcule el volumen del sólido generado al girar la región bajo la
grafica de f entre y = 1
2
y y = 2 alrededor del eje Y.
82
Cálculo Integral
2 2
∫ ∫ ∫
b 2 2
V= π ⎡⎣ f ( y ) ⎤⎦ dy = π ⎡⎣ y − 12 ⎤⎦ dy = π ( y − 12 ) dy =9
8
π
a 1 1
2 2
Ejemplo 3. La región acotada por el eje Y y las gráficas de y = x 3 , y = 1 y y = 8 gira alrededor del
2 2
93
∫ ∫ ∫
b 8 8 2
V= π ⎡⎣ f ( y ) ⎤⎦ dy = π ⎡⎣ 3 y ⎤⎦ dy = π y 3
dy = π
a 1 1 5
Y
83
Cálculo Integral
6. La superficie limitada por 5 y 2 = 32 x, x = 10, gira alrededor del eje X. Hallar el volumen
generado.
volumen generado.
11. Hallar el volumen del elipsoide generado cuando la superficie limitada por el eje X y la mitad
superior de la elipse 9 x 2 + 25 y 2 = 225 gira alrededor del eje X.
13. La superficie limitada por la elipse 3x 2 + 4 y 2 = 48 gira alrededor del eje X. Hallar el volumen
generado.
84
Cálculo Integral
14. La superficie limitada por la elipse 9 x 2 + 16 y 2 = 144 gira alrededor del eje X. Hallar el
volumen generado.
15. La superficie limitada por 4 x 2 − 9 y 2 = 36, x = 5, gira alrededor del eje X. Hallar el volumen
generado.
18. La superficie limitada por xy = 5, x + y = 6, gira alrededor del eje X. Hallar el volumen
generado.
21. La superficie limitada por (16 + x 2 ) y 2 = x − 2, x = 4, gira alrededor del eje X. Hallar el
volumen generado.
22. La superficie limitada por ( 9 + x 2 ) y 2 = 9 − x 2 , gira alrededor del eje X. Hallar el volumen
generado.
25. La superficie limitada por y = e − x , x = 0, y = 0, gira alrededor del eje X. Hallar el volumen
generado.
26. La superficie limitada por y = x 2 , x = 2, y = 0, gira alrededor del eje Y. Hallar el volumen
generado.
27. La superficie limitada por 8 y = x 2 , y = 2, gira alrededor del eje Y. Hallar el volumen
generado.
85
Cálculo Integral
28. La superficie limitada por 16 − y = x 2 , y = 0, gira alrededor del eje Y. Hallar el volumen
generado.
29. La superficie limitada por y = x 3 , x = 2, y = 0, gira alrededor del eje Y. Hallar el volumen
generado.
30. La superficie limitada por 2 y = x 3 , x = 2, y = 0, gira alrededor del eje Y. Hallar el volumen
generado.
31. La superficie limitada por 4 y = x 3 , x = 2, y = 0, gira alrededor del eje Y. Hallar el volumen
generado.
32. La superficie limitada por y = 4 x 2 ; y 2 = 5 − x, gira alrededor del eje Y. Hallar el volumen
generado.
33. La superficie limitada por y 2 = 2 x + 4, x = 0, gira alrededor del eje Y. Hallar el volumen
generado.
34. La superficie limitada por y 2 = 9 − x, x = 0, gira alrededor del eje Y. Hallar el volumen
generado.
35. La superficie limitada por 2 y 2 = x 3 , y = 0, x = 2, gira alrededor del eje Y. Hallar el volumen
generado.
36. La superficie limitada por y 2 = x 3 , y = 0, x = 4, gira alrededor del eje Y. Hallar el volumen
generado.
37. La superficie limitada por 9 x 2 + 16 y 2 = 144, gira alrededor del eje Y. Hallar el volumen
generado.
38. La superficie limitada por 3x 2 + 4 y 2 = 48, gira alrededor del eje Y. Hallar el volumen
generado.
Deseamos encontrar el centro de masa de una lámina delgada de cierto material con densidad
podría concentrarse toda la masa sin alterar los momentos del sistema con respecto a los ejes
coordenados.
86
Cálculo Integral
Consideremos una lámina que tiene la forma de una región ilustrada en la figura, donde f es
continua en [ a, b ] .
Y
y = f(x)
x=a x=b X
∫
b
m=ρ f ( x ) dx
a
∫
b
⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦ dx.
2
Mx = ρ 1
2
a
Análogamente, El momento My de la lámina con respecto al eje Y se define por medio de:
∫
b
My = ρ x f ( x ) dx.
a
m x = My y m y = M x.
∫ ∫
b b
x f ( x ) dx 1
2
⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦ dx
x= a
y= a
∫
b b
∫ a
f ( x ) dx
a
f ( x ) dx
Ejemplo1. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por los ejes cartesianos y la recta:
3x + 4 y = 24.
3x + 4y = 24
5
X
8
⎛ 24 − 3x ⎞
∫
b 8
∫ x f ( x ) dx x ⎜ ⎟ dx
∫ ( 24 x − 3x ) dx
1 2
0 ⎝ 4 ⎠ 4 8
x = a
= = 0
=
b
⎛ 24 − 3x ⎞ 8
∫ ∫ ( 24 − 3x ) dx
8
∫
f ( x ) dx 1 3
⎜ ⎟ dx 4
a 0 ⎝ 4 ⎠ 0
2
2 8 ⎛ 24 − 3 x ⎞
∫ ∫0 ( 24 − 3x )
b 8
⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦ dx ∫
1 2
⎟ dx
1 1
0 2
⎜ dx
y= a
2
= ⎝ 4 ⎠ =
32
= 2
⎛ 24 − 3 x ⎞
∫ ∫ ( 24 − 3 x ) d x
b 8
f ( x ) dx
8
∫
1
⎜ ⎟ dx 4
a 0
⎝ 4 ⎠ 0
Ejemplo 2. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por la curva: y = x 2 ; y las rectas:
x + y = 6, y = 0, x = 3. y = x2 ;
x ( x 2 ) dx +
∫ ∫ ∫ x ( 6 - x ) dx
b 2 3
x f ( x ) dx 38
76
x= a
b
= 0
2
2
3
= 3
37 =
∫ ∫ ( x ) dx + ∫ ( 6 - x ) d x
f ( x ) dx 2 6
37
a 0 2
2 2
∫ ∫ ( x 2 ) dx + 12 ∫2 ( 6 - x )
b 2 3
⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦ dx
1 1 2
2 2
dx 281
281
y= a
= 0
= 30
37 =
∫
b 2 3
∫ ( x ) dx + ∫ ( 6 - x ) dx
f ( x ) dx 2 6
185
a 0 2
88
Cálculo Integral
x+y=6
x=3 5
X
Trabajo. En mecánica, el trabajo realizado por una fuerza constante F que causa un
Trabajo de bombeo. Supongamos que deseamos saber el trabajo que se realiza al vaciar un aljibe
cuya forma es la de un sólido de revolución con eje vertical. Consideremos que el eje X de la
curva que gira sea vertical y que el eje Y esté en el plano de la parte superior del aljibe.
