Taylorov red

Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori). Ako se pravilno ne potkrijepe pouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti izbrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

Dio serije članaka o
Infinitezimalnom računu
Fundamentalna teorema Leibnizovo integracijsko pravilo Granična vrijednost funkcije Neprekidnost Teorema srednje vrijednosti Rolleova teorema
Diferencijal Definicije Izvod (generalizacije) Derivacija infinitezimalno funkcija potpuna Koncepti Notacija derivacije Drugi izvod Treći izvod Smjena varijabli Implicitna derivacija Povezane stope Taylorova teorema Pravila i identiteti Zbir Proizvod Složena funkcija Potencijal Količnik Inverzna funckija Opći Leibniz Faà di Brunoova formula
Integral Tablični integrali Integralna transformacija Definicije Primitivna funkcija Integral (nepravi) Riemannov integral Lebesgueova integracija Konturna integracija Integral inverznih funkcija Integracija po Dijelovima Diskovima Cilindričnim ljuskama Smjenama (trigonometrijska, Weierstrassova, Eulerova) Eulerovoj formuli Parcijalnim funkcijama Promjenjivom poretku Redukcijskim formulama Diferencijacija pod integralnim znakom
Redovi Geometrijski (aritmetičko-geometrijski) Harmonijski Alternativni Potencijalni Binomni Taylorov Testovi konvergencije Test općeg člana D'Alambertov test Korjeni test Integralni test Test poređenja Poređenje limesa Test za alternativne redove Cauchyjeva kondenzacija Dirichlet Abel
Vektor Gradijent Divergencija Rotor Laplaceov operator Usmjereni izvod Identiteti Teoreme Gradijent Green Kelvin–Stokesova Divergencija generalizirana Stokesova
Više promjenjivih Formalizmi Matrice Tenzori Vanjski izvod Geometrijski infinitezimalni račun Definicije Parcijalni izvod Višestruki integral Linijski integral Površinski integral Zapreminski integral Jacobi Hesse
Specijalizirano Razlomački infinitezimalni račun Malliavin Stohastički infinitezimalni račun Varijacijski infinitezimalni račun
Rječnik infinitezimalnog računa Rječnik infinitezimalnog računa Spisak tema o infinitezimalnom računu
p r u

U matematici, Taylorov red predstavlja prikazivanje funkcije kao beskonačnog reda članova izračunatih iz vrijednosti derivacija funkcije u jednoj tački. Može se smatrati i kao limes Taylorovog polinoma. Taylorov red je dobio naziv u čast engleskog matematičara Brooka Taylora. Ako se za dobijanje reda koristi izvod u nuli, takav red se naziva Maclaurinov red, koji je dobio naziv po škotskom matematičaru Colinu Maclaurinu.

Taylorov red za neku neprekidnu funkciju ${\displaystyle f(x)}$ sa beskonačno puno izvoda za izabranu tačku ${\displaystyle a}$ jeste definiran ovako:

${\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+\cdots }$

${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}$

Kada funkcija ima više argumenata, primjenjuje se:

${\displaystyle T(x_{1},\cdots ,x_{d})=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{d}=0}^{\infty }{\frac {\partial ^{n_{1}}}{\partial x_{1}^{n_{1}}}}\cdots {\frac {\partial ^{n_{d}}}{\partial x_{d}^{n_{d}}}}{\frac {f(a_{1},\cdots ,a_{d})}{n_{1}!\cdots n_{d}!}}(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}}}$

U slučaju da se dobije višedimenzionalna funkcija, koristi se sljedeća metoda:

${\displaystyle T(\mathbf {x} )=f(\mathbf {a} )+\nabla f(\mathbf {a} )^{T}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )+{\frac {1}{2}}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{T}\nabla ^{2}f(\mathbf {a} )(\mathbf {x} -\mathbf {a} )+\cdots }$

gdje je ${\displaystyle \nabla f(\mathbf {a} )}$ gradijent, a ${\displaystyle \nabla ^{2}f(\mathbf {a} )}$ Hesseova matrica.

Maclaurinov red za bilo koji polinom je ponovo polinom.

