ECUACIONES

DIFERENCIALES

En esta unidad, haremos un breve estudio de los mtodos numricos bsicos que se usan para aproximar soluciones de algunas ecuaciones diferenciales. Recordamos rpidamente, que una ecuacin diferencial (ordinaria) es aquella que involucra una variable independiente, una variable dependiente y la derivada ( derivadas ) de esta ltima. En una ecuacin diferencial, la incgnita es la variable dependiente y se espera encontrarla como funcin de la variable independiente, de tal forma que si se sustituye dicha variable dependiente, as como las derivadas que aparecen en la ecuacin diferencial, la igualdad que resulta es verdadera. De cursos anteriores de ecuaciones diferenciales, sabemos que en general, existen una infinidad de funciones (curvas) que resuelven una misma ecuacin diferencial. Por ejemplo, la ecuacin:

tiene como solucin general:

donde c es una constante arbitraria que puede ser cualquier nmero real (y de aqu la infinidad de curvas solucin que mencionamos arriba). En este curso, estudiaremos solamente ecuaciones diferenciales de primer orden del tipo:

donde

es una funcin de dos variables.

Cuando se desea que la curva solucin pase por algn punto especfico, digamos , entonces se dice que se trata de una ecuacin diferencial con una condicin inicial dada. As, estudiaremos ecuaciones diferenciales de la forma condicin inicial . con la

Obviamente, la importancia de los mtodos numricos radica en la aparicin de ecuaciones diferenciales que no pueden resolverse por mtodos tradicionales, y de ah la necesidad de implementar algn mtodo de aproximacin. Veremos tres mtodos numricos: El mtodo de Euler. El mtodo de Euler mejorado. El mtodo de Runge-Kutta de orden 4. donde es un valor

En todos estos mtodos se busca aproximar el valor cercano a (el de la condicin inicial dada).

Comencemos con el primer mtodo que como siempre, no es el ms exacto, pero si el ms sencillo y simple de explicar, as como el que marca la pauta para desarrollar los otros mtodos.

MTODO DE EULER
La idea del mtodo de Euler es muy sencilla y est basada en el significado geomtrico de la derivada de una funcin en un punto dado. Supongamos que tuviramos la curva solucin de la ecuacin diferencial y trazamos la recta tangente a la curva en el punto dado por la condicin inicial.

Debido a que la recta tangente aproxima a la curva en valores cercanos al punto de tangencia, podemos tomar el valor de la recta tangente en el punto como una aproximacin al valor deseado .

As, calculemos la ecuacin de la recta tangente a la curva solucin de la ecuacin diferencial dada en el punto . De los cursos de Geometra Analtica, sabemos que la ecuacin de la recta es:

donde m es la pendiente. En este caso, sabemos que la pendiente de la recta tangente se calcula con la derivada:

Por lo tanto, la ecuacin de la recta tangente es :

Ahora bien, suponemos que dado como

es un punto cercano a

, y por lo tanto estar

. De esta forma, tenemos la siguiente aproximacin:

De aqu, tenemos nuestra frmula de aproximacin:

Esta aproximacin puede ser suficientemente buena, si el valor de h es realmente pequeo, digamos de una dcima menos. Pero si el valor de h es ms grande, entonces podemos cometer mucho error al aplicar dicha frmula. Una forma de reducir el error y obtener de hecho un mtodo iterativo, es dividir la distancia en n partes iguales (procurando que estas partes sean de longitud suficientemente pequea) y obtener entonces la aproximacin en n pasos, aplicando la frmula anterior n veces de un paso a otro, con la nueva h igual a . En una grfica, tenemos lo siguiente:

Ahora bien, sabemos que:

Para obtener toma el punto obtendremos que:

nicamente hay que pensar que ahora el papel de

lo

, y por lo tanto, si sustitumos los datos adecuadamente,

De aqu se ve claramente que la frmula recursiva general, est dada por:

Esta es la conocida frmula de Euler que se usa para aproximar el valor de aplicndola sucesivamente desde hasta en pasos de longitud h.

