Körpererweiterung

Sei ${\displaystyle L}$  ein Körper, und sei ${\displaystyle K}$  eine Teilmenge von ${\displaystyle L}$ , die 0 und 1 enthält (die jeweiligen neutralen Elemente der Verknüpfungen) und mit den auf ${\displaystyle K}$  eingeschränkten Verknüpfungen Addition und Multiplikation selbst ein Körper ist. In diesem Fall heißt ${\displaystyle K}$  Unterkörper (oder Teilkörper) von ${\displaystyle L}$  und ${\displaystyle L}$  heißt Oberkörper (oder Erweiterungskörper) von ${\displaystyle K}$ .

Eine Teilmenge ${\displaystyle K\subseteq L}$  ist genau dann ein Teilkörper von ${\displaystyle L}$ , wenn sie 0 und 1 enthält und bezüglich der vier Verknüpfungen Addition, Multiplikation, Negation (also Übergang von ${\displaystyle x}$  zu ${\displaystyle -x}$ ) und Kehrwertbildung (also Übergang von ${\displaystyle x}$  zu ${\displaystyle x^{-1}}$ ) abgeschlossen ist, d. h. die Verknüpfung von Elementen von ${\displaystyle K}$  liefert wieder ein Element von ${\displaystyle K}$ .

Die verbreitetste Schreibweise für Körpererweiterungen ist ${\displaystyle L/K}$  (nicht als Bruch, sondern nebeneinander mit Schrägstrich), manchmal findet man auch ${\displaystyle L\mid K}$ , seltener die Schreibweise ${\displaystyle L\colon K}$ . Einige Autoren schreiben auch lediglich ${\displaystyle L\supset K}$  und fügen in Worten an, dass es sich um eine Körpererweiterung handelt.

Die Schreibweise ${\displaystyle L/K}$  entspricht am ehesten der Sprechweise „L über K“, es besteht aber eine geringe Verwechslungsgefahr mit Faktorstrukturen wie Faktorgruppen oder Faktorräumen, die ebenfalls mit einem Schrägstrich geschrieben werden.

Etwas allgemeiner betrachtet man auch den folgenden Fall als Körpererweiterung: Es seien ${\displaystyle K_{1}}$ , ${\displaystyle K_{2}}$  und ${\displaystyle L}$  Körper, ${\displaystyle K_{2}}$  Teilkörper von ${\displaystyle L}$  und ${\displaystyle K_{1}}$  isomorph zu ${\displaystyle K_{2}}$ . Wenn es nicht zu Missverständnissen führt und der Isomorphismus aus dem Zusammenhang klar ist, kann man ${\displaystyle K_{1}}$  und ${\displaystyle K_{2}}$  identifizieren und so ${\displaystyle K_{1}}$  selbst als Teilkörper von ${\displaystyle L}$  auffassen.

Ein Körper ${\displaystyle M}$  heißt Zwischenkörper der Körpererweiterung ${\displaystyle L/K}$ , wenn ${\displaystyle M}$  ein Unterkörper von ${\displaystyle L}$  und ein Oberkörper von ${\displaystyle K}$  ist, also ${\displaystyle K\subseteq M\subseteq L}$  gilt.

Es sei im Folgenden stets ${\displaystyle L/K}$  eine Körpererweiterung.

Der Oberkörper ${\displaystyle L}$  ist ein Vektorraum über ${\displaystyle K}$ , wobei die Vektoraddition die Körper-Addition in ${\displaystyle L}$  ist und die Skalarmultiplikation die Körper-Multiplikation von Elementen aus ${\displaystyle L}$  mit Elementen aus ${\displaystyle K}$ . Die Dimension dieses Vektorraums wird Grad der Erweiterung genannt und ${\displaystyle [L\colon K]}$  geschrieben. Die Erweiterung heißt endlich oder unendlich, je nachdem ob der Grad endlich oder unendlich ist.

Ein Beispiel für eine endliche Körpererweiterung ist die Erweiterung ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }$  der reellen Zahlen zu den komplexen Zahlen. Der Grad ${\displaystyle [\mathbb {C} \colon \mathbb {R} ]}$  dieser Erweiterung ist 2, da ${\displaystyle \{1,i\}}$  eine ${\displaystyle \mathbb {R} }$ -Basis von ${\displaystyle \mathbb {C} }$  ist. Im Gegensatz dazu ist ${\displaystyle [\mathbb {R} \colon \mathbb {Q} ]=\infty }$  (genauer gleich der Mächtigkeit ${\displaystyle c}$  des Kontinuums), also ist diese Erweiterung unendlich.