Maclaurinov red za (1 − x)⁻¹ je geometrijski red

${\displaystyle 1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots \!}$

tako da Taylorov red za x⁻¹ u a = 1

${\displaystyle 1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+\cdots .\!}$

Integracijom gornjeg Maclaurinovogreda pronalazi se Maclaurinov red za −log(1  − x), gdje log označava prirodni logaritam:

${\displaystyle x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots \!}$

a odgovarajući Taylorov red za log(x) u a = 1 je

${\displaystyle (x-1)-{\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3}}-{\frac {(x-1)^{4}}{4}}+\cdots .\!}$

Taylorov red za eksponencijalnu funkciju ${\displaystyle e^{x}}$ u ${\displaystyle a=0}$ je

${\displaystyle 1+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots \qquad =\qquad 1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}+{\frac {x^{5}}{120}}+\cdots .\!}$

Gornji izraz važi zato što je derivacija od e^x također e^x, a e⁰ jednako je 1. Ovo ostavlja članove (x − 0)ⁿ u brojniku, a n! ostaju u nazivniku za svaki član u beskonačnoj sumi.

Taylorov red ne mora po pravilu da konvergira za sve ${\displaystyle x}$. U stvari, on konvergira samo onda kada ostatak, ${\displaystyle R_{n}(x)=f(x)-T_{n}(x)}$, konvergira prema 0.

Kada je ${\displaystyle f(x)}$ sama potencijalni red oko tačke ${\displaystyle a}$, onda je Taylorov red identičan sa njim.

Također pogledajte: Spisak matematičkih redova

Slijedi nekoliko važnih proširenja Maclaurinovih redova. Sva ova proširenja važe za kompleksne argumente ${\displaystyle x\!}$.

Eksponencijalna funkcija:

${\displaystyle \mathrm {e} ^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots {\text{ za sve }}x\!}$

Prirodni logaritam:

${\displaystyle \log(1-x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}{\text{ za }}|x|\leq 1,\,x\not =1}$

${\displaystyle \log(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}{\text{ za }}|x|\leq 1,\,x\not =-1}$

Konačan geometrijski red:

${\displaystyle {\frac {1-x^{m+1}}{1-x}}=\sum _{n=0}^{m}x^{n}\quad {\mbox{ za }}x\not =1{\text{ i }}m\in \mathbb {N} _{0}\!}$

Beskonačan geometrijski red:

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}{\text{ za }}|x|<1\!}$

Varijante beskonačnih geometrijskih redova:

${\displaystyle {\frac {x^{m}}{1-x}}=\sum _{n=m}^{\infty }x^{n}\quad {\mbox{ za }}|x|<1{\text{ i }}m\in \mathbb {N} _{0}\!}$

${\displaystyle {\frac {x}{(1-x)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n}\quad {\text{ za }}|x|<1\!}$

Kvadratni korijen:

${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)n!^{2}4^{n}}}x^{n}{\text{ za }}|x|<1\!}$

Binomni red (uključujući kvadratni korijen za α = 1/2 i beskonačan geometrijski red za α = −1):

${\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha \choose n}x^{n}\quad {\mbox{ za sve }}|x|<1{\text{ i sve kompleksne }}\alpha \!}$

sa općenitim binomnim koeficijentima

${\displaystyle {\alpha \choose n}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}.\!}$

Trigonometrijske funkcije:

${\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad =x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ za sve }}x\!}$

${\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad =1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ za sve }}x\!}$

${\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad =x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots {\text{ za }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!}$

gdje je B Bernoullijev broj.

${\displaystyle \sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}{\text{ za }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!}$

${\displaystyle \arcsin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}{\text{ za }}|x|<1\!}$

${\displaystyle \arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}{\text{ za }}|x|\leq 1\!}$

Hiperbolička funkcija:

${\displaystyle \sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots {\text{ za sve }}x\!}$

${\displaystyle \cosh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots {\text{ za sve }}x\!}$

${\displaystyle \tanh x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}=x-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {2}{15}}z^{5}-{\frac {17}{315}}z^{7}+\cdots {\text{ za }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!}$

${\displaystyle \mathrm {arsinh} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}{\text{ za }}|x|<1\!}$

${\displaystyle \mathrm {artanh} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}{\text{ za }}|x|<1\!}$

Lambertova W funkcija:

${\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}{\text{ za }}|x|<{\frac {1}{\mathrm {e} }}\!}$

Brojevi B_k, koji se pojavljuju u sumiranju pri razvijanju tan(x) i tanh(x) predstavljaju Bernoullijev broj. E_k u razvijanju sec(x) je Eulerov broj.

• Taylorov teorem
• Laurentov red
• Dokaz da su holomorfske funkcije analitičke
• Newtonov polinom
• Diferencijalna mašina
• Teorem srednje vrijednosti

• Taylorov red na Wikimedia Commonsu