Sistema de Ecuaciones

SISTEMA DE ECUACIONES
En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también

conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un
conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde
cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo
conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:
El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las
variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.
El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de
la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital
de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente
en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales
de análisis numérico.
METODOS DE SOLUCION DE ECUACIONES
Reducción
Consiste en igualar los coeficientes de una misma incógnita en ambas ecuaciones
y, enseguida, sumar o restar las ecuaciones, de modo que se eliminen los
términos cuyos coeficientes se igualaron.
Ejemplo:

Paso 1- Igualaremos una de las incógnitas del sistema. En este caso, nosotros
empezaremos igualando la incógnita y. Para ello, multiplico la segunda ecuación
por 2, quedando 4x+2y= 28

Paso 2- Ahora, sumamos o restamos (según se requiera) los términos
semejantes, para reducir (eliminar) el término con coeficiente común.

Luego, resuelvo la ecuación, quedando así x=5, ya que:
Ya tenemos el valor de una de las incógnitas. Para identificar el otro valor,

debemos remplazar en una de las ecuaciones el valor que obtuvimos de x. en este
caso:
Por lo tanto la solución a nuestro sistema de ecuaciones es → S: (5, 4)

b) Sustitución
Consiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones y sustituirla en otra
ecuación.
Ejemplo:
Primero, despejaremos cualquiera de las incógnitas de esta ecuación. Nosotros

escogeremos despejar x en la segunda ecuación. Para ello, moveremos todos los
términos que no sean x hacia el otro lado de la igualdad.
Conociendo el valor de x, sustituimos en la otra ecuación:

Una vez conocemos el valor de la otra incógnita (en este caso, y), sustituimos en
la ecuación:
Solución: (20,14)

c) Igualación
Consiste en despejar la misma variable de ambas ecuaciones del sistema. Una
vez despejada, se igualan los resultados, despejando la única variable que queda.
Ejemplo:

1°Debemos despejar cualquiera de las incógnitas de la ecuación. En este caso,
nosotros optamos por despejar y.
2° Se igualan las expresione obtenidas: y = y

3° Ahora, se resuelve la ecuación resultante, que tiene una incógnita:

Una vez identificado el valor de "x", remplazamos en cualquiera de las ecuaciones
del sistema.

Solución: (20,10)

3- Tipos de sistemas
Existen 3 tipos de sistemas de ecuaciones: Los sistemas equivalentes,
los sistemas sin solución o incompatibles, y lossistemas con infinitas
soluciones o compatible indeterminado.
a- Sistemas equivalentes
Son aquellos que se caracterizan por tener una única solucióna partir de dos
incógnitas. En el plano cartesiano, se representan al formarse rectas secantes
(solo un punto en la recta).
Por ejemplo:
Realizando las operaciones de suma y resta, se obtiene:
Remplazando:
S (2,5)

b-- Sistema incompatible:
Son aquellos sistemas en donde no hay ninguna solución posible. En el plano
cartesiano, se representan con rectas paralelas (ningún punto).
Ejemplo:
En el ejemplo anterior, podemos observar que dos ecuaciones iguales dan como
resultado un número distinto. Esto quiere decir que las ecuaciones no tienen
resultados en común, ya que si los tuviese, el resultado de ambas ecuaciones
sería el mismo.
En el plano cartesiano, las ecuaciones se representarían de una forma
independiente. Se obtienen dos rectas paralelas (no se intersecan). Por lo tanto, el
sistema no tiene solución.

c- Sistemas compatible indeterminado:
Son aquellos sistemas en donde existen infinitas soluciones. En el plano
cartesiano, se representa con rectas coincidentes (infinitos puntos).
Ejemplo:
En este caso, podemos observar que las ecuaciones de este sistema son
exactamente iguales, ya que 2x+2y=6 es lo mismo que x+y=3, pero amplificado
por 2. Esto quiere decir, que cualquier punto de la recta es la solución del sistema.
Por lo tanto:

3.1- ¿Cómo identificar cada sistema?
Identificar un sistema es muy sencillo. Para hacerlo, debes tener en cuenta las
siguientes consideraciones:

- Si la multiplicación entre a y e, y la multiplicación entre b y d dan

valores distintos, significa que el sistema es equivalente.
- Si la multiplicación entre a y e, y la multiplicación entre b y d dan valores iguales,
significa que el sistema o es incompatible, o es un sistema compatible
indeterminado. Para identificarlo, debemos tener en cuenta las siguientes
consideraciones:
a) Si la multiplicación entre b y f, y la multiplicación entre c y e dan

valores distintos, significa que el sistema es incompatible.
b) Si la multiplicación entre b y f, y la multiplicación entre c y e dan
valores iguales, significa que el sistema es compatible indeterminado.

4- Resolución de problemas con sistemas de ecuaciones
Para resolver problemas en los que se plantee un sistema de ecuaciones,
debemos seguir estos pasos:
1.º Leer atentamente el enunciado, e identificar las incógnitas.
2.º Traducir el enunciado en varias ecuaciones.
3.º Resolver el sistema e interpretar la solución.
Ejemplo:
La suma de la edad de dos niños es 4 años. Si la edad del primero sumada al
triple de la edad del segundo es 10 años. ¿Qué edad tiene cada niño?
Pasos:
1.º Leer atentamente el enunciado, e identificar las incógnitas.→ Números
pedidos, x e y
2.º Traducir el enunciado en varias ecuaciones.
La suma de la edad de dos niños es 4 años → x + y = 4
la edad del primero sumada al triple de la edad del segundo es 10 años → x + 3y
= 10

3.º Resolver el sistema e interpretar la solución.

x+y = 4
x+3y = 10

Utilizamos el método de reducción
Respuesta: Las edades son: 1 y 3 años

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En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también

METODOS DE SOLUCION DE ECUACIONES

Luego, resuelvo la ecuación, quedando así x=5, ya que:

Ya tenemos el valor de una de las incógnitas. Para identificar el otro valor,

Primero, despejaremos cualquiera de las incógnitas de esta ecuación. Nosotros

2° Se igualan las expresione obtenidas: y = y

- Si la multiplicación entre a y e, y la multiplicación entre b y d dan

a) Si la multiplicación entre b y f, y la multiplicación entre c y e dan

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