Ecuaciones Lineales

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
Materia:
Ecuaciones diferenciales
Tema:
Ecuaciones lineales
Alumno:
Obregón Pérez Santiago
Maestro:
Deniz Gálvez Nery Alejandro
Grado y grupo:
3-G
22 de octubre de 2020.
Introducción
En esta sección se introducen los conceptos básicos referentes a los sistemas de

ecuaciones lineales. Definiremos cuando una ecuación es una ecuación lineal y
cuando se tiene un sistema de ecuaciones lineales. Asimismo, se introducirá la
idea de la estrategia de eliminación gaussiana para resolver un sistema de
ecuaciones basado en ciertas operaciones llamadas operaciones elementales.
Los sistemas de ecuaciones lineales son: “el problema central del álgebra lineal”
(Strang, 1982, p.1). En efecto, los conceptos formales del álgebra lineal, como
independencia y dependencia lineal, requieren de la formulación y resolución de
sistemas de ecuaciones lineales. Estos últimos, además, tienen aplicación en
distintas áreas de conocimiento, como la ingeniería o la computación; y desde
luego, en áreas de la matemática, como la geometría analítica o la investigación
de operaciones.
Ecuaciones lineales
El sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de

ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación
es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un
ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:
El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de

la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital
de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en
programación lineal, así como en la aproximación de problemas no lineales de
análisis numérico.
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales
• Sustitución
El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones con

cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente y a
continuación sustituirla en otra ecuación por su valor. En caso de sistemas con
más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor
equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En
ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que
el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente. Por
ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:
En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita y por ser la de menor
coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos,
obteniendo la siguiente ecuación.
El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita y en la otra

ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la x.
• Igualación
El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de

sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a
continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.
Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución,

si despejamos la incógnita y en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente
manera:
• Reducción
Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo

pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El
procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste
en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de
manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca
con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas
ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita,
obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de
resolución es simple.
Por ejemplo, en el sistema:
No tenemos más que multiplicar la primera ecuación por -2 para poder cancelar la
incógnita y. Al multiplicar, dicha ecuación nos queda así:
Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una

nueva ecuación donde la incógnita y ha sido reducida y que, en este caso, nos da
directamente el valor de la incógnita x:
El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita x en

cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así
que el valor de y si sustituimos en la primera ecuación es igual a:
Ecuaciones de primer y segundo grado
Un sistema de ecuaciones lineales puede tener una solución, infinitas soluciones o

ninguna solución.
Existen el álgebra diferentes métodos para encontrar la solución de un sistema de

ecuaciones lineales, a continuación veremos el método de igualación. Cuando dos
o más ecuaciones tienen el mismo conjunto de soluciones se dice que son
ecuaciones equivalentes. Por lo general, las ecuaciones se resuelven
comenzando con una ecuación dada y produciendo una serie de ecuaciones
equivalentes más simples.
Pasos para facilitar la solución de las ecuaciones.
Las ecuaciones que nunca son verdaderas y no tienen solución son llamadas
contradicciones. Otras ecuaciones, denominadas identidades, son siempre
verdaderas y tiene un número infinito de soluciones.
Conclusión
Hemos podido concluir que este tipo de ecuaciones es muy importante, ya que
podemos identificar perfectamente que es una ecuación, y mayormente
enfocarnos en las ecuaciones lineales.
Así como también se observo los diferentes modos de solución de las ecuaciones:
- Método de Sustitución: Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones. Se

sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un
ecuación con una sola incógnita. Se resuelve la ecuación. El valor obtenido se
sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada. Los dos
valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
- Método de Igualación: Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones. Se

igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.
Se resuelve la ecuación. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos
expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita. Los dos valores
obtenidos constituyen la solución del sistema.
- Método de Reducción: Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los

números que convenga. La restamos, y desaparece una de las incógnitas. Se
resuelve la ecuación resultante. El valor obtenido se sustituye en una de las
ecuaciones iniciales y se resuelve. Los dos valores obtenidos constituyen la
solución del sistema.
Bibliografías
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales
http://cursos.aiu.edu/Diplomados/Recursos%20Humanos%20y%20MKT/Algebra%
20Lineal%20I/PDF/Tema%202.pdf
https://miprofe.com/ecuacion-lineal/
http://www.fqbf.unsl.edu.ar/documentos/academica/ingreso/mat/CLASE5_Ecuacio
nesYFormulas.pdf

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