89
Cálculo Integral
superficie del líquido pase desde la profundidad a hasta la profundidad b, siendo W el peso de la
∫
b
Trabajo = W π y 2 x dx,
a
donde el valor de y debe sustituirse en términos de x obtenido de la ecuación de la curva que gira.
Ejemplo 1. Calcular el trabajo que se realiza bombeando el agua que llena un aljibe hemisférico
de 5m de hondo.
∫ ∫
b 5
∴ Trabajo = W π d y x dx = 1000π
2 ⎡ 25 − x 2 ⎤ x dx = 156250π Kgm.
a 0 ⎣ ⎦
1. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por los ejes cartesianos y la recta:
4 x − 5 y = 20.
2. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por el triángulo cuyos vértices son:
90
Cálculo Integral
3. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por el triángulo rectángulo formado por las
rectas y = x; x = 1; y = 0.
2 x − y = 3.
4 y = x 2 , el eje X y la recta x = 2.
circunferencias x 2 + y 2 = 4 x y x 2 + y 2 = 4.
circunferencia x 2 + y 2 = 128.
11. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por la curva: y = x 3 ; y las rectas
x = 2, y = 0.
12. Hallar el centro de masa de la superficie limitada en el primer cuadrante por la curva y = x 3 ;
y la recta y = x.
13. Hallar el centro de masa de la superficie limitada en el primer cuadrante por la curva y = 1
x3
14. Hallar el centro de masa de la superficie limitada en el primer cuadrante por la curva
y = x 3 − 3x y la recta x = y.
91
Cálculo Integral
17. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por la curva y 2 = 4 x 2 − x3 arriba del eje X.
18. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por la curva y = sen x, y las rectas
y = 0, x = 0, x = π 2 .
19. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por el primer arco de la curva y = sen 2 x,
y el eje X.
20. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por la curva y = cos x, y las rectas
y = 0, x = 0, x = π 2 .
21. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por la curva y = e x , y las rectas
y = 0, x = 0, x = 1.
22. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por la curva y = e − x , y las rectas
y = 0, x = 0, x = 1.
24. Una cisterna cilíndrica vertical de 6 m de diámetro y 5 m de profundidad está llena de agua.
25. Una cisterna cónica que tiene 5 m de diámetro superior y 5 m de profundidad está llena de
26. Un tanque hemisférico de 5 m de diámetro está lleno de petróleo que pesa 800 Kg . Calcular
m3
27. Calcular el trabajo que se hace al vaciar un aljibe semielipsoidal lleno de agua. La parte
92
Cálculo Integral
28. Un tanque hemisférico de 5 m de diámetro está lleno de petróleo que pesa 800 Kg . El
m3
petróleo se bombea, hasta un nivel 2 m más alto que el borde del tanque, mediante un motor de
1
2 h p . ¿Cuánto tiempo se tardará en vaciar el tanque?
29. Un aljibe cónico que tiene 2.5 m de diámetro superior y 2 m de profundidad está lleno de un
líquido que pesa 1280 Kg . Calcular el trabajo de subir el líquido hasta el borde del tanque.
m3
cilindro del mismo diámetro y 2 m de altura. Calcular el trabajo que se hace al vaciarlo con una
93
Cálculo Integral
INTEGRALES IMPROPIAS
94
Cálculo Integral
CAPITULO V
INTEGRALES IMPROPIAS
∫
b
En el capitulo III, al referirnos a la integral definida f ( x ) dx, supusimos que el intervalo [ a, b ]
a
tenía longitud finita y que f era continua, no obstante, en algunos casos encontramos integrales que
no poseen estas características. En este capitulo final, trataremos una clase de integrales llamadas
impropias.
Nos referiremos como integrales impropias de primera clase, a las integrales definidas en las que
uno o ambos límites de integración es infinito, y como integrales impropias de segunda clase,
y = 1/(x-1)
a c
X
+∞
∫ ∫
c
Área = f ( x ) dx = lim f ( x ) dx
0 c →+∞ a
95
Cálculo Integral
Si f es una función continua no negativa en un intervalo infinito [ −∞, +b ] , el área bajo la gráfica de
∫ ∫
b b
Área = f ( x ) dx = lim f ( x ) dx
−∞ c →−∞ c
y=-1/x
Si f es una función continua no negativa en un intervalo infinito [ −∞, +∞ ] , el área bajo la gráfica de
+∞
∫ ∫ ∫
b c
Área = f ( x ) dx = lim f ( x ) dx + lim f ( x ) dx
∞ c →−∞ c c →+∞ a
Cuando los límites existen, se dice que la integral impropia es convergente, en caso de que los
+∞
∫
1
Ejemplo 1. Evaluar: x
dx
2
+∞
∫ ∫
c
dx = lim [ ln x ]2 = lim ( ln c − ln 2 ) = +∞
c
Solución: 1
x
dx = lim 1
x
2 c →+∞ c c →+∞ c →+∞
+∞
∫
1
Ejemplo 2. Evaluar: x2
dx
2
+∞
∫ ∫ ( )=
c c
Solución: 1
dx = lim 1
dx = lim ⎡⎣ − 1x ⎤⎦ = lim 1 1
−
2 c
1
2
2 x2 c →+∞ 2 x
2
c →+∞ 2 c →+∞
96
Cálculo Integral
región infinita, es decir, que no está acotada, puede tener un área finita.