Sind ${\displaystyle M/L}$  und ${\displaystyle L/K}$  Körpererweiterungen, dann ist auch ${\displaystyle M/K}$  eine Körpererweiterung, und es gilt der Gradsatz

${\displaystyle [M\colon K]=[M\colon L]\cdot [L\colon K]}$ .

Dies gilt auch im Falle unendlicher Erweiterungen (als Gleichung von Kardinalzahlen, oder alternativ mit den üblichen Rechenregeln für das Symbol unendlich). ${\displaystyle L/K}$  heißt dabei eine Teilerweiterung von ${\displaystyle M/K}$ .

Ein Element ${\displaystyle \ell }$  von ${\displaystyle L}$ , das Nullstelle eines Polynoms über ${\displaystyle K}$  ist, das nicht das Nullpolynom ist, heißt algebraisch über ${\displaystyle K}$ . Das normierte Polynom von kleinstem Grad mit dieser Nullstelleneigenschaft heißt Minimalpolynom von ${\displaystyle \ell }$ . Ist ein Element nicht algebraisch, dann heißt es transzendent. Der Fall ${\displaystyle L}$  = ${\displaystyle \mathbb {C} }$  und ${\displaystyle K}$  = ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  ist dabei besonders wichtig. Siehe dazu algebraische Zahl, transzendente Zahl.

Ist jedes Element von ${\displaystyle L}$  algebraisch über ${\displaystyle K}$ , dann heißt ${\displaystyle L/K}$  algebraische Erweiterung, andernfalls transzendente Erweiterung. Wenn jedes Element von ${\displaystyle L\setminus K}$  (also aus ${\displaystyle L}$  ohne ${\displaystyle K}$ ) transzendent ist, dann heißt die Erweiterung rein transzendent.

Man kann zeigen, dass eine Erweiterung genau dann algebraisch ist, wenn sie die Vereinigung aller ihrer endlichen Teilerweiterungen ist. Damit ist jede endliche Erweiterung algebraisch; zum Beispiel trifft dies für ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }$  zu. Die Körpererweiterung ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} }$  ist dagegen transzendent, wenn auch nicht rein transzendent. Es gibt aber auch unendliche algebraische Erweiterungen. Beispiele sind die algebraischen Abschlüsse für den Körper der rationalen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  und für die Restklassenkörper ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ .

Ist ${\displaystyle V}$  eine Teilmenge von ${\displaystyle L}$ , dann ist der Körper ${\displaystyle K(V)}$  („${\displaystyle K}$  adjungiert ${\displaystyle V}$ “) definiert als der kleinste Teilkörper von ${\displaystyle L}$ , der ${\displaystyle V}$  und K enthält; mit anderen Worten, der Durchschnitt aller ${\displaystyle V}$  und K enthaltenden Teilkörper von ${\displaystyle L}$ . ${\displaystyle K(V)}$  besteht aus allen Elementen von ${\displaystyle L}$ , die mit endlich vielen Verknüpfungen ${\displaystyle +,-,\cdot ,/}$  aus den Elementen von ${\displaystyle K}$  und ${\displaystyle V}$  rekursiv gebildet werden können. Ist ${\displaystyle L}$  = ${\displaystyle K(V)}$ , dann sagt man, ${\displaystyle L}$  wird von ${\displaystyle V}$  erzeugt.

Der Primkörper eines Körpers ${\displaystyle K}$  ist der Durchschnitt aller Unterkörper von ${\displaystyle K}$ . Als Primkörper bezeichnet man auch einen Körper ${\displaystyle K}$ , der keine echten Teilkörper hat, der also selbst sein eigener Primkörper ist.

Jeder Primkörper ist zum Körper ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  der rationalen Zahlen oder einem der Restklassenkörper ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$  isomorph (wobei ${\displaystyle p}$  eine Primzahl ist).

