MTODO DE LA BISECCIN

El mtodo de biseccin se basa en el siguiente teorema de Clculo: Teorema del Valor Intermedio Sea contnua en un intervalo tal que y supongamos que , existe un . tal que

Entonces para cada

. La misma conclusin se obtiene para el caso que . Bsicamente el Teorema del Valor Intermedio nos dice que toda funcin contnua en un intervalo cerrado, una vez que alcanz ciertos valores en los extremos del intervalo, entonces debe alcanzar todos los valores intermedios. En particular, si y tienen signos opuestos, entonces un valor , y por lo tanto, el Teorema del Valor tal que , es . intermedio es precisamente

Intermedio nos asegura que debe existir

decir, debe haber por lo menos una raz de en el intervalo El mtodo de biseccin sigue los siguientes pasos: Sea contnua, , tales que y

i) Encontrar valores iniciales opuestos, es decir,

tienen signos

ii) La primera aproximacin a la raz se toma igual al punto medio entre y :

iii) Evaluar casos:

. Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes

En este caso, tenemos que

tienen signos opuestos, y por lo .

tanto la raz se encuentra en el intervalo

En este caso, tenemos que que y

tienen el mismo signo, y de aqu

tienen signos opuestos. Por lo tanto, la raz se .

encuentra en el intervalo

En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raz. El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que:

es decir,

Ejemplo 1 Aproximar la raz de hasta que . Solucin Sabemos por lo visto en el ejemplo 1 de la seccin anterior, que la nica raz de se localiza en el intervalo . As que este intervalo es nuestro punto de partida; sin embargo, para poder aplicar el mtodo de

biseccin debemos checar que En efecto, tenemos que

tengan signos opuestos.

mientras que

Cabe mencionar que la funcin s es contnua en el intervalo . As pues, tenemos todos los requisitos satisfechos para poder aplicar el mtodo de biseccin. Comenzamos: i) Calculamos el punto medio (que es de hecho nuestra primera aproximacin a la raz):

ii) Evaluamos iii) Para identificar mejor en que nuevo intervalo se encuentra la raz, hacemos la siguiente tabla:

Por lo tanto, vemos que la raz se encuentra en el intervalo . En este punto, vemos que todava no podemos calcular ningn error aproximado, puesto que solamente tenemos la primera aproximacin. As, repetimos el proceso con el nuevo intervalo . Calculamos el punto medio (que es nuestra segunda aproximacin a la raz):

Aqu podemos calcular el primer error aproximado, puesto que contamos ya con la aproximacin actual y la aproximacin previa:

Puesto que no se ha logrado el objetivo, continuamos con el proceso. Evaluamos , y hacemos la tabla:

As, vemos que la raz se encuentra en el intervalo Calculamos el punto medio,

Y calculamos el nuevo error aproximado:

El proceso debe seguirse hasta cumplir el objetivo. Resumimos los resultados que se obtienen en la siguiente tabla:

Aprox. a la raz 1.25 1.375 1.3125 1.28125 1.296875 1.3046875

Error aprox.

9.09% 4.76% 2.43% 1.20% 0.59%

As, obtenemos como aproximacin a la raz

Como vimos en el ejemplo 2 de la seccin anterior, la nica raz de se localiza en el intervalo . Para poder aplicar el mtodo de biseccin, es importante checar que s se cumplen las hiptesis requeridas. Sabemos que es contnua en el intervalo , y checamos que y

tengan signos opuestos. En efecto,

Mientras que,

Por lo tanto, s podemos aplicar el mtodo de biseccin. Calculamos el punto medio del intervalo ,

Que es la primera aproximacin a la raz de Evaluamos Y hacemos nuestra tabla de signos, .

Puesto que

tienen signos opuestos, entonces la raz se . ,

localiza en el intervalo

En este punto, solo contamos con una aproximacin, a saber, que es el primer punto medio calculado.

Repetimos el proceso, es decir, calculamos el punto medio ahora del intervalo ,

Que es la nueva aproximacin a la raz de . Aqu podemos calcular el primer error aproximado:

Puesto que no se cumple el objetivo, continuamos con el proceso. Evaluamos Y hacemos la tabla de signos: .

