Formale Ableitung

Sei ${\displaystyle R}$  ein Ring und ${\displaystyle R[X]}$  bezeichne den Polynomring über ${\displaystyle R}$  in einer Unbestimmten ${\displaystyle X}$ . Für ein Polynom

${\displaystyle f=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\in R[X]}$ 

ist die formale Ableitung ${\displaystyle f'\in R[X]}$  definiert als

${\displaystyle f'=\sum _{i=1}^{n}ia_{i}X^{i-1}}$ .

• Für die formale Ableitung gelten die bekannten Rechenregeln der Differentialrechnung. Insbesondere gilt

${\displaystyle (af+bg)'=af'+bg'}$  sowie

${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'}$ 

für alle ${\displaystyle f,g\in R[X]}$  und alle ${\displaystyle a,b\in R}$ . Das heißt, die Abbildung

${\displaystyle D\colon R[X]\to R[X],\quad f\mapsto f'}$ 

ist eine Derivation von ${\displaystyle R[X]}$ .

• Liegt ${\displaystyle f}$  in Linearfaktoren vor, das heißt ${\displaystyle \textstyle f=\prod _{i=1}^{n}(X-r_{i})}$ , wobei ${\displaystyle r_{i}\in R}$  die Nullstellen von ${\displaystyle f}$  sind, so gilt für die Ableitung

${\displaystyle f'=\sum _{i=1}^{n}\prod _{j=1 \atop j\neq i}^{n}(X-r_{j})}$ .

Ist ${\displaystyle K}$  ein Körper, so ist ${\displaystyle K[X]}$  ein euklidischer Ring (insbesondere faktoriell), wobei ${\displaystyle \deg(f)=\max\{i\ |\ a_{i}\neq 0\}}$  als euklidische Norm dient, wenn ${\displaystyle a_{i}}$  die Koeffizienten von ${\displaystyle f}$  bezeichnet. Die Nullstellen des ggT von ${\displaystyle f}$  und ${\displaystyle f'}$  sind gerade die Mehrfachnullstellen von ${\displaystyle f}$  mit einer um 1 erniedrigten Ordnung, wie folgende Rechnung zeigt:

Sei ${\displaystyle r\in K}$  eine Mehrfachnullstelle von ${\displaystyle f\in K[X]}$ , dann gilt ${\displaystyle f=(X-r)((X-r)^{m}g)}$  mit einem Polynom ${\displaystyle g\in K[X]\setminus \{0\}}$  und einem ${\displaystyle m\geq 1}$ . Es folgt ${\displaystyle f'=(X-r)^{m}g+(X-r)((X-r)^{m}g)'}$ , also ${\displaystyle f'(r)=0}$ .

• Gerd Fischer: Lehrbuch der Algebra. Vieweg, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0226-2, S. 275 ff. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
• Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: Algebra. Gruppen – Ringe – Körper. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-8274-2018-3, S. 253 ff