∫
0
Ejemplo 3. Evaluar: e 2 x dx
−∞
∫ ∫e ( )
0 0 0
Solución: e 2 x dx = lim 2x
dx = lim 12 ⎡⎣ e2 x ⎤⎦ = lim 1
2
− 12 e2 c = 1
2
−∞ c →−∞ c c →−∞ c c →−∞
+∞
Ejemplo 4. Evaluar:
∫
−∞
2x dx
+∞
∫ ∫ ∫ 2x dx = lim ( −c ) + lim ( c ) = 0
0 c
Solución: 2x dx = lim 2x dx + lim 2 2
−∞ c →−∞ c c →+∞ 0 c →−∞ c →+∞
Existe otro tipo de integrales impropias, cuando el integrando tiene una discontinuidad infinita en
los límites de integración. Por ejemplo, si quisiéramos encontrar el área de la región limitada por:
y= 1
x −1
, x = 1, x = 2, y = 0.
y = 1/(x-1)
1 2
X
Como la gráfica tiene una asíntota vertical en x = 1, la región mencionada no esta acotada, es decir,
97
Cálculo Integral
Si f es una función continua no negativa en un intervalo ( a, b ], el área bajo la gráfica de f está dada
por: b b
∫ a
f ( x ) dx = lim+
u→a ∫ u
f ( x ) dx
Si f es una función continua no negativa en un intervalo [ a, b ), el área bajo la gráfica de f está dada
por: b u
∫ a
f ( x ) dx = lim−
u →b ∫ a
f ( x ) dx
∫ ∫ ∫
b u b
f ( x ) dx = lim− f ( x ) dx + lim+ f ( x ) dx
a u →c a u →c u
∫
2
1
Ejemplo 5. Evaluar: 2
dx
0 x
∫ ∫ ( ) = +∞
2 2 2
1
2
dx = lim+ 1
2
dx = lim+ ⎡⎣ − 1x ⎤⎦ = lim+ 1 1
u
−
2
0 x u →0 u x u →0 u u →0
dx
∫
2
Ejemplo 6. Evaluar:
0 4 − x2
∫
dx
∫
dx
( )⎤⎦ ( )
2 u u
= lim− = lim− ⎡s e n −1 x
= lim− s e n −1 u2 = s e n −1 1 = π2
4 − x u →2 ⎣
2
0 4− x 2 u →2 0 2 0 u →2
dx
∫
4
Ejemplo 7. Evaluar:
( x − 2)
2
0
dx dx dx
∫ ∫ ∫
4 u 4 u 4
= lim− + lim+ = lim− ⎡⎣ − x −1 2 ⎤⎦ + lim+ ⎡⎣ − x −1 2 ⎤⎦ = +∞
( x − 2) ( x − 2) ( x − 2)
2 2 2
0 u →2 0 u →2 u u →2 0 u →2 u
98
Cálculo Integral
+∞ 0 5
∫ ∫ ∫
dx e x dx
1. 11. x 21. dx
−∞ 1+ e −2 ( x + 2 )
2 2
2 x
+∞ 5
∫ e − x dx ∫
dx 3
12.
2.
2 −∞ ( 2 − x )
2 22. ∫
−1 x +1
dx
3
+∞ 0
∫
−2
3.
0
x e −2 x dx 13. ∫
−∞
x e x dx 23. ∫
−5
x dx
x2 − 4
+∞ −x 0
4. ∫
0
e 2
dx 14. ∫
−∞
x 2 e x dx 24. ∫
2
5
x dx
x2 − 4
+∞ 1
5. ∫
0
x 2 − x dx 15. ∫
−∞
e 2 x dx
25. ∫
2
dx
2− x
0
+∞ +∞
∫ 2−2 x dx ∫
−x
6. 16. e dx 0
1 −∞ 26. ∫
−4 ( x + 3)
dx
2
+∞ +∞
∫ ∫ ( )
dx
7. 17. 2x dx
+∞
∫
x −1
5 −∞
3 x 2 +1
3
27. dx
0 x2
+∞
∫
x dx
8. +∞ 3
∫ ∫
3 2
5 4− x2
18. x e − x dx 28. x dx
−∞ 1 x 2 −1
+∞
∫
2 dx
9. +∞ 3
3 x +4
∫
2
19. ∫
dx
−∞ 9 + x
2 29. dx
−1 1− x
+∞
∫
dx
10. +∞ +∞
∫ 30. ∫ ln x dx
x ln x
e
20. 2
dx
−∞ 1+ 9 x 0
99
Cálculo Integral
APENDICE I
Requerimientos algebraicos
Por todos es sabido que el álgebra constituye un elemento básico para el estudio del Cálculo y es
ahí, justamente, donde el alumno presenta generalmente los mayores obstáculos para la
Por ello, hemos creído conveniente incluir esta sección, donde el alumno encontrará algunos
elementos más representativos del álgebra que le pueden ser útiles al momento de realizar los
1. Productos notables:
( a ± b)
2
• = a 2 ± 2ab + b 2
( a ± b)
3
• = a 3 ± 3a 2b + 3ab 2 ± b3
• ( a + b )( a − b ) = a 2 − b 2
• ( x ± a )( x ± b ) = x 2 + ( ± a ± b ) x + ( ± a )( ±b )
( x) ( x) = ( x)
n m n+m
•
( x) ÷ ( x) = ( x)
n m n−m
•
m
• ⎡( x )n ⎤ = ( x )( n )( m )
⎣ ⎦
n
( x) = ( x)
n
• m m
a ( x) a ( x) ( y) a ( y)
n n −m −m
a
• = = =
b( y) b ( x) b ( x) ( y)
m −n −n m
b
100
Cálculo Integral
xn
• n
= x n−n = x0 = 1
x
3. Descomposición en factores.
• ax 3 + bx 2 + cx = x ( ax 2 + bx + c )
• a ( x + y ) + b ( x + y ) = ( x + y )( a + b )
• x 2 − y 2 = ( x + y )( x − y )
• x3 ± y 3 = ( x ± y ) ( x 2 m xy + y 2 )
x 2 ± 2 xy + y 2 = ( x ± y )
2
•
x3 ± 3x 2 y + 3xy 2 ± y 3 = ( x ± y )
3
•
del primer binomio; el producto de los signos del segundo y tercer término del
trinomio será el signo del segundo binomio; si los signos en los binomios son iguales,
entonces: d − e = b y ( d )( e ) = c.
101
Cálculo Integral
APENDICE II
Formulario de trigonometría
cat. opuesto
• sen =
hipotenusa
cat. adyacente
• cos =
hipotenusa
cat. opuesto
• tan =
cat. adyacente
senθ cos θ
• Cocientes: tan θ = ; cot θ = .
cos θ senθ
2 tan θ
• sen 2θ = 2senθ cos θ ; cos 2θ = cos 2 θ − sen 2θ ; tan 2θ = .
1- tan 2 θ
102
Cálculo Integral
tan θ ± tan φ
• tan (θ ± φ ) = .
1 m tan θ tan φ
8. Fórmulas de factorización.
9. Ley de senos.
a b c
• = = .
senA senB senC
• a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A.
• b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B.
• c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C.
• ln (φθ ) = ln φ + ln θ .
• ln ( ) = ln φ − ln θ .
φ
θ
• u ln θ = ln θ u .