Puesto que

tienen signos opuestos, entonces la raz se .

localiza en el intervalo Calculamos el punto medio,

Y el nuevo error aproximado:

El proceso se debe continuar hasta que se logre el objetivo. Resumimos los resultados que se obtienen en la siguiente tabla:

Aprox. a la raz 0.5

Error aprox.

0.75 0.625 0.5625 0.53125 0.515625 0.5234375 0.51953125

33.33% 20% 11.11% 5.88% 3.03% 1.49% 0.75%

De lo cual, vemos que la aproximacin buscada es El mtodo de biseccin por lo general es lento, y en casos como el de la siguiente grfica, puede ser demasiado lento.

En un caso como ste, el proceso de biseccin comienza a acercarse a la raz de forma muy lenta, ya que el mtodo solamente toma en cuenta que la raz se encuentra dentro del intervalo, sin importar si se encuentra ms cerca de alguno de los extremos del intervalo. Sera bueno implementar un mtodo que tome en cuenta este detalle. Veremos a continuacin un ejemplo del metdo de la biseccin, con la siguiente ecuacin:

# Xi 1 -3 2 -2.5 3 -2.5 4 -2.5 5 -2.4375 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4

Fxi Fxd Nuevo Xm Error -14 6 -2.5 -0.5 -2.125 6 -2.25 -0.25 -2.125 2.359375 -2.375 -0.125 -2.125 0.228515625 -2.4375 -0.0625 -0.919677734375 0.228515625 -2.40625 -0.03125 -2.40625 -2.375 0.3385314941406 0.228515625 -2.390625 -0.015625 2 -2.390625 -2.375 0.0532569885253 0.228515625 -2.3828125 -0.0078125 91 0.08806562423 -2.390625 -2.3828125 0.0532569885253 -2.38671875 -0.00390625 7061 91 0.01751357316 -2.390625 -2.38671875 0.0532569885253 -2.388671875 -0.001953125 9708 91 0.01751357316 2.3886718 -2.38671875 0.0178443714976 9708 2.3876953125 0.0009765625 75 31 0.01751357316 2.3876953 -2.38671875 0.0001585679128 2.3872070312 0.0004882812 9708 125 7661 5 5 0.00867921009 2.3876953 2.3872070312 0.0001585679128 2.3874511718 0.0002441406 19411 125 5 7661 75 25 0.00426074799 2.3876953 2.3874511718 0.0001585679128 2.3875732421 0.0001220703 90693 125 75 7661 875 125 0.00205119677 2.3876953 2.3875732421 0.0001585679128 2.3876342773 6.103515625 59376 125 875 7661 438 E-5

Xd -2 -2 -2.25 -2.375 -2.375

Hemos terminado de analizar el mtodo de la biseccin, en este ejemplo con un error de 0.0001; se encuentra la ltima raiz(Xm

MTODO DE NEWTON-RAPHSON

Este mtodo, el cual es un mtodo iterativo, es uno de los ms usados y efectivos. A diferencia de los mtodos anteriores, el mtodo de NewtonRaphson no trabaja sobre un intervalo sino que basa su frmula en un proceso iterativo. Supongamos que tenemos la aproximacin a la raz de ,

Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eje . en un punto

; sta cruza al

que ser nuestra siguiente aproximacin a la raz

Para calcular el punto , calculamos primero la ecuacin de la recta tangente. Sabemos que tiene pendiente

Y por lo tanto la ecuacin de la recta tangente es:

Hacemos

Y despejamos

Que es la fmula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente aproximacin:

, si
Note que el mtodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos asegure que encontraremos la raz, y de hecho no tenemos ninguna garanta de que nos aproximaremos a dicha raz. Desde luego, existen ejemplos donde este mtodo no converge a la raz, en cuyo caso se dice que el mtodo diverge. Sin embargo, en los casos donde si converge a la raz lo hace con una rapidez impresionante, por lo cual es uno de los mtodos preferidos por excelencia. Tambin observe que en el caso de que , el mtodo no se puede aplicar. De hecho, vemos geomtricamente que esto significa que la recta tangente es horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ningn punto, a menos que coincida con ste, en cuyo caso mismo es una raz de

! Ejemplo 1 Usar el mtodo de Newton-Raphson, para aproximar la raz de , comenzando con Solucin En este caso, tenemos que y hasta que .

