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    Algebra Lineal Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices

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    Richard Bouquet
    Este documento explica los sistemas de ecuaciones lineales y las matrices. Introduce los conceptos de ecuación lineal, sistema de ecuaciones lineales, soluciones de sistemas, y métodos para resolver sistemas como el método de Gauss. También define las matrices y su relación con los sistemas de ecuaciones lineales, donde los coeficientes de las ecuaciones se colocan en una matriz.

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    Este documento explica los sistemas de ecuaciones lineales y las matrices. Introduce los conceptos de ecuación lineal, sistema de ecuaciones lineales, soluciones de sistemas, y métodos para resolver sistemas como el método de Gauss. También define las matrices y su relación con los sistemas de ecuaciones lineales, donde los coeficientes de las ecuaciones se colocan en una matriz.

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    lgebra Lineal/Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

    lgebra Lineal/Sistemas de ecuaciones lineales y matrices


    Sea K un cuerpo. Una ecuacin lineal con coeficientes en K es una expresin de la forma: donde son elementos de K para todo y se llaman coeficientes; el trmino es de nuevo un

    elemento de K y se le llama trmino independiente y, por ltimo,

    son smbolos que llamaremos

    incgnitas. Para un nmero pequeo de incgnitas, usaremos la notacin x, y, z, t... Es remarcable el hecho de que, al tratarse de una ecuacin lineal, no pueden existir trminos de incgnitas al cuadrado.

    Sistemas de ecuaciones lineales


    Un conjunto de m escuaciones lineales con las mismas incgnitas:

    se llama sistema de m ecuaciones lineales con n incgnitas. Llamaremos soluciones del sistema a cada conjunto de valores asignados a las incgnitas que son solucin de todas las ecuaciones del sistema. Se llama solucin general del sistema al conjunto de todas las soluciones del sistema. Decimos que dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solucin general, es decir, si sus soluciones coinciden. La clasificacin de los sitemas de ecuaciones se hace en funcin de sus soluciones: si posee alguna solucin, se llamar compatible; en caso contrario, se denomina incompatible. Adems, los sistemas compatibles se dividen a su vez en: determinados, si la solucin es nica, e indeterminados en caso contrario. Se denomina discusin de un sistema al proceso de clasificacin de un sistema dentro de los tipos anteriores. Decimos que un sistema de ecuaciones lineales es homogneo si los trminos independientes son cero. ste tipo de sistemas admiten una solucin que se denomina trivial, , siendo por tanto compatible en cualquier caso.

    Mtodo de Gauss
    El mtodo de Gauss es un sistema -probablemente el ms til en dimensiones bajas- de resolucin de sistemas de ecuaciones lineales. La idea del mtodo es conseguir, mediante un sistema dado, uno equivalente ms sencillo, y aplicar el mtodo reiterativamente hasta obtener un sistema de solucin obvia. Proposicin 1: Si en un sistema de ecuaciones lineales dado intercambiamos dos ecuaciones de lugar, multiplicamos una ecuacin por un miembro del cuerpo K, o sumamos una ecuacin a otra multiplicada por un elemento del cuerpo, obtenemos un sistema equivalente. Demostracin: es obvio que el primer predicado es cierto. El segundo lo podemos extraer de las propiedades de cuerpo de K, esto es, que si tenemos , con , entonces . Para el tercer predicado consideramos el sistema de ecuaciones lineales:

    y lo que resulta de sumar k veces la j-sima ecuacin a la i-sima:

    lgebra Lineal/Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

    Ahora, debemos probar que ambos sistemas son equivalentes. Para ello, supongamos

    como un conjunto

    de soluciones del primer sistema. Puesto que ambos sistemas slo difierenen la i-sima ecuacin, basta ver que , verifica la i-sima ecuacin del segundo sistema. Por se solucin del primero, tenemos que:

    multiplicamos ahora la segunda ecuacin por k y sumamos:

    Y de aqu se obtiene:

    que implica que

    es solucin del segundo sistema, como queramos comprobar. El recproco se comprueba

    fcilmente tomando como hiptesis la ecuacin anterior y restando k veces la fila j-sima del primer sistema, con la solucin introducida. A continuacin se explica el proceso conocido como mtodo de Gauss, que tiene como objeto transformar un sistema de ecuaciones lineales dado en otro equivalente y ms sencillo: 1. Primer paso. Intercambiando ecuaciones, se lleva al primer lugar la primera ecuacin que tenga el coeficiente de no nulo. 2. Segundo paso. Dividimos la mencionada ecuacin por , obteniendo un 1 en sta posicin. 3. Tercer paso. Multiplicando la ecuacin de forma conveniente, la restamos a las dems para eliminar la variable de ellas. Repitiendo ste proceso con todas las variables, y asociando cada variable a una ecuacin distinta, obtenemos al final un conjunto de valores que quedan igualadas a las incgnitas: la solucin general del sistema.

    Matrices
    Dado un cuerpo K, consideremos el siguiente sistema de m ecuaciones lineales con n incgnitas:

    Tomamos ahora los coeficientes siguiente manera:

    , as como el vector de soluciones,

    , y los colocamos entre parntesis de la

    ste objeto matemtico recibe el nombre de matriz de orden m x n con coeficientes en K. Ms en general, se denota al conjunto de todas las matrices de orden m x n con coeficientes en K como . Las matrices con reciben el nombre de vectores fila o columna (con m n igual a 1 respectivamente). Diremos de

    lgebra Lineal/Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

    una matriz que es cuadrada si . Dada una matriz A, se denomina submatriz de A a cualquier matriz que resulte de la supresin de vectores fila o columna contenidos en A. Por ltimo, definimos la matriz ampliada de A como la matriz que incluye el vector de soluciones

    Fuentes y contribuyentes del artculo

    Fuentes y contribuyentes del artculo


    lgebra Lineal/Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Fuente: http://es.wikibooks.org/w/index.php?oldid=203399 Contribuyentes: Caronte 1988, Morza, 4 ediciones annimas

    Licencia
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