Falls der Primkörper von ${\displaystyle K}$  isomorph zu ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  ist, so sagt man, ${\displaystyle K}$  habe Charakteristik null. Ist der Primkörper von ${\displaystyle K}$  isomorph zu ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ , so sagt man, ${\displaystyle K}$  habe Charakteristik ${\displaystyle p}$ .

Eine Körpererweiterung ${\displaystyle K(a)/K}$ , die von einem einzelnen Element ${\displaystyle a}$  erzeugt wird, heißt einfach. Eine einfache Erweiterung ist endlich, wenn sie von einem algebraischen Element erzeugt wird, und rein transzendent, wenn sie von einem transzendenten Element erzeugt wird. Ist ${\displaystyle a}$  algebraisch, dann ist der Erweiterungsgrad ${\displaystyle [K(a):K]}$  gleich dem Grad ${\displaystyle n}$  des Minimalpolynoms von ${\displaystyle a}$ . Eine ${\displaystyle K}$ -Basis von ${\displaystyle K(a)}$  ist dann gegeben durch ${\displaystyle \{1,a,a^{2},\dotsc ,a^{n-1}\}}$ . Ist hingegen ${\displaystyle a}$  transzendent, so ist ${\displaystyle K(a)}$  isomorph zum rationalen Funktionenkörper ${\displaystyle K(X)}$ .

Zum Beispiel ist ${\displaystyle \mathbb {C} }$  eine einfache Erweiterung von ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , denn ${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} (i)}$  mit ${\displaystyle i^{2}=-1\,}$ . Die Erweiterung ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} }$  kann nicht einfach sein, da sie weder algebraisch noch rein transzendent ist. Jede endliche Erweiterung von ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  ist einfach.

Allgemeiner gilt: Jede endliche Erweiterung eines Körpers mit Charakteristik 0 ist eine einfache Erweiterung. Dies folgt aus dem Satz vom primitiven Element, welcher ein hinreichendes Kriterium für einfache Erweiterungen liefert.

Sei ${\displaystyle R}$  ein Hauptidealring und ${\displaystyle a\neq 0}$  ein beliebiges irreduzibles Element aus ${\displaystyle R}$ . Dann ist der Faktorring ${\displaystyle R/(a)}$  ein Körper, wobei ${\displaystyle (a)}$  das von ${\displaystyle a}$  erzeugte Hauptideal bezeichne. Diesen Satz kann man nutzen, um aus Körpern mithilfe ihres Polynomrings neue Oberkörper zu erzeugen und deren Struktur besser zu verstehen: Ist ${\displaystyle K}$  ein Körper und ${\displaystyle f(X)\in K[X]}$  ein irreduzibles Polynom des Polynomrings, so ist ${\displaystyle L:=K[X]/(f(X))}$  der zugehörige Oberkörper (und Faktorring zum Ideal ${\displaystyle (f(X))}$ ) . Dann hat ${\displaystyle f(X)}$  in ${\displaystyle L}$  als Nullstelle ${\displaystyle \alpha \equiv X\;({\text{mod}}\;f(X))}$ , also die Restklasse von ${\displaystyle X}$ : Setzt man für ${\displaystyle X}$  in ${\displaystyle f(X)}$  die Restklasse ${\displaystyle \alpha :=X+(f(X))}$  ein, so erhält man ${\displaystyle f(X)+(f(X))\equiv 0\;({\text{mod}}\;f(X))}$ , damit ist ${\displaystyle \alpha }$  die gesuchte Nullstelle in ${\displaystyle L}$ 

Allgemein kann man jeden endlichen Körper ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}}$  mit ${\displaystyle n>1}$  und ${\displaystyle p}$  prim aus dem endlichen Körper ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$  analog zur folgenden Konstruktion von ${\displaystyle \mathbb {F} _{4}}$  erzeugen.

Betrachte den Grundkörper ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$ . Dann ist das Polynom ${\displaystyle f(X)=X^{2}+X+1}$  irreduzibel in ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$ , denn es ist vom Grad 2 und hat keine Nullstelle, wie sich schnell und einfach überprüfen lässt: ${\displaystyle f(0)=f(1)=1}$ . ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}[X]/(X^{2}+X+1)}$  hat vier Elemente, denn Division mit Rest zeigt, dass jede Restklasse einen eindeutigen Vertreter in ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}[X]}$  vom Grad ${\displaystyle \leq 1}$  hat. Davon gibt es vier: ${\displaystyle {0,1,X,1+X}}$ . Da man aus obigem Satz weiß, dass ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}[X]/(X^{2}+X+1)}$  ein Körper ist und es nur einen Körper mit vier Elementen gibt, gilt ${\displaystyle \mathbb {F} _{4}\simeq \mathbb {F} _{2}[X]/(X^{2}+X+1)}$ .