De aqu tenemos que:

Comenzamos con

y obtenemos:

En este caso, el error aproximado es,

Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidi. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

Aprox. a la raz 1 1.268941421 1.309108403 1.309799389

Error aprox.

21.19% 3.06% 0.052%

De lo cual conclumos que , la cual es correcta en todos sus dgitos! La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen races -simas de nmeros reales positivos. Observe que cuando el mtodo de Newton-Raphson converge a la raz, lo hace de una forma muy rpida y de hecho, observamos que el error aproximado disminuye a pasos agigantados en cada paso del proceso. Aunque no es nuestro objetivo establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los mtodos que hemos estudiado, cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor precisin la rapidez lentitud del mtodo en estudio. Veremos a continuacin un ejemplo del metdo de Newton Raphson, con la siguiente ecuacin:

# 1 2 3 4 5 6

Fxn 18 -30.375 -6.2771541041392 -0.59229583988115 -0.0073539466744812 -1.1814129692311E-6

Dfxn 4 37.75 22.794965133108 18.569049742033 18.108960417816 18.103142166676

Nuevo Xm -3.5 -2.6953642384106 -2.419989651633 -2.3880927130115 -2.3876866186524 -2.3876865533923

Hemos terminado de analizar el mtodo de la Newton Rapshon, en este ejemplo con un error de 0.0001; se encuentra la ltima raiz(Xm): -2.3876865533923 con 6 iteracciones Este mtodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma

sumar

Si la ecuacin es , entonces puede despejarse bien en ambos lados de la ecuacin para ponerla en la forma adecuada.

Ejemplos: 1) La ecuacin 2) La ecuacin Dada la aproximacin frmula: se puede transformar en se puede transformar en , la siguiente iteracin se calcula con la . .

Supongamos que la raz verdadera es , es decir,

Restando las ltimas ecuaciones obtenemos:

Por el Teorema del Valor Medio para derivadas, sabemos que si contnua en y diferenciable en . En nuestro caso, existe en el intervalo determinado por y entonces existe

es tal que

tal que:

De aqu tenemos que:

O bien,

Tomando valor absoluto en ambos lados,

Observe que el trmino

es precisamente el error absoluto en la corresponde al

sima iteracin, mientras que el trmino error absoluto en la sima iteracin.

Por lo tanto, solamente si , entonces se disminuir el error en la siguiente iteracin. En caso contrario, el error ir en aumento. En resumen, el mtodo de iteracin del punto fijo converge a la raz si para en un intervalo que contiene a la raz y donde en dicho intervalo. es

contnua y diferenciable, pero diverge si Analicemos nuestros ejemplos anteriores: En el ejemplo 1, que

y claramente se cumple la condicin de

. Por lo tanto el mtodo s converge a la raz. y en este caso, . Por lo tanto, el mtodo no converge a la

En el ejemplo 2, raz.

Para aclarar el uso de la frmula veamos dos ejemplos: Ejemplo 1 Usar el mtodo de iteracin del punto fijo para aproximar la raz de , comenzando con y hasta que .

Solucin Como ya aclaramos anteriormente, el mtodo s converge a la raz. Aplicando la frmula iterativa tenemos,

Con un error aproximado de Aplicando nuevamente la frmula iterativa tenemos,

Y un error aproximado de

Intuimos que el error aproximado se ir reduciendo muy lentamente. En efecto, se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1%. El resultado final que se obtiene es:

Con un error aproximado igual al

Ejemplo 2 Usar el mtodo de iteracin del punto fijo para aproximar la raz de , comenzando con Solucin Si despejamos la y hasta que .

del trmino lineal, vemos que la ecuacin equivale a

de donde,

En este caso, tenemos que

. Un vistazo a la grfica,

nos convence que , para , lo que es suficiente para deducir que el mtodo s converge a la raz buscada. Aplicando la frmula iterativa, tenemos:

Con un error aproximado del 100%. Aplicando nuevamente la frmula iterativa, tenemos:

Con un error aproximado igual al 28.41%.

