Faktorraum

Es sei ${\displaystyle V}$  ein Vektorraum über einem Körper ${\displaystyle K}$  und ${\displaystyle U}$  ein Untervektorraum von ${\displaystyle V}$ . Durch die Festsetzung

${\displaystyle v_{1}\sim v_{2}\;:\!\iff v_{1}-v_{2}\in U}$  für ${\displaystyle v_{1},v_{2}\in V}$ 

wird auf ${\displaystyle V}$  eine Äquivalenzrelation definiert.

Die Vektoren ${\displaystyle v_{1}}$  und ${\displaystyle v_{2}}$  sind also äquivalent, wenn sie sich um einen Vektor aus ${\displaystyle U}$  unterscheiden. Anders gesagt: Wenn die Gerade durch die Punkte ${\displaystyle v_{1}}$  und ${\displaystyle v_{2}}$  parallel zu ${\displaystyle U}$  ist, sind ${\displaystyle v_{1}}$  und ${\displaystyle v_{2}}$  äquivalent.

Die Äquivalenzklasse eines Vektors ${\displaystyle v}$  ist

${\displaystyle [v]:=v+U:=\{v+u\mid u\in U\}}$ ,

anschaulich der zu ${\displaystyle U}$  „parallele“ affine Unterraum durch ${\displaystyle v}$ . Die Äquivalenzklassen werden auch als Nebenklassen bezeichnet (dieser Begriff stammt aus der Gruppentheorie).

Der Quotientenvektorraum von ${\displaystyle V}$  nach ${\displaystyle U}$  ist die Menge aller Äquivalenzklassen und wird mit ${\displaystyle V/U}$  bezeichnet:

${\displaystyle V/U:=\{[v]\mid v\in V\}}$ .

Er bildet einen Vektorraum, wenn die Vektorraumoperationen vertreterweise definiert werden:

• ${\displaystyle [v_{1}]+[v_{2}]=[v_{1}+v_{2}]}$ 
• ${\displaystyle \lambda \cdot [v]=[\lambda v]}$ 

für ${\displaystyle v,v_{1},v_{2}\in V}$  und ${\displaystyle \lambda \in K}$ .

Diese Operationen sind wohldefiniert, also von der Wahl der Vertreter unabhängig.

• Es gibt eine kanonische surjektive lineare Abbildung

${\displaystyle \pi \colon \;V\to V/U,\;v\mapsto [v]}$ .

• Ist ${\displaystyle W}$  ein Komplement von ${\displaystyle U}$  in ${\displaystyle V}$ , d. h. ist ${\displaystyle V}$  die direkte Summe von ${\displaystyle U}$  und ${\displaystyle W}$ , so ist die Einschränkung von ${\displaystyle \pi }$  auf ${\displaystyle W}$  ein Isomorphismus. Es gibt aber keine kanonische Möglichkeit, ${\displaystyle V/U}$  als Unterraum von ${\displaystyle V}$  aufzufassen.

• Ist ${\displaystyle V}$  endlichdimensional, dann ergibt sich daraus die folgende Beziehung für die Dimensionen:

${\displaystyle \dim U+\dim V/U=\dim V}$ 

• Der Dualraum von ${\displaystyle V/U}$  kann mit denjenigen Linearformen auf ${\displaystyle V}$  identifiziert werden, die auf ${\displaystyle U}$  identisch ${\displaystyle 0}$  sind.

• Der Homomorphiesatz besagt, dass eine lineare Abbildung ${\displaystyle f\colon \;V\to W}$  einen Isomorphismus

${\displaystyle V/(\ker f)\to \mathrm {im} \,f}$ 

zwischen dem Quotientenraum von ${\displaystyle V}$  nach dem Kern von ${\displaystyle f}$  und dem Bild von ${\displaystyle f}$  induziert, d. h. die Verkettung

${\displaystyle V\longrightarrow V/(\ker f)\longrightarrow \mathrm {im} \,f\longrightarrow W}$ 

ist gleich ${\displaystyle f}$ .

Viele normierte Räume entstehen auf die folgende Weise: Sei ${\displaystyle V}$  ein reeller oder komplexer Vektorraum und sei ${\displaystyle p}$  eine Halbnorm auf ${\displaystyle V}$ . Dann ist ${\displaystyle U=\{v\in V\mid p(v)=0\}}$  ein Untervektorraum von ${\displaystyle V}$ . Der Quotientenraum ${\displaystyle V/U}$  wird dann mit der Norm ${\displaystyle [v]\mapsto p(v)}$  ein normierter Vektorraum.

Allgemeiner: Sei ${\displaystyle V}$  ein topologischer Vektorraum, der nicht hausdorffsch ist. Dann lässt sich analog zu oben ein Unterraum definieren: ${\displaystyle U=\{v\in V\mid {\text{Jede }}0{\text{-Umgebung enthält }}v\}={\overline {\{0\}}}}$ . Der Quotientenraum ${\displaystyle V/U}$  wird mit der Quotiententopologie ein hausdorffscher topologischer Vektorraum.

Die ${\displaystyle L^{p}}$ -Räume und damit auch die Sobolew-Räume sind Quotientenvektorräume.

Gegeben sei der Vektorraum ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{2}}$  und der eindimensionale Untervektorraum ${\displaystyle U=\left\{\left.{\bigl (}{\begin{smallmatrix}x\\x\end{smallmatrix}}{\bigr )}\right|x\in \mathbb {R} \right\}}$ . Dann ist zum Beispiel

${\displaystyle {\bigl (}{\begin{smallmatrix}42\\12\end{smallmatrix}}{\bigr )}+U:=\left\{\left.{\bigl (}{\begin{smallmatrix}42\\12\end{smallmatrix}}{\bigr )}+u\,\right|u\in U\right\}}$ 

eine Äquivalenzklasse des Quotientenraumes ${\displaystyle V/U}$ .

Anschaulich ist jede Gerade, die parallel zur winkelhalbierenden Gerade des 1. Quadranten ist, eine Äquivalenzklasse:

• Quotientenabbildung
• Quotientenmodul

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-97217-3.
• Klaus Jänich: Lineare Algebra. Springer-Lehrbuch, ISBN 3-540-66888-8.