103
Cálculo Integral
ln ( e ) = u; eln ( u ) = u.
u
•
APENDICE III
Resumen de Geometría Analítica
1. Coordenadas rectangulares.
( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 )
2 2
• d=
• Pm ( x1 + x2 y1 + y2
2
,
2
)
y1 − y2
• m=
x1 − x2
2. Ecuación de la recta.
• Forma pendiente-intercepción: y = mx + b
• Forma general: Ax + By + C = 0.
m2 − m1
• Ángulo entre dos rectas: tan θ =
1 + m1m2
3. Ecuación de la circunferencia.
104
Cálculo Integral
Con centro en ( h, k ) : ( x − h ) + ( y − k ) = r 2
2 2
•
• Forma general: x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0
4. Ecuación de la parábola.
5. Ecuación de la elipse.
• Constantes: eje mayor = 2a; eje menor = 2b; distancia entre focos = 2c; e = ac < 1;
2b 2
longitud del lado recto = y c2 = a 2 − b2 .
a
x2 y 2
• Centro en ( 0, 0 ) y eje principal horizontal: 2 + 2 = 1
a b
x2 y2
• Centro en ( 0, 0 ) y eje principal vertical: + =1
b2 a 2
( x − h) ( y −k)
2 2
( x − h) ( y −k)
2 2
6. Ecuación de la hipérbola.
105
Cálculo Integral
• Constantes: eje transverso = 2a; eje conjugado = 2b; distancia entre focos = 2c; e = ac > 1;
2b 2
longitud del lado recto = y c2 = a 2 + b2 .
a
x2 y 2
• Centro en ( 0, 0 ) y eje principal horizontal: 2 − 2 = 1
a b
x2 y2
• Centro en ( 0, 0 ) y eje principal vertical: − =1
b2 a 2
( x − h) ( y −k)
2 2
( x − h) ( y −k)
2 2
• Forma general: Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
• Es una parábola si AC = 0.
106
Cálculo Integral
APENDICE IV
Tablas de integrales
u du 1
1. ∫ a + bu = b 2
⎡⎣ a + bu − a ln a + bu ⎤⎦ + C
u 2 du 1 ⎡ 1 ⎤
∫ a + bu = b3 ⎢⎣ 2 ( a + bu ) − 2a ( a + bu ) + a ln a + bu ⎥⎦ + C
2 2
2.
u du 1 ⎡ a ⎤
3. ∫ ( a + bu ) 2
= 2 ⎢
b ⎣ a + bu
+ ln a + bu ⎥ + C
⎦
u 2 du 1 ⎡ a2 ⎤
4. ∫ ( a + bu ) 2
=
b3 ⎢
⎣
a + bu −
a + bu
− 2a ln a + bu ⎥ + C
⎦
u du 1 ⎡ a 1 ⎤
5. ∫ ( a + bu ) = ⎢ − ⎥+C
⎣⎢ 2 ( a + bu ) a + bu ⎦⎥
3 2
b2
du 1 u
6. ∫ u ( a + bu ) = a ln a + bu + C
du 1 b a + ba
7. ∫ u ( a + bu ) = − au + a
2 2
ln
u
+C
du 1 1 u
8. ∫ u ( a + bu ) 2
= + 2 ln
a ( a + bu ) a a + bu
+C
2 3
3 (
9. ∫u a + bu du = 3bu − 2a )( a + bu ) 2 + C
15b
2
3 (
15b 2u 2 − 12abu + 8a 2 ) ( a + bu ) 2 + C
3
10. ∫ u 2 a + bu du =
105b
107
Cálculo Integral
3
2u n ( a + bu ) 2
2an
11. ∫ u n
a + bu du = − ∫ u n −1 a + bu du
b ( 2n + 3) b ( 2n + 3 )
u du 2
12. ∫ = 2 ( bu − 2a ) a + bu + C
a + bu 3b
u 2 du 2
3 (
13. ∫ = 3b 2u 2 − 4abu + 8a 2 ) a + bu + C
a + bu 15b
u n du 2u n a + bu 2an u n −1 du
14. ∫ a + bu
=
b ( 2n + 1)
−
b ( 2n + 1) ∫ a + bu
du 1 a + bu − a
15. ∫u a + bu
=
a
ln
a + bu + a
+C si a > 0
du 2 a + bu
16. ∫u a + bu
=
−a
tan −1
−a
+C si a < 0
du a + bu b ( 2n − 3 ) du
17. ∫u n
a + bu
=−
a ( n − 1) u n −1
−
2a ( n − 1) u∫ n −1
a + bu
+C
a + bu du du
18. ∫ u
= 2 a + bu + a ∫
u a + bu
+C
3
a + bu du ( a + bu ) 2 − b ( 2n − 5) a + bu du
19. ∫ un
= −
a ( n − 1) u n −1 2a ( n − 1) ∫ u n −1
u a4
20. ∫ u 2 u 2 ± a 2 du =
8
( 2u 2
± a 2
) u 2
± a 2
−
8
ln u + u 2 ± a 2 + C
u 2 + a 2 du a + u2 + a2
21. ∫ u
= u 2 + a 2 − a ln
u
+C
u 2 − a 2 du u
22. ∫ u
= u 2 − a 2 − a sec −1 + C
a
108
Cálculo Integral
u 2 ± a 2 du u2 ± a2
23. ∫ u2
= −
u
+ ln u + u 2 ± a 2 + C
u 2 du u 2 ±a 2
∫ = u ±a − + ln u + u 2 ± a 2 + C
2
24.
u2 ± a2 2 2
du 1 a + u2 + a2
25. ∫u u 2 + a2
= − + ln
a u
+C
du 1 u
26. ∫u u −a
2 2
=
a
sec −1 + C
a
du u2 ± a2
27. ∫u 2
u2 ± a2
=−
± a 2u
+C
u 3a 4
∫ (u ± a2 ) ( 2u 2 ± 5a 2 ) u 2 ± a 2 +
3
28. 2 2
du = ln u + u 2 ± a 2 + C
8 8
du u
29. ∫ =− +C
(u )
3
2
±a 2 2 ±a 2 u 2 ± a 2
a 2 − u 2 du a + a2 − u2
∫ = a − u − a ln +C
2 2
30.