En este ejemplo, el mtodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1%. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

Aprox. a la raz 0 -0.2 -0.1557461506 -0.1663039075 -0.163826372 -0.164410064

Error aprox.

100% 28.41% 6.34% 1.51% 0.35%

De donde vemos que la aproximacin buscada es:

Veremos a continuacin un ejemplo del metdo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacin:

Comenzar >>>

# 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Fx Gx 6 -3.2 -19.968 -1.423487544484 11.692075744767 -5.286954775047 -137.06733727676 -0.55264093506638 15.278575889954 -12.256666831521 -1837.5252497571 -0.10580199505242 15.893013650839 -15.822877723262 -3961.2932828992 -0.063652847694363 15.936089251016 -15.935434638196 -4046.549064545 -0.062760338437828 15.93699245737 -15.937225498684 -4047.9153117412 -0.062746289826028

Nuevo Xm 6 -19.968 11.692075744767 -137.06733727676 15.278575889954 -1837.5252497571 15.893013650839 -3961.2932828992 15.936089251016 -4046.549064545 15.93699245737 -4047.9153117412

13 14 15

15.937006671952 -15.937253488903 -4047.9366679087 -0.062746070290919 15.93700689408 -15.937253926252

15.937006671952 -4047.9366679087 15.93700689408

Hemos terminado de analizar el mtodo de Punto Fijo, en este ejemplo con un error de 0.0001; vemos que el metdo NO CONVERGE.

Como mencionamos anteriormente, sera bueno considerar si la raz de una ecuacin est localizada ms cerca de alguno de los extremos del intervalo. Consideremos nuevamente una grfica como la anterior,

Donde hemos agregado la lnea recta que une los puntos extremos de la grfica en el intervalo . Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo, tomamos el punto donde cruza al eje esta recta, nos aproximaremos mucho ms rpido a la raz; sta es en s, la idea central del mtodo de la regla falsa y sta es realmente la nica diferencia con el mtodo de biseccin, puesto que en todo lo dems los dos mtodos son prcticamente idnticos. Supongamos que tenemos una funcin y adems, y que es contnua en el intervalo

tienen signos opuestos. ,

Calculemos la ecuacin de la lnea recta que une los puntos . Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por:

Por lo tanto la ecuacin de la recta es:

Para obtener el cruce con el eje

, hacemos

Multiplicando por

nos da:

Finalmente, de aqu despejamos

Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del mtodo de biseccin. As pues, el mtodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos: Sea contnua, , tales que y tienen signos

i) Encontrar valores iniciales opuestos, es decir,

ii) La primera aproximacin a la raz se toma igual a:

iii) Evaluar casos:

. Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes

En este caso, tenemos que

tienen signos opuestos, y por lo .

tanto la raz se encuentra en el intervalo

En este caso, tenemos que que y

tienen el mismo signo, y de aqu

tienen signos opuestos. Por lo tanto, la raz se .

encuentra en el intervalo

En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raz. El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que:

Ejemplo 1 Usar el mtodo de la regla falsa para aproximar la raz de , comenzando en el intervalo y hasta que . Solucin Este es el mismo ejemplo 1 del mtodo de la biseccin. As pues, ya sabemos que es contnua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los extremos de dicho intervalo. Por lo tanto podemos aplicar el mtodo de la regla falsa. Calculamos la primera aproximacin:

Puesto que solamente tenemos una aproximacin, debemos seguir con el proceso.