${\displaystyle X^{2}}$  ist keine neue Äquivalenzklasse, denn es gilt ${\displaystyle X^{2}+X+1\equiv 0\mod f(X)}$ , und da dieser Körper Charakteristik 2 hat, ist jedes Element sein eigenes additives Inverses (Mit ${\displaystyle 2a=0}$  folgt durch Subtraktion von ${\displaystyle a}$  auf jeder Seite, dass ${\displaystyle a=-a}$ ), also ist ${\displaystyle -(X+1)=(X+1)}$ . Damit ergibt sich durch Addieren von ${\displaystyle f(X)}$  die Kongruenz ${\displaystyle X^{2}\equiv X+1\;({\text{mod}}\;f(X))}$ . Die Multiplikation in ${\displaystyle \mathbb {F} _{4}}$  wird als Multiplikation der Restklassen von ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}/(X^{2}+X+1)}$  geerbt.

Beispiel: ${\displaystyle X\cdot (X+1)=X^{2}+X=(X+1)+X=2X+1=0X+1=1}$ . Damit gilt also in ${\displaystyle \mathbb {F} _{4}}$ :${\displaystyle {\frac {1}{X}}=X+1}$ 

Man kann aber nicht nur endliche Oberkörper definieren, sondern auch unendliche. Hierbei betrachtet man den Grundkörper ${\displaystyle \mathbb {R} }$  der reellen Zahlen. Man benötigt wieder ein irreduzibles Polynom. Das wohl bekannteste nicht lineare Beispiel dafür ist ${\displaystyle f(X)=X^{2}+1}$ . In ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)}$  haben wir jetzt unendlich viele Restklassen. Wenn man diesen Faktorring als ${\displaystyle \mathbb {R} }$ -Vektorraum betrachtet, so kann man eine Basis mit zwei Elementen ${\displaystyle \{1,X\}}$  finden. Definiert man nun ${\displaystyle i:=X}$ , so erhält man einen 2-dimensionalen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ -Vektorraum, nämlich ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , den Körper der komplexen Zahlen.

Mit obigem Satz kommt man also zum Schluss, dass ${\displaystyle \mathbb {C} \simeq \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)}$ .

Hierbei kann man auch über den Homomorphiesatz gehen: Definiere die surjektive Abbildung ${\displaystyle f:\;\mathbb {R} [X]\twoheadrightarrow \mathbb {C} ;\;X\mapsto i}$  (für ${\displaystyle a+bi}$  ist ${\displaystyle a+bX}$  ein Urbild). Dann ist ${\displaystyle {\text{ker}}(f)=(X^{2}+1)}$ , da ${\displaystyle X^{2}+1}$  das kleinste Polynom ist, das ${\displaystyle i}$  als Nullstelle hat. Nach dem Homomorphiesatz gilt also auch hier, dass ${\displaystyle \mathbb {C} \simeq \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)}$ .

Sind ${\displaystyle K_{1}}$  und ${\displaystyle K_{2}}$  Teilkörper von ${\displaystyle L}$ , dann heißt der kleinste gemeinsame Oberkörper ${\displaystyle K_{1}\left(K_{2}\right)=K_{2}\left(K_{1}\right)}$  das Kompositum von ${\displaystyle K_{1}}$  und ${\displaystyle K_{2}}$ .

Sind ${\displaystyle K_{1}}$  und ${\displaystyle K_{2}}$  beides endlich erweiterte Oberkörper von ${\displaystyle K}$ , dann ist auch ${\displaystyle K_{1}\left(K_{2}\right)/K}$  endlich.

Der Zerfällungskörper eines Polynoms ist eine spezielle Körpererweiterung.

