Sistemas de Ecuaciones Lineales 1

Sistemas de ecuaciones lineales Tambin conocidos como sistemas lineales, es un conjunto de ecuaciones de primer grado.
Al referirnos con que es una ecuacin lineal, quiere decir que cada ecuacin es de primer grado. Ejemplo:
La solucin del problema consiste en hallar los valores de x1, x2 y x3, satisfaciendo a las tres ecuaciones. Clasificacin de los sistemas de ecuaciones y tipos de solucin Los sistemas de ecuaciones se clasifican segn el nmero de soluciones que puedan tener, y estos son:
sistema compatible
Cuando se tiene solucin
determinado: cuando tiene una unica solucion
inderterminado: cuando se admite un conjunto infinto de soluciones no hay punto que satisfaga la ecuacion
sistema incopatible
Cuando no se tiene solucin
rectas paralelas, que se cruzan sin cortarse
Ahora los tipos de solucin de ecuaciones lineales son: 1. El mtodo de sustitucin: consiste en despegar una incgnita en una de las ecuaciones, de preferencia la que tenga el coeficiente menor, para despus sustituirla en la otra ecuacin por su valor. En el caso de que hallan ms de dos incgnitas, la que seleccionamos debe ser sustituida por su equivalente en todas las dems ecuaciones excepto en la que hemos despejado, en ese instante, tendremos una incgnita menos en la ecuacin original, tendremos entonces que aplicar este mtodo varias veces ms. 2. Mtodo de igualacin: es un caso particular del mtodo de sustitucin, en el que se despeja la misma incgnita en dos ecuaciones y despus se igualan entre s la parte derecha de ambas ecuaciones. Despejamos la incgnita y, en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:
Ahora hay que igualar las dos ecuaciones con las mismas incognitas a la derecha y se reduce, obteniendo:
Ahora tenemos el valor de x, as que ya solo hay que sustituirlo en alguna de las dos ecuaciones originales para obtener y. 3. El mtodo de suma y resta: este sistema est diseado para resolver problemas con dos ecuaciones e incgnitas. Trata de transformar una de las ecuaciones de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incgnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. En este ejemplo el -2 multiplica la primera ecuacin para eliminar y. Despus se suman ambas ecuaciones producindose as la reduccin o cancelacin de dicha incgnita, obteniendo as una ecuacin con una sola incgnita, donde el mtodo de resolucin es simple.
4. Mtodo por determinantes: Tambin llamado mtodo de Cramer, pretende encontrar 3 determinantes: s= Determinante del sistema x= Determinante de la incgnita x, y y= Determinante de la incgnita y. Se comienza por buscar la determinante del sistema, con un arreglo numrico y haciendo uso de 2 barras, mediante el siguiente procedimiento: Se acomodan los coeficientes de las incgnitas de ambas ecuaciones y se restan los productos de la diagonal secundaria de la diagonal principal. Despus Obtener la determinante de la incgnita X Para obtener la determinante de x se realiza el mismo procedimiento que para la determinante del sistema pero se hace un arreglo numrico diferente en el que intervienen los trminos independientes: Obtener la determinante de y se sigue el mismo procedimiento pero ahora sustituyendo los valores de y por los trminos independientes. Despus se tiene que dividir: X= x/ s y Y= y/ s para poder obtener los valores de X y Y. 5. Metodo de Gauss: Consiste en convertir un sistema lineal de n ecuaciones con n incgnitas, en uno escalonado, en el que la primera ecuacin tiene n incgnitas, la segunda ecuacin tiene n - 1 incgnitas, ..., hasta la ltima ecuacin, que tiene 1 incgnita. De esta forma, ser fcil partir de la ltima ecuacin e ir subiendo para calcular el valor de las dems incgnitas. 6. Mtodo de solucin Gauss Jordn: es un mtodo aplicable nicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, y consistente en triangular la matriz aumentada del sistema mediante transformaciones elementales, hasta obtener ecuaciones de una sola incgnita, cuyo valor ser igual al coeficiente situado en la misma fila de la matriz. Este procedimiento es similar al anterior de reduccin, pero ejecutado de manera reiterada y siguiendo un cierto orden algortmico. 7. Mtodo de cofactores: Sea A una matriz cuadrada. El menor del elemento aij se denota como Mij y es el determinante de la matriz que queda despus de borrar el rengln i y la columna j de A. El cofactor de aij se denota como Aij y est dado por | |
8. El mtodo de Sarus: es una utilidad para calcular determinantes de orden 3. Los trminos con signo + estn formados por los elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vrtice
opuesto y los trminos con signo - estn formados por los elementos de la diagonal secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vrtice opuesto. 9. Mtodo de matriz inversa: primero hay que considerarse un sistema de n ecuaciones lineales con n incgnitas, este sistema se puede escribir en forma matricial del siguiente modo: A X = B. La matriz A se llama matriz del sistema, es de dimensin n x n y sus elementos son los coeficientes de las incgnitas. La matriz X es una matriz columna, de dimensin n x 1, formada por las incgnitas del sistema. Por ltimo, la matriz B es otra matriz columna, de dimensin n x 1, formada por los trminos independientes. Si el determinante de la matriz A es distinto de cero ( det (A) # 0 ), la matriz A tiene inversa ( A-1 ). Por lo tanto, podemos calcular la matriz de las incgnitas X del siguiente modo:

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