Faktorring

Ist ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$  ein Ring und ${\displaystyle I}$  ein (beidseitiges) Ideal von ${\displaystyle R}$ , dann bildet die Menge ${\displaystyle R/I=\left\{a+I\mid a\in R\right\}}$  der Äquivalenzklassen modulo ${\displaystyle I}$  mit folgenden Verknüpfungen einen Ring:

• ${\displaystyle (a+I)+(b+I):=(a+b)+I}$ 
• ${\displaystyle (a+I)\cdot (b+I):=a\cdot b+I,}$ 

wobei ${\displaystyle (a+I)}$  definiert ist als ${\displaystyle \{a+r\,|\,r\in I\}}$ .

Diesen Ring nennt man den Faktorring ${\displaystyle R}$  modulo ${\displaystyle I}$  oder Restklassenring oder Quotientenring. (Er hat jedoch nichts mit den Begriffen Quotientenkörper bzw. Totalquotientenring zu tun; diese sind Lokalisierungen.)

• Die Menge ${\displaystyle n\mathbb {Z} }$  aller ganzzahligen Vielfachen von ${\displaystyle n}$  ist ein Ideal in ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ , und der Faktorring ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$  ist der Restklassenring modulo ${\displaystyle n}$ .

• Ist ${\displaystyle f\in R[X]}$  ein Polynom über einem kommutativen unitärem Ring ${\displaystyle R}$ , dann ist die Menge ${\displaystyle R[X]\cdot f=(f)}$  aller Polynom-Vielfachen von ${\displaystyle f}$  ein Ideal im Polynomring ${\displaystyle R[X]}$ , und ${\displaystyle R[X]/(f)=\left\{g+(f)\mid g\in R[X]\right\}}$  ist der Faktorring ${\displaystyle R[X]}$  modulo ${\displaystyle f}$ .

• Betrachten wir das Polynom ${\displaystyle f=X^{2}+1}$  über dem Körper ${\displaystyle \mathbb {R} }$  der reellen Zahlen, so ist der Faktorring ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(f)}$  isomorph zum Körper der komplexen Zahlen; die Äquivalenzklasse von ${\displaystyle X}$  entspricht dabei der imaginären Einheit ${\displaystyle \mathrm {i} }$ .

Rechenbeispiele:

Das Polynom ${\displaystyle X^{2}}$  liegt wegen ${\displaystyle X^{2}=f-1}$  in derselben Äquivalenzklasse modulo ${\displaystyle f}$  wie ${\displaystyle -1}$ .

Für das Produkt ${\displaystyle [X+1]\cdot [X+2]}$  ermitteln wir ${\displaystyle [X+1]\cdot [X+2]=[(X+1)\cdot (X+2)]=[X^{2}+3X+2]=[3X+1]}$ 

• Man erhält alle endlichen Körper als Faktorringe der Polynomringe über den Restklassenkörpern ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$  mit ${\displaystyle p}$  Primzahl.

• Ist ${\displaystyle R}$  ein kommutativer Ring mit Einselement, so ist ein Ideal ${\displaystyle I}$  genau dann ein Primideal, wenn ${\displaystyle R/I}$  ein Integritätsring ist.
• Ist ${\displaystyle R}$  ein kommutativer Ring mit Einselement, so ist ein Ideal ${\displaystyle I}$  genau dann ein maximales Ideal, wenn ${\displaystyle R/I}$  ein Körper ist.
• Ist ${\displaystyle K}$  ein Körper und ${\displaystyle f}$  ein irreduzibles Polynom über ${\displaystyle K}$ , dann ist ${\displaystyle (f)}$  ein maximales Ideal in ${\displaystyle K[X]}$  und deshalb ist ${\displaystyle L\colon =K[X]/(f)}$  ein Körper. Dieser Körper ist ein Oberkörper von ${\displaystyle K}$ , in dem ${\displaystyle f}$  eine Nullstelle hat (die Restklasse von ${\displaystyle X}$ ). Die Körpererweiterung ${\displaystyle L/K}$  ist endlich und algebraisch, ihr Grad stimmt mit dem Grad von ${\displaystyle f}$  überein. Wiederholt man das Verfahren mit den über ${\displaystyle L}$  nicht-linearen irreduziblen Teilern von ${\displaystyle f}$ , so erhält man schließlich einen Körper, in dem ${\displaystyle f}$  in Linearfaktoren zerfällt: Den Zerfällungskörper von ${\displaystyle f}$ .

Sei ${\displaystyle R}$  ein kommutativer Ring mit Einselement und ${\displaystyle I\subseteq R}$  ein Ideal. Dann sind

• die Ideale des Rings ${\displaystyle R/I}$  genau die Ideale ${\displaystyle J}$  von ${\displaystyle R}$ , die ${\displaystyle I}$  enthalten (also ${\displaystyle I\subseteq J}$  )
• die Primideale des Rings ${\displaystyle R/I}$  genau die Primideale von ${\displaystyle R}$ , die ${\displaystyle I}$  enthalten
• die Maximalideale des Rings ${\displaystyle R/I}$  genau die Maximalideale von ${\displaystyle R}$ , die ${\displaystyle I}$  enthalten

Der Begriff ist zu unterscheiden vom faktoriellen Ring, in dem die eindeutige Primfaktorzerlegung existiert.

• Kurt Meyberg, Algebra I, Carl Hanser Verlag (1980), ISBN 3-446-13079-9, Kapitel 3: "Ringe"