As pues, evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos:

De donde vemos que la raz se encuentra en el intervalo Con este nuevo intervalo, calculamos la nueva aproximacin:

En este momento, podemos calcular el primer error aproximado:

Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso. Evaluamos signos: , y hacemos la tabla de

De donde vemos que la raz se encuentra en el intervalo con el cual, podemos calcular la nueva aproximacin:

Y el error aproximado:

Como se ha cumplido el objetivo, conclumos que la aproximacin buscada es:

Observe raz, a Ejemplo Usar el

la rapidez con la cual converge el mtodo de la regla falsa a la diferencia de la lentitud del mtodo de la biseccin. 2 mtodo de la regla falsa para aproximar la raz de .

, comenzando en el intervalo y hasta que Solucin Este es el mismo ejemplo 2 del mtodo de la biseccin. As pues, ya sabemos que se cumplen las hiptesis necesarias para poder aplicar el mtodo, es decir, que sea contnua en el intervalo dado y que tome signos opuestos en los extremos de dicho intervalo. Calculamos pues, la primera aproximacin:

Como solamente tenemos una aproximacin, debemos avanzar en el proceso. Evaluamos Y hacemos nuestra tabla de signos:

De lo cual vemos que la raz se localiza en el intervalo As pues, calculamos la nueva aproximacin:

Y calculamos el error aproximado:

Puesto que no se cumple el objetivo, seguimos avanzando en el proceso. Evaluamos Y hacemos nuestra tabla de signos: .

De los cual vemos que la raz se localiza en el intervalo con el cual podemos calcular al siguiente aproximacin:

Y el siguiente error aproximado:

Como se ha cumplido el objetivo, conclumos que la aproximacin buscada es:

Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del mtodo de la regla falsa contra la lentitud del mtodo de la biseccin. Por supuesto que puede darse el caso en el que el mtodo de la regla falsa encuentre la aproximacin a la raz de forma ms lenta que el mtodo de la biseccin. Como ejercicio, el estudiante puede aplicar ambos mtodos a la funcin , comenzando en el intervalo notar que mientras que el mtodo de biseccin requiere de 8 aproximaciones para lograr que necesita hasta 16 aproximaciones. , donde

, el mtodo de la regla falsa

Veremos a continuacin un ejemplo del metdo de la Posicin, Falsa con la siguiente ecuacin:

Comenzar >>>

# 1 2

Nuevo Xm Error -2.3 -0.3 -2.51 -0.21 3 -2.51 -2.3 -2.323251 1.533 2.320725552 0.020725552050 0505 473 1.18038714957 4 -2.51 2.320725552 -2.323251 2.395969027 0.075243475776 48 0505 827 506 1.18038714957 5 2.395969027 2.320725552 0.15043075408 2.346075325 0.025349773037 48 827 0505 291 0876 123 0.74096319530 6 2.395969027 2.346075325 0.15043075408 2.390329227 0.044253902353 987 827 0876 291 4407 135 0.74096319530 7 2.390329227 2.346075325 0.04789074483 2.382860983 0.036785657917 987 4407 0876 039 0056 969 0.08719129466 8 2.390329227 2.382860983 0.04789074483 2.389875835 0.007014852786 8852 4407 0056 039 7919 3751 0.08719129466 9 2.389875835 2.382860983 0.03966723120 2.387388854 0.004527871348 8852 7919 0056 9549 3541 5732 1 0.00538865293 2.389875835 2.387388854 0.03966723120 2.389098184 0.001709330373 0 50926 7919 3541 9549 7273 1688 1 0.00538865293 2.389098184 2.387388854 0.02556923808 2.387593289 0.000204434743 1 50926 7273 3541 7972 098 81393 1 0.00168831438 2.389098184 2.387593289 0.02556923808 2.387855237 0.000261948084 2 77866 7273 098 7972 1823 38618 1 0.00168831438 2.387855237 2.387593289 0.00305391029 2.387609513 1.622488739982 3 77866 1823 098 82061 9854 9E-5
Hemos terminado de analizar el mtodo de la Posicin Falsa, en este ejemplo con un error de 0.0001; se encuentra la ltima raiz(Xm): -2.3876969957131 con 13 iteracciones

Xi -3 -3

Xd -2 -2.3

Fxi -14 -14

Fxd 6 1.533