u u
a 2 − u 2 du a2 − u2 u
31. ∫ u 2
=
u
− sen
a
+C
u 2 du u u
32. ∫ a2 − u 2
=−
2
a 2 − u 2 + sen
a
+C
u 2 du 1 a + a2 − u2 1 a
33. ∫u a2 − u2
= − + ln
a u
+C =−
a
cosh −1 + C
u
u 2 du a2 − u2
34. ∫u a2 − u2
=−
a 2u
+C
109
Cálculo Integral
u 3a 4 u
∫ (a − u ) ( )
3
35. 2 2 2
du = − 2u 2
± 5a 2
a 2
− u 2
+ sen −1 + C
8 8 a
u−a a2 ⎛ u ⎞
37. ∫ 2au − u 2 du =
2
2au − u 2 +
2
cos −1 ⎜1 −
⎝
⎟+C
a ⎠
2u 2 − au − 3a 2 a3 ⎛ u ⎞
38. ∫ u 2au − u 2 du = 2au − u 2 + cos −1 ⎜1 − ⎟+C
6 2 ⎝ a ⎠
2au − u 2 du ⎛ u ⎞
39. ∫ u
= 2au − u 2 + a cos −1 ⎜ 1 −
⎝
⎟+C
a ⎠
2au − u 2 du 2 2au − u 2 ⎛ u ⎞
40. ∫ u2
= −
u
− cos −1 ⎜ 1 −
⎝
⎟+C
a ⎠
du ⎛ u ⎞
41. ∫ 2au − u 2
= cos −1 ⎜ 1 −
⎝
⎟+C
a ⎠
u du ⎛ u ⎞
42. ∫ 2au − u 2
= − 2au − u 2 + a cos −1 ⎜ 1 −
⎝ a
⎟+C
⎠
u 2 du ( u + 3a ) 3a 2 ⎛ u ⎞
43. ∫ 2au − u 2
du = −
2
2au − u 2 +
2
cos −1 ⎜ 1 −
⎝
⎟+C
a ⎠
du 2au − u 2
44. ∫u 2au − u 2
du =
au
+C
u du u
45. ∫ = +C
( 2au )
3
− u 2 2 a 2au − u 2
1 n −1
∫ sen sen n −1 u cos u + ∫ sen
n−2
46. n
u du = − u du
n n
1 n −1
47. ∫ cos n u du = − cos n −1 u sen u + ∫ cos
n−2
u du
n n
110
Cálculo Integral
1
∫ tan tan n −1 u − ∫ tan
n n−2
48. u du = u du
n −1
n 1
49. ∫ cot u du = − cot n −1 u − ∫ cot
n−2
u du
n −1
1 n−2
∫ sec secn − 2 u tan u + ∫ sec
n−2
50. n
u du = u du
n −1 n −1
1 n−2
51. ∫ csc n u du = − cscn − 2 u cot u + ∫ csc
n−2
u du
n −1 n −1
sen ( m + n ) u sen ( m − n ) u
52. ∫ sen mu sen nu du = −
2 (m + n)
+
2 (m − n)
+ C
sen ( m + n ) u sen ( m − n ) u
53. ∫ cos mu cos nu du = + + C
2 (m + n) 2 (m − n)
cos ( m + n ) u cos ( m − n ) u
54. ∫ sen mu cos nu du = −
2 ( m + n)
−
2 (m − n)
+ C
sen m −1 u cos n +1 u m − n
∫ sen u cos u du = ∫ sen
m−2
61. m n
+ u cos n u + C
m + n m + n
m + n m + n
111
Cálculo Integral
∫ sen u du = u sen-1 u + 1- u 2 + C
-1
62.
68. ∫ ue
u
du = eu ( u − 1) + C
∫ue du = u n eu − n ∫ u n −1 eu du + C
n u
69.
u n au n
∫ u a du = − ∫ u n −1 a u du + C
n u
70.
ln a ln a
eu du eu 1 eu du
71. ∫ un
= −
( n − 1) u n −1
+
n −1 ∫ u n −1
a u du au ln a a u du
72. ∫ un
= -
( n -1) u n -1
+
n -1 ∫ u n -1
73. ∫ ln u du = u ln u + C
u n +1
74. ∫ u ln u du =
n
(n + 1) ln u − 1 u + C
(n + 1)
2
112
Cálculo Integral
du
75. ∫u ln u
= ln ln u + C
e au
76. ∫e
au
sen nu du = ( a sen nu − n cos nu ) + C
a 2 + n2
e au
77. ∫ e au cos nu du = ( a cos nu + n sen nu ) + C
a 2 + n2
1
83. ∫ csch u du = ln tanh u +C
2
∫ sech u du = tanh u + C
2
84.
1 1
∫ sech u du = senh u − u+ C
2
88.
4 2
1 1
89. ∫ csch 2 u du = senh u + u+ C
4 2
∫ tanh u du = u − tanh u + C
2
90.
113
Cálculo Integral
e au
94. ∫ e au senh nu du = ( a senh nu − n cosh nu ) + C
a 2 − n2
e au
95. ∫ e au cosh nu du = ( a cosh nu − n senh nu ) + C
a 2 − n2
114
Cálculo Integral
CAPITULO I
2. ∆y = 0.0124 8. ∆y = - 0.9600
6. ∆y = 0.1990
38. 0.5529
115
Cálculo Integral
CAPITULO II
+ C − a x + C
3 6 2 3
2. y + 8. x
3 y 17 4
x 2 + 9 x + 3 ln x + C
3
4. 3θ − 3 3
θ + 4θ + C
2 10.
2
2
6 5 1 12. 2 x − + C
6. x
2
− 4x + C
2
x
5
1 1
a ln x + 2 x + C
2 2
14.
(t − 2)
3
2 1
18. − e −3 x + C
2. + C 3
6
5 20. 2e x+ C
(8 − x )
3 3
4. − + C
5
22. − ecos x + C
3
(1 − 2 x )
2
24. 3 e tan 2x
+C
6. − + C
3
26. − ln (1 + e − x ) + C
2
8. − + C
( x − 3) a + ex
28. ln +C
1 a − ex
2 ( x 2 + 3x ) + C
2
10.
102 x
30. + C
12. ln ( x + 1) + C 2 ln10
10 x
14. ln x + 1+ C 2 32. 2 + C
ln10
ln ( x 2 − 2 x ) + C
1
16. − 3x 3− x
2 34. + 2x − + C
ln 3 ln 3
116
Cálculo Integral
−
1
cos 3x + C
1 ⎛ x +1⎞
36. 68. tan −1 ⎜ ⎟+C
3 2 ⎝ 2 ⎠
cos ( 2 − 3x ) + C
1
38. 2x − 2
3 70. ln +C
2x
2x + 1
72. ln ( x + x + 1) +
3 7 3
1
2 2
tan −1 +C
40. sen 5 x + C 4
3 3
20
( )
1
5x − 1 20
cos θ 4
74. ln +C
42. − +C 5x + 1
4
b ax − c
44. ln cos e − x + C 76. ln +C
2ac ax + c
tan 6 2 x
( )
1
46. + C x −1 4
12 78. ln +C
x+3
48. ln sen θ 2 + C 3x + 1
80. ln +C
3x + 3
ln 2 sen θ + C
( )
50. 1
2x − 3
− ln ( 4 x 2 − 4 x − 3) 8 + C
16 1
82. ln
2x + 1
ln ( sec e )+ C
1 −3 x −3 x
+ tan e
ln (
3 − 2x )
52. 1
3 + 2x 12
3 84. +C
3
2
sec θ + C
2
54.