Ejemplo 1 Dada la siguiente ecuacin diferencial con la condicin inicial:

Aproximar

NOTA Primero observamos que esta ecuacin s puede resolverse por mtodos tradicionales de ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, podemos aplicar el mtodo de separacin de variables. Veamos las dos soluciones. Solucin Analtica.

Sustituyendo la condicin inicial:

Por lo tanto, tenemos que la curva solucin real est dada:

Y por lo tanto, el valor real que se pide es:

Solucin Numrica Aplicamos el mtodo de Euler y para ello, observamos que la distancia entre y no es lo suficientemente pequea. Si didimos esta distancia entre cinco obtenemos un valor de aproximacin deseada en cinco pasos. y por lo tanto, obtendremos la

De esta forma, tenemos los siguientes datos:

Sustituyendo estos datos en la formula de Euler, tenemos, en un primer paso:

Aplicando nuevamente la formula de Euler, tenemos, en un segundo paso:

Y as sucesivamente hasta obtener tabla: n 0 1 2 3 4 5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

. Resumimos los resultados en la siguiente

1 1 1.02 1.0608 1.12445 1.2144

Conclumos que el valor aproximado, usando el mtodo de Euler es:

Puesto que en este caso, conocemos el valor verdadero, podemos usarlo para calcular el error relativo porcentual que se cometi al aplicar la formula de Euler. Tenemos que:

Ejemplo 2 Aplicar el mtodo de Euler para aproximar

, dada la ecuacin diferencial.

Solucin Nuevamente vemos que nos conviene dividir en pasos la aproximacin. As, elegimos nuevamente para obtener el resultado final en tres pasos. Por lo tanto, aplicamos el mtodo de Euler con los siguientes datos:

En un primer paso, tenemos que:

Resumimos los resultados en la siguiente tabla: n 0 1 2 3 1 1.1 1.2 1.3 2 2.3 2.6855 3.1901

De lo cual, conclumos que la aproximacin buscada es:

MTODO DE EULER MEJORADO

Este mtodo se basa en la misma idea del mtodo anterior, pero hace un refinamiento en la aproximacin, tomando un promedio entre ciertas pendientes. La frmula es la siguiente:

donde

Para entender esta frmula, analicemos el primer paso de la aproximacin, con base en la siguiente grfica:

En la grfica, vemos que la pendiente promedio corresponde a la pendiente de la recta bisectriz de la recta tangente a la curva en el punto de la condicin inicial y la recta tangente a la curva en el punto , donde es la aproximacin obtenida con la primera frmula de Euler. Finalmente, esta recta bisectriz se traslada paralelamente hasta el punto de la condicin inicial, y se considera el valor de esta recta en el punto como la aproximacin de Euler mejorada. Ejemplo 1 Aplicar el mtodo de Euler mejorado, para aproximar

si:

Solucin Vemos que este es el mismo ejemplo 1 del mtodo anterior. As que definimos y encontraremos la aproximacin despus de cinco iteraciones. A diferencia del mtodo de Euler 1, en cada iteracin requerimos de dos clculos en vez de uno solo: el de primero y posteriormente el de . Para aclarar el mtodo veamos con detalle las primeras dos iteraciones. Primero que nada, aclaramos que tenemos los siguientes datos iniciales:

En nuestra primera iteracin tenemos:

Ntese que el valor de

coincide con el se usar

(Euler 1), y es el nico valor que va y no .

a coincidir, pues para calcular

Esto lo veremos claramente en la siguiente iteracin:

Ntese que ya no coinciden los valores de

(Euler 1) y el de

. El proceso

debe seguirse hasta la quinta iteracin. Resumimos los resultados en la siguiente tabla: n 0 1 2 3 4 5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 1 1.01 1.040704 1.093988 1.173192 1.28336