${\displaystyle K}$  sei weiterhin ein Körper, ${\displaystyle p\in K[X]}$  ein nicht konstantes Polynom über ${\displaystyle K}$ . ${\displaystyle L/K}$  ist ein Zerfällungskörper von ${\displaystyle p}$ , wenn alle Nullstellen von ${\displaystyle p}$  in ${\displaystyle L}$  liegen und ${\displaystyle L}$  diesbezüglich minimal ist. Man sagt auch, dass ${\displaystyle L}$  durch Adjunktion aller Wurzeln von ${\displaystyle p}$  an ${\displaystyle K}$  entsteht. Dieser Körper heißt Zerfällungskörper, da ${\displaystyle p}$  über ${\displaystyle L}$  in Linearfaktoren zerfällt. Jedes nicht konstante Polynom besitzt einen bis auf Isomorphie eindeutigen Zerfällungskörper.

Zum Beispiel hat ${\displaystyle X^{3}-2\in \mathbb {Q} [X]}$  den Zerfällungskörper ${\displaystyle \mathbb {Q} \left({\sqrt[{3}]{2}},e^{\frac {2\pi i}{3}}\right).}$ 

Allgemeiner definiert man den Zerfällungskörper bezüglich einer Menge von Polynomen: Dieser enthält alle Nullstellen aller Polynome dieser Menge und entsteht durch Adjunktion aller dieser Nullstellen an ${\displaystyle K}$ . Auch in diesem Fall kann man die Existenz eines bis auf Isomorphie eindeutigen Zerfällungskörpers beweisen. Nimmt man die Menge aller Polynome über ${\displaystyle K}$ , so erhält man den algebraischen Abschluss.

${\displaystyle L/K}$  heißt normale Erweiterung, wenn alle Minimalpolynome über ${\displaystyle K}$  von Elementen aus ${\displaystyle L}$  in ${\displaystyle L}$  vollständig in Linearfaktoren zerfallen. Ist ${\displaystyle a}$  in ${\displaystyle L}$  und ${\displaystyle f}$  sein Minimalpolynom über ${\displaystyle K}$ , dann heißen die Nullstellen von ${\displaystyle f}$  in ${\displaystyle L}$  die algebraisch Konjugierten von ${\displaystyle a}$ . Sie sind genau die Bilder von ${\displaystyle a}$  unter ${\displaystyle K}$ -Automorphismen von ${\displaystyle L}$ .

Eine Körpererweiterung ist genau dann normal, wenn sie Zerfällungskörper einer Familie von Polynomen mit Koeffizienten aus dem Grundkörper ist.

Ist ${\displaystyle L}$  nicht normal über ${\displaystyle K}$ , dann gibt es jedoch einen Oberkörper von ${\displaystyle L}$ , der normal über ${\displaystyle K}$  ist. Der kleinste solche heißt die normale Hülle von ${\displaystyle L/K}$ .

Ein Beispiel für eine nicht normale Körpererweiterung ist ${\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$  : Das Minimalpolynom des erzeugenden Elements ist ${\displaystyle X^{3}-2}$  und hat komplexe, also nicht in ${\displaystyle L}$  liegende, Nullstellen: ${\displaystyle \{{\sqrt[{3}]{2}},\zeta _{3}{\sqrt[{3}]{2}},\zeta _{3}^{2}{\sqrt[{3}]{2}}\}}$ . Hierbei bezeichne ${\displaystyle \zeta _{3}}$  die dritte Einheitswurzel. Weitere Einzelheiten zu diesem Beispiel findet man im Artikel Galoisgruppe, Abschnitt Galoisgruppe eines kubischen Polynoms.

Ein Polynom ${\displaystyle f}$  über ${\displaystyle K}$  heißt separabel, wenn es in seinem Zerfällungskörper nur einfache Nullstellen hat. Es ist genau dann separabel, wenn es teilerfremd zu seiner formalen Ableitung ${\displaystyle f'}$  ist. Ist ${\displaystyle f}$  irreduzibel, dann ist es genau dann separabel, wenn ${\displaystyle f'}$  nicht das Nullpolynom ist.

Es gibt aber auch eine abweichende Definition, der zufolge ein Polynom separabel heißt, wenn jeder seiner irreduziblen Teiler im obigen Sinn separabel ist. Für irreduzible Polynome und damit insbesondere für Minimalpolynome stimmen beide Definitionen überein, für reduzible Polynome unterscheiden sie sich jedoch.