3 1 3 + 5x
86. ln +C
2 15 3 − 5x
56. − sec ( 2 − θ ) + C
( )
1
x 4
88. ln +C
4−x
tan (1 − 2x ) + C
1
58. −
2
x
90. ln +C
60. ln csc x − cot x + C 2 2 (6 − x ) 6 x − x2
( )
1
1 3
62. − csc 2θ + C 92. ln 3 x + 9 x 2 + 4 +C
2
64.
1
b
cot ( a − bθ ) + C 94. (
ln x + 1 + x 2 + 2 x + 5 + C )
66.
1
4
⎛3 ⎞
tan −1 ⎜ x ⎟ + C
⎝2 ⎠
96.
2
2
(
ln 2 x − 1 + 2 x 2 − 2 x + 1 + C )
117
Cálculo Integral
7
⎛ 1 ⎞ 2
98. 3 x + x + 1 + l n ⎜ x + + x2 + x + 1 ⎟ + C
2
⎝ 4 ⎠
( )
1
5
100. ln 5 x + 25 x 2 − 4 +C
102.
b
a
(
ln ax + a 2 x 2 − c 2 + C )
104. (
ln ( x + 1) + x 2 + 2 x − 3 + C )
106.
3
3
(
ln ( 3x + 2 ) + 9 x 2 + 12 x + 3 + C )
( )
1
4 1
108. ln 2 x − 1 + 4 x − 4 x − 3 2
− 4 x2 − 4 x − 3 + C
4
1 2
110. sen −1 x+ C
2 3
5 5
112. se n −1 x+ C
5 3
x−2
114. sen −1 + C
2
x −3
116. 6 sen −1 − 6x − x2 + C
3
118.
1
2
x 9 x2 + 4 +
2
3
(
ln 3 x + 9 x 2 + 4 + C )
x −1
( )+C
2
120. x 2 − 2 x + 5 + ln ( x − 1) + x 2 − 2 x + 5
2
122.
4 2
1 ⎡ 2 x − 1 2 x 2 − 2 x + 1 + ln ( 2 x − 1) + 2 x 2 − 2 x + 1 ⎤ + C
⎣⎢ ⎦⎥ ( )
( )
2
124. x 5
25 x 2 − 4 − ln 5 x + 25 x 2 − 4 + C
2
126. ax
2
a x −c
2 2 2
−
c2
2
(
ln ax + a 2 x 2 − c 2 + C )
x+1 2
( )+C
2
x + 2 x − 3 − ln ( x + 1) + x 2 + 2 x − 3
2 118
Cálculo Integral
128.
⎡ ⎞⎤
ln ⎜⎛ ( 3 x + 2 )+
1
130. 2
⎢( 3 x + 2 ) 9 x +12 x +3 − 9 x 2 +12 x +3 ⎟ ⎥ + C
6 3 ⎣ ⎝ ⎠⎦
x 2 ⎛3 ⎞
132. 4 − 9 x 2 + sen −1 ⎜ x ⎟ + C
2 3 ⎝2 ⎠
x 5 ⎛ 3 ⎞
134. 5 − 3x 2 + sen −1 ⎜ x⎟+ C
2 2 3 ⎝ 5 ⎠
136.
2 x−1
4
4 − ( 2 x − 1) + sen −1
2 2 x−1
2
+ C ( )
138. x−3
2
6x − x2 +
9
2
sen −1 ( x3−3 ) + C
140. (
− ln cos x + cos 2 x + 16 + C )
−1
⎛ 2 + cos θ ⎞ 4
142. ln ⎜ ⎟ + C
⎝ 2 − cos θ ⎠
1 + ex
146. ln + C
1 − ex
1 ⎛ x −1 2 ⎞
x
148. ⎜ 2 9 − 4 + 9 sen ⎟+ C
x
2 ln 2 ⎝ 3⎠
1 ln x
150. tan −1 + C
3 3
θ2 θ 1
x 1 8. − cos 2θ + sen 2θ + c os 2θ + C
4. sen 2x + c os 2x + C 2 2 4
2 4
b
b2 − a 2
( a
b
cos ax sen bx − sen ax cos b119
x +C ) x 2 sen x + 2 x cos x − 2 sen x + C
Cálculo Integral
10. x
34. ⎡cos ( ln x ) + sen ( ln x ) ⎤⎦ + C
2⎣
1 1 1
(
36. x ln x + x 2 + a 2 )− x2 + a2 + C
12. x2 + x sen 6 x + cos 6 x + C
4 12 72
38. 2 x + 1 ⎡⎣ln ( x + 1) − 2 ⎤⎦ + C
1
14. x tan x + ln cos x + x2 + C
2
x3
40. ⎡96 ln 2 x − 4 x ln x + x ⎤⎦ + C
96 ⎣
t
e5
16. [5 sen π t − 25π cos π t ] + C
25π 2 + 1
θ − θ 2 − 14 sen −1 ( 2θ − 1) + C
1
42. θ sen θ+
−1
t
e 4
18. [16π sen π t + 4 cos π t ] + C
2
16π 2 − 1
2x
44. θ cos −1 ( )
θ
2
+ 4 −θ 2 + C
20. [ x ln 2 − 1] + C
ln 2 2 θ3 1
46. 3
cos −1 θ2 + 4 −θ 2 + 2
3
sen −1 θ2 + C
2
22. 3e x [ x − 1] + C
θ3
tan −1 θ + ln (θ 2 + 1) 6 −
1 1
24. −e − x ⎡⎣ x 2 + 2 x + 2 ⎤⎦ + C 48. θ2 +C
3 6
26. x ln 3 x − x + C x3
cot −1 x + ln ( x 2 + 1) 6 −
1 1
50. x2 + C
3 6
x [ 2 ln x − 1] + C
3 2
28.
(x + 1) ( 3x − 2) + C
1 3
2 2 2
4 52.
5
30. 1
x 2 ⎡⎣ 2 ln 3 x − 3ln 2 x + 3ln x − 1⎤⎦ + C
t3
ln ( t 3 + 8 ) −
4 1
54. +C
3 ( t 3 + 8)
x 4 [ 4 ln x − 1] + C
1 3
32.
16
3
x 1 10. x + 1
sen 4ax − 1
sen 2ax + C
4. + sen 2ax + C 8
32 a 4a
2 4a
3
cos3 2θ 1
12. x + 1
32 a
sen 4ax + 1
4a
sen 2ax + C
6. − cos 2θ + C 8
6 2
120
Cálculo Integral
⎡2 1 ⎤
⎢⎣ 3 cos bx − cos5 bx − cos bx ⎥ + C
1 3
14. b
5 ⎦
5 1 ⎡3 1 1 ⎤
16. x+ sen 4bx + sen 2bx − sen 3 2bx ⎥ + C
16 b ⎢⎣ 64 4 48 ⎦
26.