Conclumos entonces que la aproximacin obtenida con el mtodo de Euler mejorado es:

Con fines de comparacin, calculamos el error relativo verdadero:

Vemos que efectivamente se ha obtenido una mejor aproximacin con este mtodo, reduciendo el error relativo verdadero de un 5.4% hasta un 0.05%. En nuestro tercer mtodo veremos cmo se reduce an ms este error prcticamente a un 0%! Veamos un segundo ejemplo. Ejemplo 2 Aplicar el mtodo de Euler mejorado para aproximar y(1.3) si tenemos :

Solucin Tenemos los siguientes datos:

En una primera iteracin, tenemos lo siguiente:

Resumimos los resultados en la siguiente tabla: n 0 1 2 3 1 1.1 1.2 1.3 2 2.385 2.742925 3.07635

Conclumos entonces que la aproximacin buscada es:

Finalmente, veamos el tercero y ltimo mtodo que estudiaremos en este curso. Por simplicidad del curso, no veremos la justificacin formal de estas ltimas frmulas.

MTODO DE RUNGE KUTTA

Sin entrar en mucho detalle, mencionamos solamente que el mtodo de RungeKutta cambia la direccin en el sentido de que no sigue la misma lnea de los mtodos de Euler. De hecho est basado en una aplicacin de los polinomios de Taylor. Comentamos sin embargo, que el mtodo de Runge-Kutta si contiene como casos especiales los de Euler. Las frmulas

donde

Se conocen como las reglas o frmulas de Runge-Kutta de orden cuatro para la ecuacin diferencial:

Ejemplo 1 Usar el mtodo de Runge-Kutta para aproximar diferencial:

dada la siguiente ecuacin

Solucin Primero, identificamos el mismo ejemplo 1 de los dos mtodos anteriores. Segundo, procedemos con los mismos datos:

Para poder calcular el valor de , y

, debemos calcular primeros los valores de

. Tenemos entonces que:

Con el fin de un mayor entendimiento de las frmulas, veamos la siguiente iteracin:

El proceso debe repetirse hasta obtener siguiente tabla: n 0 1 2 3 4 5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

. Resumimos los resultados en la

1 1.01005 1.04081 1.09417 1.17351 1.28403

Conclumos que el valor obtenido con el mtodo de Runge-Kutta es:

Finalmente, calculamos el error relativo verdadero:

Con lo cual vemos que efectivamente se ha reducido muchsimo el error relativo. De hecho observamos que tenemos 6 cifras significativas en la aproximacin! Ejemplo 2 Usar el mtodo de Runge-Kutta para aproximar diferencial:

dada la ecuacin

Solucin Igual que siempre, tomamos y llegaremos a la aproximacin en dos pasos. Con esta aclaracin, tenemos los siguientes datos:

Primera Iteracin:

Segunda Iteracin:

Conclumos entonces que el valor buscado es:

EJERCICIOS
1. Dada la ecuacin diferencial:

Usa el mtodo de Euler para aproximar paso del proceso iterativo. Solucin: 2. Dada la ecuacin diferencial: .

tomando

en cada

Usa el mtodo de Euler para aproximar paso del proceso iterativo. Solucin: 3. Dada la ecuacin diferencial: .

tomando

en cada

Usa el mtodo de Euler mejorado para aproximar en cada paso del proceso iterativo. Solucin: 4. Dada la ecuacin diferencial:

tomando

Usa el mtodo de Euler mejorado para aproximar en cada paso del proceso iterativo. Solucin: 5. Dada la ecuacin diferencial:

tomando

Usa el mtodo de Runge-Kutta para aproximar cada paso del proceso iterativo. Solucin: 6. Dada la ecuacin diferencial:

tomando

en

Usa el mtodo de Runge-Kutta para aproximar en cada paso del proceso iterativo. Solucin:

tomando