Ein über ${\displaystyle K}$  algebraisches Element von ${\displaystyle L}$  heißt separabel über ${\displaystyle K}$ , wenn sein Minimalpolynom über ${\displaystyle K}$  separabel ist. Eine algebraische Erweiterung ${\displaystyle L/K}$  heißt separable Erweiterung, wenn alle Elemente von ${\displaystyle L}$  separabel über ${\displaystyle K}$  sind.

Ein Beispiel für eine inseparable Körpererweiterung ist ${\displaystyle L=\mathbb {F} _{p}(X),\ K=\mathbb {F} _{p}(X^{p})\subset L}$ , denn das Minimalpolynom ${\displaystyle T^{p}-X^{p}\in K[T]}$  des Erzeugers ${\displaystyle X}$  zerfällt über ${\displaystyle L}$  in ${\displaystyle (T-X)^{p}}$  und hat somit ${\displaystyle X}$  als p-fache Nullstelle.

Jedoch ist jede algebraische Erweiterung eines Körpers der Charakteristik 0 separabel.

Es sei ${\displaystyle C}$  ein algebraischer Abschluss von ${\displaystyle K}$ . Für eine algebraische Erweiterung ${\displaystyle L/K}$  ist der Separabilitätsgrad definiert als ${\displaystyle [L:K]_{s}:=\left|\operatorname {Hom} (L/K,C/K)\right|}$ , die Anzahl der ${\displaystyle K}$ -Homomorphismen von ${\displaystyle L}$  nach ${\displaystyle C}$ . Für ${\displaystyle L=K(a)}$  und ein Minimalpolynom ${\displaystyle f}$  von ${\displaystyle a}$  über ${\displaystyle K}$  ist ${\displaystyle [L:K]_{s}}$  die Anzahl der verschiedenen Nullstellen von ${\displaystyle f}$  im algebraischen Abschluss von ${\displaystyle K}$ . Für einen Turm algebraischer Körpererweiterungen ${\displaystyle M/L/K}$  gilt die Produktformel ${\displaystyle [M:K]_{s}=[M:L]_{s}\cdot [L:K]_{s}}$ .

Für viele Körper ${\displaystyle K}$ , über denen Körpererweiterungen untersucht werden, sind irreduzible Polynome immer separabel und man muss sich bei diesen Körpern nicht um die Bedingung der Separabilität kümmern. Man nennt diese Körper vollkommen oder perfekt.

Etwas formaler kann ein vollkommener Körper durch eine der folgenden gleichwertigen Eigenschaften des Körpers ${\displaystyle K}$  bzw. des Polynomrings ${\displaystyle K[X]}$  charakterisiert werden:

1. Jedes irreduzible Polynom in ${\displaystyle K[X]}$  ist separabel.
2. Jeder algebraische Abschluss ${\displaystyle {\overline {K}}}$  von ${\displaystyle K}$  ist eine Galoiserweiterung (im weiteren Sinn, der im Artikel Galoisgruppe erläutert wird: auch unendlichdimensionale Erweiterungen können Galoiserweiterungen sein) von ${\displaystyle K}$ .
3. Jede algebraische Körpererweiterung von ${\displaystyle K}$  ist separabel über ${\displaystyle K}$  (und ist überdies auch wieder vollkommen).
4. Der Körper ${\displaystyle K}$  hat entweder die Charakteristik 0 oder er hat Primzahlcharakteristik ${\displaystyle p}$  und es gilt ${\displaystyle K=K^{p}}$ , d. h., der Frobeniusendomorphismus ist bijektiv.
5. Der Körper ${\displaystyle K}$  hat entweder die Charakteristik 0 oder er hat Primzahlcharakteristik ${\displaystyle p}$  und jedes Element aus ${\displaystyle K}$  hat eine ${\displaystyle p}$ -te Wurzel.

Insbesondere sind Körper der Charakteristik 0, endliche Körper und algebraisch abgeschlossene Körper vollkommen. Ein Beispiel für einen nicht vollkommenen Körper ist ${\displaystyle L=\mathbb {F} _{p}(X)}$  – dort hat das Körperelement ${\displaystyle X}$  keine ${\displaystyle p}$ -te Wurzel.

Die Gruppe ${\displaystyle \operatorname {Aut} (L)}$  aller Automorphismen von ${\displaystyle L}$  nennt man die Automorphismengruppe von ${\displaystyle L}$  .