1 ⎡4
⎢
2 ⎣3
sen3 ( ) − sen ( )⎤⎥⎦ + C
θ
2
4 θ
2
1 1
18. x2 + sen 4x 2 + C
16 64 1
28. tan 2 θ − ln sec θ + C
2
1 1
20. cos3 2mt − cos 2mt + C
16m
( ) − sec ( ) + C
48 3
30. sec5 θ 3 θ
3 3
[ sen 16θ − 8 cos 8θ + 48 θ ] + C
1 5
22.
2048
1 ⎡ 7 ⎤
32. ⎢ tan 7 πθ + tan 5 πθ ⎥ + C
1 ⎡ 5 5 ⎤ 7π ⎣ 5 ⎦
24.
5π ⎢⎣cos πθ − 3
cos3 πθ ⎥ + C
⎦
34. 2 tan θ + 2sec θ − θ + C
⎡ −1 ⎤
2.
9
8 ⎢⎣ sen
x
3
+ x
81 (9 − x ) 2 3
− x3
81
9 − x2 ⎥ + C
⎦ 4 − 9 x2
16. 3 sen −1 32x − +C
x
4. 1
(5 − 2x ) 2 5
−
5
(5 − 2x ) 2 3
+C
⎛ x + 2 x2 − 5 ⎞
20 12 2 x2 − 5
18. 2 ln ⎜ ⎟ − +C
⎜ x ⎟ x
⎝ ⎠
(x − 16 ) + (x − 16 ) + C
1 5 16 3
6. 2 2
5 3 ⎛ x 3 + 3x 2 + 5 ⎞ 3x 2 + 5
20. 3 ln ⎜ ⎟ − +C
⎜ 5 ⎟ x
⎝ ⎠
8.
1
(16 + 5x ) 2 5
+
16
(16 + 5x ) 2 3
+C
125 75
1 ⎛ 5+ 25 − x 2 ⎞
22. ln ⎜ ⎟ +C
⎛ 5 − 5 − x2 ⎞ 5 ⎜ x ⎟
5 ln ⎜ ⎟+ 5 − x2 + C ⎝ ⎠
10.
⎜ x ⎟
⎝ ⎠
1 ⎛ 2x ⎞
⎟+C
( )
−1
24. ln ⎜
12. x − 25 − 5 sec
2 x +C 3 ⎝ 4x − 9 ⎠
2
5
⎛ x2 + 5 − 5 ⎞
14. ln ⎜ ⎟+ x2 + 5 + C x 16 − 3x 2
⎜ ⎟ 26.
8
sen −1 3x
− +C
⎝ x ⎠
3 4
2
2 ⎛ 3x + 9 x 2 − 4 ⎞ 1
ln ⎜ ⎟ + x 9x2 − 4 + C
121 27 ⎜ 2 ⎟ 8
⎝ ⎠
Cálculo Integral
28.
⎛ x + x2 + 9 ⎞
30.
1
x x2 + 9 −
9
ln ⎜ ⎟+C 52.
1
(8 + x ) 2 7
−
8
(8 + x )
2 5
+C
2 2 ⎜ 3 ⎟ 7 5
⎝ ⎠
x
54. + C
x −4 2
25 25 − x 2
32. + C
4x
x
56. + C
2 4x − 92
3 x2 − 3
34. + C
9 x
x
58. + C
9 x + 25
2
2 x2 + 2
36. − + C
5x
x
60. − sen −1 2x + C
38.
1
3
(4 − x ) 2 3
− 4 4− x +C 2
4− x 2
⎛ x+ x2 + 2 ⎞ x
62. ln ⎜⎜ ⎟ − + C
( x − 9) + 9
1 3
40. 2
x −9 +C
2
2 ⎟ x2 + 2
3 ⎝ ⎠
(x + a2 ) − a2
1 3
42. 2
x2 + a2 + C ⎛x + x2 − 3 ⎞ x
3
64. ln ⎜ ⎟ − + C
⎜ 3 ⎟ x2 − 3
2 ⎛ 7 − 7 − 4 x2 ⎞ 7 − 4 x2 ⎝ ⎠
44. ln ⎜ ⎟ − +C
7 7 ⎜ 2x ⎟ 14 x 2
⎝ ⎠
x3
66. + C
4x2 − 9
46.
2
27
sec −1 2 x
3
+
18 x 2
+ C 3 (4 − x ) 2 3
25
⎡ ⎛ 25 x 2 + 16 − 4 ⎞ 4 25 x 2 + 16 ⎤
48. − ⎢ln ⎜ ⎟ + ⎥ +C
128 ⎢⎣ ⎜⎝ 5x ⎟
⎠ 25 x2 ⎥⎦
x3
68. + C
(x + 2)
2 3
6
⎛ x+ x +4 ⎞ 1 2
(x + 4) +
3
50. 3
ln ⎜ ⎟ + 304 x 2 3
x x2 + 4 + C
38 ⎜ 2 ⎟ 152
⎝ ⎠
x
70. − + C
9 x2 − 3
122
Cálculo Integral
2.
1 ⎛ x−3⎞
ln ⎜ 28. ln ( x 5 − x3 ) + C
⎟ +C
8 ⎝ x+5⎠
x2 − 1 x2
1 ⎛ 2x − 5 ⎞ 30. ln + + C
4. ln ⎜ ⎟ +C x 2
8 ⎝ 2x −1 ⎠
x2 ( x − 2)
1 ⎛ 4 x − 10 ⎞ 32. ln + C
( x + 2)
2
6. ln ⎜ ⎟ +C
14 ⎝ x +1 ⎠
( x − 5)
31
1 ⎛ 3− x ⎞ 34.
1
ln + C
8. ln ⎜ ⎟+ C
( x − 2)
7
10 ⎝ x+7⎠ 3
1 ⎛ x−3⎞ 3
( x − 1) 2 ( x − 3)
13
2
10. ln ⎜ ⎟ +C
6 ⎝ x ⎠ 36. ln + C
( x − 2)
7
⎛ x 2 − 4 18 ⎞
12. ln ⎜
( ) ⎟ +C ( x + 2) +
4
⎜⎜ 1 ⎟⎟ 38. ln C
x 4 ( x − 3) ( x − 1)
2
⎝ ⎠
( x − 3)
27
x2 3 1
40. ln ( x + 1) + ln ( x − 1) − ln ( x + 3)
2
14. ln + + 4x + C 2 2
+C
x −1 2
16.
1
5
(
ln ( x − 3) ( x + 2 )
2 3
) +C 42. ln
x +1
x
−
1
x
+ C
⎛ ( x − 2 )7 ⎞ 2
18.