Für jeden Automorphismus ${\displaystyle \sigma \in \operatorname {Aut} (L)}$  definiert man den Fixkörper ${\displaystyle \operatorname {Fix} (\sigma ):=L^{\sigma }:=\{x\in L:\sigma (x)=x\}}$  aller Elemente von ${\displaystyle L}$ , die von ${\displaystyle \sigma }$  festgehalten werden. Man rechnet leicht nach, dass das ein Teilkörper von ${\displaystyle L}$  ist. Der Fixkörper ${\displaystyle \operatorname {Fix} \left(G\right)}$  (auch geschrieben als ${\displaystyle L^{G}}$ ) einer ganzen Gruppe ${\displaystyle G}$  von Automorphismen in ${\displaystyle L}$  ist definiert durch:

${\displaystyle \operatorname {Fix} (G):=L^{G}:=\bigcap _{\sigma \in G}\operatorname {Fix} (\sigma )}$ 

Die Automorphismen von ${\displaystyle L}$ , die mindestens ${\displaystyle K}$  punktweise fest lassen, bilden eine Untergruppe von ${\displaystyle \operatorname {Aut} (L)}$ , die Gruppe der ${\displaystyle K}$ -Automorphismen von ${\displaystyle L}$ , die mit ${\displaystyle \operatorname {Aut} (L/K)}$  oder auch ${\displaystyle \operatorname {Aut} _{K}(L)}$  bezeichnet wird.

Ist die Erweiterung ${\displaystyle L/K}$  algebraisch, normal und separabel, dann heißt die Erweiterung galoissch ([ɡaloaːʃ], nach Évariste Galois). Eine algebraische Erweiterung ist genau dann galoissch, wenn der Fixkörper ${\displaystyle \operatorname {Fix} (\operatorname {Aut} (L/K))}$  der ${\displaystyle K}$ -Automorphismengruppe gleich ${\displaystyle K}$  ist.

Man nennt ${\displaystyle \operatorname {Aut} (L/K)}$  in diesem Fall die Galois-Gruppe der Erweiterung und schreibt sie als ${\displaystyle \operatorname {G} (L/K),\operatorname {G} _{L/K}}$ , oder ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$ . Abweichend von der im vorliegenden Artikel benutzten Sprachregelung wird im Artikel „Galois-Gruppe“ die Gruppe ${\displaystyle \operatorname {Aut} (L/K)}$  stets als Galois-Gruppe bezeichnet, auch wenn die Erweiterung ${\displaystyle L/K}$  nicht galoissch ist.

Ist die Galois-Gruppe einer Galois-Erweiterung abelsch, dann heißt diese abelsche Erweiterung, ist sie zyklisch, dann heißt die Erweiterung zyklisch. Zum Beispiel ist ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }$  abelsch und zyklisch, denn ihre Galois-Gruppe ist zweielementig und besteht aus der Identität und der komplexen Konjugation.

Der Körper der reellen Zahlen ist – wie allgemeiner jeder reell abgeschlossene oder auch nur euklidische Körper – über keinem seiner echten Teilkörper galoissch, weil durch die dort einzig mögliche Körperanordnung die identische Abbildung der einzig mögliche Körperautomorphismus ist.

• ${\displaystyle \mathbb {Q} \left({\sqrt {2}}\right)/\mathbb {Q} }$  ist eine Galois-Erweiterung. Die Automorphismengruppe besteht genau aus der Identität und dem Automorphismus, der ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  konstant lässt, aber ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$  und ${\displaystyle -{\sqrt {2}}}$  vertauscht. Der Fixkörper davon ist ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ .
• ${\displaystyle \mathbb {Q} \left({\sqrt[{3}]{2}}\right)/\mathbb {Q} }$  ist keine Galois-Erweiterung, denn die Automorphismengruppe ${\displaystyle A}$  besteht nur aus der Identität. Ein Automorphismus auf dieser Erweiterung, der ${\displaystyle \ {\sqrt[{3}]{2}}\ }$  nicht fix lässt, müsste ${\displaystyle \ {\sqrt[{3}]{2}}\ }$  auf eine andere dritte Wurzel aus 2 abbilden, jedoch enthält ${\displaystyle \mathbb {Q} \left({\sqrt[{3}]{2}}\right)}$  keine weiteren dritten Wurzeln aus 2. Da es sich um keine Galois-Erweiterung handelt, heißt sie auch weder abelsch noch zyklisch, obwohl die Gruppe ${\displaystyle A}$  (als triviale Gruppe) natürlich zyklisch und abelsch ist.
• Ein algebraischer Abschluss ${\displaystyle {\bar {K}}}$  eines beliebigen Körpers ${\displaystyle K}$  ist genau dann galoissch über ${\displaystyle K}$ , wenn ${\displaystyle K}$  ein vollkommener Körper ist.

Die klassischen Probleme der antiken Mathematik, bei denen es um die Konstruierbarkeit einer bestimmten Zahl (als Streckenlänge) allein mit Zirkel und Lineal aus rationalen Zahlen geht, konnten mit der Galoistheorie in gruppentheoretische Fragen umformuliert werden. Mit dem Grundgedanken von René Descartes, dass die Punkte auf Geraden (Lineal) und Kreisen (Zirkel) durch analytische Gleichungen darstellbar sind, lässt sich zeigen, dass die konstruierbaren Zahlen (Koordinaten von endlichen Schnittmengen von zwei dieser Figuren in der rationalen Zahlenebene bzw. auf der Basis bereits konstruierter Zahlen) genau die folgenden sind:

• Die rationalen Zahlen,
• die Quadratwurzeln aus konstruierbaren Zahlen,
• Summe, Differenz und Produkt von zwei konstruierbaren Zahlen,
• der Kehrwert jeder von 0 verschiedenen konstruierbaren Zahl.

Damit kann man zeigen, dass jede konstruierbare reelle Zahl

1. algebraisch und
2. vom Grad einer Zweierpotenz ${\displaystyle 2^{n}}$  über dem Körper ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  der rationalen Zahlen ist.

Dies bedeutet, dass für eine konstruierbare Zahl ${\displaystyle c}$  die Körpererweiterung ${\displaystyle \mathbb {Q} (c)/\mathbb {Q} }$  eine endliche, algebraische Erweiterung vom Grad ${\displaystyle 2^{n}}$  (${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ) sein muss. Dies ist noch keine hinreichende Bedingung, genügt aber in den klassischen Fragen für einen Unmöglichkeitsbeweis.

1. Quadratur des Kreises: Unmöglich, da die Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$  nicht algebraisch ist.
2. Verdoppelung des Würfels: Unmöglich: Im Verhältnis zum konstruierten Ausgangswürfel (etwa ein Würfel mit der Kantenlänge 1) hätte der neue Würfel die Kantenlänge ${\displaystyle \alpha ={\sqrt[{3}]{2}}}$ . Die Körpererweiterung ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )/\mathbb {Q} }$  hat den Grad 3 – keine Zweierpotenz.
3. Dreiteilung des Winkels: Ein Winkel mit dem Gradmaß 60° kann mit Zirkel und Lineal nicht in drei gleiche Teile geteilt werden. Wäre dieser Winkel – also 20° – konstruierbar, dann könnte man auch die reelle Zahl ${\displaystyle \xi =\cos 20^{\circ }}$  konstruieren. Für jeden Winkel ${\displaystyle \alpha }$  gilt das Additionstheorem ${\displaystyle \cos(3\alpha )=4(\cos(\alpha ))^{3}-3\cos(\alpha )}$ . Also löst unsere Zahl ${\displaystyle \xi }$  die Gleichung ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}=4x^{3}-3x}$  und ist daher eine Nullstelle von ${\displaystyle 8x^{3}-6x-1}$ . Da dieses Polynom über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  irreduzibel ist, hat ${\displaystyle \xi }$  über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  den Grad 3.

→ Im Artikel Euklidischer Körper wird dargestellt, wie eine Körpererweiterung von ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  beschaffen sein muss, damit genau die mit Zirkel und Lineal konstruierbaren Zahlen im Erweiterungskörper vorhanden sind.

• Thomas W. Hungerford: Algebra (Graduate Texts in Mathematics; Bd. 73). 5. Aufl. Springer-Verlag, New York 1989, ISBN 0-387-90518-9 (englisch)
• Siegfried Bosch: Algebra. 7. Aufl. Springer-Verlag, Berlin 2009, ISBN 3-540-40388-4