1
ln ⎜ ⎟ +C ⎛ x +1⎞ 1 + 3x
⎜ ( x + 3) 2 ⎟ 44. ln ⎜ ⎟ − + C
5
⎝ ⎠ ⎝ x ⎠ x ( x + 1)
( x ( x+ 4) ) + C
1
ln ( x + 2 ) −
5 1
20. ln 3 7
⎛ x−2⎞ 9
1
46. ln ⎜ ⎟ + + C
4 8
⎝ x +1 ⎠ 3 ( x + 1)
22. ln ( x 3 + x 2 ) + C
27 x2
ln ( x + 3)
27
48. + + − 6x + C
⎛ ( x 2 − 1) ⎞ ( x + 3) 2
24. ln ⎜ ⎟ +C
⎜ ( x + 2 )2 ⎟
⎝ ⎠ ⎛ x ⎞
3
3x − 1
50. ln ⎜ ⎟ − + C
⎝ x −1 ⎠ x ( x − 1)
ln ( 2 x − 5 ) +
29 1 1
26. x − ln x + C
1
20 2 2
52. tan −1 ( x + 2) − + C
x + 4x + 5
2
123
Cálculo Integral
2
⎛ x−2⎞ 3
54. ln ⎜ ⎟ − + C 82. −
4
tan −1 2x − 1
ln ( x + 1) x+4 + C
⎝ x ⎠ x−2 10 5
ln ( 2 x + 3) x 2 + 4 − 15 tan −1 3x + C
1 1
⎛ x ⎞ 4
4 84.
56. ln ⎜ ⎟ − + C 5
⎝ x−4⎠ x−4
( x + 1)
2
4x + 7 1
58. ln x + 1 + + C 86. ln − 2 tan −1 x + C
2 ( x + 1) x +1
2
2
1 x
9 88. ln + 12 tan −1 3x + C
60. ln ( 2 x + 1)
3 3
+ x+ C ( 4x + 9)
2
4
+ 2 2
8 ( 2 x + 1) 4
x
12 x + 19 90. 3ln + 5
tan −1 2x + C
62. ln ( x + 2 ) +
3
+ C x +42 2
( x + 2)
2
x +1
92. ln ( x − 2 ) + 32 ln x 2 + 1
2
t an −1 + C
2
( x − 2)
4
x2 −1 4x2 −1
64. ln + + + C 3
(x − 2x)
1
2 4 2 x2 2x 94. ln ( x − 1) − 2 tan −1 x − + C
x −1
23 x2 + 1
ln ( x + 3) ( x − 3) x2
1 41 67
66. − + C 96. 1
ln + + C
36 6 x − 18 2
x 2
3
68. ln ( 2 x + 1)( 2 x − 1) +
2
+ C x2 + 2 x + 2
4x + 2 98. 1
ln + tan −1 ( x + 1) + C
2
2x − 3
5x + 4
70. ln ( x − 2 )( x + 1) +
3
+ C 2
( x + 1) ⎛ x2 + 4 ⎞
2
100. ln ⎜ ⎟ + C
⎝ x−2 ⎠
( x + 2)
2
− 4 tan −1 ( x + 1) + C102. ln
1
72.
8
ln
x − 2x + 4
2 (x 2
+ 2 ) + tan −1 x + C
x
x −1 1 104. 2 tan −1 + x2 − x + C
74. 1
ln − 2
tan −1 x + C 2
4
x +1
1 1
76. −
x
− tan −1 x + C 106. ln (x 3
+ 3x ) −
1
3 3
tan −1
x
3
−
3x
+ C
1
( x -1)
2 108. − tan −1 x − + C
78.
1
ln + tan x + C −1 x
4 x2 + 2
x2 8
110. − − 4 ln ( x 2 + 4 ) + C
x2 + 1
2 ( x + 4)
2
80.
1
tan −1 ( x + 1) − 1
ln + C
2 2
x +1
124
Cálculo Integral
1 1
ln ( x 2 + 2 ) − ln ( x 2 + 2 ) +
1 1
112. + C 114. + C
2 ( x + 2)
2
2 2 ( x + 2)
2
CAPITULO III
2 36. 2
8. 42
3
2
38.
10. 4 3
12. ln 3 3 − 15
40.
8
8
14. − ln 3
3 42. π −2
16. ln 2 44. ∞
1 48. ln 2
20.
128
( )
−π
e 6
3 −1 + 2
22. 170.53 50.
6
24. ∞
1
52.
26. 2π − 6 2
54. − 0.1534
3 3
28.
8
125
Cálculo Integral
CAPITULO IV
4. 1.79 14
12.
3
6. 1.41
14. 26.33
8. 6.92
4. 18 1
28.
6
56
6.
3 30. 13.45
14 7
8. 32.
3 4
45 34. 18 2
10.
4
143
36.
12. 24 24
14. 21 256
38.
15
19
16.
12 40. 8.20
18. 12 8
42.
3
20. 59
44. 29.81
22. 360
1
24
3
126
Cálculo Integral
2.
1296 π 20. π (π + 2 )
5
22. 3π (π − 2 )
4. 126 π
1
6. 320 π 24.
2
(1 − e−10 )
8. 20 π
26. 8π
15
10. π 28. 128 π
4
124 48
12. π 30. π
3 5
3
16. π2 34. 129 π
5
64
18. π 36. 64 π
3
38. 32 π
4.
⎛ 17 ⎞ 14. (1.25 , 0.75)
⎜1 , ⎟
⎝ 5⎠
⎛ 16 ⎞
16. ⎜ , 0⎟
⎛5 ⎞ ⎝7 ⎠
6. ⎜ , 5⎟
⎝2 ⎠
18. (1 , 0.39 )
⎛ 3 3⎞
8. ⎜ , ⎟
⎝ 2 5⎠ 20. ( 0.57 , 0.39 )
10. ( 0 , 4.56 ) 22. ( 0.41 , 0.34 )
127
Cálculo Integral
CAPITULO V
4. 2 18. 0
1 20. 0
6.
8 ln 2
22. +∝
8. −∝
24. 21
10. +∝
26. +∝
1
12. −
3 28. 8
14. −∝ 30. +∝
128
Cálculo Integral
BIBLIOGRAFÍA
1. Anton Howard.
Cálculo con Geometría Analítica.
Editorial Wiley.
5. Cenbranos Pilar.
Cálculo Integral Iniciación al Método Matemático. 1ª Edición.
Editorial Anaya.
8. Demidovich.
Cálculo integral para funciones de una variable. 1ª Edición Vol. 2.
Editorial URRSS
129
Cálculo Integral
20. N. Piskunov.
Cálculo Diferencial e Integral. 6ª Edición Vol. 2
Editorial Mir Moscu.
23 Zill Dennis G.
Cálculo con Geometría Analítica.
Grupo Editorial Iberoamérica
130